高二数学人教B选修第章综合素质检测

第三章综合素质检测

时间120分钟，满分150分．

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)

1．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；

③对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →

，则P ，A ，B ，C 四点共面；

④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 [答案] C

[解析] ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，①不正确．②b 为非零向量，故不正确．③2－2－1≠1，故不正确．④正确．⑤不正确．

2．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° [答案] B

[解析] 建立空间直角坐标系，可求AB 1→·BC 1→＝0，故成90°.

3．已知△ABC ，AB →＝c ，AC →＝b ，BC →

＝a ，用向量a ，b ，c 的数量积的形式表示△ABC 为锐角三角形的充要条件是( )

A ．b·c >0，a·c >0

B ．a·b >0，b·c >0，a·c >0

C ．a·b >0

D ．a·b >0，b·c >0，a·c <0

[答案] D

[解析] 由数量积的意义知D 成立．

4．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，若存在点D, 使得DB ∥AC ，DC ∥AB ，则点D 的坐标为( )

A ．(－1,1,1)

B ．(－1,1,1)或(1，－1，－1)

C ．(－12，12，12

)

D ．(－12，12，1

2)或(1，－1,1)

[答案] A

[解析] 代入坐标运算得D (－1,1,1)，故选A.

5．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →

的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° [答案] C

[解析] ∵A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)， ∴AB →＝(0,3,3)，AC →

＝(－1,1,0)． ∴cos 〈AB →，AC →

〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|

＝12，∴选C.

6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CN 所成的角的余弦值是( )

A.32

B.102

C.35

D.25 [答案] D

[解析] 以D 为坐标原点DA →、DC →、DD 1→为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则AM

→

＝(0，12，1)，CN →

＝(1,0，12

)，

∴cos θ＝|AM →·CN →

||AM →||CN →|＝2

5(用基向量表示亦可)．

7．下面命题中，正确命题的个数为( )

①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量且a 与α共面，则n·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] D

[解析] ①②③④均正确，故选D.

8．直线l 1的方向向量v 1＝(1,0，－1)；直线l 2的方向向量v 2＝(－2,0,2)，则直线l 1 与l 2的位置关系是( )

A ．平行

B ．相交

C ．异面

D ．平行或重合 [答案] D

[解析] ∵v 2＝－2v 1，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．

9．如图，在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )

A.92

B. 3

C.655

D ．2

[答案] D

[解析] 以AB →、AD →、AA 1→

为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立直角坐标系，则M (32，0,3)，N (0，

3

2

，3)，A (0,0,0)，

∵n ＝(2,2，－1)，AB →

＝(3,0,0)， ∴d ＝|AB →·n ||n |

＝2，故选D.

10．如右图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→

，CM →

〉的值为( )

A.1

2 B.21015 C.2

3 D.1115

[答案] B

[解析] 以DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系Oxyz ，设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，则DB ′→＝(1,1,1)，CM →

＝(1，

－12，0)，cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015

. 11．在棱长为a 的正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，则异面直线A ′F 与C ′E 所成角的大小为( )

A ．锐角

B ．直角

C ．钝角

D ．不确定

[答案] B

[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设AE ＝BF ＝x ，则A ′(a,0，a )、F (a －x ，a,0)、C ′(0，a ，a )、E (a ，x,0)，A ′F →

－(－x ，a ，－a )，C ′E →

＝(a ，x －a ，－a )，

∴A ′F →·C ′E →＝－xa ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A ′F ⊥C ′E .

12．如图，四面体P －ABC 中，PC ⊥面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B －P A －C 的余弦值为( )

A.2

2

B.33