高中数学解三角形练习及详细答案
高中数学解三角形(有答案)
高中数学解三角形(有答案) Solving Triangles1.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and a=3.c=8.and B=60°。
What is the perimeter of triangle ABC?A。
18 B。
19 C。
16 D。
172.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and a=3.c=8.and B=60°。
What is the perimeter of triangle ABC?A。
17 B。
19 C。
16 D。
183.(2014 Yunnan Mock Exam) In triangle ABC。
if b^2-a^2-c^2=ac。
what is the measure of angle B?A。
30° B。
60° C。
120° D。
150°4.(2013 Shaanxi) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and bc cos C + c cos B = a sin A。
What is the shape of triangle ABC?A。
XXX5.(2013 Hunan) In acute triangle ABC。
the XXX angles A and B are a and b。
respectively。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
高三数学解三角形试题答案及解析
高三数学解三角形试题答案及解析1.在中，角所对的边为，已知，．（1）求的值；（2）若的面积为，求的值．【答案】（1）;（2）或．【解析】（1）利用正弦定理对已知条件化简可求sinB，利用三角形的大边对大角可求B；（2）利用余弦定理可求a，b之间的关系，进而结合三角形的面积可ac，再把a，b的关系代入可求a，b的值．试题解析：（1），，或，，所以 4分（2）由解得或①又②③由①②③或 9分【考点】1.正弦定理;2.余弦定理.2.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ角的值．【答案】（1）S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π（2）S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝＝×1×1×sinθ＝sinθ，【解析】解：(1)S△ABD＝BD2．因为△BDC是正三角形，则S△BDC由△ABD及余弦定理，可知BD2＝12＋12－2×1×1×cosθ＝2－2cosθ，于是四边形ABCD的面积S＝sinθ＋ (2－2cosθ)，即S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π．(2)由(1)，知S＝＋sin(θ－)，由0<θ<π，得－<θ－<，故当θ－＝时，S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝．3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，则△ABC的形状为________．【答案】等腰或直角三角形【解析】由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A．2sinBcosA＝2sinAcosA．∴cosA＝0或sinA＝sinB．∵0<A、B<π，∴A＝或A＝B．∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．4.（4分）（2011•福建）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于．【答案】2【解析】根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让其等于列出关于AC的方程，求出方程的解即可得到AC的值，然后根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，得到△ABC，即可得到三角形的三边相等，即可得到边AB的长度．解：根据三角形的面积公式得：S=BC•ACsinC=×2ACsin60°=AC=，解得AC=2，又BC=2，且C=60°，所以△ABC为等边三角形，则边AB的长度等于2．故答案为：2点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式化简求值，掌握等边三角形的判别方法，是一道基础题．5.如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．【答案】参考解析【解析】假设角AMN的值为θ，由三角形AMN中角NAM为.由正弦定理可得到AM的表达式，在三角形AMP中利用余弦定理表示出AP的值，由角θ的取值范围，再根据三角函数的单调性知识即可得到结论.本小题用了五种解法分别从三角，坐标系，圆等方面入手.解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．因为MN＝2,所以AM＝sin(120°－θ）． 2分在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ). 4分AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°θ）cos(60°＋θ） 6分＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值2.答：设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sinθ,MD ＝2cosθ. 2分 在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴＝,AM ＝sinθ,∴AD ＝sinθ＋2cosθ,(θ≥时,结论也正确). 4分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2＝sin 2θ＋sinθcosθ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分 ＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋＝＋sin(2θ－),θ∈(0,). 10分当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2．此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分 解法三：设AM ＝x,AN ＝y,∠AMN ＝α. 在△AMN 中,因为MN ＝2,∠MAN ＝60°,所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM·AN·cos ∠MAN,即x 2＋y 2－2xycos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4. 2分 因为＝,即＝, 所以sinα＝y,cosα＝＝＝. 4分 cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y ＝. 6分在△AMP 中,AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM·PM·cos ∠AMP, 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x×＝x 2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy. 10分因为x 2＋y 2－xy ＝4,4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy,即xy≤4. 所以AP 2≤12,即AP≤2.当且仅当x ＝y ＝2时,AP 取得最大值2.答：设计AM ＝AN ＝2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分 解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系. 设M(x 1,0),N(x 2, x 2),P(x 0,y 0).∵MN ＝2, ∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4. 2分 MN 的中点K(,x 2)．∵△MNP 为正三角形,且MN ＝2,∴PK ＝,PK ⊥MN,∴PK 2＝(x 0－)2＋(y 0－x 2)2＝3, k MN ·k PK ＝－1,即·＝－1, 4分∴y0－x2＝ (x－),∴(y－x2)2＝ (x－)2∴(1＋)(x0－)2＝3,即 (x－)2＝3,∴(x－)2＝x22．∵x0－＞0 ∴x－＝x2,∴x0＝x1＋2x2,∴y＝x1． 6分∴AP2＝x02＋y2＝(2x2＋x1)2＋x12＝x12＋4x22＋2x1x2＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12, 10分即AP≤2.答：设计AM＝AN＝2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法五(几何法)：由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动.由于∠MAN＝60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上, 4分设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R. 6分在△AMN中,由正弦定理知：＝2R,∴R＝, 8分∴FM＝FN＝R＝,又PM＝PN,∴PF是线段MN的垂直平分线.设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．即FE＝，又PE＝. 10∴PF＝,∴AP的最大值为PF＋R＝2.答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分【考点】1.解三角形的知识.2.正余弦定理.3.坐标法解题思想等.6.（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（1）求△ABC的周长；（2）求cos（A﹣C）的值．【答案】（1）5 （2）【解析】（1）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（2）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．7.如图，在中，是边的中点，且，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，确定其三边长，直接利用余弦定理求的值；（2）在中，确定、和的值利用余弦定理求的值，然后求出的值，最后利用正弦定理求出的值.试题解析：（1）在中，，，；（2）由（1）知，，且，.是边的中点，.在中，，解得.由正弦定理得，，.【考点】1.余弦定理；2.正弦定理；3.同角三角函数的基本关系8.如图，已知中，，，，则_____________.【答案】【解析】因为又所以【考点】三角形面积公式两种表示形式9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】由asiBcosC+csinBcosA=b得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,因为sinB≠0,所以sinAcosC+cosAsinC=,即sin(A+C)=,sinB=,又a>b,则∠B=,故选A.10.在△ABC中,若b=2asinB,则A等于()A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【答案】D【解析】由已知得sinB=2sinAsinB,又∵A,B为△ABC的内角,故sinB≠0,故sinA=,∴A=30°或150°.11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝.(1)求cos(A＋C)的值；(2)求sin的值；(3)若·＝20，求△ABC的面积．【答案】（1）－（2）（3）【解析】(1)在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∵cos B＝，∴cos(A＋C)＝cos(π－B)＝－cos B＝－.(2)在△ABC中，∵cos B＝，∴sin B＝＝，∴sin(B＋)＝sin Bcos＋cos Bsin＝×＋×＝.(3)∵·＝20，即||·||cos B＝20，∴c·a·＝20，即ac＝25.∴△ABC的面积S＝acsin B＝×25×＝△ABC12.在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2ab sin C，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．正三角形【答案】D【解析】a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2ab cos C＝2ab sin C，即a2＋b2＝2ab sin，由于2ab≤a2＋b2＝2ab sin，故只能a＝b且C＋＝，故三角形为正三角形．也可用特殊值的方法断定正三角形合适，排除其他情况13.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ ac sin B＝ ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos .又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.14.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．【答案】15【解析】由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.由一个内角为120°知其必是最长边x＋4所对的角．由余弦定理，得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos 120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10.∴S＝×(10－4)×10×sin 120°＝15.△ABC15.在中，内角的对边分别为，且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，求的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用以及运用三角形公式进行三角变换的能力，考查基本运算能力.第一问，先用正弦定理将边换成角，再利用将角换成，展开后解方程求角；第二问，利用第一问的结论，利用余弦定理得到和的关系式，分情况讨论利用正弦定理求.试题解析：(Ⅰ) 由题意及正弦定理得，即．因为，所以，从而得． 6分(Ⅱ)由及余弦定理得，即，所以．当时，又，故，所以．当时，同理得．综上所述，或． 14分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.两角和与差的正弦公式.16.在△中,角,,对应的边分别是,,.已知.(1)求角的大小；(2)若△的面积,,求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查解三角形中正弦定理和余弦定理的运用，以及运用诱导公式进行三角变换的能力和三角形面积公式的应用.第一问，先将，再用诱导公式写成，解方程求出，在内求出角；第二问，利用三角形面积公式求出，将代入，求出边的长，利用余弦定理求出边，最后利用正弦定理转化和求解.试题解析：（1）由，得，即，解得或（舍去）.因为，所以. 6分（2）由，得.又，知.由余弦定理得，故.又由正弦定理得. 12分【考点】1.诱导公式；2.特殊角的三角函数值；3.余弦定理；4.正弦定理；5.三角形面积公式.17.在中，角、、所对的边分别为，．（1）求角的大小；（2）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）解三角形问题先考虑运用正弦、余弦定理，此题先利用正弦定理可得，注意角A的余弦值为负值，即角A为钝角，在三角形ABC中，角B只能为锐角，所以；（2）再利用正弦定理易得，从而利用二倍角公式化简函数为一个角的三角函数式，易得函数的周期，然后根据三角函数的性质求单调递增区间（此处注意一定要写成区间，并标明其中）．试题解析：（1）， 2分由，得,又A为钝角，故B为锐角，．（没指出B范围扣1分） 5分（2）， 7分， 9分所以，所求函数的最小正周期为，由，得，所以所求函数的单调递增区间为．（没写区间及指出K为整数扣1分） 12分【考点】1、正弦定理；2、二倍角公式；3、三角函数的单调区间．18.在中,角的对边分别为,且满足（1）求证：；（2）若的面积,,的值.【答案】（1）详见解析，（2）【解析】（1）转化三角形问题中的边角关系式，首先要选择定理.由正弦定理，将等式中的边化为对应角的正弦，由内角和定理，得，再利用诱导公式、两角和差的正弦公式得，在三角形中即证；（2）解三角形问题应灵活应用边角的计算公式.在（1）的条件下，；由三角形的面积公式及余弦定理可求.试题解析：（1）由，根据正弦定理，得： 2分又在△ABC中，，则，所以即 4分所以，即又为三角形内角，所以。
高中数学经典题型--解三角形(含详细答案)
高中数学经典题型解三角形【编著】黄勇权【第1题】在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ， 且sinC bsinBasinA = 3a32 sinB + c求：角C 的大小【第1题】答案：已知：sinCbsinB asinA += 3a 32 sinB + c等号左边：因为分子、分母每一项含有sin ，故用正弦定理，将sin 替换成边即：cb *b a *a += 3a 32 sinB +c 特别提示： 等号右边的sinB 不能换成边b ， 这是因为sinB=R 2b ,这样就会多出R 21，等号两边同时乘以ca 2+b 2 = 3ac 32 sinB +c 2将c 2移到等号左边，a 2+b 2- c 2 = 3ac 32 sinB由于等号左边是a 2+b 2-c 2，只能构建cosC ，故等号两边同时除以2ab ，这一步非常重要。
2a b c b a 222-+ = b 3c 3 sinBc osC = b 3c 3 sinB等号右边，左边分子含c ，分母含b ，故用正弦定理把c 、b 换成sinC ，sinB 这一步非常重要，很多同学想不到，因此就解不出来。
c osC = B sin 3sinC 3 sinBc osC =33 sinCtanC= 3 即C=60°经典技巧：对于正弦定理，很多同学都不知道什么时候能用，什么时候不能用，其实，在运用正弦定理将sin与对应边换时，一定要遵循能够消除2R为原则。
例如1：acosB+bcosA=2c 【能用】由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=2*2RsinC因为每一项都有2R，故能消除2R,化简：sinA*cosB+sinB*cosA=2sinC所以能用正弦定理。
例如2：bcosA+sinB=3c 【不能用】由正弦定理：b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，得：2RsinB*cosA+sinB=2RsinC*3因为第二项不含2R，无法消除2R, 所以不能用正弦定理例如3：sin2A+sin2B=2sinBsinC 【能用】a b c（R 2a ）2 + （R 2b ）2 = 2 *R 2b *R 2c因为每一项都有（R 21）2，故能消除2R ，化简得：a 2 +b 2=2bc 所以能用正弦定理 例如4：acosB+bcosA=4bc 【能用】由正弦定理：a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC 代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=4b*2RsinC因为要消除2R ，所以只能代入一项，要么是b 或c 而等号右边化简后sinA*cosB+sinB*cosA=sin （A+B ）=sinC所以我们只把c 换为sinC ，而b 不动。
(完整版)解三角形练习题(含答案)
一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A ．B ．C ．D ．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A ．B ．C ．或D ．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A ．B ．C ．D ．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c 满足，则ab的值为（）A ．B ． C．1 D ．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A ．B ．C ．D ．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c 2b2）tanB=ac，则角B=（）A ．B ．C ．或D ．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A ．B ．C ．D ．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C 的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （A ．B ．C ．D ．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A ．B ．C ．D ．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c ，若，，则角A= （）A ．B ．C ．D ．19、（）A. B. C. D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C 且，，，则b=（）A、5B、25C 、D 、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C ．或16 D ．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A ＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1 B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC 的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b 、c，若，则A= 。
解三角形专题高考题练习【附答案】
解三角形专题（高考题）练习【附答案】1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =.设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域；(2)求y 的最大值. 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→→∙=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值；（2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()2sin ,3m B =-，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小；（II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。
5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，5cos 5A =，10cos 10B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足（I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
ＡＢ Ｃ1209、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l.求：（I ）角C 的大小；（II ）△ABC 最短边的长.10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c=7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1)求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,23ABC S ∆=. （1）求△ABC 外接圆面积.（2）求cos(2B+3π)的值. 12、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。
(完整版)解三角形练习题及答案
第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为（）．A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，下列等式正确的是（）．A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin BC．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．A．1∶2∶3 B．1∶3∶2C．1∶4∶9 D．1∶2∶34．在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于( ）．A．25B．5C．25或5D．10或55．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小 ( ）．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0,则△ABC是( ）．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°,则a＝( )．A．3B．23C．3或23D．28．在△ABC中,a,b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°，△ABC的面积为23，那么b＝（）．A．231+B．1＋3C．232+D．2＋39．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°,然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值是( )．A．3B．23C．3或23D．310．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB＝120米，则电视塔的高度为（ )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米 二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°,∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．13．在△ABC 中，∠A ＝60°,a ＝3，则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中,AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°,那么AD ＝ ．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．三、解答题17． 已知在△ABC 中,∠A ＝45°，a ＝2,c ＝6，解此三角形．18．在△ABC 中,已知b ＝3，c ＝1,∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状．(1)a cos A ＝b cos B ;（2)A a cos ＝B b cos ＝Cc cos ．20．△ABC 中,己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题1．B解析：设三边分别为5k ,7k ，8k （k ＞0)，中间角为， 由cos ＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 ＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．2．B 3．B4．C5．C6．C7．C8．B解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac b c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22 代入后消去a ,c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1,故选B ．9．C10．A二、填空题11．56．12．2．13．23．解析：设A a sin ＝B b sin ＝C c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23． 14．32π．15．43．16．－41．三、解答题17．解析:解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1:由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×22＝3，a ＝2，c ＝6,3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°,∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°．故b ＝Aa sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1,∠C ＝60°,∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．解法2：由余弦定理得b 2＋(6)2－26b cos 45°＝4,∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又（6）2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21,∠C ＝60°或∠C ＝120°,所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．18．解析:已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解． 解：∵B b sin ＝Cc sin , ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ∵b ＞c ，∠B ＝60°,∴∠C ＜∠B ,∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，即a ＝2，∠A ＝90°,∠C ＝30°．19．解析:本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(1)解法1：由余弦定理得a cos A ＝b cos B ⇒a ·（bc a c b 2222-+)＝b ·（acc b a 2222+-）⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0, ∴（a 2－b 2）（c 2－a 2－b 2)＝0,∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法2:由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B⇒sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝－2∠B ，∠A ,∠B ∈（0，)⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．（2）由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得A A R cos sin 2＝BB R cos sin 2＝C C R cos sin 2， ∴A A cos sin ＝B B cos sin ＝CC cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ．∵∠A ，∠B ,∠C ∈（0，π），∴∠A ＝∠B ＝∠C,∴△ABC 为等边三角形．20．解析:利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理,用a ,c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ，c 的等量关系;再由a ＋c ＝8，解方程组得a ,c ． 解：由正弦定理A a sin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C ,得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝Cc sin ， ∴cos C ＝ca 2． 由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+， ∵b ＝4，a ＋c ＝8，∴a ＋c ＝2b ,∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5， ∴c a 2＝ac a 43－5， 整理得（2a －3c ）(a －c ）＝0，∵a ≠c ，∴2a ＝3c ． 又∵a ＋c ＝8，∴a ＝524，c ＝516．。
高三数学解三角形试题答案及解析
高三数学解三角形试题答案及解析1.已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设得：（1）由三角形面积公式及正弦定理得：所以又因为，所以所以恒成立，所以故选A.【考点】1、两角和与差的三角函数；2、正弦定理；3、三角形的面积公式.2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．＝10，此时v＝＝30【答案】（1）当t＝时，Smin（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．【解析】解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝＝．＝10，此时v＝＝30．故当t＝时，Smin答：小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋．∵0<v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥．又t＝时，v＝30．故v＝30时，t取最小值，且最小值等于．此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．3.（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac=b2．（1）当p=，b=1时，求a，c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围．【答案】（1）a=1，c=或a=，c=1 （2）＜p＜【解析】（1）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求4.E，F是等腰直角斜边AB上的三等分点，则tan ECF=（ )A．B．C．D．【答案】D【解析】作CD⊥AB于D,则D为EF的中点．令CB=CA=3,则AB=6,CD=3,∴ED=FD=1∴tan ECF=∴tan ECF==5.已知点是的重心,且,则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，延长分别交于点，由重心的性质，设，，则，，，代入得，【考点】1、重心的性质；2、勾股定理；3、正弦定理和余弦定理.6.在△ABC中，若0＜tan A·tan B＜1，那么△ABC一定是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定【答案】B【解析】由0＜tan A·tan B＜1，可知tan A＞0，tan B＞0，即A，B为锐角，tan(A＋B)＝＞0，即tan(π－C)＝－tan C＞0，所以tan C＜0，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．故选B7.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始几小时后,两车的距离最小()A．B．1C．D．2【答案】C【解析】如图所示,设过xh后两车距离为ykm,则BD=200-80x,BE=50x,∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos 60°,整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5),∴当x=时y2最小,即y最小.8.若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶7，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】由正弦定理可设a＝4k，b＝5k，c＝7k，则cos C＝<0，因此三角形为钝角三角形．9.某旅游景点有一处山峰，游客需从景点入口A处向下沿坡角为α的一条小路行进a百米后到达山脚B处，然后沿坡角为β的山路向上行进b百米后到达山腰C处，这时回头望向景点入口A处俯角为θ，由于山势变陡到达山峰D坡角为γ，然后继续向上行进c百米终于到达山峰D处，游览风景后，此游客打算乘坐由山峰D直达入口A的缆车下山结束行程，如图所示，假设A，B，C，D四个点在同一竖直平面．(1)求B，D两点的海拔落差h；(2)求AD的长【答案】（1）b sin β＋c sin γ（2）【解析】(1)h＝b sin β＋c sin γ.(2)方法一：联结AC.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝a2＋b2＋2ab cos(α＋β)，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋c2－2cAC cos(π－γ＋θ)，所以AD＝.方法二：联结AC.在△ABC中，由正弦定理得，所以AC＝，以下同方法一．10.在△中，所对边分别为、、．若，则．【答案】【解析】三角形中问题在解决时要注意边角的互化，本题求角，可能把边化为角比较方便，同时把正切化为正弦余弦，由正弦定理可得，，所以有，即，在三角形中，于是有，，．【考点】解三角形．11.在△ABC中，边角，过作，且，则.【答案】【解析】依题意，，由余弦定理得，，由三角形的面积公式得，即，，又，，，即，又点、、三点共线，则，解方程组，解得，.【考点】余弦定理，三角形的面积公式，向量的数量积.12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若sinAsinC＝，求C．【答案】（I）；（II）或.【解析】（I）已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出，将关系式代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；（II）由（I）得的度数，；利用利用两角和与差的余弦函数公式化简，变形后将及的值代入求出的值，利用特殊三角函数的值求出的值，与的值联立即可求出的度数.试题解析：（I）为三角形的内角(II)由（I）得:或或【考点】1.余弦定理；2.两角的和差公式.13.在中，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据已知条件，建立的方程组即可得解.（Ⅱ）应用余弦定理可首先.进一步应用正弦定理即得.试题解析：（Ⅰ）由和可得, 2分所以， 3分又所以. 5分（Ⅱ）因为,,由余弦定理可得 7分，即. 9分由正弦定理可得 11分， 12分所以. 13分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积.14.在中，已知（1）求；（2）若，的面积是，求.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）用三角形三内角和定理及特殊角的三角函数值求解；（2）利用余弦定理与三角形的面积公式，得到关于、的方程组，解出即得.（1）在中，，，，.（2）由余弦定理，则，又的面积是，则，即，，即，.【考点】三角形三内角和定理，余弦定理，三角形的面积.15.在中,角的对边分别为,且满足（1）求证：；（2）若的面积,,的值.【答案】（1）详见解析，（2）【解析】（1）转化三角形问题中的边角关系式，首先要选择定理.由正弦定理，将等式中的边化为对应角的正弦，由内角和定理，得，再利用诱导公式、两角和差的正弦公式得，在三角形中即证；（2）解三角形问题应灵活应用边角的计算公式.在（1）的条件下，；由三角形的面积公式及余弦定理可求.试题解析：（1）由，根据正弦定理，得： 2分又在△ABC中，，则，所以即 4分所以，即又为三角形内角，所以。
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解三角形练习
题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3
C. 3
D.
3 2
题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan A tan B＝
2c
b，则C ＝().
A．30°B．45°
C．45°或135°D．60°
题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________．
题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小.
题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________．
题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列.
题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港
口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
题八：如图，在△ABC中，已知B＝π
3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的
周长的最大值为________．
题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝5
13，cos∠ADC＝
3
5.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)求BD的长．
题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)().
A．2.7 m B．17.3 m
C．37.3 m D．373 m
题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是().
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
题十二：在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是(). A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
解三角形参考答案
题一： B.
详解：由正弦定理得：BC sin A ＝ AC sin B ，即32sin 60° ＝ AC sin 45° ，所以AC ＝ 323
2×22 ＝2 3. 题二： B.
详解：由1＋tan A tan B ＝2c b
和正弦定理， 得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，
即sin C ＝2sin C cos A ，
所以cos A ＝12
，则A ＝60°. 由正弦定理得
23sin A ＝ 22sin C ， 则sin C ＝ 22
， 又c < a ，则C < 60°，故C ＝ 45°.
题三： 30°或150°
详解：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠ 0，所以sin A ＝ 12
，所以A ＝30°或A ＝150°. 题四： A ＝π3
. 详解：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，
得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，
所以2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，即sin B (2cos A －1)＝0.
因为0 < B < π，所以sin B ≠ 0，
所以cos A ＝ 12
. 因为0 < A < π，所以A ＝ π3
. 题五： 49π3
. 详解：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝ π3
，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝
AC sin B ＝ 7sin 60°，即R ＝ 73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝ 49π3. 题六： 见详解.
详解：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，
所以sin B ()sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C
， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，
所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .
又A ＋B ＋C ＝π，
所以sin(A ＋C )＝sin B ，
因此sin 2B ＝sin A sin C .
由正弦定理得b 2＝ac ，
即a ，b ，c 成等比数列．
题七： (1) 303；(2) 小艇航行速度的最小值为1013 海里/小时． 详解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400
＝ 900()t －132
＋300， 故当t ＝ 13时，S min ＝103，v ＝ 1031
3
＝303， 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B 处相遇，如图所示．由题意可得：(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简得： v 2＝400t 2－600t ＋900＝400()1t －342
＋675. 由于0 < t ≤ 12，即1t ≥ 2，所以当 1t
＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．
题八： 8＋4 3.
详解：因为AB ＝AD ，B ＝ π3
，所以△ABD 为正三角形， 在△ADC 中，根据正弦定理，可得AD sin C ＝ 43sin 2π3 ＝ DC sin ()
π3－C ， 所以AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ()π3－C ，
所以△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC
＝8sin C ＋8sin ()π3－C ＋4 3
＝8⎝⎛⎭
⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋4 3 ＝8⎝⎛⎭
⎫12sin C ＋32cos C ＋4 3 ＝8sin ()
C ＋π3＋43，
因为∠ADC ＝ 2π3，所以0 < C < π3，所以π3 < C ＋π3 < 2π3，
所以当C ＋π3 ＝ π2，即C ＝ π6
时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3. 题九： (1) 3365
.(2) 25. 详解：(1)因为cos ∠ADC ＝ 35
， 所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝ 45
. 又sin ∠BAD ＝ 513
， 所以cos ∠BAD ＝1－sin 2∠BAD ＝
1213. 因为∠ABD ＝∠ADC －∠BAD ，
所以sin ∠ABD ＝sin(∠ADC －∠BAD )
＝sin ∠ADC cos ∠BAD －cos ∠ADC sin ∠BAD
＝ 45 × 1213 － 35 × 513 ＝ 3365
. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝ AD sin ∠ABD
， 所以BD ＝ AD ×sin ∠BAD sin ∠ABD
＝ 33×5133365
＝25. 题十： C.
详解：在△ACE 中，tan 30°＝
CE AE ＝ CM －10AE . 所以AE ＝ CM －10tan 30°
. 在△AED 中，tan 45°＝
DE AE ＝ CM ＋10AE ， 所以AE ＝
CM ＋10tan 45°， 所以CM －10tan 30° ＝ CM ＋10tan 45°
， 所以CM ＝ 10(3＋1)3－1
＝10(2＋3)≈37.3(m)． 题十一： C.
详解：由正弦定理得a 2＋b 2 < c 2
，所以cos C ＝ a 2＋b 2－c 2
2ab < 0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形． 题十二： A.
详解：由余弦定理知cos C ＝ a 2＋b 2－c 2
2ab
， 所以a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝ a 2＋b 2－c 2
a
， 所以a 2＝a 2＋b 2－c 2，所以b 2＝c 2，所以b ＝c .。