把增广矩阵化成行阶梯形矩阵
行阶梯矩阵的要求
行阶梯矩阵的要求行阶梯矩阵，是线性代数中非常重要的一个概念。
在这篇文章中，我们将详细介绍行阶梯矩阵的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、行阶梯矩阵的定义行阶梯矩阵是一种特殊的矩阵形式，它满足以下两个条件：1. 矩阵的每一行的第一个非零元素（称为主元）出现在前一行主元的右边。
2. 每一行的主元下方的所有元素都为零。
例如，下面是一个行阶梯矩阵的例子：```1 2 30 4 50 0 6```在这个矩阵中，每一行的主元出现在前一行主元的右边，并且每一行的主元下方的所有元素都为零。
二、行阶梯矩阵的性质行阶梯矩阵具有以下性质：1. 行阶梯矩阵的最后一行全为零的话，称为零行阶梯矩阵。
2. 行阶梯矩阵的主元所在的列全为零的话，称为零列阶梯矩阵。
3. 行阶梯矩阵的主元所在的列以及主元所在的行的其他元素全为零的话，称为单位行阶梯矩阵。
4. 行阶梯矩阵的行数等于主元的个数。
三、行阶梯矩阵的应用行阶梯矩阵在线性代数中有着广泛的应用，特别是在解线性方程组和求矩阵的秩方面。
1. 解线性方程组：对于一个行阶梯矩阵，我们可以通过回代的方式轻松求解线性方程组。
由于矩阵的每一行的主元下方的元素都为零，我们可以从最后一行开始，依次求解每一个变量的值。
2. 求矩阵的秩：行阶梯矩阵的秩等于其主元的个数。
通过将矩阵化为行阶梯矩阵的形式，我们可以快速求解矩阵的秩。
四、行阶梯矩阵的举例下面我们举一个简单的例子来说明行阶梯矩阵的应用。
考虑以下线性方程组：```2x + 3y + z = 83x - 2y - z = -11-x + y + 2z = 17```我们可以将其表示为增广矩阵的形式：```2 3 1 83 -2 -1 -11-1 1 2 17```通过高斯消元法，我们可以将其化为行阶梯矩阵的形式：```2 3 1 80 -13 -4 -350 0 6 6```从中我们可以看出，该矩阵满足行阶梯矩阵的定义，每一行的主元出现在前一行主元的右边，并且每一行的主元下方的所有元素都为零。
高斯消元法求逆矩阵
高斯消元法求逆矩阵
高斯消元法是一种求解线性方程组的方法，而求解矩阵的逆矩阵是一个与线性方程组密切相关的问题。
下面给出使用高斯消元法求逆矩阵的步骤：
1. 假设要求逆的矩阵为A，将A扩展为一个n阶的增广矩阵，增广矩阵的右边是n阶单位矩阵，左边是A本身。
[A | I]
2. 对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵。
[R | E]
3. 如果行简化阶梯形矩阵的左边部分R是单位矩阵，则右边部分E 就是A的逆矩阵，即E=A^-1。
如果R不是单位矩阵，则表示A不可逆。
具体的高斯消元法求逆矩阵的步骤如下：
1. 初始化增广矩阵为[A | I]。
2. 使用高斯消元法将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵，即将矩阵的每一行进行以下操作：
- 如果当前行的主元素为0，则交换该行与下面某一行的位置，使主元素不为0。
- 将当前行的主元素变为1，同时将该主元素所在的列的其他元素
变为0，即进行行变换。
- 对于其他行，将该行的主元素所在列的元素通过行变换变为0。
3. 判断行简化阶梯形矩阵的左边部分R是否为单位矩阵：
- 如果R是单位矩阵，则右边部分E就是A的逆矩阵，即E=A^-1。
- 如果R不是单位矩阵，则表示A不可逆。
需要注意的是，在高斯消元法的过程中，需要进行数值的计算操作，可能会出现浮点数误差的问题。
因此，在实际计算中，可能需要对计算结果进行一定的精度控制。
矩阵解方程组的方法
矩阵解方程组的方法
首先，我们来看高斯消元法。
这是一种常用的方法，通过矩阵的初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
这个方法的优点是简单易懂，但是在计算过程中可能会出现舍入误差，对于大型的矩阵计算也可能会比较耗时。
其次，克拉默法则是另一种常见的方法。
它利用矩阵的行列式来求解方程组的解，其优点是在理论上比较简洁，但是在实际计算中，由于需要计算每个未知数对应的行列式，所以当方程组的阶数较大时，计算量会很大，效率较低。
最后，矩阵逆的方法是利用矩阵的逆来求解方程组的解。
具体而言，对于方程组Ax=b，如果矩阵A是可逆的，那么可以通过A的逆矩阵来求解x，即x=A^(-1)b。
这种方法在理论上比较简单高效，但是需要保证矩阵A是可逆的，而且在实际计算中求逆矩阵的运算量也比较大。
除了以上三种方法，还有其他一些特殊情况下的求解方法，比如特征值分解方法、奇异值分解方法等，这些方法在特定情况下可能会更加高效。
总的来说，矩阵解方程组的方法有多种，每种方法都有其适用的情况和局限性。
在实际应用中，需要根据具体的问题特点来选择合适的方法来求解方程组的解。
矩阵的基础解系求法
矩阵的基础解系求法矩阵的基础解系（或称为零空间）是指线性方程组的全部解构成的向量集合。
在求解矩阵的基础解系时，我们可以使用高斯消元法或者矩阵的特征值和特征向量来进行计算。
下面将详细介绍这两种方法。
一、高斯消元法求解矩阵的基础解系1. 将线性方程组表示为增广矩阵形式，其中最右边一列为零向量。
2. 利用高斯消元法将增广矩阵化为行简化阶梯形式。
具体步骤如下：a. 选取第一个非零列中第一个非零元素所在的行作为主元行。
b. 利用初等行变换将主元行中的主元素变为1，并且将主元行以下所有行中对应列上的元素变为0。
c. 重复上述步骤，选取下一个非零列中第一个非零元素所在的行作为新的主元行，并进行相同的初等行变换操作，直到所有非零列都处理完毕。
3. 根据得到的行简化阶梯形式矩阵，可以得到方程组自由变量个数r。
这些自由变量对应于矩阵的基础解系中的参数。
4. 对于每个自由变量，可以选择一个非零值作为参数，并将其他自由变量表示为该参数的线性组合。
这样就得到了矩阵的基础解系。
二、特征值和特征向量法求解矩阵的基础解系1. 计算矩阵A的特征值和对应的特征向量。
具体步骤如下：a. 解方程det(A-λI)=0，其中A是给定的矩阵，λ是待求得特征值，I是单位矩阵。
b. 求解方程得到所有的特征值λ。
c. 对于每个特征值λ，将其代入方程(A-λI)x=0中，并求解出对应的特征向量x。
2. 将所有求得的特征向量组成一个矩阵P。
3. 对于每个特征向量x，可以选择一个非零值作为参数，并将其他自由变量表示为该参数的线性组合。
这样就得到了矩阵P中列向量所构成的基础解系。
三、总结通过高斯消元法或者特征值和特征向量法，我们可以求解出一个矩阵的基础解系。
高斯消元法是一种直接的求解方法，通过行简化阶梯形式的矩阵来确定自由变量和基础解系。
特征值和特征向量法则是通过矩阵的特征值和对应的特征向量来确定基础解系。
需要注意的是，当矩阵A为非奇异矩阵（即行列式不为零）时，高斯消元法和特征值和特征向量法都可以求得唯一的基础解系。
将矩阵化为阶梯矩阵的技巧
将矩阵化为阶梯矩阵的技巧矩阵化为阶梯矩阵是线性代数中非常重要的一项技巧，它可以简化矩阵的运算和求解线性方程组的过程。
本文将详细介绍矩阵化为阶梯矩阵的技巧及其应用。
一、矩阵的阶梯形式1. 什么是阶梯矩阵？阶梯矩阵是指矩阵中的元素满足以下两个条件：(1) 每一行的非零元素都位于该行非零元素左边的位置（被称为主元位置）。
(2) 除了每一行的主元以外，其他位置的元素全都是零。
2. 矩阵的阶梯形式阶梯形矩阵是指一个矩阵通过一系列的初等行变换（行交换、倍乘和倍加）可以化为阶梯矩阵的形式。
矩阵的阶梯形式是唯一的，可以用来求解线性方程组的解、计算矩阵的秩以及判断矩阵是否可逆等。
3. 阶梯矩阵的形式阶梯矩阵的主元全是1，且每一行主元所在的列其余元素都为0。
此外，每个主元所在的列，其上面的所有元素都为0。
二、矩阵化为阶梯矩阵的步骤将矩阵化为阶梯矩阵的过程可以通过一系列的初等行变换来实现。
以下是具体的步骤：1. 确定主元位置首先，选择矩阵的第一个非零列作为第一个主元的列。
然后，在第一个主元所在的列中，找到第一个非零元素所在的行，将其作为第一个主元的行，同时将其余行的第一列元素化为0。
2. 化主元位置的元素为1将第一个主元的值除以它自身，使得第一个主元位置的元素化为1。
这一步操作称为主元归一化。
3. 消去主元下方的元素用第一个主元所在的行，通过倍乘和倍加操作，将主元下方的所有元素化为0。
这样能够将矩阵化为上三角矩阵的形式。
4. 再次选择主元位置在第一个主元所在的列的下一列中，找到第一个非零元素所在的行，将其作为下一个主元的行。
然后，通过类似的步骤，将该主元所在的列上方的元素全部化为0。
5. 重复上述步骤依次选择下一列中的主元位置，重复进行上述步骤，直到所有的列都被处理为主元为止。
最终得到的矩阵即为阶梯矩阵。
三、矩阵化为阶梯矩阵的应用1. 求解线性方程组矩阵的阶梯形式可以帮助我们快速求解线性方程组的解。
将增广矩阵化为阶梯矩阵后，通过反向代入法，可以依次求解出方程组的未知数。
高斯消去法
高斯消去法高斯消去法，又称高斯消元法，实际上就是我们俗称的加减消元法。
数学上，高斯消去法或称高斯－约当消去法，由高斯和约当得名（很多人将高斯消去作为完整的高斯－约当消去的前半部分），它是线性代数中的一个算法，用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及决定可逆方矩阵的逆。
当用于一个矩阵时，高斯消去产生“行消去梯形形式”。
目录例如信息学方面的应用下面介绍一下矩阵的初等行变换:对于增广矩阵A求解线性方程组的步骤：历史编辑本段例如一个二元一次方程组，设法对每个等式进行变形，使两个等式中的同一个未知数的系数相等，这两个等式相减，得到一个新的等式，在这个新的等式中，系数相等的未知数就被除去了（系数为0）。
同样的也适合多元多次方程组。
编辑本段信息学方面的应用高斯消元是求解线性方程组的重要方法，在OI中有广泛的应用。
本文就来讨论这个方法。
什么是线性方程组？含m个方程和n个未知量的方程组定义为a(11)x(1)+a(12)x(2)+...+a(1n)x(n)=b(1)a(21)x(1)+a(22)x(2)+...+a(2n)x(n)=b(2)...a(m1)x(1)+a(m2)x(2)+...+a(mn)x(n)=b(m)这个方程组称为m*n线性方程组，其中a(ij)和b(i)为实数，括号中为下标。
这个方程组有多种表示方法。
例如，我们知道m*n矩阵（用大写字母表示）是一个m行n列的数阵，n维向量（用加粗的小写字母表示）是n个数的数组，也就是一个n*1矩阵（列向量。
我们不考虑行向量）。
另外，大家也都知道矩阵乘法。
因此一个m*n线性方程组可以表示为Ax=b，其中A是由系数aij组成的m*n矩阵即系数矩阵，x是n维的未知数向量，b是m维的结果向量。
如果把向量b写到A的右边得到m*(n+1)的矩阵，得到的新矩阵称为这个方程组的增广矩阵。
每一个方程组均对应于一个增广矩阵。
编辑本段下面介绍一下矩阵的初等行变换:1 交换两行2 用非零实数乘以任一行3 把某一行的倍数加到另一行上同理可以定义初等列变换。
线性方程组的解与秩的关系
线性方程组的解与秩的关系
线性方程组的解与秩的关系如下：
如果该行列式为一个n阶行列式，那基础解系的解向量为n减去秩的数量，简单的说解向量的个数为零行数。
对有解方程组求解，并决定解的结构。
这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n 时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。
当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。
但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有，即不一定有解。
将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。
当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。
代入消去法就是先利用其中一个方程，将含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数。
然后代入另一个方程，从而将这组方程转化成解两个一元一次方程式的方法。
在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。
组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。
且方程
中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。
求解线性方程组
求解线性方程组线性方程组是数学中的一类重要方程组，它可用于描述许多实际问题。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程条件的未知数的值。
本文将介绍解线性方程组的基本方法和步骤。
方法一：高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是通过一系列行变换将线性方程组化简为阶梯形或行最简形。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式，其中未知数的系数构成方程组的系数矩阵A，常数构成列向量B。
2. 利用行变换，将增广矩阵化简为阶梯形矩阵。
行变换包括互换两行、某一行乘以非零常数、某一行乘以非零常数后加到另一行上。
3. 根据化简后的阶梯形矩阵，可以直接读出方程组的解。
如果存在零行，即无解；如果存在形如0 = c（c为非零常数）的方程，即无解；其他情况下，解的个数等于未知数的个数减去方程数的个数。
方法二：矩阵求逆法矩阵求逆法也是一种求解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过求解系数矩阵的逆矩阵，进而得到方程组的解。
以下是矩阵求逆法的步骤：1. 将线性方程组表示为矩阵方程的形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数的列向量。
2. 检查系数矩阵A是否可逆。
若可逆，则方程组有唯一解；若不可逆，则方程组可能没有解或有无穷多个解。
3. 若A可逆，计算系数矩阵的逆矩阵A^(-1)。
4. 解方程组的解为X = A^(-1) * B。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况。
方法三：克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的求解线性方程组的方法。
它的基本思想是根据克拉默法则公式，求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 将线性方程组表示为矩阵方程的形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数的列向量。
2. 计算系数矩阵A的行列式值D，即|A|。
3. 对每个未知数，将系数矩阵的列向量替换为方程组常数向量，得到新的矩阵A_i。
4. 计算新的矩阵A_i的行列式值D_i。
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三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换．
初
5
等
变
换 逆
变
换
r i r j (c i c j )
r i r j (c i c j )
1 1 r i (c i ) k k r i ( k ) r j (c i ( k ) c j )
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例２
求非齐次线性方程组的通解．
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1, 3 2 1, x1 x2 x 3 x4 2 x1 3 x 2 x 3 x 4 1, 2 x1 2 x 2 2 x 3 x 4 1, 2. 5 x1 5 x 2 2 x 3
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例３ 当 a 取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解．
32
x 1 x 2 x 3 x 4 0, x 1 2 x 2 x 3 2 x 4 0, x 1 x 2 a x 3 x 4 0, 3 x1 2 x 2 3 x 3 a x 4 0.
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例１
求下列矩阵的秩
24
2 0 0 1 1 6 2 4 10 0 A . 1 11 3 6 16 1 19 7 14 34
解 对 A 施行初等行变换化为阶梯形矩阵
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2 0 0 1 1 6 2 4 10 0 A 1 11 3 6 16 1 19 7 14 34
10 线性方程组的解法
齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解．
19
非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解．
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11 初等矩阵与初等变换的关系
定理 设 A是一个 m n矩阵, 对A施行一次初等行
r i k (c i k )
r i k r j (c i k c j )
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２ 矩阵的等价
如果矩阵A经有限次初等变换变成 矩阵B , 就 称矩阵A与B等价, 记作A ~ B .
6
反身性
对称性
A ~ A;
若A ~ B, 则B ~ A; 若A ~ B, B ~ C , 则A ~ C .
5 4 0 2 5 2 0 2 3 1 1 1 5 3 0 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2 3 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
30
1 0 r 2 r1 0 ~ r 3 2r1 3r 2 0 0 r3 1 0 ( 1 ) r1 6 r3 0 1 ( 1 ) r2 6 0 0 ~ r36 0 0 0 0
第三章复习及习题课
１ 初等变换的定义
换法变换
对调矩阵的两行(列), 记作 r i r j (c i c j );
4
倍法变换
以数k 0乘某一行(列)中的所有元素, 记作 r i k (c i k ); 消法变换 把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)
对应的元素上去, 记作 r i k r j (c i k c j ).
令自由未知量 x 4 k , 可得方程组(1)的通解是
31
x1 1 6 56 x2 1 6 7 6 x k , 16 56 x3 0 1 x4 k取任意常数.
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11
５ 行最简形矩阵
经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为 0． 例如
12
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
0 1 0
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６ 矩阵的标准形
对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0．
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例如
1 0 0 0
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4 1 c3 c4 1 1 0 3 c 4 c 1 c 2 0 0 0 1 3 4 3 3 0 c 5 c 1 c 2 c 3 0 0 0 0 0
16
R( AT ) R( A);
定理 若A ~ B, 则R( A) R( B );
行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．
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若A为n阶可逆矩阵, 则
(1)
17
A的最高阶非零子式为 A ; R( A) n; A的标准形为单位矩阵 E ; A ~ E.
( 2) ( 3) ( 4)
且所有r 1阶子式(如果存在的话)全等于0, 那么 D称为矩阵A的最高阶非零子式 , 数r称为矩阵A 的秩, 记作R( A).并规定零矩阵的秩等于0.
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８ 矩阵秩的性质及定理
如果A中有一个非零的r阶子式, 则R( A) r; 如果A中所有r 1阶子式都为零, 则R( A) r;
变换, 相当于在A左边乘以相应的 m 阶初等矩阵;
20
对A施行一次初等列变换 , 相当于在A的右边乘以 相应的n阶初等矩阵.
定理 设A为可逆矩阵, 则存在有限个初等矩阵 P 1 ,
P 2 , , P l , 使A P 1 P 2 P l . 推论 m n矩阵A ~ B的充分必要条件是 : 存在m
注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形．
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二、求解线性方程组
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解．
27
当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则．
(1)
28
解 对方程组的增广矩阵 B 进行初等行变换，使 其成为行最简单形．
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1 3 B 2 2 5 2 5 r1 r 2 2 ~ r4r2 1 0
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2 3 1 1 3 2 1 1 1 r1 r 3 5 r 2 r3 3 1 1 1 ~ 2 r 4 r 3 2 2 1 1 r5r2 4 0 5 2 0 2 0 2 0 0 1 2 5 2 0 2 r1 1 2r 3 r 2 3 1 1 1 ~ 2 0 1 0 0 r 4 r1 0 0 0 0 0 0
8
当于对矩阵A施行第一种初等行变换 : 把A的第i 行与第j行对调( r i r j ).
类似地, 用n阶初等矩阵 E n ( i , j )右乘矩阵A, 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换 : 把A的 第i列与第j列对调(c i c j ).
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（２）倍法变换：以数 k （非零）乘某行（ 列），得初等矩阵E ( i ( k ))．
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９ 线性方程组有解判别定理
定理 n元齐次线性方程组 Am n x 0有非零解的
充分必要条件是系数矩 阵的秩R( A) n.
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定理 n元非齐次线性方程组 Am n x b有解的充
分必要条件是系数矩阵 A的秩等于增广矩阵 B ( A, b )的秩.
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传递性
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３ 初等矩阵
由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵．
7
三种初等变换对应着三种初等矩阵．
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（１）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵 E ( i , j ) ．
用m阶初等矩阵 E m ( i , j )左乘A (a ij )m n , 相
0 1 0
~
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
任何一个m n矩阵, 总可以经过初等变换(行变 换和列变换 ), 化为标准形 Er O F O O mn 此标准形由m , n, r三个数完全确定, 其中r就是行阶 梯形矩阵中非零行的行 数.
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1 0 ~ 0 0
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2 6
0 2
0 4
9 3 6 21 7 14
10 15 35
1
1 0 ~ 0 0
26
2 0 0 1 3 1 2 5 B , 0 0 0 0 0 0 0 0
因此, R( A) R( B ) 2.
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0 1 0 0 1 1 2 0 0 6 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 6 1 6 0 7 6 1 6 1 5 6 1 6 0 0 0 0 0 0
由此可知 R( A) R( B ) 3 ，而方程组(1)中未知 量的个数是 n 4，故有一个自由未知量.
解法一 系数矩阵 A 的行列式为
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1
1
12019/1/1823（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或 列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩 阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．
第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大，第二种方法则较为简单实用．
阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩阵 Q , 使得PAQ B .