二次根式及其运算复习PPT课件 人教版
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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
人教版八年级数学下册期末复习课件：二次根式 (共24张PPT)
15．(12 分)已知 a、b 为一个等腰三角形的两条边长，并满足 b＝2 a－3＋ 3－a ＋5，求此等腰三角形的周长．
解：∵ a－3与 3－a有意义，∴a－3≥0,3－a≥0，∴a＝3，∴b＝5.当腰为 3 时，底边长为 5，周长为 3＋3＋5＝11；当腰为 5 时，底边长为 3，周长为 5＋5＋3 ＝13.∴此等腰三角形的周长为 11 或 13.
达标集训
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1．下列根式中能与 6合并的是
A． 24
B． 5
C． 12
D． 8
2．式子 aa－＋21有意义，则实数 a 的取值范围是
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1 且 a≠2
D．a＞2
(A ) (C )
3．二次根式 12， 12， 30， x＋2， 40x2， x2＋y2中，最简二次根式有
• 14．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积 分别为20 cm2和25 cm2的两张正方形纸片， 求图中空白部分的面积．
解：∵两张正方形纸片的面积分别为 20 cm2 和 25 cm2，∴它们的边长分别为 20 ＝2 5(cm)， 25＝5 cm，∴AB＝5(cm)，BC＝(2 5＋5)cm，∴空白部分的面积为(2 5 ＋5)×5－20－25＝10 5＋25－20－25＝(－20＋10 5)(cm2)．
解：原式＝12－1－1＋4 3－12＝4 3－2.
(3)( 6－2 15)× 3－6 12； 解：原式＝ 18－2 45－3 2＝3 2－6 5－3 2＝－6 5.
(4)(5 48－6 27＋ 12)÷ 3. 解：原式＝(20 3－18 3＋2 3)÷ 3＝4 3÷ 3＝4.
14．(8 分)已知 x＝ 3＋1，y＝ 3－1，求 x2＋y2＋3xy 的值． 解：∵x＝ 3＋1，y＝ 3－1，∴x＋y＝2 3，xy＝2，∴x2＋y2＋3xy＝(x＋y)2＋ xy＝(2 3)2＋2＝14.
解：∵ a－3与 3－a有意义，∴a－3≥0,3－a≥0，∴a＝3，∴b＝5.当腰为 3 时，底边长为 5，周长为 3＋3＋5＝11；当腰为 5 时，底边长为 3，周长为 5＋5＋3 ＝13.∴此等腰三角形的周长为 11 或 13.
达标集训
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1．下列根式中能与 6合并的是
A． 24
B． 5
C． 12
D． 8
2．式子 aa－＋21有意义，则实数 a 的取值范围是
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1 且 a≠2
D．a＞2
(A ) (C )
3．二次根式 12， 12， 30， x＋2， 40x2， x2＋y2中，最简二次根式有
• 14．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积 分别为20 cm2和25 cm2的两张正方形纸片， 求图中空白部分的面积．
解：∵两张正方形纸片的面积分别为 20 cm2 和 25 cm2，∴它们的边长分别为 20 ＝2 5(cm)， 25＝5 cm，∴AB＝5(cm)，BC＝(2 5＋5)cm，∴空白部分的面积为(2 5 ＋5)×5－20－25＝10 5＋25－20－25＝(－20＋10 5)(cm2)．
解：原式＝12－1－1＋4 3－12＝4 3－2.
(3)( 6－2 15)× 3－6 12； 解：原式＝ 18－2 45－3 2＝3 2－6 5－3 2＝－6 5.
(4)(5 48－6 27＋ 12)÷ 3. 解：原式＝(20 3－18 3＋2 3)÷ 3＝4 3÷ 3＝4.
14．(8 分)已知 x＝ 3＋1，y＝ 3－1，求 x2＋y2＋3xy 的值． 解：∵x＝ 3＋1，y＝ 3－1，∴x＋y＝2 3，xy＝2，∴x2＋y2＋3xy＝(x＋y)2＋ xy＝(2 3)2＋2＝14.
人教版初中数学八年级下册《二次根式复习课》PPT课件
┃ 知识归类
3．二次根式的运算
a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)；
a＝ b
a b (a≥0，
b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ，
再将
被开方数相同 的二次根式进行合并．
分母 开得尽方
课标（RJ）
考易点混攻辨略析: a2 与 a2的区别：(1)表示的意义不同. a2 表示非负实数 a 的
二次根式复习课
知识归类
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式；
注意： a (a≥0)是非负数，即 a≥0.(双重非负性) [易错点] (1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运算 的顺序不同. a2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平 方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术平方根．(3) 取值范围不同．在 a2 中，a 只能取非负实数，即 a≥0；而在 a2中， a 可以取一切实数．
课标（RJ）
考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次根式的概念
课标（RJ）
┃ 知识归类
2．二次根式的性质
( a)2＝ a
(a≥0)
a a>0， ； a2＝a＝ 0 a＝0，
-a a<0.
化简二次根式时注意: ab＝ a· b (a≥0，b≥0)
ab＝
a b
(a≥0，b>0)
课标（RJ）
┃ ►考点考攻点略二 二次根式性质的运用
第十六章 二次根式整理与复习 课件(共21张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
a b
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
人教版八年级数学下册《二次根式的加减》二次根式PPT课件
7.5dm
5dm S=18dm2
S=8dm2
8+ 18
探究新知
【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中 各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算
的依据）.
解：列式如下：
8+ 18
2 2+3 2 （化成最简二次根式） （2+3） 2 （逆用分配律）
5 2.
在有理数 范围内成立的 运算律，在实 数范围内仍然 成立.
课堂检测
5.计算: (1)5 8 - 2 27 18;
解：(1)5 8 - 2 27 18
10 2-6 3 3 2 13 2 - 6 3 ;
(2) 2 18 - 50 1 45 .
3
(2)2 18 - 50 1 45
3
6 2-5 2 5
2 5.
课堂检测
6.如果最简二次根式 3a 8 与 17 2a 可以合并，那么要
其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 a 8 2 2,b 5, c 3 2 ；
(2)能.理由如下： ∵
即a＜c＜b，
又∵
∴a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
课堂检测
拓广探索题
已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b ，求
（2*3）－（27*32）的值．
解：∵a*b=
探究新知 考 点Байду номын сангаас2 有关代数式的二次根式运算
已知 x 3 1, y 3 1, 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把
代入上式得
原式= （ 3+1）+（ 3 1）2
第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数） 的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品教学课件课件
36
6
（2）
=(
7
49
),
4
16
(
);
5
25
6
36
(
);
49
7
a
a
b
b
活动探究
二次根式的除法法则：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
a
a
( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例1 计算：
（2） 3
（1） 24 ；
3
解： (1)
24
2
24
3
3
3
(2)
2
1
．
18
8 2 2
1 ＝ 3 1 ＝ 3 18
＝ 27 ＝3 3
2
18
2
18
活动探究
探究二：二次根式除法法则的逆运用
把
a
b
aห้องสมุดไป่ตู้
( a 0，b＞0) 反过来，就得到
b
a
a
( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例2 化简：
(1)
3
100
解：（1）
75
27
(2)
3
=
100
75
（2） =
27
3
100
=
a
a
( a 0，b＞0)
解：原式=
− × −
= ×
解：原式= − × −
= ×××
=
× ×
=
4、计算： ∙ −
原式= ∙
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用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来,
并加以证明．
1 1 n (n 1) n2 n2
例６．利用规律计算:
1 1 1 ( 2 1 3 2 4 3 1 )( 2008 1) 2008 2007
例. 用水清洗蔬菜上残留的农药.设用x(x≥1) 单位量的水清洗一次之后，蔬菜残留的 农药量与本次清洗前残留的农药量之比 1 为 ，现有a(a≥2)单位量的水，可以 1 x 一次清洗，也可以把水平均分成两份后 清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜 上残留的农药量比较少？请说明理由．
如: 如:
② 如果被开方数是代数和的形式,那么先分解 因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面;
16a 4 a
16a 16 16(a 1) 4 a 1 ③ 将根号外面的正因式经过平方后移到 根号里面去; 1 1 2 2 1 如: a a a a a a a
中考焦点题型
焦点一. 对二次根式意义的理解
例1. x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义
(1) 3 x x 2 (2)
2x 1 x
2
(3) x 1
2
x 1 (4) 2 x
例2.下列根式中,不是最简二次根式是( )
A. 2x
4
2
B. b 1
4
பைடு நூலகம்
2
C. a b
D. x y
专题五 二次根式及其运算
杜桥实验中学初三数学备课组
考点一 ⑴ 形如
二次根式
1.二次根式的意义
a (a≥0)的代数式叫二次根式.
⑵ 二次根式
a≥0, 当a＜0时,
a
有意义,a的取值范围是
在实数范围内没有意义 . a
2.最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式,叫做 最简二次根式. ⑴ 被开方数的因数是整数,因式是整式. ⑵ 被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后, 如果被开方数相同,这几个二次根式就 叫做同类二次根式.
1 例 3.把 ( a 1) 中 根 号外 的 ( a 1) a 1 移 入 根号 内 得 （ ）
A. a 1
C. a 1
B. 1 a
D. 1 a
焦点四.
二次根式的化简求值
例4. (1) 设a,b是实数,且满足 2 2 a +b -6a-2b+10=0, a b 求 的值。 a b
6
6
焦点二.理解二次根式的运算
(1)( 18 24 12) 6
1 1 ( 2) ( 32 2 1 ) ( 0.5 75) 3 27
1 x 1 (3) 4x 6 3x 2 4 x
(4)(3 10)
2007
(3 10)
2007
焦点三.
( a)
2
与
a 异同
2
1 1 (2 3 ) 如： 2 3 2 3 (2 3 )(2 3 )
3.二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式,再合并 同类二次根式
2.有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的 积不含二次根式,则称这两个代数式互为 有理化因式.把分母中的根号化去,叫做分母 有理化.
4.二次根式的乘除法 二次根式的相乘(除),把被开方数相乘(除), 所得的积(商)仍作积(商)的被开方数,并将 运算结果化为最简二次根式.
5.有理数的加法交换律,结合律,乘法分配律, 结合律,乘法对加法的分配律,以及多项式 的乘法公式,都适用于二次根式的运算
注意：最后结果必须化为整式 或者是最简二次根式
考点二 1.
2.
二次根式的主要性质
2
( a) a
︱a︱ = a
2
(a≥0)
a (a＞0)
0 -a
(a =0) (a＜0)
3. 4.
ab a b (a≥0, b≥0)
b a b a
(b≥0, a＞0)
考点三 二次根式的运算 1.因式的外移和内移
① 如果被开方中有的因式能够开得尽方,那么, 就可以用它的算术根代替而移到根号外面;
祝同学们学习愉快
再见
• 有关的数学名言 • ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明
( 2) 如 果 a b c 1 1 4 a 2 2 b 1 4, 那 么 a 2b 3c 的 值 是 多 少 ？
焦点五．利用二次根式成立的条件解决 有关代数式问题
1 1 1 1 例5. 观察下列各式： 1 2 , 2 3 , 3 3 4 4 1 1 3 4 请你将猜想到的规律 5 5