高一数学总结归纳：解三角形专题
高一数学解三角形知识点归纳
高一数学解三角形知识点归纳
高一数学解三角形知识点
( 一) 解斜三角形
1、解斜三角形的主要定理：正弦定理和余弦定理和余弦的射
影公式和各种形式的面积的公式。
2、能解决的四类型的问题： (1) 已知两角和一条边 (2) 已知两边和
夹角 (3) 已知三边 (4) 已知两边和其中一边的对角。
( 二) 解直角三角形
1、解直角三角形的主要定理：在直角三角形ABC中，直角为角C，角 A 和角 B 是它的两锐角，所对的边 a、b、c，(1) 角 A 和角 B
的和是 90 度;
(2)勾股定理： a 的平方加上 +b 的平方 =c 的平方 ;(3) 角 A 的正弦等于 a 比上 c，角 A 的余弦等于 b 比上 c，角 B 的正弦等于 b 比上 c，角 B 的余弦等于 a 比上 c;(4) 面积的公式 s=ab/2; 此外还有射影定理，内外切接圆的半径。
2、解直角三角形的四种类型：
(1)已知两直角边：根据勾股定理先求出斜边，用三角函数求出
两锐角中的一角，再用互余关系求出另一角或用三角函数求出两锐
角中的两角 ;
(2)已知一直角边和斜边，根据勾股定理先求出另一直角边，问
题转化为 (1);
(3)已知一直角边和一锐角，可求出另一锐角，运用正弦或余弦，
算出斜边，用勾股定理算出另一直角边;(4) 已知斜边和一锐角，先算
出已知角的对边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为
(1)。
(2)。
高中数学 考前归纳总结 解三角形常考基本问题归类
解三角形常考基本问题归类正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
在近几年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素：指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问 题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1、ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ） A．)33B π++ B．)36B π++ C ．6sin()33B π++ D ．6sin()36B π++ 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．解：由正弦定理得：32sin sin sin sin sin sin sin()33b c b c b c B C B C B B ππ++====++-， 得b ＋c＝B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6B π+． 故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝6sin()36B π++，故选(D)． 评注：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝6π，周长应为33＋ 3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2、在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ．解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=， x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ， 即3212=AC 又630sin =B ，故2sin A =1470sin =A 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3 在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-． ∴ 2222a c b ac+-＝2c a ，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 例4、在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________ 分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决． 解：由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-∙∙， 解得AC ＝3．∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315． ∴21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)． 四、求值问题 例5、 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件 222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B 五、正余弦定理解三角形的实际应用：利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广 泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
(完整版)高中数学解三角形方法大全
解三角形1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。
以下若无特殊说明，均设ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<<C B A 、、0，π<+<B A 0，ππ<-<-B A ，0sin >A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2cos 2sinCB A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1．正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为ABC ∆的外接圆半径2．正弦定理适用于两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解【例1】考查正弦定理的应用（1）ABC ∆中，若60=B ，42tan =A ，2=BC ，则=AC _____； （2）ABC ∆中，若30=A ，2=b ，1=a ，则=C ____；（3）ABC ∆中，若45=A ，24=b ，8=a ，则=C ____；（4）ABC ∆中，若A c a sin =，则cba +的最大值为_____。
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ∆中，已知a 、b 、A（1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ∆有唯一解；否则无解。
（2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b <<sin 时，三角形有两解； 当b a ≥时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。
高中数学知识点归纳总结三角函数与解三角形
高中数学知识点归纳总结三角函数与解三角形一、任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．三、两角和与差的正弦、余弦及正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．四、简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．五、三角函数的图象与性质1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内的单调性．六函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．七、正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．八、解三角形应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．。
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==特殊角的三角函数值三角函数值0 11１不存在三角函数诱导公式：“ （2k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（2kπα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;当k 为偶数时，函数名不变。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
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学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 专题8 解三角形
【考题回放】
1．设,,a b c 分别是A B C ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2
a b b c =+是2A B =的
（ A ）
（A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ∆中，已知C B A sin 2
tan
=+，给出以下四个论断：
① 1cot tan =⋅B A
② 2sin sin 0≤+<B A ③ 1cos sin 22=+B A ④ C B A 222sin cos cos =+
其中正确的是（ B ）
（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③ 3．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2
tan
2
tan
32
tan
2
tan C A C A ++的值为
__________3.
4．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
5．己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tanA, tanC 是方程x 2-3px+1-p ＝0 (p≠0，且p ∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC 的取值范围分别是___ _ 和__ ___，p 的取值范围是__________3；(0，3)；(0，3)；［
3
2，1)
6．在ΔABC 中，已知6
6cos ,3
64=
=
B AB ，A
C 边上的中线BD=5，求sinA.
【专家解答】 设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且3
6221=
=
AB DE ，
设BE=x 在ΔBDE 中可得2
2
2
2cos BD BE ED BE ED BED =+-⋅∠，
x x 6
63
6223
852
⨯
⨯
++
=，解得1=x ，3
7-=x （舍去）
故BC=2，从而3
28cos 22
2
2
=
⋅-+=B BC AB BC
AB AC ，
即3
21
2=
AC 又6
30sin =
B
，故
2sin A
=
，70
sin =
A
【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理．
【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等
学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘
【范例1】【文】在△ABC 中，若tanA ︰tanB ＝22b a :，试判断△ABC 的形状．
解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得
∵A 、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．
∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝
2
π
．
所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边
之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a 2
＋b 2＝c 2， a 2＋b 2>c 2（锐角三角形），a 2＋b 2＜c 2（钝角三角形）或sin(A －B)＝0，sinA ＝sinB ，sinC ＝1或cosC ＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．
【范例2】 【文】在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，
2
2
74sin cos 2
2
B C A +-=
.
(1)求角A 的度数；
(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.
解析 2
7
(1)4s i n c o s 2180,
:
22
B C
A A
B
C +-=++=︒由
及得 22
2
72[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5
2
14cos 4cos 10,cos ,2
0180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒ 即
22
2
2
2
2
22
(2):cos 211cos ()3.
222
312
3:2 :.
221b c a
A bc b c a
A b c a bc bc
b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴
=∴+-=+===⎧⎧⎧=
+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩
由余弦定理得代入上式得由得或
【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.
【范例3】已知△ABC 的周长为6，,,BC C A AB
成等比数列，求
（1）△ABC 的面积S 的最大值；
（2）BA BC
的取值范围．
解析 设,,BC C A AB
依次为a ，b ，c ，则
a+b+c=6，b²=ac ．
在△ABC 中得222
22
21cos 2222
a c b
a c ac
ac ac B ac
ac
ac
+-+--==
≥
=,
故有03
B π
<≤
．又6,2
2
a c b
b +-=
≤=从而02b <≤．
（１）2
2
111sin sin 2sin
2
2
2
3
S ac B b B π
=
=≤⋅⋅=
m ax S =
学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 （２）22222()2cos 22
a c
b a
c ac b
BA BC ac B +-+--===
22
2
(6)3(3)272
b b
b --=
=-++．
02,b <≤ 218B A
B C ∴≤<
． 【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的．
【变式】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, △ABC 的外接圆半径R=3，且满足
B
C
A B
C sin sin sin 2cos cos -=
.
(1) 求角B 和边b 的大小； (2) 求△ABC 的面积的最大值。
解析 (1) 由
B
C
A B
C sin sin sin 2cos cos -=
整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA =2sinAcosB ∴cosB=2
1 ∴B=
3
π
∵ b=2RsinB ∴b=3 (2)∵ABC ∇S =)3
2sin(
sin 33sin sin 3sin 21
2
A A C A R
B ac -==
π
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=
21)62sin(233πA ∴当A=
3
π
时, ABC ∇S 的最大值是
4
39 ．
【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用
【范例4】某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？
解析 据题意得图02，其中BC =31千米，BD =20千米，CD =21千米，∠CAB=60˚． 设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB 中，由余弦定理得：
7
120
21231
20
21
2cos 2
2
2
2
2
2
-
=⨯⨯-+=
⋅⋅-+=BD CD BC BD
CD
β，
7
34cos
1sin 2
=-=
ββ．
()CDA
CAD ∠-∠-︒=180sin sin α
()β+︒-︒-︒=18060180sin
()14
352
37
12
17
3460sin cos 60cos sin 60sin =
⨯
+
⨯
=
︒-︒=︒-=βββ．。