3.6重积分的换元法
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高等数学 重积分的换元法及含参变量的积分
则由积分(3)确定的函数 ( x )在 [a , b]上可微，并且
( x ) f ( x , y ) d ( x) ( x ) ( x ) f ( x , y )dy ( x ) dy dx x f [ x , ( x )] ( x ) f [ x , ( x )] ( x ). (7)
v
柱面坐标 4. 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
x r cos , y r sin , z z.
x r sin cos , （2） 球面坐标的体积元素 2 dxdydz r sindrdd y r sin sin , z r cos . （3） 广义球面坐标的体积元素 x ar sin cos , 2 dxdydz abcr sindrdd y br sin sin , z cr cos .
当 x 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于 零. ( x ) 又 ( x x ) f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) ,
( x)
( x x )
f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) .
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y(u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
注意：
同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状，
( x ) f ( x , y ) d ( x) ( x ) ( x ) f ( x , y )dy ( x ) dy dx x f [ x , ( x )] ( x ) f [ x , ( x )] ( x ). (7)
v
柱面坐标 4. 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
x r cos , y r sin , z z.
x r sin cos , （2） 球面坐标的体积元素 2 dxdydz r sindrdd y r sin sin , z r cos . （3） 广义球面坐标的体积元素 x ar sin cos , 2 dxdydz abcr sindrdd y br sin sin , z cr cos .
当 x 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于 零. ( x ) 又 ( x x ) f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) ,
( x)
( x x )
f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) .
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y(u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
注意：
同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状，
积分的换元法与分部积分法
积分的换元法与分部积分法积分作为微积分中重要的概念和工具，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
积分可以通过不同的方法来求解，其中换元法和分部积分法是常见且重要的两种方法。
本文将介绍积分的换元法和分部积分法，并对其原理和应用进行详细讨论。
一、换元法换元法又被称为变量代换法，其核心思想是通过引入新的变量来简化被积函数的形式。
具体步骤如下：1. 选择合适的变量代换。
2. 计算新变量关于原变量的导数，确定微元的变换关系。
3. 将被积函数和微元用新变量表示，进行积分计算。
4. 将结果用原变量表示，得到最终的积分结果。
举例来说，如果要计算∫(2x+1)^2 dx，可以选择变量代换u = 2x + 1。
根据导数的链式法则，有du/dx = 2，从而dx = du/2。
将被积函数和微元用新变量表示，得到∫u^2 (du/2)。
对该表达式进行积分计算，并将结果用原变量表示，即可得到∫(2x+1)^2 dx的积分结果。
换元法在解决一些形式复杂的积分问题时非常有用，可以将原函数变换为更简单的形式，进而实现积分的计算。
二、分部积分法分部积分法是对求导和求积分的相互关系的一种应用。
其基本原理是根据乘积的求导法则，将被积函数分解为两个函数的乘积的导数形式，从而利用求导法进行积分的计算。
具体步骤如下：1. 选择合适的分解形式。
2. 对乘积中的一个函数求导。
3. 对另一个函数进行积分。
4. 将结果用原变量表示，得到最终的积分结果。
举例来说，如果要计算∫x*sin(x) dx，可以将被积函数分解为两个函数的乘积形式，即f(x) = x和g(x) = sin(x)。
根据导数的乘法法则，有(fg)' = f'g + fg'，其中f'和g'分别表示f(x)和g(x)的导数。
将该等式与积分的相互关系结合，得到∫f(x)g'(x)dx = fg - ∫f'(x)g(x)dx。
利用该等式进行计算，即可得到∫x*sin(x) dx的积分结果。
重积分的换元法
(u,v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
16-5三重积分换元
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) dxdydz 例 6 计算 ∫∫∫ 2 2 2 x + y + z +1 V 2 2 2 其中积分区域V = {( x , y , z ) | x + y + z ≤ 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称， 积分域关于三个坐标面都对称， 奇函数, 被积函数是 z 的奇函数
解
由x
2
V 由锥面和球面围成， 采用球面坐标， 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
+ y + z = 2a
2 2 2
⇒
z = x + y
2
r =
2
2a ,
π ϕ = , 4
⇒
V : 0 ≤ r ≤ 2a ,
0≤ϕ ≤
π
4
,
0 ≤ θ ≤ 2π ,
由三重积分的性质知 V =
V = ∫ dθ ∫ dϕ ∫
规定： 规定：
0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ π,
0 ≤ θ ≤ 2π.
如图，三坐标面分别为 如图，
r 为常数
球 面； 圆锥面； 圆锥面； 半平面． 半平面．
z
ϕ
O x θ r
M
y
P
ϕ 为常数 θ 为常数
如图， 如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
一般地， 平面对称， 一般地，当积分区域V关于 xoy平面对称，且被 积函数 f (x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分为 的奇函数， 的偶函数， 零，若被积函数 f (x, y, z)是关于 z的偶函数，则三重 平面上方的半个闭区域的三重积分 积分为V在 xoy平面上方的半个闭区域的三重积分 的两倍. 的两倍
三重积分的换元法(北工大)
2 2 V
23
例6
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上
V : x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 的重心. 半球体
例7
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上 半球体 V : x y z 1
2 2 2
关于三个坐标轴的转动惯量.
4
2.柱面坐标变换 x r cos , 设 y r sin , z z,
cos ( x, y, z ) sin ( r , , z ) 0
其中 0
r , 0 2 , z .
0 0 r, 1
r sin r cos 0
f ( x , y , z )dxdydz
V
f ( r cos , r sin , z ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ dr d dz .
V
5
dV = dxdydz
z
rdrddz
f ( x , y, z )dxdydz
dV
dz
f ( r cos , r sin , z )
dv r 2 sin drdd
14
例 4 求区域 x y z 2a 与 z 的公共部分的体积.
2 2 2 2
x y
2
2
解 由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由x
2
y z 2a
2 2
2
r 2a,
z x y
2 2
, 4
: 0 r 2a ,
2 2
2. 积分区域Ω是由柱面、锥面、旋转 抛物面、平面或球面所围成. 常用柱面坐标计算. 例1 计算抛物面 x 2 y 2 az(a 0), 柱面 x y 2ax(a 0) 与平面
23
例6
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上
V : x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 的重心. 半球体
例7
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上 半球体 V : x y z 1
2 2 2
关于三个坐标轴的转动惯量.
4
2.柱面坐标变换 x r cos , 设 y r sin , z z,
cos ( x, y, z ) sin ( r , , z ) 0
其中 0
r , 0 2 , z .
0 0 r, 1
r sin r cos 0
f ( x , y , z )dxdydz
V
f ( r cos , r sin , z ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ dr d dz .
V
5
dV = dxdydz
z
rdrddz
f ( x , y, z )dxdydz
dV
dz
f ( r cos , r sin , z )
dv r 2 sin drdd
14
例 4 求区域 x y z 2a 与 z 的公共部分的体积.
2 2 2 2
x y
2
2
解 由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由x
2
y z 2a
2 2
2
r 2a,
z x y
2 2
, 4
: 0 r 2a ,
2 2
2. 积分区域Ω是由柱面、锥面、旋转 抛物面、平面或球面所围成. 常用柱面坐标计算. 例1 计算抛物面 x 2 y 2 az(a 0), 柱面 x y 2ax(a 0) 与平面
重积分换元公式
面，根据 δ2 和 m 的取法，应有 η(tC , t) < 1 + ε，所以
µ(ϕ(C)) ≤ (1 + ε) ψ(tC ) µ(C).
6. 对 C ∈ Q2 求和得：
∑
∑
µ(ϕ(C)) ≤ (1 + ε)
ψ(tC ) µ(C).
C ∈Q2
C ∈Q2
5
对于 C ∈ Q1 或 C ∈ Q3，我们总能找到一个 tC ∈/ Dt，于是 ψ˜(tC ) = 0。所有
µ(Dx) ≥ A µ(Dt)，于是等号成立。
□
在接下来的证明中，我们将用一些立方体覆盖所关心的区域，然后考虑立
方体在微分同胚下的体积变化。这种计算在以前证明连续可微映射将零测集映
为零测集时曾经做过。不过那时候对体积变化的估计比较粗糙，因为当时只要
证明像集的体积不大于原来立方体的体积乘以一个固定的常数倍就够了，这个
∫
∫
ii) f ∈ R(Dx) ⇒ Dx f (x)dx = Dt f (ϕ(t))ψ(t)dt。
第 i) 条的证明是简单的，只需利用 Lebesgue 可积性定理即可。
证明： i) 只需证明必要性，因为充分性可由必要性方向应用于微分同胚 ϕ−1 和
函数 f ◦ ϕ · ψ 得到。根据定理的条件，Dt 紧、ψ 连续，所以 ψ 在 Dt 上有界。 f ∈ R(Dx) 说明 f 有界，于是 f ◦ ϕ · ψ 也有界。根据复合函数的连续性，若 f 在 x ∈ Dx 处连续，则 f ◦ ϕ 在 t = ϕ−1(x) 处也连续，所以 f ◦ ϕ 的不连续点一 定是 ϕ−1(D(f )) 的子集，其中 D(f ) 表示 f 的不连续点集。根据 Lebesgue 可 积性判据，D(f ) 是零测集；因为 ϕ−1 是连续可微的，所以 ϕ−1(D(f )) 也是零
《重积分计算方法》课件
计算引力场中的力
01
在物理学中，重积分常用于计算物体在引力场中所受的力。例
如，地球上物体的重力就是地球质量的重积分结果。
弹性力学中的应力分析
02
在弹性力学中，重积分用于分析物体在受力后内部的应力分布
情况。
电场和磁场中的高斯定理和安培环路定理
03
重积分在电场和磁场理论中有重要应用，如高斯定理和安培环
路定理的证明。
重积分计算方法
目录
• 重积分概述 • 重积分的基本计算方法 • 重积分的换元法 • 重积分的分部积分法 • 重积分的近似计算方法 • 重积分的应用实例
01
重积分概述
重积分的定义
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计 算多元函数在某个区域上的累积值。
记号
设 $f(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的函数 ，$D$ 是二维平面上的一区域，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的重积分表示为 $int_{D} f(x, y) dsigma$。
∫∫(x^2+y^2)dxdy=∫(x^2+y^2)dy ∫dx=π/2*∫(x^2+y^2)dy，其中D是 积分区域。
∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz=∫(x^2 +y^2+z^2)dz∫(x^2+y^2)dy∫dx= π^2/6*∫(x^2+y^2+z^2)dz，其中 Ω是积分区域。
体积
当 $f(x, y) = z$ 时，$int_{D} dsigma$ 表示以 $D$ 为底面，高为 $f(x, y)$ 的立体的体积。
02
重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过将积 分区域划分为若干个小矩形，然后对 每个小矩形进行积分，最后求和得到 结果。
重积分的积分变换和积分替换
重积分的积分变换和积分替换积分是高等数学中的一个重要概念，它被广泛应用在各个领域中，包括物理学、统计学、经济学等。
在微积分中，一类重要的积分就是重积分。
和单变量积分不同，重积分涉及到多个变量，其计算难度往往更大。
近年来，学者们发现，利用积分变换和积分替换的技巧，可以有效地简化重积分的计算过程。
本文就介绍一些有关积分变换和积分替换的基本知识和重要应用。
一、积分变换积分变换是将一类积分变换成另一类积分的过程，通常是通过一些数学技巧来实现的。
积分变换有很多种，包括线性变换、仿射变换、圆柱变换、球坐标变换等。
在这里，我们主要介绍球坐标变换和柱坐标变换两种。
1. 球坐标变换球坐标变换是将三维空间中的积分转化为球坐标系下的积分。
通过这种变换，可以将具有各向同性的问题转化为与方向无关的问题，从而简化积分的计算。
球坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和方位角φ。
一般来说，球坐标变换的步骤如下：（1）将被积函数写成球坐标的形式；（2）将坐标变量x、y、z表示为r、θ和φ的函数；（3）将分子（dx dy dz）替换成球坐标系下的积分元素r²sinθ dr dθ dφ；（4）对变量r、θ和φ进行变量替换，计算出新的积分区域。
例如，设空间中有一个函数f(x,y,z)，要求其在球形区域内的积分。
那么，将被积函数转化为球坐标系下的形式：f(x,y,z)→f(r,θ,φ)然后，把直角坐标系下的坐标写成球坐标系下的形式：x=r sinθ cosφ；y=r sinθ sinφ；z=r cosθ。
接着，计算出雅可比行列式，替换分子，并对积分区域进行调整。
最终得到球坐标下的积分表达式：∫∫∫f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫f(r,θ,φ) r²sinθ dr dθ dφ2. 柱坐标变换柱坐标变换是将三维空间中的积分转化为柱坐标系下的积分。
柱坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和高度z。
柱坐标变换的一般步骤如下：（1）将被积函数写成柱坐标系下的形式；（2）将直角坐标系下的坐标表示为柱坐标系下的形式；（3）将分子（dx dy dz）替换成柱坐标下的积分元素r d r dθ dz；（4）对变量r、θ和z进行变量替换，计算出新的积分区域。
三 重 积 分
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1三重积分
三重积分的概念
化三重积分为累次积分
三重积分换元法
(0,0, z) 作垂直于 z 轴的平面在 V 上的截面. 此时
f
f ( x, y, z)dxdydz e dz f ( x, y, z)dxdy. (4)
V
D( z )
同样有
b
f ( x, y, z)dxdydz a dx f ( x, y, z)dydz. (4)
V ( x, y, z) z1( x, y) z z2( x, y), ( x, y) D( xy) ,
其中 D( xy) 是 V 在 x y 平面上的投影, zi ( x, y), i 1, 2 是 D( x y) 上的连续函数. 此时有
f ( x, y, z)dxdydz dxdy z2( x,y) f ( x, y, z)dz.
数学分析 第二十一章 重积分
§5
三重积分
三重积分的典型物 理背景是求密度非均匀 分布的空间物体的质量. 研究三重积分的方法和 步骤与二重积分相似.
一、三重积分的概念 二、化三重积分为累次积分 三、三重积分换元法
*点击以上标题可直接前往对应内容
§1三重积分
三重积分的概念
化三重积分为累次积分
三重积分的概念
V1,V2 ,K ,Vn , 用 Vi 记 Vi (i 1, 2, L , n) 的体积, 并记
T
max 1i n
Vi 的直径
.
(i ,i , i ) Vi (i 1, 2,L , n), 作积分和
n
f (i ,i , i )Vi .
i 1
数学分析 第二十一章 重积分
重积分的换元
f [ x( u, v , w ), y( u, v , w ), z( u, v , w )] J dudvdw.
1
上述变换叫做三重积分的 Jacobian 变换，也就是 三重积分的换元法公式,J 叫做 Jacobian 行列式。
1. 柱面坐标变换
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
例8 计算三重积分
( x y ) dxdydz , 其中
2
z x 2 y 2 与平面 z 4 所围成的立体。 是由曲面
解 在 xoy面的投影区域为：x 2 y 2 4,
D
x y x y u , v , 2 3 2 3 3 则有 x u v , y ( u v ) ,该变换把平面区域 D 2
2 映射为平面区域 D1 : u v 和 u v 围成，而且
( x , y ) 1 1 3 3 0 ，则 J 3 ( u, v ) 2 2
规定： 0 r ,
0 2,
z
M ( x, y, z )
z .
x
o
r
P(r , )
y
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
为常数
z 为常数
柱面坐标与直角坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z.
8.3 重积分的换元法
8.3.1 二重积分的换元法 8.3.2 三重积分的换元法
8.3.1 二重积分的换元法 定理8.1 若函数 f ( x , y ) 在平面 xoy上的闭区域
1
上述变换叫做三重积分的 Jacobian 变换，也就是 三重积分的换元法公式,J 叫做 Jacobian 行列式。
1. 柱面坐标变换
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
例8 计算三重积分
( x y ) dxdydz , 其中
2
z x 2 y 2 与平面 z 4 所围成的立体。 是由曲面
解 在 xoy面的投影区域为：x 2 y 2 4,
D
x y x y u , v , 2 3 2 3 3 则有 x u v , y ( u v ) ,该变换把平面区域 D 2
2 映射为平面区域 D1 : u v 和 u v 围成，而且
( x , y ) 1 1 3 3 0 ，则 J 3 ( u, v ) 2 2
规定： 0 r ,
0 2,
z
M ( x, y, z )
z .
x
o
r
P(r , )
y
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
为常数
z 为常数
柱面坐标与直角坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z.
8.3 重积分的换元法
8.3.1 二重积分的换元法 8.3.2 三重积分的换元法
8.3.1 二重积分的换元法 定理8.1 若函数 f ( x , y ) 在平面 xoy上的闭区域
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2
)dxdy lim
t 0
2
0
d f ( r )rdr
0
t
t3
2 l i m
t 0
f ( r )rdr t3
f ( t )t 2 lim t 0 3t 2
f ( t )t 2 f ( t ) f ( 0) 2 2 lim lim ( 0). f 2 t 0 3t 3 t 0 t 3
v 3
D’ 0 u
1 u sin v dudv 2 D 3 1 du u 2 sin 2 vdv 2
2 2
D
u du sin2 vdv
2 0
3
4
3
.
uv x 2 T： y v u 2
x x ( u, v , w ), T： y y( u, v , w ), z z ( u, v , w ),
将Ouvw空间的区域 变成Oxyz区域，且满足
（ 1 ）x( u, v , w ), y( u, v , w ), z( u, v , w )在 上 具 有 一 阶 连 续 偏导数；
x r 4 cos4 解 令T : , 则T将D变换为 D（如图） 4 4 y r si n
y 1 1 D 0 1
4
r
x
D’ 0 /2
( x , y ) 4r 3 cos4 J 3 ( r , ) 4r sin4
4r 4 cos3 sin 4r sin cos
例3.41
求由直线 x y p, x y q, y ax, y bx (0 p q,0 a b)围成的区域的面积。
u x y 解 令T : 则T将D变换为 D（如图） v y / x
y v
D x
D’
0
X
o
u
u x u x y 1 v ( x , y ) u 而 J , 2 v y / x ( u, v ) (1 v ) y uv 1 v q b u u dv A dxdy dudv du 2 2 p a (1 v ) (1 v ) D D
证明略
特别地，
x r cos 对于柱坐标变换 y r si n , 有J ( z , r , ) r ; z z x sin cos 2 对于球坐标变换 y sin sin , 有 J ( , , ) sin , z cos
例3.37（略） 例3.38
计算I x 2 y 2 dxdy , 其中， D为由双曲线
D
xy 1和xy 2， 直 线 y x和y 2 x所 围 成 的 第 一 象 限 的区域。 x u v T : ， 解 令u xy, v y / x , 则 得 变 换 y uv 将xy 1和xy 2变为u 1和u 2，将直线 y x和y 2 x
2
1 w cos w dudvdw 3
2
1 1 1
1 1 1 1 2 du dv w cos w dw cos w 2 d ( w 2 ) 0 0 0 3 3 2 0 1 sin w 2 6
1 0
0 x y 1 ： 0 x z 1 . 0 x y z 1
2 2 3 2 x y a z0 z0 z z0
因此，曲面是一个绕 z轴的旋转曲面； z 立体的图形大致为右：
在球坐标变换下，
( x 2 y 2 z 2 )2 a 3 z变 为
4 a 3 cos ,即 a(cos )1/ 3 ,
变为v 1和v 2，从而将 D变为D(如图)。
y
v
D
D
1 0 1
x
0
u
1 1 u x 3 1 2 v 2 uv v , y 2v 1 v 1 u v 2 u 2 v x u / v 而 T： , 1 2 2 2 故 x y dxdy u dudv y uv 2v D D 2 4 u 4 1 1 2 1 2 2 du dv u du dv 1 1 1 v 2 v 2 1 7 ln 2. 3 x2 y2 1 2 2 dxdy.其 中 例3.39 计算二重积分 a b D 2 2 x y D为 椭 圆 2 2 1所 围 成 的 区 域 。 a b
cos3 sin3 d
16 / 2 2 3 ( 1 sin ) sin d sin 9 0 16 sin4 sin6 / 2 [ ]0 9 4 6 4 . 27
例3.44（略）
3.6.2 三重积分的换元法
上连续，变换 定理2.6.2 设 f ( x, y, z )在空间区域
(2)在 上的Jacobi 行列式
x u ( x , y , z ) y J ( u, v , w ) ( u, v , w ) u z u x v y v z v x w y 0; w z w
(3)变换T： 是一对一的。则有
f ( x, y, z )dxdydz f [ x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)] J (u, v, w) dudvdw .
2 1 u udu dv p a (1 v ) 2 2 (q 2 p 2 )(b a ) . 2(1 a )(1 b) q b q p
1 b ( )a 1 v
例3.42(略)
例3.43
计算二重积分
D
x
y dxdy.其 中
D由坐标轴与曲线x y 1 围成。
故，
o
y
x
V dxdydz d
0
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/2
0
d
a (cos )1 / 3
0
2 sind
2
2
/2
0
sind
所以， 2 I w cos w J (u, v, w) dudvdw
0 x y 1 而 ： 0 u 1,0 v 1,0 w 1, ： 0 x z 1 . 0 x y z 1
1 w cos w dudvdw 3
3.6 重积分的换元法
3.6.1 二重积分的换元法 设f(x,y)在xoy平面上是闭区域 D上连续， 定理3.1 x x(u, v ) 将uov平面上的区域 D变换成 xoy 变换T : y y(u, v )
平面上的区域 D， 且 满 足 ： (1) x(u, v ), y(u, v )在D上具有一阶连续偏导数 ； (2)在D上的Jacobi 行列式 x x ( x , y ) u v J ( u, v ) 0; ( u, v ) y y u v
x ( x , y ) u ( u, v ) y u
解 作广义极坐标变换 x ar cos T： , 其中a 0, b 0, r 0,0 2 y br sin 0 r 1 x2 y2 在此变换下， D : 2 2 1变换为 D： , a b 0 2 x x ( x, y ) r J abr, 从 而有 , y y (r , ) r
其中，Dt {( x , y ) x 2 y 2 t 2 }.
解 作极坐标变换
x r cos T： , y r sin
则Dt {(r , ) 0 r t ,0 2 }, 所以
1 lim 3 t 0 t
Dt
f( x y
2
t 0
(3)变换T：D D是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u, v), y(u, v)] J (u, v) dudv
D D
注：如果Jacobi行列式J(u,v)只在D’内个别点上或 者一条曲线上为零，而在其他点上不为零，则换元 公式仍然成立。
特别地，极坐标变换
D
x2 y2 2 1 2 2 dxdy 1 r abrdrd a b D
ab d
0 2 1 0
2 1 r rdr ab . 3
2
1 f (0) 0, 求 lim 3 例3.40 设f可微且 t 0 t
Dt
f ( x 2 y 2 )dxdy,
1 sin 1. 6
例3.46 求曲面
( x y z ) a z (a 0)围成的
2 2 2 2 3
立体体积 .
解 显然z 0, 所以立体在上半空间； 由于z 4 a 3 z,
故z a, 所以立体界于平面 z 0与z a之间；
z0 [0, a],曲面与平面 z z0的交线是一个圆：
x r cos , 0 r ,0 2 y r cos . x x cos r sin ( x , y ) r r, ( r , ) y y sin r cos r
2 2 计算 I ( x y ) sin ( x y )dxdy , 其中， 例3.36 D
D为 四 个 顶 点 分 别 为 ( ,0), ( 2 , ), ( ,2 ), (0, )的 正 方 形区域。
y 解 先作出积分区域D 如图所示. 令u x y, v x y, 则变换 uv x 2 (0,) T : y v u 2 o
例3.45 计算
I ( x y z ) cos(x y z )2 dxdydz ,