高考数学 25个必考点 专题08 解三角形优质课件
高中数学解三角形PPT课件
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7.关于三角形面积问题
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用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方 向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测 角仪的高度是b，求气球的高度.
6
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考点2: 三角形中的三角变换
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考点3 与三角形的面积相关的题
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题型2:已知面积求线段长或角
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2020/1/15
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C
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解三角形应用举例
1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理 求a、b
2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定 理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理 求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要 注意解可能有多种情况．
4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π， 求角C．
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5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南， 北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
第四章 解三角形
正弦定理和余弦定理 内角和定理：
1
面积公式: 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
2024版年度解三角形PPT精品课件
解三角形PPT精品课件•三角形基本概念与性质•解三角形方法概述•正弦定理及其应用目录•余弦定理及其应用•三角形面积计算公式及推广•解三角形综合问题探讨01三角形基本概念与性质三角形定义及分类三角形的定义三角形的分类三角形元素关系三角形三边关系三角形三角关系三角形重要性质三角形的稳定性三角形具有稳定性，常用于建筑、桥梁等结构中。
三角形的面积公式面积= 1/2 * 底* 高，其中底和高是相对的，可以选择三角形任意一边作为底。
三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
相似与全等三角形相似三角形的定义全等三角形的定义相似与全等的应用02解三角形方法概述010204使用测量工具（如卷尺、量角器等）直接测量三角形的边长和角度。
适用于实际生活中对三角形进行粗略测量。
优点：简单易行，快速方便。
缺点：精度较低，受测量工具限制。
0301020304图形变换法利用相似三角形或全等三角形的性质，通过图形变换求适用于解决复杂三角形问题。
代数运算法03正弦定理及其应用正弦定理公式$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C} = 2R$，其中$a, b, c$为三角形三边，$A, B, C$为三角形三内角，$R$为三角形外接圆半径。
定理含义正弦定理揭示了三角形三边与其对应角的正弦值之间的比例关系，是解三角形的重要工具。
利用三角形外接圆性质证明利用三角形面积公式证明实际应用场景举例求解三角形边长或角度01判断三角形形状02解决与三角形相关的实际问题03注意事项与误区提示注意正弦定理的适用条件避免计算错误误区提示04余弦定理及其应用余弦定理公式文字表述在任何一个三角形中，任一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
向量法证明几何法证明坐标法证明030201实际应用场景举例求解三角形边长或角度01判断三角形形状02解决实际问题03适用条件误区二误区三误区一注意事项与误区提示05三角形面积计算公式及推广三角形面积计算公式最常用公式推导来源适用范围海伦公式及其推导过程推导过程海伦公式通过三角形边长与面积的关系，利用代数方法推导出海伦公式。
2024高中数学解三角形ppt课件
目录•三角形基本概念与性质•正弦定理及其应用•余弦定理及其应用•三角形面积公式及其应用•解三角形综合应用举例三角形基本概念与性质三角形的分类按边可分为不等边三角形、等腰三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
三角形的定义与分类三角形内角和定理01三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。
02证明方法通过平行线的性质或者撕拼法等方法进行证明。
三角形外角性质三角形外角的定义三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形外角的性质三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形边与角关系01正弦定理在任意三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
02余弦定理在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
03三角形的面积公式S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹角。
正弦定理及其应用正弦定理的推导与证明推导过程通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
证明方法利用三角形的面积公式和正弦函数的性质，证明正弦定理的正确性。
利用正弦定理求解三角形已知两边及夹角求第三边通过正弦定理计算出已知两边夹角对应的第三边的长度。
已知两角及夹边求其他元素利用正弦定理和三角形内角和定理，求出三角形的其他元素。
解决三角形中的角度问题通过正弦定理计算出三角形中的未知角度。
解决三角形中的边长问题利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
解决力学问题在力学中，正弦定理可用于解决涉及三角形的问题，如力的合成与分解等。
解决光学问题在光学中，正弦定理可用于解决涉及光的反射和折射等问题。
余弦定理及其应用余弦定理的推导与证明向量法推导余弦定理通过向量的数量积和模长关系，推导余弦定理的表达式。
几何法证明余弦定理利用三角形的面积公式和正弦定理，结合相似三角形的性质，证明余弦定理。
解三角形PPT演示课件
04 三角形在实际问 题中的应用
测量问题中的三角形解法
角度测量
通过测量三角形的两个角，利用 三角形内角和为180度的性质，可
以求出第三个角的大小。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况 下，可以通过构造三角形，利用已 知边长和角度，通过三角函数求解 未知距离。
高程测量
在测量地形高度时，可以通过构造 三角形并测量相关角度和距离，利 用三角函数求解未知高程。
物理学中的三角形解法
01 02
力的合成与分解
在物理学中，力是矢量，可以通过构造三角形来表示力的合成与分解。 例如，已知两个分力的大小和方向，可以构造三角形求解合力的大小和 方向。
运动学问题
在解决匀变速直线运动等问题时，可以通过构造速度、加速度和时间等 物理量的三角形关系，利用三角函数求解未知量。
03
解等腰三角形的方法
通过已知的两边和夹角，利用余弦定 理或正弦定理求解第三边和其余两个 角。
等边三角形的解法
等边三角形的定义和性质
01
三边长度都相等的三角形，三个内角均为60度。
解等边三角形的方法
02
通过已知的一边长度，利用三角函数或特殊角度的三角函数值
求解其余两边和三个角。
典型例题解析
03
展示一道等边三角形的求解问题，并详细解析解题步骤和思路
几何图形中的三角形解法
01
02
03
三角形面积计算
通过已知三角形的底和高 ，或者通过海伦公式等方 法，可以计算三角形的面 积。
三角形边长求解
在已知三角形部分边长和 角度的情况下，可以利用 正弦定理、余弦定理等方 法求解未知边长。
三角形形状判断
通过已知三角形的边长或 角度，可以判断三角形的 形状，如等边、等腰、直 角等。
解三角形ppt课件
解三角形中的最值问题
01
总结词
02
详细描述
03
示例
利用三角形性质和函数性 质，解决三角形中的最值 问题。
在解三角形问题中，常常 会遇到需要求最值的问题 。这类问题通常涉及到三 角形的边长、角度等性质 ，需要利用三角形的基本 性质和函数的基本性质进 行推理和求解。
在三角形ABC中，已知a 、b、c分别为角A、B、C 所对的边，且a = 2, b = 3, C = 60度。求三角形 ABC的面积的最大值。
航海定位问题
经验积累
解决航海定位问题需要丰富的经验积累，因 为在实际航行中会遇到各种复杂的情况。只 有通过不断实践和经验积累，才能熟练掌握 解三角形的方法，提高定位精度和航行安全
性。
建筑结构设计问题
结构设计基础
建筑结构设计问题是建筑学中的基础问题之一，涉及 到建筑物的稳定性和安全性。解三角形的方法可以用 来确定建筑物的结构形式和受力情况，保证建筑物的 质量和安全性。
测量距离问题
实践性强
解决测量距离问题需要很强的实践能力，需要具备一定的测 量和计算能力。同时，还需要对实际环境有足够的了解，能 够根据实际情况选择合适的解三角形方法。
航海定位问题
重要应用
航海定位问题在航海学中非常重要，因为准确的定位是保 证航行安全的前提。解三角形的方法可以用来确定船只的 位置和航向，保证航行路线的准确性。
解三角形ppt课件
contents
目录
• 引言 • 三角形的基本性质 • 解三角形的方法 • 实际应用案例 • 解三角形的进阶技巧 • 总结与展望
01
引言
三角形的定义与性质
三角形是由三条边和三个角构成的二 维图形。
三角形的边和角之间存在一定的关系 ，如两边之和大于第三边、内角和为 180度等。
《高中数学课件-解三角形》
如何利用三角函数求解三角形边长？
1
余弦定理
2
可以用已知角度的余弦值、已知角度、
另一条边，计算第三边。
3
正弦定理
可以用已知角度的正弦值、已知角度、 另一条边，计算第三边。
正切定理
可以用已知角度的正切值、已知角度、 另一条边，计算第三边。
如何应用海伦公式求解三角形面积？
公式
海伦公式：$\sqrt{s(s-a)(sb)(s-c)}$
如何解三角形在平面几何中的 应用？
可以用来计算各种图形的面积、周长、角度大小等，是很多数学问题的基础 和工具。
如何应用三角函数求解解决实 际问题？
可以用来求解各种实际问题，如测量高度、距离、角度大小、速度等。
含义
s是半周长，a、b、c是三 角形的三条边长。
优点不需要知道高或者角度，来自适用面较广。如何应用正弦定理、余弦定理判定三角 形形状？
正弦定理
三角形是锐角；两个边长和对应角度的正弦值 成正比。
余弦定理
三角形是直角、钝角；其中直角三角形满足勾 股定理；余角大小决定了所求角度，等于对应 锐角角度的补角。
如何利用三角函数公式求解各种角度和 边长？
1
正弦函数公式
${\sin x} = \frac{\text{对边}}{\text{斜
余弦函数公式
2
边}}$
${\cos x} = \frac{\text{邻边}}{\text{斜
边}}$
3
正切函数公式
${\tan x} = \frac{\text{对边}}{\text{邻 边}}$
如何求解等腰三角形的各个角 度和边长？
可以直接应用角度和及等腰三角形的性质求解。
如何求解等边三角形的各个角度和边长？
解三角形高考题PPT课件
1．正弦定理和余弦定理
定 正弦定理
理
余弦定理
内 容
_s_i_na_A__＝__si_n_b__B_＝ ___si_nc_C_ ＝2R(R 为△ABC 外接 圆半径)
a2＝___b_2＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s_A_______； b2＝___c_2＋__a_2_－__2_c_a_c_o_s_B________； c2＝___a_2＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C________
答
(2)已知△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)
＝0，a＝ 3，bc＝2，求△ABC 的周长．
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规 范
[解] (1)由题知 f(x)＝－sin2x－ 3sin xcos x＋32
解 答
＝cos2x－ 3sin xcos x＋12＝cos2x＋π3＋1，
cos cos cos
b2＋c2－a2 A＝_____2_b_c___；
c2＋a2－b2 B＝_____2_c_a___；
a2＋b2－c2
C＝____2_a_b____
sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A
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教材回顾 夯实基础
2.三角形中常用的面积公式 (1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)； (2)S＝12bcsin A＝___12_a_c_si_n__B__________＝12absin C； (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
4
3
A. 3 10 10
B. 10 C. 10 D. 3 10
10
10
解三角形_课件PPT
在△ABC 中，有 A＋B＋C＝π，即：sinA＝sin(B ＋C)， ∴2sinAcosB＋sinA＝0. ∵sinA≠0，∴cosB＝－12⇒B＝23π. (2)由余弦定理有： b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
19＝52－2ac(1－12)⇒ac＝6.
由aac＋＝c6＝5 ⇒ac＝＝32 或ac＝＝23.，
理 A＋B＋C＝π.利用公式 cosA＝b2＋2cb2c－a2， cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosC＝a2＋2ba2b－c2，可将有 关三角形中的角的关系化为边的关系，然后充
分利用代数知识来解决问题．
例2 在三角形 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、 B、C 对边的长，且满足ccoossBC＝－2ab＋c. (1)求角 B 的值； (2)若 b＝ 19，a＋c＝5，求 a、c 的值．
例1 在△ABC 中，若bcccoossBC＝11＋＋ccooss22BC，试判 断三角形的形状． 【解】 由已知11＋ ＋ccooss22CB＝22ccooss22BC＝bcccoossBC，
∴ccoossCB＝bc.
以下可有两种解法．
法一：(利用正弦定理边化角)： 由正弦定理得bc＝ssiinnBC.∴ccoossCB＝ssiinnBC， 即 sinCcosC＝sinBcosB，即 sin2C＝sin2B， ∵B，C 均为△ABC 的内角， ∴2C＝2B，或 2C＋2B＝180°， ∴B＝C，或 B＋C＝90°， 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
同理，cos∠PAC＝723－x x， 由于 cos∠PAB＝cos∠PAC， 即3x＋5x32＝723－x x，解得 x＝1372(km)． (2)作 PD⊥a，垂足为 D.在 Rt△PDA 中， PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋ 5x32＝3×13752＋32≈17.71 (km)．
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例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值；
(2)若b＝5，求△ABC周面长积的的取最值范大围值．
法二
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例5 sin(B+A)
突破口 解析(1)
找准“角”之间的关系. sin(2C+C)=sin2CcosC+cos2CsinC
A
74 6
B
M
C
5
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围．
解析 解题关键 联想正弦定理进行转化．
∴ acosC＋ccosA＝2bscions(BA,+C) 由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，
相 a∶b∶c=_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C____ 关
变
形 S=
cosA= cosB= cosC=
2
解析
又A是锐角，.
(2) ∵ a2＝b2＋c2－2bccosA， 得b2＋c2－bc＝36. 又b＋c＝8，
3
解析 a>b
据余弦定理
C
42
B
5
A
(舍去).
4
解析
B
当cosA=0时，A=900 ，
C
b
2
A
B
12
变式
突破口 直接求解AC、BC比较困难，可先 由面积公式寻找AC、BC的关系.
解析 依题意，利用三角形面积相等有：
它们之间 还有什么 关系呢 ？
由余弦定理可知:
∴(AC＋BC)2 ＝AC2＋BC2＋2AC•BC
13
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即sin(A＋C)＝sinB＝2sinBcosB.
又0<B<π，
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例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围． 法二 ∴ acosC＋ccosA＝2bcosB,
又0<B<π，
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例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围．
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例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值；
(2)若b＝5，求△ABC周面长积的的取最值范大围值．
解析(2) 化简得：2sinBcosA=4sinAcosA. ∴cosA=0 或sinB=2sinA.
当cosA=0时，A=900 ，
C
b
2
A
B
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例5
突破口 找准“角”之间的关系. 当sinB=2sinA时， 即：b=2a.
解析(2) 化简得：2sinBcosA=4sinAcosA. ∴cosA=0 或sinB=2sinA.
高考数学25个必考点— 三角 —专题复习策略指导
解三角形
abc sin A sin B sin C
1
定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正弦定理
内容
a b c 2R sin A sin B sin C
(其中R是△ABC的外接圆半径)
余弦定理 a2=__b_2_+_c2_-_2_b_c_c_o_s_A___; b2=__a_2_+_c_2-_2_a_c_c_o_s_B___; c2=__a_2+_b_2_-_2_a_b_c_o_s_C___.