必修五解三角形题型归纳
(完整版)必修五-解三角形-题型归纳
构成三角形个数问题1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( )A.2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x22 •如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ・ 口 = 60 r £* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > £> = 5 ? A - &0=D ・ 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心求边长问题A. 5 B5•在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________三. 求夹角问题6.在ABC中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 410 103 10 5 A. 10B 5C 10D57 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C1200,ABC的面积S15 3 41 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=()4A. 90° B . 60° C . 45° D . 30°四.求面积问题&已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则3 △ ABC的面积等于( )书书书书A B------B ■C iD i +118 6 4 2A9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j(i)求sinC的值；(n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积.10•如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120(1 )求AD边的长;(2)求ABC的面积.11.（本小题满分12分）已知ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c,已知c 2,C(1 )若ABC的面积等于3 ,求a,b(2)若si nC si n( B A) 2 si n2A,求ABC 的面积.12 .在ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c已知C 一 .3外接圆的面积；五.判定三角形形状问题若a 2,b 3，求ABC的13.在ABC中，a, b , c分别为角A, B , C所对边, a 2bcosC，则此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B.C.等腰三角形D.直角三角形等腰或直角三角形1 1 114. ABC中三边上的高依次为丄，丄，丄，贝U ABC为（13 5 11A.锐角三角形 B •直角三角形 C •钝角三角形D）•不存在这样的三角形19.在锐角 ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2asi nB ..3b . (1)求角A 的大小；(2 )若a 4,b c 8，求 ABC 的面积.15.在 ABC 中，若 0 tanA tanB A.锐角三角形B .钝角三角形那么 ABC 一定是 •直角三角形 D) .形状不确定16.在△ ABC 中, 2B a c cos ----------- 2 2c(a , b , c 分别为角A , B , C 的对边)，则△ ABC 勺形状 为 A.正三角形B .直角三角形()等腰三角形或直角三角形D •等腰直角三角形17•在 ABC 中，如果工一cosB.直角三角形A.等腰三角形bcosA'C则该三角形是.等腰或直角三角形D .以上答案均不正确六. 综合问题 18.在锐角厶ABC 中, a, b, c 是角 A , B , C 的对边，且，3a 2csin A .(1)求角C 的度数;(2)若 C .7，且△ ABC 的面积为3 3，求a b 的值。
必修5解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形一.正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 —=—=—=2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sinC a + b + c a b c = = = . sin A + sin B + sin Csin A sin B sin C 2）化边为角： a : b : c = sin A : sin B : sin C . a sin A b sin B a sin Ab sin B ，c sin C ，csin C 3）化边为角：a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin Csin A a sin B b sin A a • —— •sin B b ' sin C c ' sin C c 'abc sin A =——, sin B =——, sin C =—— 2 R 2 R 2 R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理a =空A ;-=把B b sin B c sin C a sin A = ------- ;求出b 与c c sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a =竺4求出角B,由A+B+C=180o 求出角C,再使用正 b sin B弦定理a = sn A 求出c 边 c sin C 4.△ABC 中，已知锐角A,边b,则①a < b sin A 时，B 无解;②a = b sin A 或a > b 时，B 有—个解③b sin A < a < b 时，B 有两个解。
2.变形：1） 4）化角为边: 5）化角为边:如：①已知A :60。
必修五-解三角形-题型归纳
一.构成三角形个数问题1.在AABC中，已知a二x,b二2,B=45°,如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A2<x<2^2B x<2迈C近<x<2D.<x<22.如果满足ZABC二60，AC=12，BC=k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是3.在AABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A.£?=Sj£i=10;A.=45^B.£?=60;i=S1；B=60=+-1C.a=l b=5?,4=8D=D.£7=14,h二20,卫二心二.求边长问题4.在A ABC中，角A,B,C所对边a,b,c，若a二3,C二1200，A ABC的面积S二，贝产=()4A.5B.6C.©39D.75.在△ABC中，a二1,B二45o,S二2，则b=A ABC三.求夹角问题6.在AABC中，ZABC二上,AB42BC二3，则sinZBAC=()v10<103帀A.10B.5C.10D.57.在△ABC中，角A,B，C所对的边分别a,b,c,S为表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC, S二(b2+c2-a2)，贝yZB=()4A.90°B.60°C.45D.30°四.求8.已知△ABC中，内角A,B,兀C所对的边长分别为a,b,c•若a=2b cosA,B=—△ABC的面积等于(A.—8B.—619.锐角AABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知cos2C二—「4 (I)求sin C的值；(II)当a=2,2sin A=sin C时，求b的长及AABC的面积.10.如图，在(1)求AD边的长；(2)求AABC的面积.兀11.(本小题满分12分)已知A ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,已知c=2,C=丁.(1)若AABC的面积等于j3，求a,b(2)若sinC+sin(B一A)=2sin2A，求AABC的面积.A.等腰直角三角形 C.等腰三角形B.直角三角形 D.等腰或直角三角形兀12.在AABC 中，角A,B,C 对边分别为a,b,c 已知C =-.若a=2,b =3,求AABC 的外接圆的面积;五．判定三角形形状问题13.在A ABC中，a，b，c分别为角A ，B ，C所对边，若a=2b cos C，则此三角形一定是（111 14.A A BC 中三边上的高依次为右，：，则A ABC 为（）13511A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在这样的三角形15.在AABC 中，若0<tan A-tan B <1，那么AABC 一定是（） A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不确定Ba +c16. 在△ABC 中，cos 2二，（a,b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为22c（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形word 格式-可编辑-感谢下载支持321.如图，在AABC 中,血Z B =一，AB =8，点D 在BC 边上，且CD =2cos Z ADC =1.7ab17.在AABC 中，如果=，则该三角形是cosBcosAA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.以上答案均不正确六．综合问题18.在锐角厶ABC 中，a,b,c 是角A,B,C 的对边，且J3a =2csin A . (1)求角C 的度数；_.3：'3 (2)若c=、门，且△ABC 的面积为一-—，求a +b 的值。
必修五-解三角形-题型归纳
一．构成三角形个数问题1．在ABC 中，已知a x,b 2,B 45 ，如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A．2 x 2 2 B. x 2 2 C ． 2 x 2 D. 0 x 22．如果满足ABC 60 ，AC 12 ，BC k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________．3．在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）二．求边长问题4．在ABC 中，角A, B,C 所对边a,b,c ，若a3,C 1200 ，ABC 的面积15 3S ，4则c（）A．5 B ．6 C ．39 D ．75．在△ABC中，0a 1, B 45 ,S2，则b =_______________.ABC三．求夹角问题6．在ABC 中，ABC , 2, 3 ，则sin BAC （）AB BC 410 10 3 10 5 A．10 B ． 5 C ．10 D ．57 ．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别a, b, c, S 为表示△ABC 的面积，若1 2 2 2a cos Bb cos Ac sin C, S (b c a ) ，则∠B=( )4A．90° B ．60° C ．45° D ．30°四．求面积问题8．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a,b,c . 若 2 cos , , 1a b A B c ，则3 △ABC的面积等于（）9．锐角ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，已知（Ⅰ）求sin C 的值；1 cos2C .4（Ⅱ）当 a 2，2 sin A sin C 时，求 b 的长及ABC 的面积．10．如图，在四边形ABCD 中，AB 3, BC 7 3, CD 14, BD 7, BAD 120 ．（1）求AD 边的长；（2）求ABC 的面积．11．（本小题满分12 分）已知ABC 中, 角A, B,C 对边分别为a,b, c , 已知c 2,C ．3 （1）若ABC 的面积等于3, 求a,b（2）若sin C sin( B A) 2 sin 2A, 求ABC 的面积．12．在ABC 中，角A, B, C 对边分别为a,b,c 已知外接圆的面积；C ．若a 2,b 3，求ABC 的3五．判定三角形形状问题13．在ABC 中，a，b ，c分别为角A ，B ，C 所对边，若 a 2b cos C，则此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形14．ABC 中三边上的高依次为1 1 1, ,13 5 11，则ABC 为（）A．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形15．在ABC 中，若0 tan A tan B 1，那么ABC 一定是（）A．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．形状不确定16．在△ABC 中， 2cos B a c2 2c，（a，b，c 分别为角A，B，C 的对边），则△ABC的形状为( )A．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形17．在ABC 中，如果a bcos B cos A，则该三角形是A．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．以上答案均不正确六．综合问题18．在锐角△ABC中，a,b,c 是角A，B，C的对边，且3a 2csin A .（1）求角C的度数；（2）若c7 ，且△A BC的面积为3 32，求a b 的值。
高一数学必修五解三角形基本知识点及练习
解三角形一、知识点复习1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C=== 3.余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-= 5.常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）； 6.三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC 中, A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
二、典型例题（1）用正、余弦定理解三角形例1.已知在练习：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆（2）三角形解的个数1.知道3边、3角, 2角1边, 2边及其夹角时不会出现两解,2、两边及一边的对角时:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系A<bsinA A=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b 解无解 一解 两解 一解 无解例1: 在 中, 分别根据下列条件解三角形, 其中有两解的是【 】A. , , ；B. , , ； C 、 , , ；D 、 , , 。
必修五第1章解三角形归纳整合
4． 解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题 来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型 的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出 示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已 知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化， 哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的 要求．
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解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同 正数解，则三角形有两解． 三角形形状的判定方法 3． 判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦 定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)， 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注 意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
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【例2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满 足(2a－b)cos C＝c· cos B，△ABC的面积S＝10 3 ，c＝7. (1)求角C； (2)求a，b的值． 解 (1)∵(2a－b)cos C＝ccos B， ∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B， 2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C， 即2sin Acos C＝sin(B＋C)， ∴2sin Acos C＝sin A.
－2ab1＋cos
π ， 3
2
1 －2×40×1＋ . 2
∴a＋b＝13.② 由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
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必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C=== （R:外接圆半径） 或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.结论：①定理：在三角形中，α、β为其内角，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。
②判断三角形大小关系时，可以利用如下原理：sin A ＞ sin B ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ bcos cos A B A B >⇔<⇔a < b③三角形的面积公式： ∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1）正弦定理：1、已知两角和一边（如A 、B 、c ），由A +B +C =π求C ，由正弦定理求a 、b .(ASA 或AAS)2、已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况.(SSA)（2）余弦定理：1、已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C .(SSS)2、已知两边和夹角（如a 、b 、C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C =π，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 6. 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
必修五解三角形常考题型
必修五解三角形常考题型1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.例2在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3 在△ABC中， 2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC的形状。
例 4 在△ABC中，如果lg a lgc lgsin B lg 2 ，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。
考察点 3：利用正弦定理证明三角恒等式 例 5 在△ABC 中，求证222222a b b c c acos A cos B cos B cos C cos C cos A0 .例 6 在△ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边， C=2B ，求证2 2c b ab .考察点 4：求三角形的面积例 7 在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，若B 2 5a 2,C,cos , 求425△ABC 的面积 S.例 8已知△ ABC 中a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为 12，且求△ABC 的面积 S 的最大值。
C,3考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9 已知△ABC的内角A,B 极其对边a,b 满足a b a cot A b c ot B, 求内角 C例10 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c, 且c=10, 的内切圆半径。
c os A b 4cos B a 3，求a,b 及△ABC『易错疑难辨析』易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高中数学必修五__第一章___解三角形知识点归纳及测试题
第十二讲 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 63B 62C 12D 322. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形3.△ABC 中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12C 3D 324. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A13 B 12 C 34D 0 5.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
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一. 构成三角形个数问题
1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（
）
A. 2 x 2 2
B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2
2 •如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是
3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）
A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81；
B =
= 60°+J
C” a —7 > b —5j八眇 D ・。
二14 , b
-
20, "4亍二. 求边长问题
4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4
则c()
A. 5 B
.6
C . V39D7
5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b =
三. 求夹角冋题
6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( )
v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5
7
.在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若
1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=(
4
B . 60°
C . 45°
D . 30°
四. 求面积问题
&已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为
a,b,c .若
a
ZbcosAB -，
c 1
，则
△ ABC 的面积等于 ( )
g
6 4 2
9.锐角
ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、
1
c ,已知 cos2C
-
4
([)求
sinC 的值；
(□)当
a 2, 2si nA si nC 时，求
b 的长及 ABC 的面积.
10•如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120
a cosB A. 90°
(1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积.
3 11.（本小题满分12分）已知ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c,已知c 2,C
(1 )若ABC的面积等于.3,求a,b
(2)若si nC si n( B A) 2 si n2A,求ABC 的面积.
12 .在ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c已知C 一.
3
外接圆的面积；
五. 判定三角形形状问题
若a 2,b 3，求ABC的
13.在ABC 中,a, b , c分别为角A, B , C所对边, a 2b cosC，则此三角形
一定是（）
A.等腰直角三角形
B.
C.等腰三角形
D.直角三角形
等腰或直角三角形
14. ABC中三边上的高依次为
1 1 1
丄，丄，丄，则ABC为（
A.锐角三角形 B •直角三角形 C •钝角三角形D
）
•不存在这样的三角形
a
b
17.在 ABC 中，如果 ，则该三角形是
cosB cosA
A.等腰三角形
B •直角三角形
C •等腰或直角三角形
D •以上答案均不正确
六.综合问题
18.在锐角厶ABC 中, a, b, c 是角A , B , C 的对边，且'、3a 2csi nA .
(1) 求角C 的度数； (2)
若c .7，且△ ABC 的面积为辽，求a b 的值。
2
19.在锐角 ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2asi nB ,3b .
(1)求角A 的大小；
(2 )若a 4,b c 8，求 ABC 的面积.
15.在 ABC 中，若 A.锐角三角形
0 tan A tan B
.钝角三角形
那么 ABC 一定是 •直角三角形 D
) .形状不确定
16.在△ ABC 中, 2
B a c cos -
2 2c
(a , b , c 分别为角A , B , C 的对边)，则△ ABC 勺形状
为
A.正三角形 B .直角三角形
()
等腰三角形或直角三角形
D •等腰直角三角形
20.在VABC 中，角A, B,C 对边分别是a,b,c ，且满足 2c b cos A a sin 一 B
2
(1) 求角A 的大小；
(2) 若a 2，且VABC 的面积为 3，求b,c .
1
21•如图，在 ABC 中，B 二一，AB 8，点 D 在 BC 边上，且 CD 2，cos ADC -
3 7
22•在VABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，已知3 b 2 c 2 3a 2 2bc .
(1) 求 sin A 的值； (2) 若a 2,VABC 的面积S
c ，求b 和c 的值.
(II )求 BD, AC 的长.
(I )求 sin BAD ；
23. (12 分)在厶ABC中，a, b, c 分别是角A, B, C 的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC .
(I)求B的大小；
(n)若a c ^^,b .3求厶ABC的面积.
2
24.(本小题满分12分)已知在ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c .且
cos A 2cosC 2c a
cosB b .
(I)求邑匹的值；
sin A
1
(n)若cosB , b 2，求ABC的面积s。
4
25 .(本题满分15分)在ABC中，内角A B, C 所对的边长分别为a, b, c ,
丄AB’ C 4、3
tan tan
2 2 3
(I)求角C的大小；
(n)已知ABC不是钝角三角形，且c 2、、3 , sinC sin(B A) 2sin2A,求ABC
的面积•
26.（本题满分13分）在ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b,c .
bsin A . 6a sin C , c 1 .
(i)求a的值和ABC的面积;
(n)求sin(2A )的值.
3 sinB 亠, 2 6。