高一数学解三角形(含答案)
2021年高考数学解答题专项练习《解三角形》(含答案)
2021年高考数学解答题专项练习《解三角形》1.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且b=3,c=4,C=2B．（1）求cosB的值；（2）求的值．2.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，．（1）求角B的值；（2）若b=2,△ABC的面积为，求a,c．3.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋csinA=b＋c.(1)求A；(2)若a=，b＋c=3，求b，c。
4.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求△ABC的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.5.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足ab+a2=c2.(1)求证:C=2A;(2)若△ABC的面积为a2sin2B,求角C的大小.（1）求角C的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值.8.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且.（1）求角A的大小；（2）若b+c=5，且ΔABC的面积为，求a的值；（3）若，求b+c的范围.9.在△ABC中，．（1）求∠B的大小；（2）求的最大值．（1）求角B（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围.11.在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.12.在设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,已知.（1）求角B的大小;（2）若,求△ABC的周长的取值范围.13.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且满足:.（1）求角A的值；（2）若且b≥a，求的取值范围.14.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且a=8，ccosAcosB=2asinCcosB－ccosC。
版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
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类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
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命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
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反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
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跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
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当堂训练
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1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
专题解三角形大题(含答案)
解三角形专题1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A+a=c．（1）求B的大小；（2）若c=，a+b=2，求△ABC的面积．2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b-a）sin B+a sin A=c sin C，且c=2．（Ⅰ）求角C的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
余生，无需3.已知在△ABC中，，a=13，c=15．（Ⅰ）求sin C；（Ⅱ）若△ABC是钝角三角形，求△ABC的面积．4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求角C；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
余生，无需5.如图，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cos B=．（1）求△ACD的面积；（2）若BC=6，求AB的长．6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）=a sin C，且a=2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．高三几何每日一题(5 )答案靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
余生，无需1.【答案】解：（1）∵b cos A+a=c，∴由正弦定理可得sin B cos A+sin A=sin C，又sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B，∴sin A=sin A cos B，∵sin A ≠0，∴cos B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵B=，c=，∴由余弦定理可得cos B==，整理可得a2-b2+3=3a ，又a+b=2，解得a=b=1，∴S△ABC=ac sin B==．2.【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理得（b-a）b+a2=c2，即a2+b2-c2=ab由余弦定理得，∵C∈（0，π），∴．（Ⅱ）由面积公式，由a2+b2-c2=ab，得到ab+4=a2+b2，由不等式a2+b2≥2ab，得到ab +4≥2ab，∴ab≤4，从而，当且仅当a =b=2时取等号．所以△ABC面积的最大值为，3.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中根据正弦定理得，即，∴，（Ⅱ）因为a2=b2+c2-2bc cos A，所以．解得b=8或b=7．当b=7时，所以C为钝角，所以△ABC的面积，当b=8时，．此时C为锐角，不满足题意，所以△ABC的面积．4.【答案】解：（1）△ABC中，2cos C（a cos B+b cos A）=c，由正弦定理可得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，即2cos C sinC=sin C，又0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C=，求得C=；（2）由c=2，C=，利用余弦定理可得：4=c2=a2+b2-2ab cos C≥2ab-ab=ab，靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，由得，即，由于为三角形的内角，故，即，因此三角形为等边三角形.【考点】判定三角形的形状.2.在中，若，则△ABC的面积是= ( )．A．9B．9C．18D．18【答案】A【解析】在中，,是等腰三角形，，由三角形的面积公式得．考点:解三角形．3.已知中，的对边分别为且.（1）判断△的形状，并求的取值范围；（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，若直线直线，且相交于点，求间距离的取值范围.【答案】（1）为直角三角形，；（2）.【解析】（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简得到，从而可确定，为直角三角形；法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到，从而可确定为直角，为直角三角形；（2）先引入，并设，根据三角函数的定义得到，进而得到，利用三角函数的图像与性质即可得到的取值范围，从而可确定两点间的距离的取值范围.试题解析：(1)法一：因为所以即所以，所以所以是以为直角的直角三角形法二：因为所以是以为直角的直角三角形即(2)不仿设，所以所以.【考点】1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则∠B的范围是()A．(0，] B．(0，]C．[，π) D．[，π)【答案】B【解析】根据题意，由于a、b、c成等差数列，则可知2b=a+c,结合余弦定理可知得到cosB ,故可知得到∠B的范围是(0，],故选B.【考点】等差数列点评：主要是考查了等差数列的运用，以及解三角形的综合运用，属于基础题。
余弦定理与正弦定理-用余弦定理、正弦定理解三角形(第三课时)高一数学(北师大版2019必修第二册)
变式 1．(2011 年上海)在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标 C，
若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求 A，C 两点之间的距离．
解：由条件知：C＝180°－75°－60°＝45°， 由正弦定理得sAinCB＝sAinBC， 即siAn6C0°＝sin245°. 解得 AC＝ 6.
例2：在△ABC 中，若 2cosBsinA＝sin ，试判断CABC 的形 状．
2．余弦定理
a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ，c2
＝ a2＋b2－2abcos C ．余弦定理可以变形：cos A
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)；
2
2
整理,得4cos2 C 4cos C 1 0,解得cos C 1 , 2
0 C 180,C 60.
(2)由余弦定理得c2 a2 b2 2abcos C,
即7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,
SABC
1 2
absin
b=2，a=x，如 c 有两组解，则 x 的取值范围是
．
解 ： 当 asinB＜ b＜ a 时 ， 三 角 形 ABC 有 两 组 解 . 又 b=2， B=60°， a=x， 如 果 三 角 形 ABC 有 两 组 解 ，
那 么 x 应 满 足 xsin60°＜ 2＜ x， 即 2＜ x＜ 4
3
,
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高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.如图，两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部看建筑物CD的张角，求建筑物AB和CD底部之间的距离BD。
【答案】【解析】过作于,设,显然此时,记;将放入中．利用建立关于的关系;将放入中,利用建立关于的关系．最后根据的关系,解出其中的．如图，过作于，设∵,记,则，在中，, ∴,在中，, ∴,∴,解得：或（舍去）．所以建筑物和底部之间的距离为．【考点】直角三角形中,正切表示边;正切和角公式．2.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)．设AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=处，如果DE是参观路线，则DE为AB中线或AC中线时，DE最长，证明过程详见解析．【解析】（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根据面积公式可得，消去AE后即可得到y与x的函数关系式，又根据可以得到x的取值范围；（2）如果DE是水管，则问题等价于当时，求的最小值，利用基本不等式即可求得当时，y有最小值为，如果DE是参观路线，则问题等价于问题等价于当时，求的最小值，根据函数在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y有最小值．（1）在△ADE中，由余弦定理：①又∵②②代入①得（y＞0）, ∴，由题意可知，所以函数的定义域是，；（2）如果DE是水管,当且仅当，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．如果DE是参观线路，记，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，＝．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．故∴ymax【考点】1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．3.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.4.①设a，b是两个非零向量，若|a+b|=|a-b|，则a·b=0②若③在△ABC中，若，则△ABC 是等腰三角形④在中，，边长a,c分别为a=4,c=，则只有一解。
高中数学经典题型--解三角形(含详细答案)
高中数学经典题型解三角形【编著】黄勇权【第1题】在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ， 且sinC bsinBasinA = 3a32 sinB + c求：角C 的大小【第1题】答案：已知：sinCbsinB asinA += 3a 32 sinB + c等号左边：因为分子、分母每一项含有sin ，故用正弦定理，将sin 替换成边即：cb *b a *a += 3a 32 sinB +c 特别提示： 等号右边的sinB 不能换成边b ， 这是因为sinB=R 2b ,这样就会多出R 21，等号两边同时乘以ca 2+b 2 = 3ac 32 sinB +c 2将c 2移到等号左边，a 2+b 2- c 2 = 3ac 32 sinB由于等号左边是a 2+b 2-c 2，只能构建cosC ，故等号两边同时除以2ab ，这一步非常重要。
2a b c b a 222-+ = b 3c 3 sinBc osC = b 3c 3 sinB等号右边，左边分子含c ，分母含b ，故用正弦定理把c 、b 换成sinC ，sinB 这一步非常重要，很多同学想不到，因此就解不出来。
c osC = B sin 3sinC 3 sinBc osC =33 sinCtanC= 3 即C=60°经典技巧：对于正弦定理，很多同学都不知道什么时候能用，什么时候不能用，其实，在运用正弦定理将sin与对应边换时，一定要遵循能够消除2R为原则。
例如1：acosB+bcosA=2c 【能用】由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=2*2RsinC因为每一项都有2R，故能消除2R,化简：sinA*cosB+sinB*cosA=2sinC所以能用正弦定理。
例如2：bcosA+sinB=3c 【不能用】由正弦定理：b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，得：2RsinB*cosA+sinB=2RsinC*3因为第二项不含2R，无法消除2R, 所以不能用正弦定理例如3：sin2A+sin2B=2sinBsinC 【能用】a b c（R 2a ）2 + （R 2b ）2 = 2 *R 2b *R 2c因为每一项都有（R 21）2，故能消除2R ，化简得：a 2 +b 2=2bc 所以能用正弦定理 例如4：acosB+bcosA=4bc 【能用】由正弦定理：a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC 代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=4b*2RsinC因为要消除2R ，所以只能代入一项，要么是b 或c 而等号右边化简后sinA*cosB+sinB*cosA=sin （A+B ）=sinC所以我们只把c 换为sinC ，而b 不动。
专题解三角形大题(含答案)
专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。
根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。
代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。
同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。
解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。
根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。
代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。
1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。
由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
高中数学解三角形解答题专题训练含答案
解三角形解答题专题训练 2017.121．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知（Ⅰ）求C ；，且sin sin()3sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.因为sin 0A ≠，解得（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则ABC ∆的面积若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积 综上，ABC ∆的面积为2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知a+b=5，(Ⅰ) 求角C 的大小； （Ⅱ）求△ABC 的面积. 解: (Ⅰ)∵A+B+C=180整理，得01cos 4cos 42=+-C C∵ ∴C=60°（Ⅱ）由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab ∴ 由条件a+b=5得 7=25－3ab ， 故所以的面积 3．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边长，且cos cos 2cos a B b A c C +=. （1）求角C 的值；（2）若4,7c a b =+=，求ABC S ∆的值. 解：（1得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 又sin sin()2sin cos C A B C C =+=， （2）由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴11ab =，∴4．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知（1）求角C 的值；（2）若2=c ，且ABC ∆的面积为，求b a ,. 解：（1︒<<︒1800C ab b a 3)(72-+=ab=6ABC △又∵是三角形的内角，∴又∵C 是三角形的内角，∴（2，∴4=ab ，又∵C ab b a c cos 2222-+=，∴ab ab b a --+=2)(42，∴4=+b a ，或0=-b a ， ∴2==b a .5．锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ∆的面积． （Ⅱ）当a 2,2sinA sinC ==时，由正弦定理，解得c 4=． 由余弦定理222c a b 2abcosC =+-，得 6．已知向量(sin m x =，(cos ,n x =-，且()f x m n =⋅.（1）求()f x 的单调递增区间；（2上有零点，求m 的取值范围.解：（1sin m n x =⋅=B则()f x 的递增区间为（2()g x 有零点，即函数与y m =图像有交点，由图象可得，m 的取值范围为7．如图，D 是直角三角形ABC ∆斜边BC 上一点，（Ⅰ）若 30=∠DAC ，求B ∠；（Ⅱ）若DC BD 2=，且，求DC . 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，根据正弦定理，有又 6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC ，∴ 120=∠ADC ， ∴ 3030120180=--=∠C ，∴ 60=∠B . （Ⅱ）设x DC =，则在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=，，得2=x .故2=DC . 8．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知（1）求角B 的大小；（2）若a+c=1,求b 的取值范围.又cos 0B ≠,又0B π<<,(2)由余弦定理,有2222cos ba c ac B =+-. 又01a <<,9．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 且cos2B+3cosB ﹣1=0． （1）求角B 的大小；（2）若a+c=1，求b 的最小值．解：（1）在△ABC 中，∵cos2B+3cosB ﹣1=0， ∴2cos 2B+3cosB ﹣2=0，∴或cosB=﹣2（舍去），∴．（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=（a+c ）2﹣3ac=1﹣3a （1﹣a ）=3a 2﹣3a+1，其中0＜a ＜1， ∵f （a ）=3a 2﹣3a+1在上递减，在上递增，∴，又0＜b ＜1，∴．10．已知ABC ∆中，a ，b，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b ，2c 是关于x 的一元二次方程22()0x a bc x m -++=的两根. （1）求角A 的大小；（2，设=B θ，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值．解：（1）在中，依题意有：，∴2ABC ∆222b c a bc +=+(0)A π∈，∴2sin 2sin b B θ==，11．已知在△ABC 中，（1）若三边长a ，b ，c 依次成等差数列，sinA ：sinB=3：5， 求三个内角中最大角的度数； （2）若()22BA BC b a c ⋅=--，求cosB ． 解：（1）在△ABC 中有sinA ：sinB=3：5， ∴a ：b=3：5，设a=3k ，（k ＞0）则b=5k ， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴c=7k ，∴最大角为C ，有cosC=()()()()()2223k 5k 7k 23k 5k +-⋅⋅=﹣，∴C=120° （2）由BA BC ⋅=b 2﹣（a ﹣c ）2 得：accosB=b 2﹣（a ﹣c ）2，即accosB=a 2+c 2﹣2accosB ﹣（a 2+c 2﹣2ac ），∴3cosB=2，∴cosB=． 12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的三边，22()a b c bc --=， (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)，角B 等于x ，周长为y ，求函数)(x f y =的取值范围. 解：(Ⅰ)由22()a b c bc --=，得222a b c bc --=-，又0A π<< ，(Ⅱ13．在ABC ∆中，(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小;（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围. 解：(1）由已知得：(2sin sin )sin cos A C B C -=，即2sin cos sin()A B B C =+∴（2）由（1所以()22cos cos A A C +-的取值范围是(0,2]. 14．在△中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若2=b ，求△面积的最大值.解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得B C C B A sin sin cos sin sin += 又)(C B A +-=π，故C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+= 得B B cos sin =，又()π,0∈B ，所以(Ⅱ) ⊿ABC 的面积又ac c a 222≥+.，当且仅当c a =时，等号成立.因此⊿ABC 的面积的最大值为15．如图，在△ABC 中，已知45B ∠=，D 是BC 边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB 的长.解：在△ABC 中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴120ADC ∠=, ∴60ADB ∠= ∴在△ABD 中，∵45B ∠=， 60sin 45AD=， 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立． （1）求角A 的大小；（2BC 边上的中线AM 长的取值范围．解：（1）由题意，∵对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立， ()f A ，当()f x 取得最大值时，A 是三角形的内角，即0A π<<，∴（2）∵AM 是BC 边上的中线， ∴在△ABM ① 在△ACM ② 又∵AMB AMC π∠=-∠，∴cos cos AMB AMC ∠=-∠，①＋②得，∴2236b c <+≤，17．设ABC ∆的内角A ，B ，C ，所对的边长分别为a ，b ，c ,()cos ,cos m A C =，(3n c =-，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若a b =，且BC 边上的中线AM 的长为求边a 的值． 解：（1）∵0m n ⋅=，∴4分6 （2）由（1，又∵b a =，∴ ，在AMC ∆中，由余弦定理得：解得2x =，即2a =．18．在ABC ∆中， )cos ,(),cos ,2(B b n C c a m =-= 且m ∥n （1）求角B 的大小；（2）若1=b ，当ABC ∆面积取最大时，求ABC ∆内切圆的半径．解：（1）因为m ∥n ，所以02=--C b B c a cos cos ）（，∴(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 即2sin cos sin()A B B C =+，（2）由（1）得，又1=b ，ABC ∆中B ac c a b cos 2222-+=得ac c a b -+=222即()2a 31c ac +=+，又因为()ac 4a 2≥+c ．得ac ac 431≥+即1≤ac ．所以当且仅当1==c a 时ABC S ∆最大值为19．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,a b c 且（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1=b ，求ABC ∆的周长l 的取值范围．∴ac a c b a -=-+22222， ∴ac b c a =-+222，∴ac B ac =cos 2，则 ∵),0(π∈B ，∴（Ⅱ）ac c a c a c b a l =-+++=++=1)1(,122知由，∴ac c a 31)(2=-+ ∴4)(2≤+c a ．∴2≤+c a ．又∵1=>+b c a ，∴△ABC 的周长]3,2(∈++=c b a l ． 20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.解：（1（2）在ACD ∆中，由21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，b ＝2．（1）求∠C 和边c ；（2）若BC BM 4=,且点P 为△BMN值．解：（1所以01cos cos 22=-+C C ，所以1cos -=C 或又因为),0(π∈C ，所以建立坐标系，由（1），由BC BM 4=, ()0,3),4,0(N M ，△BMN 的内切圆方程为：()()11122=-+-y x ，设),(y x P ，则令[)πθθθ2,0,sin 1cos 1∈⎩⎨⎧+=+=y x。
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解三角形 1．正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.
2．余弦定理： 222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C
⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪=
⎨⎪⎪+-=
⎪⎩
.
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用
ABC ∆中A B C π
++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：
sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
sin cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C
+++===.
高一数学测试题———正弦、余弦定理与解三角形
一、选择题： 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于
（ ）
A ．60°
B ．60°或120°
C ．30°或150°
D ．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A ．a=1,b=2 ,c=3
B ．a=1,b=
2 ,∠A=30°
C ．a=1,b=2,∠A=100°
C ．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）
A ．cosA>sin
B 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinA
C ．cosA>sinB 且cosB<sinA
D ．cosA<sinB 且cosB>sinA
4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ ）
A ．B>60°
B ．B ≥60°
C ．B<60°
D ．B ≤60°
6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为
（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．不定
7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度
AB 等于
（ ）
A ．
)sin(sin sin αββα-a
B ．
)
cos(sin sin βαβα-⋅a
C ．
)
sin(cos sin αββα-a D ．
)
cos(sin cos βαβα-a
8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ）
A ．a (km)
B ．
3a(km) C ．2a(km)
D ．2a (km)
二、填空题：
9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=
12
7
, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
11、在ΔABC 中，若S ΔABC =4
1 (a 2+b 2－c 2
),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32
31
,则cosC=_______.
三、解答题：
13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=B
A B
A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).
A B
α
β
1、在ABC △中，已知内角
A π
=
3
，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．
2、在ABC △中，角
,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1
sin ,2
A
=sin B =
，求::a b c
3、在
ABC
△中
,,a b c
分别为
,,A B C
∠∠∠的对边，若
2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+，
（1）求A 的大小；（2
）若9a b c =+=，求b 和c 的值。
4、如图
2AO =，B 是半个单位圆上的动点，ABC △是等边三
角形，求当AOB ∠等于多少时，四边形OACB 的面积最大，并
求四边形面积的最大值．
5、在△OAB 中，O 为坐标原点，
]2
,0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ( )
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π
6. 在ABC ∆中，已知C B
A sin 2
tan =+，给出以下四个论断，其中正确的是 ①2tan cot 1X A B σ⋅=
②2sin sin
0≤+<B A
③1cos sin 22
=+B A
④C B A 222
sin cos cos
=+
F
E
O
C
B
A
一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10）
3314 （11）4
π
（12）
8
1
三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒222222222
1
2260cos 0)(2=-∴c a ，
c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由A
A
b B a A b cos sin tan tan 22
2
⇒=
,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A A
B a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B
或A+B=90°，∴
△ABC 为等腰△或Rt △. ③B
A B A C cos cos sin sin sin ++=
，由正弦定理：,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：
b a ac
b c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯22222222
∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((2
2
2
2
2
2
. ④由条件变形为222
2
)sin()sin(b
a b a B A B A +-=+-
︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2
222B A B A B A B
A
B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△AB
C 是等腰△或Rt △.。