分支算法循环赛日程表课程设计

摘要

分治算法在实际中有广泛的应用，例如，对于n个元素的排序问题，当n = 1 时，不需任何计算；当n = 2 时，只要做一次比较即可排好序；当n = 3时只要做两次比较即可……而当n 较大时，问题就不容易那么处理了。要想直接解决一个较大的问题，有时是相当困难的。分治算法的基本思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。如果原问题可分割成k 个子问题，1 < k < n+1，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治算法就是可行的。由分治算法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易求出其解。由此自然引出递归算法。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

本次课程设计正是采用分治算法来解决循环赛日程表的安排问题。根据算法的设计结果，采用 c 语言实现算法，通过测试分析，程序运行结果正确，运行效率较高。

关键词：分治算法

目录

摘要.................................................. I 1问题描述 (1)

2问题分析 (2)

3算法设计 (3)

4算法实现 (8)

5测试分析 (12)

结论 (13)

参考文献 (14)

1问题描述

设有n 位选手参加网球循环赛，n=2k，循环赛共进行n-1 天，每位选手要与其他n-1 位选手比赛一场，且每位选手每天比赛一场，不能轮空，按以下要求为比赛安排日程，

1)每位选手必须与其他n-1 格选手格赛一场；

2)每个选手每天只能赛一场；

3)循环赛一共进行n-1 天；

请按此要求将比赛日程表设计成有n 行和n-1 列的一个表。在表中的第i 行和第j 列处填入第i 个选手在第j 天所遇到的选手，其中1≤i ≤n,1≤j ≤n-1 。

2问题分析

运用分治法，将原问题划分为较小问题，然后由较小问题的解得出原问题的解。

1.分治法:对于一个规模为n 的问题，若该问题可以容易的解决（比如说规模n 较小），则直接解决，否则将其分解为k 个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题形式相同，递归的解决这些子问题，然后将个子问题的解合并，得到原问题的解。

2.分治法的解题步骤（由三个步骤组成）

划分（divide ）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题。

解决（conquer）：若子问题规模较小，则直接求解；否则递归求解各子问题。

合并（conbine）：将各子问题的解合并为原问题的解

假设n 位选手顺序编号为1，2，3……n，比赛的日程表是一个n 行n-1 列的表格。i 行j 列的表格内容是第i 号选手在第j 天的比赛对手。根据分而治之的原则，可从其中以半选手的比赛日程，导出全体n 位选手的的日程，最终细分到只有两位选手的比赛日程出发。

3算法设计

1.设计步骤：

1)先设计主函数(main 函数)，然后设计两个函数，分别是安排赛事进行填制表格的函数(void Table(int n, int a[100][100])函数)和输出到屏幕函数(void Out(int n,int a[100][100])) 。

2)在主函数(main())里调用void Table()函数，对比赛日程进行安排，根据分而治之原则，绘制比赛日程表格，然后调voidOut() 函数，将安排好的比赛日程输出到屏幕上。

2.关键数据结构

1) 运用一个二维数组a[i][j]，对安排好的赛事日程进行排列和保存，并在屏幕上输出。

2) 使用二维数组的原因：因为根据题目要求，比赛日程表是一个n 行n-1 列的表格，用a[i][j]代表第i 号选手在第j 天遇到的对手，所以用一个二维数组表示。

3.程序结构

程序主要由三个函数组成：

1) main()函数(主函数)；

2) void Table()函数(本程序的核心函数)；

3)Out()函数(输出函数) 三个函数的程序结构如下所示：

1) main()函数

图3-1

2) void Table ()函数

图3-2 3） Out（）函数

图3-3

课程设计说明书（论文）用纸

4算法实现

关键程序功能及程序的说明如下：

1. main（）函数

（1）函数功能：在屏幕上输入k 值，计算参赛人数n，然后调用void Table（）函数和Out（）函数。

（2）函数实现：

①先定义一个k，然后在键盘上输入一个k 值，并赋值给k （假设输入3）；

②运用for 循环，计算参赛人数n 的值

for （int i=1;i<=k;i++）

n *= 2;

可得n=8，即有八个人参赛。

③然后调用void Table（）函数和Out（）函数，并传值。

2.void Table（）函数

（1）函数功能：对所有运动员的赛程进行安排，并将其存入数组内。

（2）函数实现：由main（）函数得到k 值为3，n 值为8

①用一个for 循环输出日程表的第一行

for（int i=1;i<=n;i++）

课程设计说明书（论文）用纸a[1][i] = i；

② 然后定义一个 m 值，m 初始化为 1，m 用来控制每一次填充 表格时 i (i

表示行)和 j (j 表示列)的起始填充位置。

③ 用一个 for 循环将问题分成几部分，对于 k=3，n=8，将问题

分成 3 大部分，第一部分为，根据已经填充的第一行，填写第二行， 第二部分为，根据已经填充好的第一部分，填写第三四行，第三部 分为，根据已经填充好的前四行，填写最后四行。

for (int s=1;s<=k;s++) n/=2;

④ 用一个 for 循环对③中提到的每一部分进行划分

for(int t=1;t<=n;t++)

对于第一部分，将其划分为四个小的单元，即对第二行进行如 下划分：

同理，对第二部分(即三四行)，划分为两部分，第三部分同理

⑤ 最后，根据以上 for 循环对整体的划分和分治法的思想，进行 每一个单元格的填充。填充原则是：对角线填充

for(int i=m+1;i<=2*m;i++) //i 控制行

for(int j=m+1;j<=2*m;j++) //j 控制列

{ a[i][j+(t-1)*m*2] = a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];/*右下角的值等