(word完整版)高中数学解三角形练习题
(完整word)解三角形练习题及答案
第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ）．A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，下列等式正确的是( )．A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin BC．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为（ )．A．1∶2∶3 B．1∶3∶2C．1∶4∶9 D．1∶2∶34．在△ABC中，a＝5,b＝15，∠A＝30°，则c等于( )．A．25B．5C．25或5D．10或55．已知△ABC中,∠A＝60°，a＝6，b＝4,那么满足条件的△ABC的形状大小（ )．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0，则△ABC是( ）．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°，则a＝（）．A．3B．23C．3或23D．28．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B,∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°,△ABC的面积为23,那么b＝（ )．A．231+B．1＋3C．232+D．2＋39．某人朝正东方向走了x km后,向左转150°，然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km,那么x的值是（）．A．3B．23C．3或23D．310．有一电视塔,在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB＝120米，则电视塔的高度为( )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米 二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°,∠B ＝60°,a ＝10，b ＝ ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°,c ＝2，则b ＝ ．13．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3,则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，那么AD ＝ ．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．三、解答题17． 已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2,c ＝6，解此三角形．18．在△ABC 中,已知b ＝3，c ＝1，∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状．(1)a cos A ＝b cos B ;（2）A a cos ＝B b cos ＝Cc cos ．20．△ABC 中,己知∠A ＞∠B ＞∠C ,且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题1．B解析:设三边分别为5k ，7k ，8k (k ＞0），中间角为， 由cos ＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 ＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．2．B3．B4．C5．C6．C7．C8．B解析：依题可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac b c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22 代入后消去a ,c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1，故选B ．9．C10．A二、填空题11．56．12．2．13．23．解析：设A a sin ＝B b sin ＝C c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23． 14．32π．15．43．16．－41．三、解答题17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1：由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×22＝3，a ＝2,c ＝6，3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°，∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°．故b ＝Aa sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1, ∴b ＝3+1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°,∠B ＝15°．解法2：由余弦定理得b 2＋（6)2－26b cos 45°＝4，∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又（6）2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21，∠C ＝60°或∠C ＝120°，所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解． 解：∵B b sin ＝Cc sin ， ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ∵b ＞c ,∠B ＝60°，∴∠C ＜∠B ，∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，即a ＝2，∠A ＝90°，∠C ＝30°．19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(1)解法1:由余弦定理得a cos A ＝b cos B ⇒a ·（bc a c b 2222-+)＝b ·（acc b a 2222+-）⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0， ∴(a 2－b 2）(c 2－a 2－b 2）＝0，∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法2：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B⇒sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝－2∠B ，∠A ，∠B ∈(0，）⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．（2)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式,得A A R cos sin 2＝BB R cos sin 2＝C C R cos sin 2, ∴A A cos sin ＝B B cos sin ＝CC cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ．∵∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π）,∴∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 为等边三角形．20．解析:利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理，用a ，c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ，c 的等量关系；再由a ＋c ＝8，解方程组得a ，c ．解:由正弦定理A a sin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C ，得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝Cc sin ， ∴cos C ＝ca 2． 由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+， ∵b ＝4,a ＋c ＝8，∴a ＋c ＝2b ，∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5， ∴c a 2＝ac a 43－5， 整理得(2a －3c )（a －c ）＝0，。
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
高中数学必修四(人教B版)练习：第三章 三角恒等变换3.1.1 Word版含解析
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十六)解三角形理+Word版含答案
专题强化训练(十六) 解三角形1．[2019·天津卷]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理bsin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．[2019·石家庄一模]已知△ABC 的面积为33，且内角A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．解：(1)∵△ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝60°.设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由△ABC 的面积S ＝33＝12ac sin B 可得ac ＝12. ∵sin C ＝3sin A ，由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6.在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝27，即AC 的长为27.(2)∵BD 是AC 边上的中线，∴BD →＝12(BC →＋BA →)， ∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos B )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，∴|BD →|≥3，即BD 长的最小值为3.3．[2019·合肥质检二]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝2c sinC ，△ABC 的面积S ＝abc .(1)求角C ；(2)求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可得2c ＝sin C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝2π3. (2)由(1)知2c ＝sin C ，同理可知2a ＝sin A ，2b ＝sin B .△ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝12(sin A ＋sin B ＋sin C )＝12[sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ]＋34 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋34＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋34. ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1， ∴△ABC 周长的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2＋34.4．[2019·武汉4月调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝104，B ＝2A ，b ＝15. (1)求a ；(2)已知M 在边BC 上，且CM MB ＝12，求△CMA 的面积． 解：(1)由0<A <π，cos A ＝104，知sin A ＝64， ∴sin B ＝sin2A ＝2sin A cos A ＝2×64×104＝154， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 可知， a ＝b sin A sin B＝ 6. (2)cos B ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1042－1＝14， sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝64×14＋104×154＝368， △ABC 的面积S △ABC ＝12ab ·sin C ＝12×6×15×368＝9158， 又CM MB ＝12，∴S △CMA ＝13S △ABC ＝13×9158＝3158. 5．[2019·济南模拟]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，B ＝2π3，c ＝ 3. (1)求角C ； (2)若点E 满足AE →＝2EC →，求BE 的长．解：(1)解法一：由题设及正弦定理得2sin B sin C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，又sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以2sin B sin C ＝sin B .由于sin B ＝32≠0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. 解法二：由题设及余弦定理可得2b sin C ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc， 化简得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. 解法三：由2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，结合b ＝a cos C ＋c cos A ，可得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. (2)解法一：由正弦定理易知b sin B ＝csin C ＝23，解得b ＝3. 又AE →＝2EC →，所以AE ＝23AC ＝23b ，即AE ＝2. 在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6， 所以A ＝π6， 所以在△ABE 中，A ＝π6，AB ＝3，AE ＝2， 由余弦定理得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos π6＝ 3＋4－2×3×2×32＝1， 所以BE ＝1.解法二：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6，所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 由余弦定理得b ＝(3)2＋(3)2－2×3×3×co s 23π＝3. 因为AE →＝2EC →，所以EC ＝13AC ＝1. 在△BCE 中，C ＝π6，BC ＝3，CE ＝1，由余弦定理得BE ＝BC 2＋EC 2－2BC ·EC cos π6＝3＋1－2×3×1×32＝1， 所以BE ＝1. 解法三：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6， 所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 因为AE →＝2EC →，所以BE →＝13BA →＋23BC →. 则|BE →|2＝19(BA →＋2BC →)2＝19(|BA →|2＋4BA →·BC →＋4|BC →|2)＝19(3－4×3×3×12＋4×3)＝1，所以BE ＝1.6．[2019·太原一模]如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE ＝62.(1)求B ；(2)求△ABC 的面积．解：(1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，∴由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得a 2＋c 2－ac ＝b 2， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.(2)如图，连接CE ，∵D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，∴AE ＝CE ，∴CE ＝AE ＝DEsin A ＝62sin A . 在△BCE 中，由正弦定理得CEsin B＝BC sin ∠BEC ＝BC sin2A ， ∴62sin A sin60°＝22sin A cos A ，∴cos A ＝22， ∵0°<A <180°，∴A ＝45°，∴∠ACB ＝75°，∴∠BCE ＝∠ACB －∠ACE ＝30°，∠BEC ＝90°，∴CE ＝AE ＝3，AB ＝AE ＋BE ＝3＋1，∴S △ABC ＝12AB ·CE ＝3＋32. 7．[2019·长沙一模]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a .解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2， 由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，∵sin C ≠0， 所以sin A ＝cos A 2， 所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，又cos A 2≠0， 所以sin A 2＝12， 故A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134. 8．[2019·福州质检]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32.(1)求△ABC 的外接圆直径；(2)求a ＋c 的取值范围．解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. 根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝b sin B ＝32sin π3＝1. (2)解法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3， 可得0<A <2π3. 由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6. 所以12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 从而32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3. 解法二：由(1)知，B ＝π3， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－3ac≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)， 因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即0<a ＋c ≤3， 又三角形两边之和大于第三边， 所以32<a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.。
高中数学解三角形(有答案)
解三角形之老阳三干创作创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日一．选择题（共20小题）1．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．18 B．19 C．16 D．17 2．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．17 B．19 C．16 D．18 3．（2014•云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定5．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．6．（2013•温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，B=105°，a=1．则c=（）A．﹣1 B．.C．.D．.2 7．（2013•天津模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．8．（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．3C．D．7 9．（2013•浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A 的取值范围是（）A．B．C．D．10．（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．11．（2012•天河区三模）在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．135°D．45°或135°12．（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．13．△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列，则的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2+）C．（1，+∞）D．（1，2+）14．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1D．15．（2014•重庆三模）在△ABC中，若，则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°16．（2014•萧山区模拟）在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A．B．C．（0，2）D．17．（2014•南平模拟）在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°18．（2014•广西模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A：∠B=1：2，且a：b=1：，则cos2B的值是（）A．﹣B．C．﹣D．19．（2014•鄂尔多斯模拟）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC 的面积为，则边a的值为（）A．B．C．D．3 20．（2014•文登市二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B（）A．B．C．D．二．解答题（共10小题）21．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．22．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．23．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．24．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．25．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．26．（2014•福建模拟）设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．27．（2014•江西模拟）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．28．（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．29．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．30．（2014•启东市模拟）在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，，且．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若，求的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．18 B．19 C．16 D．17考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosB的值代入求出b的值，即可确定出三角形ABC周长．解答：解：∵△ABC中，a=3，c=8，B=60°，∴b2=a2+c2﹣2accosB=9+64﹣24=49，即b=7，则△ABC周长为3+8+7=18，故选：A．点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．17 B．19 C．16 D．18考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b及cosB的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．解答：解：∵a=3，c=9，B=60°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即：b2=9+64﹣24，即b=7，则a+b+c=18故选：D．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．3．（2014•云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理暗示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，则∠B=150°，故选：D．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．4．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．解答：解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．点评：本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．点评：6．（2013•温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日。
高考解三角形大题(30道)(精选.)
专题精选习题----解三角形1.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos . （1）求ACsin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. （1）若A A cos 2)6sin(=+π，求A 的值； （2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.4.ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，53cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD .5.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知41cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长； （2）求)cos(C A -的值.6.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =. （1）当1,45==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.7.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值；（2）求C B sin sin +的最大值.8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知412cos -=C . （1）求C sin 的值；（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长.ABC ∆b c C a =+21cos 9.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足3,5522cos =⋅=AC AB A . （1）求ABC ∆的面积；（2）若6=+c b ，求a 的值.10.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，22)4cos()4cos(=-++ππC C . （1）求角C 的大小；（2）若32=c ，B A sin 2sin =，求b a ,.11.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.12.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足0cos cos )2(=--C a A c b . （1）求角A 的大小；（2）若3=a ，433=∆ABC S ，试判断的形状，并说明理由.13.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(2222ab c b a =-+（1）求2sin2BA +； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.14.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2222cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. （1）求角B 的大小；（2）设)1,3(),2cos ,2(sin -=-=C A ，求⋅的取值范围.15.已知)0)(cos ,(cos ),cos ,(sin >==ωωωωωx x n x x m ，若函数21)(-⋅=n m x f 的最小正周期为π4.（1）求函数)(x f y =取最值时x 的取值集合；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围.16.如图，ABC ∆中，2,332sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD . (1)求BC 的长； (2)求DBC ∆的面积.ABDC17.已知向量552sin ,(cos ),sin ,(cos ===b a ββαα. （1）求)cos(βα-的值； （2）若02,20<<-<<βππα，135sin -=β，求αsin .18.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C ，且5=+b a ，7=c .（1）求角C 的大小； （2）求ABC ∆的面积.19.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足21)cos sin 3(cos =-⋅A A A . （1）求角A 的大小；（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.20.已知函数)(,cos 21sin 23)(R x x x x f ∈+=ππ，当]1,1[-∈x 时，其图象与x 轴交于N M ,两点，最高点为P .（1）求PN PM ,夹角的余弦值；（2）将函数)(x f 的图象向右平移1个单位，再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的2倍，而得到函数)(x g y =的图象，试画出函数)(x g y =在]38,32[上的图象.3,53sin ,3===b A B π21.已知函数a x x x a x f -+=cos sin 2sin 2)(2（a 为常数）在83π=x 处取得最大值. （1）求a 的值；（2）求)(x f 在],0[π上的增区间.22.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且bc a c b =-+222. （1）求角A 的大小；（2）若函数2cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=，当212)(+=B f 时，若3=a ，求b 的值.23.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知. （1）求C sin 的值； （2）求ABC ∆的面积.24.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=. （1）求B sin 的值；（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.25.已知函数212cos 2cos 2sin3)(2++=x x x x f .(1)求)(x f 的单调区间；（2）在锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-，求)(A f 的取值范围.26.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+.（1）求ab ； （2）若2223a b c +=，求角B .27.港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？28.某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船，正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向.29.在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东︒15、俯角为︒30的B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西︒45、俯角为︒60的C 处.（1）求船航行速度；（2）求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.30.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行，速度为215海里/小时，在甲船从A 到出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ（21tan =θ）的方向做匀速直线航行，速度为m 海里/小时.（1）求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里； （2）若两船能相遇，求m.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
《南方新课堂》2022年高考数学(理)总复习练习：第三章三角函数与解三角形 Word版含答案
第三章 三角函数与解三角形第1讲 弧度制与任意角的三角函数1．tan 25π6的值为( )A ．－33 B.33C. 3 D ．－32．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或其次象限角 B ．其次或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角3．已知角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．若角α的终边经过点P (1，m )，且tan α＝－2，则sin α＝( )A.55 B ．－55 C.2 55 D ．－2 555．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π46．(2022年新课标Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin2α>0 D ．cos2α>07．已知两角α，β之差为1°，其和为1弧度，则α，β的大小分别为( ) A.π90和π180B ．28°和27°C ．0.505和0.495 D.180＋π360和180－π3608．(2021年广东肇庆二模)若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝1225，则a ＝( )A ．3B ．±3 C.163或3 D ．－163或－39．(2021年广东惠州二模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )A B C D10．推断下列各式的符号：(1)tan125°·sin278°； (2)cos 7π12tan 23π12sin 11π12.11．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．(2021年河北石家庄二模)tan(－1410°)的值为( )A.33 B ．－33 C. 3 D ．－32．(2021年湖北黄冈一模)sin2021°的值属于区间( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－1，－12C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 3．下列关系式中，正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1 5．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34C ．1 D.546．(2021年四川资阳一模)下列不等式成立的是( )A ．tan ⎝⎛⎭⎫9π8>tan ⎝⎛⎭⎫π6B ．sin ⎝⎛⎭⎫－3π10>sin ⎝⎛⎭⎫－π5C ．sin π18>sin π10D ．cos ⎝⎛⎭⎫－7π4>cos ⎝⎛⎭⎫－23π5 7．已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝________.8．(2021年四川)设sin2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值是________．9．已知tan α＝2，求： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.10．(2021年广东揭阳一模)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4cos x.(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限角，且tan α＝－43，求f (α)的值．第3讲 三角函数的图象与性质1．(2022年陕西)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．(2021年北京丰台二模)下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π12对称的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数4．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π45．函数y ＝|tan x |cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x <3π2，且x ≠π2的图象是( )A BC D6．(2021年广东肇庆二模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 [A >0，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)]的最小正周期为2，且f (0)＝3，则函数f (3)＝( )A ．－ 3 B. 3 C ．－2 D ．27．(2022年江苏)已知函数y ＝cos x 与函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ＝________.8．(2022年大纲)函数y ＝cos2x ＋2sin x 的最大值为________．9．在下列函数中：①y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3；②y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6；③y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6；④y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3；⑤y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －73π. 关于直线x ＝5π6对称的函数是________(填序号)．10．(2022年北京)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图X331. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．图X33111．是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．(2022年四川)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上的全部点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度2．(2021年广东珠海一模)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象可由函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度而得到B ．向右平移π8个单位长度而得到C ．向左平移π4个单位长度而得到D ．向右平移π4个单位长度而得到3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图X341，则( )图X341A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π44．(2021年广东东莞一模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只须把函数y ＝sin ωx 的图象( )A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π66．(2021年广东肇庆一模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6[A >0，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)]的最小正周期为π，且f (0)＝3，则函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最小值是( ) A ．－ 6 B ．－2 3 C ．－3 D ．2 37．(2021年江西)设f (x )＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．8．(2021年北京西城一模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a .当a ＝π3时，f (x )的值域是__________；若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是__________．9．(2021年广东广州一模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 (A >0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和⎝⎛⎭⎫x 0＋π2，－2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4的值．10．(2021年安徽)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．(河南豫南九校2021届质检)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝( ) A.325 B.725C.925D.18252．(2021年新课标Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.233．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2 5．(2021年广东广州一模)已知函数f (x )＝2sin2x ，为了得到函数g (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象，只要将函数f (x )＝2sin2x 的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π8个单位长度D ．向左平移π8个单位长度6．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.7．(2022年新课标Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．8．(2022年山东)函数y ＝32sin2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．9．(2022年江苏)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．10．(2022年福建)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．第6讲 简洁的三角恒等变换1．(2021年江西)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.232．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α＝( ) A.22 B.33 C. 2 D.33．(2022年浙江)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移π4个单位长度4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1 5.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.326．(2021年湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π67．函数y ＝2sin x －cos x 的最大值为________．8．(2021年江西)函数y ＝sin2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．9．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin4α的值．第7讲 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的外形是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝3，则sin Asin (A ＋C )＝( )A.23B.32C ．－23D ．－323．(2021年广东深圳一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，a ＝3，b ＋c ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.32 C.3 D ．24．(广西百所示范性中学2021届高三第一次大联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，则B ＝( )A.π4B.π3C.π6D.π25．(2021年湖南)在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对边的长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则A ＝( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π126．(2021年新课标Ⅰ)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．57．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝π6，c ＝2 3，则b ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos B cos C －sin B sin C ＝12.(1)求角A ；(2)若a ＝2 3，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．10．(2022年安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值．第8讲 解三角形应用举例1．某人向正东方向走x km 后，顺时针转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离动身点恰好 3 km ，那么x ＝( )A. 3 B ．2 3 C ．2 3或 3 D ．32．两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观看站C 的北偏东20°的方向，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°的方向，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.2a km C ．2a km D.3a km3．如图X381，一艘海轮从A 处动身，以40海里/时的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观看灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2海里B ．10 3海里C ．20 2海里D ．20 3海里图X381 图X3824．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则此时的斜坡长为( ) A ．1 B ．2sin10°C ．2cos10°D ．cos20°5．(2021年广东茂名二模)如图X382，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 3 mB ．50 2 mC ．25 2 m D.25 22m6．(2022年广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．(2021年广东肇庆二模)某日，某渔政船在东海某海疆巡航护渔，已知该船正以30(3－1)海里/时的速度向正北方向航行，该船在点A 处发觉北偏东30°方向的海面上有一个小岛，连续航行20分钟到达点B ，此时发觉该小岛在北偏东45°方向上．若该船向北连续航行，船与小岛的最短距离是( )A ．6海里B ．8海里C ．10海里D ．12海里8．如图X383，一缉私艇发觉在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)45°方向、距离15海里的海面上有一走私船正以25海里/时的速度沿方位角为105°的方向逃跑．若缉私艇的速度为35海里/时，缉私艇沿方位角为45°＋α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．(1)求α的正弦值；(2)求缉私艇追上走私船所需的时间．图X3839．(2022年北京)如图X384，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图X384第三章 三角函数与解三角形第1讲 弧度制与任意角的三角函数1．B 2.C3．B 解析：∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝－5a ，∴sin α＝3a r ＝－35.故选B.4．D 解析：由三角函数的定义，得tan α＝m ＝－2，∴r ＝5，sin α＝－25＝－2 55.故选D.5．D 解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知，角θ是第四象限的角．∵tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.6．C 解析：tan α＝sin αcos α>0，而sin2α＝2sin αcos α>0.故选C.7．D 解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得⎩⎨⎧α＝180＋π360，β＝180－π360.8．D 解析：由于角α的终边上有一点P (－4，a )，依据三角函数的定义知，sin α＝a16＋a 2，cos α＝－416＋a 2，所以sin α·cos α＝－4a 16＋a 2＝1225，即3a 2＋25a ＋48＝0.解得a ＝－3或a ＝－163.故选D. 9．C 解析：分k ＝2m ，k ＝2m ＋1(m ∈Z )两种状况争辩可得结果． 10．解：(1)∵125°，278°角分别为其次、四象限角， ∴tan125°＜0，sin278°＜0. 因此tan125°·sin278°＞0.(2)∵π2＜7π12＜π，3π2<23π12<2π，π2<11π12<π，∴cos 7π12＜0，tan 23π12＜0，sin 11π12＞0.因此cos 7π12tan 23π12sin 11π12>0.11．解：设扇形半径为R ，圆心角为θ，所对的弧长为l .(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12θR 2＝4，θR ＋2R ＝10，∴2θ2－17θ＋8＝0，解得θ＝8或12.∵8>2π，舍去，∴θ＝12rad.(2)扇形的周长为40，即θR ＋2R ＝40， S ＝12lR ＝12θR 2＝14θR ·2R ≤14⎝⎛⎭⎫θR ＋2R 22＝100. 当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时，扇形面积取得最大值，最大值为100.第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．A 解析：tan(－1410°)＝tan(－180°×8＋30°)＝tan30°＝33. 2．B 解析：sin2021°＝sin(5×360°＋213°)＝sin213°＝sin(180°＋33°)＝－sin33°<－12.故选B.3．C 解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°.由于正弦函数y ＝sin x 在区间[0°，90°]上为递增函数，因此sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.4．A 解析：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2.∴sin2α＝－1.故选A.5．B 解析：分子、分母同时除以cos α，得2tan α－1tan α＋2＝4－12＋2＝34.6．D 解析：cos ⎝⎛⎭⎫－7π4＝cos π4>0，cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos 3π5<0.故选D. 7.24 解析：sin α＝－13，cos α＝－2 23，tan α＝12 2＝24. 8.3 解析：sin2α＝2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＝2π3，tan2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3. 9．解：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.10．解：(1)函数f (x )要有意义，需满足cos x ≠0，解得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)∵f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4cos x ＝1－2⎝⎛⎭⎫22sin2x －22cos2x cos x ＝1＋cos2x －sin2xcos x＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )，由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝925.∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－45.∴f (α)＝2(cos α－sin α)＝145.第3讲 三角函数的图象与性质1．B 解析：由周期公式T ＝2πω，又ω＝2，所以函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的周期T ＝2π2＝π.故选B. 2．C 解析：将x ＝π12代入选项A ，B ，C ，D 中，只有选项C 取得最大值y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＝sin π2＝1，所以关于直线x ＝π12对称，且T ＝2π2＝π.3．D 解析：由函数的f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，可得函数f (x )是偶函数．故选D. 4．A 解析：由题设知，T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，∴ω＝2πT ＝1.∴π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.5．C 解析：方法一：y ＝|sin x |·cos x|cos x |，分类争辩．方法二：y ＝|tan x |cos x 的符号与cos x 相同．故选C.6．A 解析：由f (0)＝A 2＝3，得A ＝2 3，ω＝2π2＝π⇒f (x )＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6⇒f (3)＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π6＝－ 3.7.π6 解析：依题意，得cos π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，又φ∈[0，π)，则2π3＋φ∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3.∴2π3＋φ＝5π6，φ＝π6. 8.32 解析：y ＝cos2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时，原函数取得最大值为32.9．①⑤ 解析：∵y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝4sin π2＝4，y 取最大值，∴x ＝5π6为它的一个对称轴．又∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－7π3＝－sin 3π2＝1，∴x ＝5π6是对称轴．10．解：(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由图象知，y 0＝f (x )max ＝3,2x 0＋π6＝π2＋2k π，解得x 0＝π6＋k π，k ∈Z ，取k ＝1，x 0＝76π.(2)由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.11．解：y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1.令t ＝cos x ，则0≤t ≤1.∴y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)．若a2＜0，即a ＜0，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．若a2＞1，即a ＞2，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上所述，存在a ＝32符合题意．第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．A 2.A3．C 解析：∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴故选C.4．D 解析：两相邻对称轴之间的距离为T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，要得到f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需把f (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位．5．D 解析：由函数y ＝sin x 向左平移φ个单位得到y ＝sin(x ＋φ)的图象．由条件知，函数y ＝sin(x ＋φ)可化为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，比较个各选项，只有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 6．C 解析：A ＝2 3，ω＝2⇒f (x )＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由－π4≤x ≤π4⇒－π3≤2x ＋π6≤2π3，得[f (x )]min ＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3. 7．[2，＋∞) 解析：f (x )＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，|f (x )|max ＝2，∴a ≥2. 8.⎣⎡⎦⎤－12，1 ⎣⎡⎦⎤π6，π2 解析：当a ＝π3时，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1；若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，π2≤2a ＋π6≤7π6，π6≤a ≤π2. 9．解：(1)由题意，可得A ＝2，T 2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π2－x 0＝π2.∴T ＝π. 由2πω＝π，得ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵ 点(x 0,2)是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在y 轴右侧的第一个最高点， ∴ 2x 0＋π6＝π2.∴ x 0＝π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π4 ＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝12×22＋32×22 ＝2＋64.10．解：(1)f (x )＝sin x ＋sin x cos π3＋cos x sin π3＝sin x ＋12sin x ＋32cos x＝32sin x ＋32cos x ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－1时，f (x )min ＝－3，此时x ＋π6＝3π2＋2k π，∴x ＝4π3＋2k π(k ∈Z )．∴f (x )的最小值为－3，此时x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4π3＋2k π，k ∈Z .(2)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，然后将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上的点的纵坐标变为原来的3倍，得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．B 解析：由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin π4cos x －cos π4sin x ＝22×(cos x －sin x )＝35，两边平方，得12(1－2cos x ·sin x )＝925，1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725.2．A 解析：∵sin2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12×⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin2α)＝12×⎝⎛⎭⎫1－23＝16. 3．A 解析：∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A. 4．A5．D 解析：g (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将函数f (x )＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度即可．6．－79 解析：∵cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，∴cos(2x －2y )＝2cos 2(x －y )－1＝29－1＝－79.7．1 解析：f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2cos x sin φ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，最大值为1.8．π 解析：y ＝32sin2x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，其最小正周期为T ＝2π2＝π. 9．解：(1)由于α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)，得sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝2cos 2α－1＝35.所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α ＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－3 3＋410.10．解：f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－22⎝⎛⎭⎫－22－22＝2.(2)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.若f (x )单调递增，则2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 第6讲 简洁的三角恒等变换1．C2．D 解析：sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝ 3. 3．A 解析：由于y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将函数y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位长度，得函数y ＝2cos3⎝⎛⎭⎫x －π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4.故选A. 4．A 解析：方法一：∵sin α－cos α＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝ 2.∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴α＝3π4.∴tan α＝－1.方法二：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2.∴sin2α＝－1.∵α∈(0，π)，∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2.∴α＝3π4.∴tan α＝－1.故选A.5．C 解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝12.6．B 解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值是π6.7.5 解析：y ＝2sin x －cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝－12，∴最大值为 5.8．π 解析：y ＝sin2x ＋2 3sin 2x ＝sin2x ＋2 3×1－cos2x 2＝sin2x －3cos2x ＋3＝2⎝⎛⎭⎫12sin2x －32cos2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3，∴T ＝2π2＝π. 9．解：∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13. ∴sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13.∴cos2α＝13. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2α∈(π，2π)．∴sin2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－2 23.∴sin4α＝2sin2αcos2α＝2×⎝⎛⎭⎫－2 23×13＝－4 29.第7讲 正弦定理和余弦定理1．A 解析：由正弦定理，得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以C 是钝角，故选A.2．B 解析：sin A sin (A ＋C )＝sin A sin B ＝a b ＝23.故选A.3．B 4.B5．A 解析：由2a sin B ＝3b ，得2sin A sin B ＝3sin B ，sin A ＝32，A ＝π3或2π3(舍去)． 6．D 解析：23cos 2A ＋cos2A ＝25cos 2A －1＝0，cos A ＝15或cos A ＝－15(舍去)，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A,49＝b 2＋36－12b ×15，5b 2－12b －65＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)．7．2 解析：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4，∴b ＝2. 8.154 解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×14＝4，则c ＝2，即B ＝C ，故sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 9．解：(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝12，即cos(B ＋C )＝12，∴B ＋C ＝60°.从而A ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＋c 2＋bc ＝a 2＝12，① 又b ＋c ＝4，∴b 2＋c 2＋2bc ＝16.② 由①②，得bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×32＝ 3.10．解：由三角形的面积公式，得 12bc sin A ＝12×3×1×sin A ＝ 2.∴sin A ＝2 23. ∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±13.当cos A ＝13时，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1－2×3×1×13＝8，∴a ＝2 2；当cos A ＝－13时，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1＋2×3×1×13＝12，∴a ＝2 3.第8讲 解三角形应用举例1．C 解析：如图D63，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝3，∠ABC ＝30°. 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ， ∴3＝x 2＋9－6x ·cos30°，解得x ＝3或2 3.图D63 图D642．D 解析：如图D64，依题意，得∠ACB ＝120°.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，∴AB ＝3a .故选D. 3．A 解析：在△ABC 中，∠BAC ＝50°－20°＝30°，∠ABC ＝40°＋65°＝105°，AB ＝40×0.5＝20(海里)，则∠ACB ＝45°.由正弦定理，得BC sin30°＝20sin45°，解得BC ＝10 2.故选A.4．C 解析：如图D65，BD ＝1，∠DBC ＝20°，∠DAC ＝10°.在△ABD 中，由正弦定理，得1sin10°＝ADsin160°.解得AD ＝2cos10°.图D65 图D665．B 解析：由于∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°.所以依据正弦定理可知，ACsin ∠ABC＝AB sin ∠ACB，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB ＝50 2 m ．故选B.6．A 解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B ，因此“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充要条件．故选A.7．C 解析：如图D66，∠DAC ＝30°，∠DBC ＝45°，AB ＝30(3－1)×13＝10×(3－1)，设CD ＝h ，则DA ＝3h ，DB ＝h .由AB ＝DA －DB ＝(3－1)h ＝10(3－1)，得h ＝10. 8．解：(1)设缉私艇追上走私船所需的时间为t 小时，则有|BC |＝25t ，|AB |＝35t ，且∠CAB ＝α，∠ACB ＝45°＋(180°－105°)＝120°，依据正弦定理，得|BC |sin α＝|AB |sin120°，即25t sin α＝35t 32.∴sin α＝5 314.(2)在△ABC 中，由余弦定理，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2－2|AC ||BC |cos ∠ACB ， 即(35t )2＝152＋(25t )2－2×15×25t ×cos120°，即8t 2－5t －3＝0.解得t ＝1或t ＝－38(舍去)．答：缉私艇追上走私船需要1小时．9．解：(1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝4 37.∴sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠ABD ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37×12－17×32＝3 314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ×sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3 3144 37＝3. 在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49， ∴AC ＝7.。
2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章 三角函数、解三角形 3-6 Word版含答案
课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级 力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ， 即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于 ． 解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。
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解三角形卷一
一．选择题
1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为
A ．23
B ．－23
C ．14
D ．－14
2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为
A 、3
B 、2
C 、3
D 、2
3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C =
A 、1:2:3
B 、
C 、
D 、2
4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为
A 、14
B 、14-
C 、78
D 、1116
5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为
A 、3π
B 、6π
C 、4
π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c =
A 、610
B 、75
C 、55
D 、49
7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A =
A 、30
B 、60
C 、120
D 、150
8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是
A 、10,45,70b A C ===
B 、60,48,60a c B ===
C 、7,5,80a b A ===
D 、14,16,45a b A ===
二、填空题。
9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ．
10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22
A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．
三、解答题。
12．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝33b ，解此三角形．
13．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50米．求此山对于地平面的倾斜角 ．
14．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，
(Ⅰ)求∠B 的大小；
(Ⅱ)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
(第13题)
11．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用． 由正弦定理得c a ＝C A sin sin ＝C C sin 2sin ＝2cos C ，即cos C ＝c a 2， 由余弦定理cos C ＝ab c b a 2－＋222＝ab b c a c a 2＋－＋2
))((．∵ a ＋c ＝2b ， ∴ cos C ＝ab c a b c a b 22＋＋－2⋅
)(＝a c a c a 22＋＋－2)(，∴ c
a 2＝a c a c a 22＋＋－2)(． 整理得2a 2－5ac ＋3c 2＝0．解得a ＝c 或a ＝2
3c ． ∵∠A ＝2∠C ，∴ a ＝c 不成立，a ＝23c ∴ b ＝2c a +＝2
23c c +＝c 45， ∴ a ∶b ∶c ＝23c ∶c 4
5∶c ＝6∶5∶4．故此三角形三边之比为6∶5∶4． 12．b ＝43，c ＝8，∠C ＝90°，∠B ＝60°或b ＝43，c ＝4，∠C ＝30°，∠B ＝120°． 解：由正弦定理知A a sin ＝B
b sin ⇒︒30sin 4＝B sin 34⇒sin B ＝23，b ＝43． ∠B ＝60°或∠B ＝120°⇒∠C ＝90°或∠C ＝30°
⇒c ＝8或c ＝4． 13 解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，AB ＝100米，∠ACB ＝45°－15°＝30°．
根据正弦定理有︒30sin 100＝︒15sin BC ，∴ BC ＝︒
︒30sin 15sin 100． 又在△BCD 中，∵ CD ＝50，BC ＝
︒︒30sin 15sin 100，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ ， 根据正弦定理有︒45sin 50＝)
(θ＋90sin 30sin 15sin 100︒︒︒
．解得cos θ ＝3－1，∴ θ ≈42.94°． ∴ 山对于地平面的倾斜角约为42.94°．
14．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ，
∴ 2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin (B ＋C )．
又在三角形ABC 中，sin (B ＋C )＝sin A ≠0，
∴ 2sin A cos B ＝sin A ，即cos B ＝21，B ＝3
π． (Ⅱ)∵ b 2＝7＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ 7＝a 2＋c 2－ac ， 又 (a ＋c )2＝16＝a 2＋c 2＋2ac ，∴ ac ＝3，∴ S △ABC ＝
21ac sin B ， 即S △ABC ＝21·3·23＝433． (第13题)。