(汇总)二次根式全章复习.ppt
合集下载
第1章 二次根式复习 浙教版数学八年级下册课件(
第一组： 3
1 3
12
第二组： 0.8 8 18
第三组： x 3 y xy
y
x
a • b ab (a 0, b 0)
a a (a 0, b＞0)
bb
反之亦成立。
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式的定义，式子 a中，被开方数 a 必须是非 负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
( )a 2 = a(a ≥0),
a（a≥0）， a2＝|a|＝ －a（a<0）.
例2
计算：
－2× x2. x
2 解：由题意知－x≥0，∴x<0，∴
2 －x×
x2＝
2 －x×
（－x）2＝ ＝ －2x.
2 －x×(－x)＝
2× －x
－x2
×(－x)＝
－2x －x ×(－x)
[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先要判断字母 的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形式，再根据a的取值进 行计算．
不含分母
1. a • b 2. a
b
最简 二次根式
运算
加减，合并
二
混合运算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次
根
式
不含开得尽 的因数因式
a (a ≥0)
性质 ( ) 1. a 2(a ≥0)
2. a2 (任意实数)
ab = a • b
(a ≥0, b ≥0)
a= a bb
(a ≥0, b > 0)
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方 根。其中正的平方根 a （读作根号a）也叫做a的算术 平方根。
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式单元复习 (共44张PPT)
注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理八. 混合运算法则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的.
2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
考点
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
知识点
梳理一. 二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
梳理二．二次根式的性质
第 16章 二 次 根 式单元复习
复习内容
最简二次根式
三个概念 同类二次根式
二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个性质
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
复习重点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
12.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
梳理八. 混合运算法则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的.
2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
考点
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
知识点
梳理一. 二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
梳理二．二次根式的性质
第 16章 二 次 根 式单元复习
复习内容
最简二次根式
三个概念 同类二次根式
二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个性质
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
复习重点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
12.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
浙教版八年级下册 1.3 二次根式的运算 课件(共26张PPT)
拓展提升
如图，一张边长为22cm的等边三角形彩色纸，CD⊥AB，小明在
等边三角形纸片中裁出三条宽度相同的长方形纸条，其中最上面的那
个长方形恰好为正方形,分别求出三张长方形纸条的长度.
解：
？
22
22
22
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b.
（1）若: =
1
，则:
( 3) 2 3
(1 2) 2 1 2
(1 2)
2 1
三. 性质复习
最简二次根式
1.根号内是一个不含平
方因数的整数
例1 计算
1
3
(2)
4
12 24 化成最简二次根式
2.分母中不含根号
8
2
1
2
2
2
解：原式=
6 -12 2
2 2
2
2
2
1
3
3 2
3
AB=_______m.
B
？
A
？
2
C
斜坡的竖直高度和对应的水平距离的比叫做坡比.
例题分析
例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6，AE=
BC=
.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,
A
E
C
F
D
m，
经过的总路
程为多少米（要求先化简，再取近似值，结果精确到0.01m）?
方法总结：
二次根式的运算
直角三角形三边计算
A
C
感悟提升
一个概念
斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比
二次根式课件ppt
计算过程。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
二次根式ppt课件
(1) 2 x 6 ；
解：由 -2x - 6 ≥ 0，得
(2)
1
；
3x 7
解：由 1
0
3x 7
3 x 7 0
7
x > 3.
x ≤ -3
当 x ≤ -3 时， 2 x 6 有意义.
当x >
，得
7
1
3 时， 3 x 7
有意义.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
当a是负数时， a 没有意义.
a ( a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， a
(a ≥0)是一个
非负数，它的平方等于a，即有:
(1) a ≥0 ( a≥0);
(2)(
a
)2 =a(a ≥0).
新知讲解
二次根式的定义：
形如 a (a≥0) 的式子叫做二次根式. “
”称为二次根号.
注意：
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
公式是：v gR ，
其中 g 为重力加速度，R 为地球半径．
本章我们就来学习带有”“的式子.
新知讲解
在第 11 章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个
记号
a .
当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.
a
当a是0时， a 等于0，表示0的平方根，也叫做0的算术平方根.
作业布置
【综合拓展类作业】
3.已知|3x - y - 1|和 2 x y 4 互为相反数，求 x + 4y 的平方根．
解：由题意得
3x - y - 1 = 0
2x + y - 4 = 0．
人教版八年级二次根式知识点总结课件
B
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(4) x2 1
(5) 3 2x 1
(7) x 5 (x 6)0
(6) 2 1 x
最新.课件
3
变式练习： 1、能使二次根式 (x 2有)2意义的实数
x的值有（ B ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
2、已知 y x 7 7 x 9
求 ( xy 64)算2术平方根。
最新.课件
第16章《二次根式》复习
最新.课件
1
一、二次根式的意义
（1）带有二次根号“ ”； （2）被开方数不小于0.
例1、找出下列各根式：3 27 (4)
4 a2 2a 1
2a 1(a 1) 2
a2 2 中的二次根式。
最新.课件
2
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有 意义。
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
（2）合并(同类二次根式)
最新.课件
20
例1、计算
(1)2 12 4 1 3 48 27
(2) a2b ab2 a2 b ab a
最新.课件
21
3、二次根式的混合运算
例1、计算
(1)( 48 50 ) 6
(2)(3 5 4 2) (2 5 3 2)
(3)(2 6 7 2) (7 2 2 6) ()( )
(1)4x2 5
(2)a4 9
(3)3a2 10 (4)a4 6a2 9
例5.已知 a b 6与 a b 8
互为相反数，求a、b的值。
例6、化简 ( x 4)2 (x 2)2
最新.课件
8
三、二次根式的乘除 1、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
2、积的算术平方根的性质
5、最简二次根式的两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因
数或因式；
最新.课件
13
例4、判断下列各式中哪些是最简二次 根式，哪些不是？为什么？
(1) 3a2b (2) 1.5ab (3) x2 y2 (4) a b
最新.课件
14
练习：把下列二次根化为最简二次根式。
4
3、已知x、y是实数，且
y x2 4 4 x2 1 x2
求3x+4y的值。
最新.课件
5
二、二次根式的性质
1.( a )2 a (a 0)
2.
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
例3、计算
(1)( 2 )2 3
(2)(1 6)2 2
(3)(2 3)2 (4)(3 x )2
最新.课件
最新.课件
22
变式应用
1、比较 7 5与 5 3 的大小。
2、已知 x 3 2 , y 3 2 ,
3 2
3 2
求 x2 y xy2 的值。
最新.课件
23
3.已知x 3 2, y 3 2.
求(1) y x ;(2)2x2 6xy 2 y2的值. xy
4.已知a
1 3
,求 2
6
变式应用
1、式子 (a 1)2 a立的1条件是（ ）
D A.a B.a 1
C.a 1 D.a 1
2、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 a ，c 那么 c a (a c 等b)于2
（ ） D A.2a b B.2c b
C.b 2a 最新.课件 D.b 2c 7
例4、在实数范围内分解因式；
有意义，则实数x的取值范围是
.
x≥3
4.(2008年广州市第19题10分)如图，实
数a、b在数轴上的位置，化简:
a2 、二次根式的加减
1、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，
如果被开方数相同，这几个二次根就叫
做同类二次根式
2、二次根式的加减 （1）化简(最简二次根式)
(1) 48
(2) 3 2
(3) 3 3 5
(4) 0.4 (5) 1 2 1
(6) 3 2 5
最新.课件
15
大 作 业：
P19 复习巩固 1, 2, 7 其他作业：白皮1—9页
最新.课件
16
判定以下哪些是代数式？ （）x （）a ; () ()
最新.课件
17
1.(2005年广州市第5题)已知a 2 1,
是 x4 。
2.把根号外面的数移到根号里面：
13 2 2-3 2
3
3 a 1
a
4 x y x 0, y 0
x
最新.课件
11
3、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
4、商的算术平方根的性质
a a (a 0,b 0) bb
最新.课件
12
例3、计算
(1) 40 45
(2)3 m6n5 5 m4n2
a
1 a
2
4
a
1 a
2
4
的值.
最新.课件
24
计算
()( )( )
()( ) ( ) ()( ) ( )
最新.课件
25
大 作 业：
P19 复习巩固 3, 5
其他作业： P19 复习巩固 8,9,10
白皮10—15页
最新.课件
26
b 1，则a与b的关系是（ ）A
2 1
(A).a= b (B).ab=1 (C).a=-b (D).ab=-1
1
2.(2006年广州市第3题)若代数式 在实
x
数范围内有意义,则x的取值范围为( A )
A. x>0 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1
最新.课件
18
3.(2007年广州市第14题)若代数式 x 3
ab a b(a 0,b 0)
最新.课件
9
例1、化简
(1)
2000
(2) 18a3b5 (a 0,b 0)
例2、计算
(1) 21 7
(2)3 5 2 15
(3) 4 15 ( 1 5) 2
(4) 10x 101 xy
最新.课件
10
变式应用
1、 x2 16 x 4 成x立的4 条件