2020年高中数学 3.1不等关系与不等式(1)导学案新人教A版必修.doc
《基本不等式》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《2.2基本不等式2a b +≤》教学设计 教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a b+≤的证明过程； 【教学难点】1.2a b+≤等号成立条件； 2.2a b+≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀a,b ∈R ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得√ab ≤a+b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，a+b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b+≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥（1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b -≥0 （3） 要证（3），只要证 （-）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a bab +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x ），使∀x >0，都有x ＋1x ≥y .观察x +1x ，发现x ∙1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋1x ≥2√x ∙1x =2当且仅当x =1x ，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x （x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x =y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2√P；S2.（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14证明：因为x，y都是正数，所以x+y≥√xy.2（1）当积xy等于定值P时，x+y≥√P，2所以x+y≥2√P，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2√P.（2）当和x+y等于定值S时，√xy≤S,2所以xy≤1S2，4S2.当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值14例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z=150×48003+120（2×3x+2×3y）=240000+720（x+y）.由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z ≥240000+720×2√xy ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0 b ＋c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（a+b 2），几何平均数（√ab ）及它们的关系（a+b 2≥√ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤a 2+b 22，ab ≤（a+b 2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。
2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案：3.1.1不等关系与比较大小含答案
第三章不等式3.1 不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小学习目标1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.(数学抽象、数学建模)2.能用不等式表示不等关系.(数学抽象、数学建模)3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差法比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算、数学建模)【必备知识·自主学习】导思1.我们学过的不等号有哪些?什么是不等式?2.初中学过在数轴上表示大小,那两个实数比较大小还有别的方法吗?1.不等式的相关概念(1)不等号:<,≤,>,≥,≠;(2)不等式:由不等号表示的关系式.(1)“≤”的含义是什么?提示:<或=.(2)不等式a≥b和a≤b有怎样的含义?提示:①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a<b或a=b,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确.2.实数a,b大小的比较如果a-b是正数,那么a>b a-b>0⇔a>b如果a-b等于零,那么a=b a-b=0⇔a=b如果a-b是负数,那么a<b a-b<0⇔a<b怎样证明a>b?提示:证明a-b是正数,即a-b>0.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)不等关系“不大于3”用不等式表示为x<3. ( )(2)不等式5≥5不成立. ( )(3)若>1,则a>b. ( )提示:(1)×.用不等式表示为x≤3.(2)×.不等式5≥5表示5=5或5>5,因为5=5成立,所以不等式5≥5成立.(3)×.如=2>1,但是-2<-1.2.(教材二次开发:习题改编)大桥桥头竖立的“限重60吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为( ) A.T<60 B.T>60 C.T≤60 D.T≥60【解析】选C.“限重60吨”即为T≤60.3.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为.【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x<1,所以x-2<0,x-1<0,所以x2+2-3x>0,所以x2+2>3x.答案:x2+2>3x【关键能力·合作学习】类型一利用不等式表示不等关系(数学抽象、数学建模)1.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,使汽车速度v不超过40 km/h,用不等关系表示速度的限制为.2.某工厂8月份的产量比9月份的产量少;甲物体比乙物体重;A容器不小于B容器的容积,若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可表示为;;.3.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来.【解题指南】抓住题干中的关键词,如:不超过、不小于等写出不等式. 【解析】1.“不超过”即“小于或等于”,所以v≤40 km/h .答案:v≤40 km/h2.注意理解题目中的关键词语,并转化为不等关系,8月份的产量比9月份的产量少可表示为a<b;甲物体比乙物体重可表示为a>b;A容器不小于B容器的容积可表示a≥b.答案:a<ba>ba≥b3.图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S1,则S1=+,图(2)面积为S2,则S2=ab,所以a2+b2>ab.1.将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.2.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超过符号语言> < ≥≤【补偿训练】1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再加入m克糖(m>0),搅拌糖融化后,糖水更甜了,将这个事实用一个不等式表示为.【解析】因为b克糖水中含a克糖(0<a<b)时,糖水的“甜度”为,所以若在该糖水中加入m(m>0)克糖,则此时的“甜度”是,又因为糖水会更甜,所以<.答案:<2.一辆汽车原来每小时行驶x km,如果这辆汽车每小时行驶的路程比原来多20 km,那么在4天内它的行程就超过2 200 km,写成不等式为;如果它每小时行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间,用不等式表示为.【解析】①原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x+20)km.则不等关系“在4天内它的行程就超过2 200 km”,写成不等式为4×24×(x+20)>2 200,即96(x+20)>2 200.②原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间”,写成不等式为8x>9(x-12).答案:96(x+20)>2 200 8x>9(x-12)类型二用不等式组表示不等关系(数学抽象、数学建模)【典例】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路导引】①甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数;②车队每天至少要运360 t矿石;③甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆.【解析】设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则即用不等式组表示不等关系的三注意(1)适用条件:当问题中同时满足几个不等关系时,应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,则选用几个字母分别表示这些变量即可.(2)全:解决这类有多个不等关系的问题时,要注意根据题设将所有不等关系都找出来.(3)读:若有表格、图象等,读懂表格、图象对解决这类问题很关键.1.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的x辆公共汽车.如果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为.【解析】根据题意得:答案:2.某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如表:家电名称空调彩电冰箱工时/h若每周生产空调x台、彩电y台,试写出满足题意的不等式组.【解析】由题意,知x≥0,y≥0,每周生产冰箱(120-x-y)台.因为每周所用工时不超过40 h,所以x+y+(120-x-y)≤40,即3x+y≤120.又每周至少生产冰箱20台,所以120-x-y≥20,即x+y≤100.所以满足题意的不等式组为【拓展延伸】列不等式组表示不等关系(1)关注限制条件:实际应用问题中往往有2到3个限制条件,应先分析这些限制条件,并用不等式表示;(2)关注变量范围:要根据实际问题的意义确定变量的范围,并在不等式组中表示出来.【拓展训练】有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.【解析】设宿舍x间,则学生(4x+19)人,依题意解得<x<.因为x∈N*,所以x=10,11或12,学生人数为:59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人. 【补偿训练】1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示为.【解析】“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,所以答案:2.用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组为.【解析】依题意得第二次钉子没有全部进入木板第三次全部进入木板所以(k∈N*).答案:(k∈N*)类型三比较大小(逻辑推理、数学运算、数学建模) 角度1 作差法比较大小【典例】若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x)C.f(x)>g(x)D.随x值变化而变化【思路导引】作差,根据差的正负判断.【解析】选C.f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以f(x)>g(x).本例中若g(x)=3x2+x,试比较f(x)与g(x)的大小关系.【解析】f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(3x2+x)=-2x+1,当-2x+1>0,x<时,f(x)>g(x) ;当-2x+1=0,x=时,f(x)=g(x);当-2x+1<0,x>时,f(x)<g(x).角度2 作商法比较大小【典例】已知a>0,b>0且a≠b,比较a a b b与(ab的大小.【思路导引】作商,利用指数运算的性质变形,判断商与1的关系.【解析】因为a>0,b>0且a≠b,所以==,当a>b>0时,>1,>0,>1,此时a a b b>(ab;当b>a>0时,<1,<0,>1,此时a a b b>(ab,综上所述a a b b>(ab.1.关于作差法比较大小对差式的变形是判断差式正负的关键,常用的变形有配方、通分、因式分解、分母有理化等.2.关于作商法比较大小多用于指数式的比较,对商式一般利用指数的运算性质,通过约分、化同次等方法,比较与1的大小.1.已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.【解析】因为-(a+b)=-b+-a=+=(a2-b2)=(a2-b2)=,又因为a>0,b>0,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0.所以-(a+b)>0,所以+>a+b.2.设a>0,b>0,且a≠b,试比较a a b b,a b b a的大小.【解析】因为=a a-b·b b-a=,(1)若0<a<b,则0<<1,a-b<0;故>1,(2)若0<b<a,则>1,a-b>0;故>1.综上,a a b b>a b b a.【拓展延伸】作差法比较大小的一般步骤第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键. 【拓展训练】已知a,b为正实数,试比较+与+的大小. 【解题指南】注意结构特征,尝试用作差法或者作商法比较大小.【解析】方法一:(作差法)-(+)=+=+= =.因为a,b为正实数,所以+>0,>0,(-)2≥0,所以≥0,当且仅当a=b时等号成立.所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).方法二:(作商法)======1+≥1,当且仅当a=b时取等号.因为+>0,+>0,所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).方法三:(平方后作差)因为=++2,(+)2=a+b+2,所以-(+)2=.因为a>0,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时取等号.又+>0,+>0,故+≥+(当且仅当a=b时取等号). 【补偿训练】(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小;(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.【解析】(1)-====.因为a>b>c>0,所以a-b>0,ab>0,a+b-c>0.所以>0,即>.(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.因为≥0,所以+≥>0,所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,所以2x2+5x+3>x2+4x+2.【课堂检测·素养达标】1.(教材二次开发:习题改编)已知a,b分别对应数轴上的A,B两点坐标,且A在原点右侧,B在原点的左侧,则下列不等式成立的是( ) A.a-b≤0 B.a+b<0C.|a|>|b|D.a-b>0【解析】选D.a>0,b<0,所以a-b>0.2.已知a∈R,p=a2-4a+5,q=(a-2)2,则p与q的大小关系为( )A.p≤qB.p≥qC.p<qD.p>q【解析】选D.p-q=a2-4a+5-(a-2)2=1>0,所以p>q.3.某地规定本地最低生活保障金x元不低于1 000元,则这种不等关系写成不等式为.【解析】因为最低生活保障金x元不低于1 000元,所以x≥1 000.答案:x≥1 0004.某杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.根据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本,若把提价后杂志的单价设为x元,表示销售的总收入不低于20万元的不等式为.【解析】由题意,销售的总收入为x万元,所以“销售的总收入不低于20万元”用不等式可以表示为x≥20.答案:x≥20【新情境·新思维】已知函数f(x)=x2+4x+c,则f(1),f(2),c三者之间的大小关系为. 【解析】f(1)=5+c,f(2)=12+c,则c<f(1)<f(2).答案:c<f(1)<f(2)。
新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案
§集中的含意及其表示之阳早格格创做[自教目标]1．认识并明黑集中的含意，知讲时常使用数集及其记法;2．相识属于关系战集中相等的意思,收端相识有限集、无限集、空集的意思;3．收端掌握集中的二种表示要领—枚举法战形貌法,并能精确天表示一些简朴的集中. [知识重心]1． 集中战元素 (1)A 的元素,A,(2)A 的元素,A,2.集中中元素的个性:决定性;无序性;互同性.3.集中的表示要领:枚举法;形貌法;Venn 图.4.集中的分类:有限集;无限集;空集.5.时常使用数集及其记法:整数[预习自测]例1.下列的钻研对付象是可形成一个集中?如果能,采与适合的办法表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有下身材的共教; （3; （4）所有大于0的背数;（5）仄里曲角坐标系内,第一、三象限的仄分线上的所有面.分解：推断某些对付象是可形成集中,主假如根据集中的含意,查看是可谦脚集中元素的决定性.例2.,那么此三角形一定是 ( )A.曲角三角形B.钝角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.. 分解: 某元素属于集中A,必具备集中A 反过去,只消元素具备集中A 便一定属于集中A.例4..[课内训练]1．下列道法精确的是（）（A B ）0（CD 个元素2AB C D 3AB C ．（1，1） D4B ＝5B=. [归纳深思]1．原课时的沉面真量是集中的含意及其表示要领，易面是元素与集中间的关系以及集中元素的三个要害个性的精确使用；2．根据元素的个性举止分解，使用集中中元素的三个个性办理问题，喊搞元素分解法.那是办理有关集中问题的一种要害要领；3．决定的对付象才搞形成集中.可依据对付象的个性大概个数的几去表示集中,如个数较少的有限集中可采与枚举法,而其余的普遍采与形貌法. 4.要特天注意数教谈话、标记的典型使用. [坚韧普及]1．已知下列条件：①小于60的部分有理数；②某校下一年级的所有教死；③与2的所有解.其中不不妨表示集中的有--------------------（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2-----------------------------------------（）A 3（）A B C D4．已知集中A 是（） A ．0B ．-1C ．1D ．25．圆程组3254x yx y =+⎧⎨+=⎩的解的集中是---------------------------------------（）A ．(){}1,1-B ．(){}1,1-C ．()(){},1,1x y -D ．{}1,1-6．用枚举法表示不等式组240121x x x +>⎧⎨+≥-⎩的整数解集中为：7．设215022x x ax ⎧⎫∈--=⎨⎬⎩⎭，则集中21902x x x a ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭中所有元素的战为： 8、用枚举法表示下列集中：⑴(){},3,,x y x y x N y N +=∈∈⑵{}3,,y x y x N y N +=∈∈9．已知A ={1，2，x 2－5x ＋9}，B ={3，x 2＋ax ＋a }，如果A ={1，2，3}，2 ∈B ，供真数a 的值.10.设集中{},3A n n Z n =∈≤，集中{}21,B y y x x A ==-∈，集中，试用枚举法分别写出集中A 、B 、C.子集、齐集、补集[自教目标]1.相识集中之间包罗关系的意思.2.明黑子集、真子集的观念.3.相识齐集的意思,明黑补集的观念. [知识重心]1.子集的观念：如果集中A 中的任性一个元素皆是集中B 中的元素（若a A ∈,则a B ∈），那么称集中A 为集中B 的子集（subset ），记做B A ⊆大概A B ⊇,.B A ⊆还不妨用Venn 图表示.咱们确定:A ∅⊆.即空集是所有集中的子集. 根据子集的定义,简单得到:⑴所有一个集中是它自己的子集,即A A ⊆.⑵子集具备传播性,即若B A ⊆且B C ⊆,则A C ⊆.2.真子集：如果B A ⊆且A B ≠,那时集中A 称为集中B 的真子集（proper subset ）.记做：A B⑴确定：空集是所有非空集中的真子集. ⑵如果A B, B C ,那么A C3.二个集中相等：如果B A ⊆与B A ⊆共时创造,那么,A B 中的元素是一般的,即A B =.4．齐集：如果集中S 包罗有咱们所要钻研的各个集中，那时S 不妨瞅A B (){}2,1,C x y y x x A ==-∈做一个齐集（Universal set ），齐集常常记做U.5．补集：设A S ⊆,由S 中不属于A 的所有元素组成的集中称为S 的子集A 的补集（complementary set ）, 记做：S A （读做A 正在S 中的补集）,即 补集的Venn 图表示: [预习自测]例1．推断以下关系是可精确：⑴{}{}a a ⊆；⑵{}{}1,2,33,2,1=；⑶{}0∅⊆； ⑷{}00∈；⑸{}0∅∈；⑹{}0∅=；例2.设{}13,A x x x Z =-<<∈,写出A 的所有子集.例3.已知集中{},,2M a a d a d =++,{}2,,N a aq aq =,其中0a ≠且MN =,供q 战d的值(用a 表示).例4.设齐集{}22,3,23U a a =+-,{}21,2A a =-,{}5U C A =,供真数a 的值. 例5.已知{}3A x x =<,{}B x x a =<. ⑴若B A ⊆,供a 的与值范畴; ⑵若A B ⊆,供a 的与值范畴; ⑶若R C A R C B ,供a 的与值范畴. [课内训练]1． 下列关系中精确的个数为（）①0∈{0}，②Φ{0}，③{0，1}⊆{（0，1）}，④{（a ，b ）}＝{（b ，a ）}A ）1（B ）2 （C ）3（D ）42．集中{}8,6,4,2的真子集的个数是（）（A ）16 (B)15 (C)14 (D) 133．集中{}正方形=A ，{}矩形=B ，{}平行四边形=C ,{}梯形=D ,则底下包罗关系中不精确的是（）（A ）B A ⊆ (B) C B ⊆ (C) D C ⊆ (D) C A ⊆4．若集中 ，则_____=b ．5．已知M={x| 2≤x ≤5}, N={x| a+1≤x ≤2a 1}.（Ⅰ）若M ⊆N ，供真数a 的与值范畴； （Ⅱ）若M ⊇N ，供真数a 的与值范畴. [归纳深思]1.那节课咱们教习了集中之间包罗关系及补集的观念,沉面明黑子集、真子集,补集的观念,注意空集与齐集的相关知识,教会数轴表示数集. 2. 深刻明黑用集中谈话道述的数教命题，并能准确天把它翻译成相关的代数谈话大概几许谈话，抓住集中谈话背笔墨谈话大概图形谈话转移是挨启解题大门的钥匙，办理集中问题时要注意充分使用数轴战韦恩图，收挥数形分离的思维要领的巨大能力. [坚韧普及]1．四个关系式：①∅}0{⊂；②0}0{∈；③}0{∈∅；④}0{=∅.其中表述精确的是[ ] A ．①，② B ．①，③ C ．①，④ D ．②，④2．若U={x ∣x 是三角形}，P={ x ∣x 是曲角三角形}，则=P C U ----------------------[ ]A ．{x ∣x 是曲角三角形}B ．{x ∣x 是钝角三角形}C ．{x ∣x 是钝角三角形}D ．{x ∣x 是钝角三角形大概钝角三角形}3．下列四个命题：①{}0∅=；②空集不子集；③所有一个集中必有二身材集；④空集是所有一个集中的子集．其中精确的有---------------------------------------------------[ ]Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个４．谦脚关系{}1,2A ⊆{}1,2,3,4,5的集中Ａ的个数是--------------------------[ ] Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ ５．若,x y R ∈，(){},A x y y x ==，(),1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则,A B 的关系是---[ ] Ａ．A B Ｂ．A B Ｃ．A =B Ｄ．A ⊆B６．设A={}5,x x x N ≤∈,B={x ∣1< x <6,x }N ∈,则=B C A７．U={x ∣},01582R x x x ∈=+-，则U 的所有子集是８．已知集中}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且谦脚B A ⊆，供真数a 的与值范畴.９．已知集中P={x ∣},062R x x x ∈=-+，S={x ∣},01R x ax ∈=+， 若S ⊆P ，供真数a 的与值集中.１０．已知M={x ∣x ,0>R x ∈}，N={x ∣x ,a >R x ∈} （1）若M N ⊆，供a 得与值范畴；（2）若M N⊇，供a得与值范畴；（3）若MC R，供a得与值范畴.C R N接集、并集[自教目标]1．明黑接集、并集的观念战意思2．掌握相识区间的观念战表示要领3．掌握有关集中的术语战标记[知识重心]1．接集定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}运算本量：(1)A∩B A，A∩B B(2) A∩A=A，A∩φ=φ(3) A∩B= B∩A(4) A B A∩B=A2．并集定义：A∪B={x| x∈A大概x∈B }运算本量：(1) A （A∪B），B （A∪B）(2) A∪A=A，A∪φ=A(3) A∪B= B∪A (4) A B A∪B=B[预习自测]1．设A={x|x＞—2}，B={x|x＜3}，供 A∩B战A∪B2．已知齐集U={x|x与不大于30的量数}，A、B是U的二身材集，且A∩C U B={5，13，23}，C U A∩B={11，19，29}，C U A∩C U B={3，7}，供A，B.3．设集中A={|a+1|，3，5}，集中B={2a+1，a2+2a，a2+2a—1}当A∩B={2，3}时，供A∪B[课内训练]1．设A=(]3,1-，B=[)4,2，供A∩B2．设A=(]1,0，B={0}，供A∪B3．正在仄里内，设A、B、O为定面，P为动面，则下列集中表示什么图形（1）{P|PA=PB} （2） {P|PO=1}4．设A={（x,y）|y=—4x+b},B={（x,y）|y=5x—3 }，供A∩B5．设A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|x=2k—1，k∈Z}，C= {x|x=2k，k∈Z}，供A∩B，A∪C，A∪B[归纳深思]1．集中的接、并、补运算，不妨借帮数轴，还不妨借帮文氏图，它们皆是数形分离思维的体现2．分类计划是一种要害的数教思维法，精确分类计划思维，掌握分类计划思维要领.[坚韧普及]1．设齐集U={a，b，c，d，e}，N={b，d，e}集中M={a，c，d}，则C U（M∪N）等于2．设A={ x|x＜2}，B={x|x＞1}，供A∩B战A∪B3．已知集中A B，供真数a 的与值范畴4．供谦脚{1,3}∪A={1，3，5}的集中A5．设A={x|x2—x—2=0}，A∩B6、设A={（x,y）| 4x+m y =6},B={（x,y）|y=nx—3 }且A∩B={（1，2）}，则m= n=7、已知A={2，—1，x2—x+1}，B={2y，—4，x+4}，C={—1，7}且A ∩B=C，供x，y的值8、设集中2+3px+2=0}，B={x|2x2+x+q=0}，其中p，q，x∈R，且A∩时，供p的值战A∪B9、某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，二车皆乘的18人，供：⑴只乘电车的人数⑵不乘电车的人数⑶乘车的人数⑷只乘一种车的人数10、设集中A={x|x2+2（a+1）x+a2—1=0}，B={x|x2+4x=0}⑴若A∩B=A，供a的值⑵若A∪B=A，供a的值集中复习课[自教目标]1．加深对付集中关系运算的认识2．对付含字母的集中问题有一个收端的相识[知识重心]1．数轴正在解集中题中应用2．若集中中含有参数，需对付参数举止分类计划 [预习自测]1．含有三个真数的集中可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可表示为{}0,,2b a a +，供20042003b a +2．已知集中A={}21|>-<x x x 或，集中B={}04|<+p x x ，当B A ⊇时，供真数p 的与值范畴3．已知齐集U={1，3，x x x 2323++}，A={1，|2x —1|}，若C U A={0}，则那样的真数x 是可存留，若存留，供出x 的值，若不存留，证明缘由 [课内训练]1．已知A={x|x<3}，B={x|x<a} （1）若B A ，供a 的与值范畴 （2）若A B ，供a 的与值范畴（3）若C R A C R B ，供a 的与值范畴2．若P={y|y=x 2，x ∈R}，Q={y| y=x 2+1，x ∈R }，则P ∩Q =3．若P={y|y=x 2，x ∈R}，Q={（x ，y ）| y=x 2，x ∈R }，则P ∩Q = 4．谦脚{a ，b} A {a ，b ，c ，d ，e}的集中A 的个数是 [归纳深思]1．由条件给出的集中要明黑它所表示的含意，即元素是什么？2．含参数问题需对付参数举止分类计划，计划时央供既不沉复也不遗漏.[坚韧普及]1．已知集中M={x|x 3—2x 2—x+2=0},则下列各数中不属于M 的一个是（）A ．—1B ．1C ．2D ．—22．设集中A= {x|—1≤x ＜2}，B={ x|x<a }，若A ∩B ≠φ，则a 的与值范畴是（）A ．a ＜2B ．a ＞—2C ．a ＞—1D ．—1≤a ≤23．集中A 、B 各有12个元素，A ∩B 中有4个元素，则A ∪B 中元素个数为4．数集M={x|N k k x ∈+=,41}，N={ x|N k k x ∈-=,412}，则它们之间的关系是⊂ ≠⊂≠5．已知集中M={（x,y ）|x+y=2 }，N={（x,y ）|x —y=4}，那么集中M ∩N=6．设集中A={x|x 2—px+15=0}，B={x|x 2—5x+q=0}，若A ∪B={2，3，5}，则A=B=7．已知齐集U=R ，A={x|x ≤3}，B={ x|0≤x ≤5}，供（C U A ）∩B8．已知集中A={x|x 2—3x+2=0}，B={x|x 2—mx+(m —1)=0}，且B A ，供真数m 的值9．已知A={x|x 2+x —6=0}，B={x|mx+1=0}，且A ∪B=A ，供真数m 的与值范畴10．已知集中A={x|—2＜x ＜—1大概x ＞0}，集中B={ x|a ≤x ≤b}，谦脚A ∩B={x|0＜x ≤2}，A ∪B={x|x ＞—2}，供a 、b 的值§函数的观念与图象（1）[自教目标]1．体验函数是形貌变量之间的依好关系的要害数教模型，明黑函数的观念；2．相识形成函数的果素有定义域、值域与对付应规则； [知识重心]12．函数观念的三果素：定义域、值域与对付应规则. 3．函数的相等. [预习自测]例1（1（2（2（3（4应，单值对付应的关键是元素对付应的存留性战唯一性.例2．下列各图中表示函数的是------------------------------------------[ ]⊂ ≠A B C D例3．正在下列各组函数中，)(x f 与)(x g 表示共一函数的是------------------[ ]A ．)(x f =1，)(x g =0xB ．x y =与2x y =C ．2x y =与2)1(+=x yD ．)(x f =∣x ∣，)(x g =2x63-x （x ≥0）例4 已知函数=)(x f 供)1(f 及)]1([f f 5+x （x 0<）， [课内训练]1．下列图象中表示函数y=f(x)关系的有--------------------------------( )A.(1)(2)(4)B.(1)(2)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)2．下列四组函数中，表示共一函数的是----------------------------------( ) A ．24129y x x =-+战32y x =-B ．2y x =战y x x = C ．y x =战2y x=D ．y x =战()2y x =3．下列四个命题（1）f(x)=x x -+-12蓄意思;（2）)(x f 表示的是含有x 的代数式（3）函数y=2x(x N ∈)的图象是背去线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图象是扔物线，其中精确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．0４．已知f(x)=221(1)1(1)x x x x ⎧->⎪⎨-<⎪⎩，则f(33)=；5．已知f 谦脚f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f =[归纳深思]１．原课时的沉面真量是函数的定义与函数暗号()f x 的意思，易面是函数观念的明黑战精确应用；xy xy x yxy OOO O２．推断二个函数是可是共一函数，是函数观念的一个要害应用，要能紧扣函数定义的三果素举止分解，进而精确天做出推断．[坚韧普及]1--------------------[ ]A B C D2．下列各项中表示共一函数的是ABCD3) ] AB．1C．24--------------------------------[ ]ABCD5678910[自教目标]掌握供函数定义域的要领以及步调；[知识重心]1、函数定义域的供法：(1)由函数的剖析式决定函数的定义域；(2)由本量问题决定的函数的定义域；(3). [预习自测]例1．供下列函数的定义域：（1）()1f x x x =+-（2）)(x f =xx -1（3）1()21f x x=+（4）)(x f =+-x 5x-21分解：如果()f x 是整式，那么函数的定义域是真数集R ；如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母0≠的真数的集中；如果()f x 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的表黑式≥0的真数的集中.★注意定义域的表示不妨是集中大概区间.例2．周少为l 的铁丝直成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边少为2x ，供此框架围成的里积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域例3．若函数=y )(x f 的定义域为[]1,1- （1）供函数(1)f x +的定义域； （2）供函数=y )41()41(-++x f x f 的定义域.[课内训练]１．函数()1f x x x=-的定义域是―――――――――――――――――（）Ａ．(),0-∞Ｂ．()0,+∞Ｃ．[0,)+∞Ｄ．Ｒ ２．函数f(x)的定义域是[12,1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（）A ［0,1］B ［2，52］ C ［0，52］ D (),3-∞３．函数()f x =()011x x -+-的定义域是：４．函数)5lg()(-=x x f 的定义域是5．函数()()1log 143++--=x x xx f 的定义域是 [归纳深思]１．函数定义域是指受节造条件下的自变量的与值；２．供函数的定义域时常是归纳为解不等式战不等式组； [坚韧普及]1．函数y =21x -+12-x 的定义域是----------------------------[ ] A ．[1-，1] B ．（),1[]1,+∞-∞- C ．[0，1] D ．{1,1-}2．已知)(x f 的定义域为[2,2-]，则)21(x f -的定义域为------------[ ] A ．[2,2-] B ．[]23,21- C ．[]3,1- D ．[,2-]233------------------------------------[ ]A45.6.7．供下列函数的定义域328.9．用少为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形里积S.10黑式.§函数的观念与图象（3）[自教目标]掌握供函数值域的基原供法；[知识重心]函数值域的供法函数的值域是由函数的定义域与对付应规则决定的，果此，央供函数的值域，普遍要从函数的定义域与对付应规则进脚分解，时常使用的要领有：（1）瞅察法；（2）图象法；（3）配要领；（4）换元法.[预习自测]例1．供下列函数的值域：（1（2（3（4（5（6分解：供函数的值域，一种时常使用的要领便是将函数的剖析式做适合的变形，通过瞅察大概利用死知的基原函数（如一次函数、二次函数等）的值域，进而逐步推出所供函数的值域（瞅察法）；大概者也不妨利用换元法举止转移供值域.例2．畴[1A2．函数y=2x2-4x-3，0≤x≤3的值域为 ( )∞)3 ( )A45．供函数[归纳深思]供函数的值域是教习中的一个易面，要领机动百般，初教时只消掌握几种时常使用的要领，如瞅察法、图象法、配要领、换元法等，正在以去的教习中还会有一些新的要领（比圆使用函数的单调性、配要领、分段计划法、不等式法等等），不妨逐步天深进战普及.[坚韧普及---------------------------------------[ ]1.A2.下列函数中，值域是的是A3.--------[ ]:.5.:.6.:.7.供下列函数的值域23（1（4568.§函数的观念与图象（4）[自教目标]1．会使用描面法做出一些简朴函数的图象，从“形”的角度进一步加深对付函数观念的明黑；2．通过对付函数图象的描画战钻研，培植数形分离的意识，普及使用数形分离的思维要领办理数教问题的本领． [知识重心]1．函数图象的观念每一个值时，便得到一系列那样的面．所有那些面组成的集中（面2．函数图象的画法画函数的图象，时常使用描面法，其基原步调是：⑴列表；⑵描面；⑶连线．正在画图历程中，一定要注意函数的定义域战值域． 3．会做图，会读（用）图 [预习自测]例1．画出下列函数的图象，并供值域：，2]；；例2y =3x 2-6x |图象的接面个数为（） （A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个例3.下图中的A. B. C. D 四个图象中，用哪三个分别形貌下列三件事最符合，并请您为剩下的一个图象写出一件事. 离启家的距离(m) 离启家的距离(m) 时间（min ）时间（min ）A B离启家的距离(m) 离启家的距离(m) 时间（min ）时间（min ）C D(1) 尔离启家不暂，创造自己把做业原记正在家里了，停下去念了一会仍旧返回家与了做业原再上教；(2) 尔骑着车一路匀速止驶，不过正在途中逢到一次接通阻碍，延误了一些时间；(3) 尔出收后，心情沉快，缓缓前进，厥后为了赶时间加快了速度. [课堂训练]1．下列四个图像中，是函数图像的是（ ）A 、（1）B 、（1）、（3）、（4）C 、（1）、（2）、（3） D 、（3）、（4）2．曲线x a =()a R ∈战函数21y x =+的图象的接面个数 ( )A 至多一个B 起码有一个C 有且仅有一个D 有一个大概二个以上3．函数y=|x+1|+1的图象是 ( )4．某企业近几年的年产值如图，则年删少率最下的是（ ）（年删少率=年删少值/年产值）A ）97年B ）98年C ）99年D ）00年5．做出函数223(1y x x x =--≤-大概2x >）的图象；[归纳深思] 根据函数的剖析式画函数的图象，基原要领是描面法，但是值得指出的是：一要注意函数的定义域，二要注意对付函数剖析式的个性加以分解，充分利用已知函数的图象普及做图的速度战准确性； 函数的图象是表示函数的一种要领，通过函数的图象不妨曲瞅天表示x 与y 的对付应关系以及二个变量变更历程中的变更趋势，以去咱们会时常天使用函数剖析式与函数图象二者的有机分离去钻研函数xOyxxxyyyOOO（1）（2）（3）（4）0099989796(年）2004006008001000（万元）的本量． [坚韧普及]1．某教死离家去书院，由于怕早退，所以一启初便跑步，等跑乏了再走做余下的路，正在 下图中纵轴表示离书院距离，横轴表示出收后的时间，则下图中较切合教死走法的是（ ） d d d dO t O t O t O t A B C D 2．某工厂八年去产品C （即前t 年年产量之战）与时间t(年)的函数如下图，下列四种道法：（1）前三年中，产量删少的速度越去越快； （2）前三年中，产量删少的速度越去越缓； （3）第三年后，年产量脆持稳定； （4）第三年后，年产量逐步删少． 其中道法精确的是（）A ．（2）与（3）B ．（2）与（4）C ．（1）与（3）D ．（1）与（4）3.下列各图象中，哪一个不可能是函数)(x f y =的图象（）xA ．B ．xxC ．D ．4.函数)0(≠+=kb b kx y 的图象短亨过第一象限，则b k ,谦脚-----------[ ] A ．k 0,0><b B ．0,0<<b k C ．0,0<>b k D ．0,0>>b k5.函数c bx ax y ++=2与b ax y +=（)0≠ab 的图象只大概是---------[ ]A ．B ．C ．D ．6.函数1+=x y 的图象是----------------------------------------[ ]A ．B ．C ．D ． 7.函数1(13-=x y ≤x ≤2）的图象是xy0 0xxxxxx x xyyyyy yyy8.一次函数的图象通过面（2,0）战（-2，1），则此函数的剖析式为9.10.（1（2[自教目标]1.相识表示函数有三种基原要领:图象法、列表法、剖析法;明黑函数关系的三种表示要领具备内正在的通联，正在一定的条件下是不妨互相转移的.2.相识供函数剖析式的一些基原要领,会供一些简朴函数的剖析式.3.相识简朴的分段函数的个性以及应用.[知识重心]1.表示函数的要领,时常使用的有:剖析法,列表法战图象法.正在表示函数的基原要领中,列表法便是间接列表表示函数,图象法便是间接做图表示函数,而剖析法是通过函数剖析式表示函数.2.供函数的剖析式,普遍有三种情况⑴根据本量问题修坐函数的关系式;⑵已知函数的典型供函数的剖析式;⑶使用换元法供函数的剖析式;3．分段函数正在定义域内分歧部分上,有分歧的剖析表黑式的函数常常喊搞分段函数;注意:①分段函数是一个函数,而不是几个函数;;值范畴的并集[例题分解]例1．买买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用剖成的函数，并指出该析法、列表法、图象法将y表示例2．（1）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，供f(x)的表黑式；（2）已知，供f(x)的表黑式；例3︱的图象 变题③供函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的值域变题④做出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象，是可存得通太过类计划，将剖析式化为不含有千万于值的式子．做出f(x)的图象例4(1)供f(-3)、f[f(－3)] ； （2）若供a 的值．[课堂训练]1．用少为30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形里积S一边少x （cm ）的函数，并画出函数的图象．2.若f(f(x))=2x －1，其中f(x)为一次函数，供f(x)的剖析式．3.已知f(x-3)f(x+3) 的表黑式．4．如图，根据的图象，写出y=f(x)的剖析式． [归纳深思]1. 函数关系的表示要领主要有三种: 剖析法,列表法战图象法.那三种表示要领各有劣缺面,千万不克不迭误认为惟有剖析式表示出去的对付应关系才是函数;2. 函数的剖析式是函数的一种时常使用的表示要领,央供二个变量间的函数关系,一是央供出它们之间的对付应规则,二是央供出函数的定义域;3. 无论使用哪种要领表示函数,皆不克不迭忽略函数的定义域;对付于分段函数,还必须注意正在分歧的定义范畴内,函数有分歧的对付应关系,必须先分段钻研,再合并写出函数的表黑式. [坚韧普及]1．函数f(x)=︱x+3︱的图象是------------------------------------------------------------( )2--------------------------------------------------( )A.32x + B.3x + C.32x + D.23x +3．已知一次函数的图象过面()1,0以及()0,1，则此一次函数的剖析式为------（）A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．1y x =-D ．1y x =--4．已知函数()()()221122(2)x x y f x x x x x +≤-⎧⎪==-<<⎨⎪>⎩，且()3f a =，则真数a 的值为---（）A ．1B ．1.5C ．3-D ．35．若函数()2,(),(1)1,f x x mx n f n m f =-+==-则()5f -= 6．某航空公司确定，乘机所携戴止李的沉量（kg ）与其运费（元）由如图的一次函数图象决定，那么搭客免费可携戴止李的最大沉量为7．画出函数2x0,f(x)=x0,x x ≥⎧⎨<⎩的图象，并供f(32+)+f(32-的值． 8．画出下列函数的图象(1) y=x －︱1－x ︱ (2) 21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩9．供函数y=1－︱1－x ︱的图象与x 轴所围成的启关图形的里积．。
广东省佛山市中大附中三水实验中学高一数学《3.1.1不等关系与不等式的性质》课件 新人教A版必修5
abab0
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是
推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是:
因式分解、配方、 通分等手段
作差
变形
判断
结论
比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b 作差
am a
(a m)a
ab ma ab bm (a m)a
m(a b) (a m)a
变形
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b 定符号 ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
从表格中你能获得什么信息？ 用数学关系来反映就是：
f≥2.5%
p≥2.3%
小于、大于、不小于、不大于、少于、多于、 不少于、不多于、至多、最多、至少、最少
学生活动
雷电的温度大约是28000℃，比太阳 表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温 度为t ℃， 那么t应满足怎样的关系式？
4.5t<28000
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
这个数学问题怎么解决?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢?
这是一个不等式的证明问题
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
∴bm b 0∴bm b
am a
am a
2019-2020新课程同步人教A版高中数学必修第一册新学案课件：3.1 3.1.1 函数的概念
第十五页，编辑于星期日：点 二十九分。
[方法技巧] 1．判断对应关系是否为函数的 2 个条件 (1)A，B 必须是非空数集． (2)A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系， “一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于 x 轴的直线 l. (2)在定义域内平行移动直线 l. (3)若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内 没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
x＋10
所以函数 y＝
的定义域为{x|x＞－2 且 x≠－1}．
x＋2
5－x≥0， (3)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足
|x|－3≠0，
5－x
解得 x≤5，且 x≠±3，所以函数 y＝
的定义域为{x|x≤5 且 x≠±3}．
|x|－3
x＋1≥0， (4)要使函数 f(x)有意义，则
－x2－3x＋4>0，
④A＝{(x，y)|x∈R ，y∈R }，B＝R ，对应关系 f：(x，y)→s＝
x＋y；
⑤A＝{x|－1≤x≤1，x∈R }，B＝{0}，对应关系 f：x→y＝0.
A．①④⑤ C．②③⑤
B．②③④ D．①②④
第十四页，编辑于星期日：点 二十九分。
[解析] ①中，在对应关系 f 下，A 中不能被 3 整除的数在 B 中没有元素与之对应，故①不是；②中，在对应关系 f 下，A 中的数在 B 中有两个数与之对应，所以②不是；④中，A 不是 数集，所以④不是，③⑤显然满足函数的特征，故③⑤是．
{x|x≤b}
_(_－__∞__，__b_]_
{x|x＜b}
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。
3.1.1 函数的概念第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
§3．1．1 函数的概念导学目标：1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．（预习教材P59~ P66，回答下列问题）回忆：初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。
情景：请同学们考虑以下两个问题：①1y=是函数吗？②y x=和2xyx=是同一个函数吗？为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：问题一：某“复兴号”高速列车加速到350km后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为350S t=．①思考1：有人说：“根据对应关系350S t=，这趟列车加速到50/km t后，运行1h就前进了350km．”你认为这个说法正确吗?本题中，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．第二章 一元二次函数、方程和不等式- 2 -问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。
显然，工人一周的工资w （元）和他一周工作天数d （天）的关系可表示为350w d ．②思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数的值I ？思考3：本题中变量I 是变量t 的函数吗？问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年高中数学 3.1不等关系与不等式（1）导学案新人教A 版必修
【学习目标】
1． 用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；
2． 掌握作差比较大小的基本步骤，并且能灵活的应用来解决一些实际生活问题。
【重点难点】
重点：用实数的基本理论来比较两个代数式的大小
难点：能灵活的应用不等式来解决一些实际生活问题。
. 【学习过程】
一、自主学习：
任务1: 不等式的的知识回顾设,,0a b R ∈⇔则a-b ＞ ；0⇔a-b= 0⇔a-b ＜
根据上式推出下式大小关系：
（１）,a b b c ⇒＞＞ ； （２）a b a c ⇒+＞ b c +；
（３）,0a b c ac ⇒＞＞ bc ：（４）,0a b c ac ⇒＞＜ bc ：
（５）,a b c d a c ⇒+＞＞ b d +；
（６）0,0a b c d ac ⇒＞＞＞＞ bd ；
（７）0,,1n a b n N n a ∈⇒＞＞＞ ,n n b a
n b 。
任务2:
（1）比较大小的基本步骤：
（2）一般地，设b ,a 为正实数，且0><m ,b a ，则有
请同学们在实际生活中举几个满足上述结论的例子？
二、合作探究归纳展示 探究1：
文字语言 数学符号
文字语言 数学符号 大于
至多 小于
至少 大于等于
不少于 小于等于 不多于 探究2：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，
写成不等式就是_______________
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p 应不少于2.5%，蛋白质的含量q 应不少于2.3%，写成不等式组就是_________________
三、讨论交流点拨提升
例 1 设点A 与平面
的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则其中不等关系有
______________
例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
例3某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
四、学能展示课堂闯关
知识拓展
“等量关系”和“不等量关系”是“数学王国”的两根最为重要的“支柱”，相比较其它一些科学王国来说，“证明精神”可以说是“数学王国”的“血液和灵魂”．
1. 下列不等式中不成立的是（ ）.
A ．12-≤
B ．12-<
C ．11-≤-
D ． 2. 用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于300元 （ ）.
A ．300a ≤
B ．300a ≥
C ．300a >
D ．300a <
3. 已知0a b +>，0b <，那么,,,a b a b --的大小关系是（ ）.
A ．a b b a >>->-
B ．a b a b >->->
C ．a b b a >->>-
D ．a b a b >>->-
4. 用不等式表示：a 与b 的积是非正数___________
5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间_______________________
五、学后反思
1．会用不等式（组）表示实际问题的不等关系；
2．会用不等式（组）研究含有不等关系的问题．
【课后作业】
1. 某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5顶．若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．
2. 某正版光碟，若售价20元/本，可以发行10张，售价每体高2元，发行量就减少5000张，如何定价可使销售总收入不低于224万元?。