2013高考数学复习二
高考数学二轮复习第一篇专题四数列第2讲数列求和及简单应用课件理
+2an+1=4S
n+1+3.
可得
a2 n 1
-
an2
+2(an+1- an)=4an+1,即
2(an+1+an)=
a2 n 1
-
an2
= (an+1+an)(an+1-an).
由于 an>0,可得 an+1-an=2.
又 a12 +2a1=4a1+3, 解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.
所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.
第二个使用累积的方法、第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设 an+1+λ =p(an+λ),展开比较系数得出λ);(3)周期数列,通过验证或者推理得出数列的 周期性后得出其通项公式.
热点训练 1:(1)(2018·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}
中,a1=2, an1 = an +ln(1+ 1 ),则 an 等于( )
n
所以
1 =2（1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 -
1
）
S k 1 k
223
n n1
=2(1- 1 ) n 1
= 2n . n 1
答案: 2n n 1
3.(2015·全国Ⅱ卷,理16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则
Sn=
.
解析:因为 an+1=S n+1-Sn,所以 Sn+1-Sn=Sn+1Sn,
2013年高考数学总复习 11-2 复数的概念与运算课件 新人教B版
|－ |＝2＋i，则 z 等于( z 3 A．－ ＋i 4 3 C. ＋i 4
解析： z＝2－|－|＋i 知 z 的虚部为 1， z＝a＋i(a 由 z 设 3 ∈R)，则由条件知 a＝2－ a ＋1，∴a＝ ，故选 C. 4
2
答案：C
若复数 z 在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5， －对应点在直线 y＝4x 上，则 z＝________. z 3
解析：由(a＋i)i＝b＋i，得 ai－1＝b＋i， 所以 a＝1，b＝－1.
答案：C
(理)(2011· 安徽宣城调研)已知 i 是虚数单位，复数 z i 满足 ＝2－i，则 z＝( z＋i 1 3 A．－ － i 5 5 1 3 C. － i 5 5 ) 1 3 B．－ ＋ i 5 5 1 3 D. ＋ i 5 5
a＋3i (文)(2010· 广东佛山)若复数 (a∈R， 为虚数单 i 1＋2i 位)是纯虚数，则实数 a 的值为( A．－2 C．－6 B．4 D．6 )
a＋3i a＋3i1－2i a＋6＋3－2ai 解析：∵ ＝ ＝ 为纯 5 1＋2i 1＋2i1－2i
a＋6＝0 虚数，∴ 3－2a≠0
B．第二象限 D．第四象限
2－i 2－i2 4－4i－1 3 4 解析：∵z＝ ＝ ＝ ＝ － i. 5 5 5 5 2＋i 3 4 ∴z 在复平面内对应的点为 ( ，－ )，故选 D. 5 5
答案：D
复数的模
[例 6] (2010· 山东临沂质检)设复数 z 满足关系式 z＋ ) 3 B. －i 4 3 D．－ －i 4
A．x＝－1，y＝1 C．x＝1，y＝1
分析：按复数的乘法运算展开后，由复数相等的条件 列方程组求解．
解析：由(x＋i)(1－i)＝y 得(x＋1)－(x－1)i＝y
【名师导学】高考数学第一轮总复习 同步测试卷2函数的概念与性质课件 理
(函数的概念与性质) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分． 每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的．) 1．集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|0≤x≤2}，给出集合 A到集合B的下列对应，其中是A到B上的函数的是 (C )
(2)f(x)＜g(x)在(0,1]上恒成立
⇔－x3＋ax＜－x3＋4x2＋1在(0,1]上恒成立，
即a＜4x＋
1 x
在(0,1]上恒成立．令φ(x)＝4x＋
1 x
≥2 4＝4，当且仅当4x＝1x⇔x＝12时取等号．
∴x＝12时，φ(x)min＝4.故a＜4.
13．(18分)已知函数h(x)＝x(1＋x)2. (1)求h(x)的单调区间； (2)是否存在区间[a,0](a<0)，使函数h(x)在区间[a,0] 上的值域为[ka,0]？若存在，求出最小的k值及相应的 区间[a,0]；若不存在，说明理由．
(2)由(1)可作出h(x)的草图．
1°.当－31≤a<0时， h(x)min＝h(a)＝ka， ∴k＝(1＋a)2≥49. 2°.当－34≤a≤－13时， h(x)min＝h(－13)＝－247＝ka， k＝－247a，19≤k≤49.
3°.当a≤－43时，h(x)min＝h(a)＝a(1＋a)2＝ka， ∴k＝(1＋a)2≥19，a＝－43时取等号． 综上所述：kmin＝19，此时[a,0]＝[－43，0]．
结出下列函数：
①f(x)＝0；
②f(x)＝x2；
③f(x)＝sinx＋x cosx； ④f(x)＝ x 2 x 1 ；
⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1， x2，均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|. 其中是F函数的序号为 ①④⑤ .
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第5课时 对数与对数函数
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)由指数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>0， ∴0<0.95.1<1，即0<m<1. 又∵5.1>1，而0.9>0，∴5.10.9>1，即n>1. 由对数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>1，∴log0.95.1<0， 即p<0.综上，p<m<n.
图所示，则a，b满足的关系是( A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a 1<b 1<1
－ －
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
【解析】 首先由于函数φ(x)＝2x＋b－1单调递增， 可得a>1；又－1<f(0)<0，即－1<logab<0，所以a－
【解析】 设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－ 1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可．(如图所示)
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
当0<a<1时，显然不成立． 当a>1时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需 f1(2)≤f2(2)， 即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1<a≤2.
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
高考数学复习—立体几何：(二)空间直线平面关系判断与证明—平行与垂直关系证明(试题版)
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP .►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF .[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：①B,C,H,G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG .►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：①EG∥平面BB1D1D；②平面BDF∥平面B1D1H .【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH .3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F .题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE .►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝12AB,PH为△P AD中AD边上的高.①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面P AB.[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(I)求证：EF⊥平面BCG；(II)求三棱锥D -BCG的体积.►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°,AC＝BC＝12AA1,D是棱AA1的中点.(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(II)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离.【变式训练】1.如图,四棱锥P—ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E 在线段AD上,且CE∥AB. (1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A -MBC的体积.3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P-ABC中,P A＝PB＝AB ＝BC,∠PBC＝90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(1)求证：平面P AB⊥平面ABC；(2)如果三棱锥P-BCD的体积为3,求P A.4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合【典型例题】[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(写出序号).①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；③若α∥β,l∥α,则l∥β；④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(II)求证：C1F∥平面ABE；(III)求三棱锥E-ABC的体积.►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；(II)平面BDE⊥平面ABC.[例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(I)求四面体ABCD的体积；(II)证明：四边形EFGH是矩形.►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【变式训练】1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a ⊂α,b ⊂α,且l ⊥a ,l ⊥b ,则l ⊥αD.若a ⊥α,a ∥β,则α⊥β 6.(2015·山东二模)设m ,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( ) A.当n ⊥α时,“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m ⊂α时,“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m ⊂α时,“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D.当m ⊂α时,“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l ,若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 8.(2013北京)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD ＝2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .9.[2014·山东文]如图,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD , AD ∥BC ,AB ＝BC＝12AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点.(Ⅰ)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)设AA 1=AC =CB =2,AB =22,求三棱锥C -A 1DE 的体积.11.(2013·辽宁)如图,AB 是圆O 的直径,P A 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点. (1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)设Q 为P A 的中点,G 为△AOC 的重心,求证：QG ∥平面PBC .12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1,AD ＝3,三棱锥P - ABD 的体积V ＝34,求A到平面PBC 的距离.13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E . 求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.14.(2015广东文)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD =PC ＝4,AB ＝6,BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离.15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝16, BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥B C,∠BAD =π2, AB =BC =12AD =a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1﹣BCDE ． (Ⅰ)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(Ⅱ)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为362,求a 的值．17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ,EF 交BD 于点H ,将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′(2)若AB =5,AC =6,AE =54,OD ′=22,求五棱锥D ′ABCFE 的体积．18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点． (1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．19.[2017全国I 文]如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)若PA =PD =AB =DC ,∠ADP ＝90°,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.20.[2017全国II 文]如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =12AD , ∠BAD =∠ABC =90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ;(2)若△PCD 面积为27,求四棱锥P-ABCD 的体积.21.[2017全国III 文]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则( )A.A 1E ⊥DC 1B.A 1E ⊥BDC.A 1E ⊥BC 1D.A 1E ⊥AC22.[2017全国III 文]如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.。
安徽省2013年高考数学第二轮复习 专题七概率与统计第3讲 .
专题七 概率与统计第3讲 随机变量及其分布列真题试做1．(2012·课标全国高考，理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．2．(2012·山东高考，理19)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．3．(2012·陕西高考，理20)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．4．(2012·安徽高考，理17)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束，若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题．以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量．(1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的分布列和均值(数学期望)． 考向分析本讲是概率统计的重点，主要考查三方面的内容：①相互独立事件及其概率，题型有选择、填空，有时也出现在解答题中与其他知识交会命题；②二项分布及其应用，准确把握独立重复试验的特点是解答二项分布问题的关键，一般以中档题为主；③随机变量的分布列、期望和方差，以考生比较熟悉的实际应用题为背景，综合排列组合、概率公式、互斥事件及独立事件等基础知识，考查对随机变量的识别及概率计算能力，解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用，其中有选择题，也有填空题，但更多的是解答题，难度中档．热点例析热点一 相互独立事件及其概率【例1】乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率． 规律方法(1)求复杂事件的概率的一般步骤：①列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；②理清各事件之间的关系，列出关系式．即把随机事件分成几个互斥事件的和，每个小事件再分为n 个相互独立事件的乘积．③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．(2)直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．变式训练1甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 热点二 二项分布及其应用【例2】(2012·安徽六安一中第十次月考，理17)为备战运动会，射击队运动员们正在积极备战．若某运动员每次射击成绩为10环的概率为13.求该运动员在5次射击中，(1)至少有3次射击成绩为10环的概率；(2)记“射击成绩为10环的次数”为ξ，写出ξ的分布列并求E ξ.(结果用分数表示) 规律方法事件服从二项分布的条件是：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．变式训练2某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．热点三 离散型随机变量的分布列、均值与方差【例3】(2012·天津高考，理16)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．规律方法求离散型随机变量的分布列，关键是计算各个概率值，一方面要弄清楚相应的概型(古典概型、相互独立事件的概率、独立重复试验等)，以便套用相关的计算公式计算；另一方面要注意运用分布列的性质检验所求概率值是否正确．变式训练3(2012·安徽江南十校联考，理18)“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器．某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为35，15，15；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a 和b (其中a ＋b ＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布及均值(数学期望)E ξ；(2)如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a 的取值范围．思想渗透转化与化归思想——期望与概率的实际应用解题中要善于透过问题的实际背景，发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【典型例题】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假设甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)且X 1的数学期望E (X 1)＝(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望； (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性.解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2，又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2. (2)X 2的概率分布列如下：所以E (X 2) 4.8， 即乙厂产品的等级系数X 2的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其“性价比”为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其“性价比”为4.84＝1.2.所以乙厂的产品更具可购买性．1．设随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，若P (ξ>m )＝a ，则P (ξ>6－m )等于( )． A ．a B ．1－2a C ．2a D ．1－a2．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )．A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )3．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以Z 表示取出球的最大号码，令a ＝P (Z ＝6)，则函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2ax 的单调递增区间是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞) 4．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )．A.16625B.96625C.624625D.46255．(2012·浙江五校联考，理16)甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用5局3胜制(即先胜3局者获胜)．若甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为23和13，记需要比赛的场次为ξ，则E (ξ)＝__________.6．(2012·山东济南二模，20)一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：(1)得60分的概率；(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做 1.38解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B ＋A B ＋AB )C .∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P ＝⎝⎛12×12＋12×12＋12×⎭⎪⎫12×12＝38. 2．解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ， 根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5， 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23 ＝136， P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23 ＝112， P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23 ＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以EX ＝0×136＋1×12＋2×9＋3×3＋4×9＋5×3＝12.3．解：设Y Y 的分布列如下：(1)A A 对应三种情形： ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P (A )＝P (Y ＝1)P (Y ＝3)＋P (Y ＝3)P (Y ＝1)＋P (Y ＝2)P (Y ＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一：X 所有可能的取值为0,1,2.X ＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以P (X ＝0)＝P (Y ＞2)＝0.5；X ＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P (X ＝1)＝P (Y ＝1)P (Y ＞1)＋P (Y ＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49； X ＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01. 所以X 的分布列为E (X )方法二：X 所有可能的取值为0,1,2.X ＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以P (X ＝0)＝P (Y ＞2)＝0.5；X ＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01； P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝0.49. 所以X 的分布列为E (X )4．解：以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1,2.(1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n m ＋n ·n ＋1m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2).(2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝P (A 1 A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14.P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12，P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14，从而X 的分布列是E (X )＝n ×14＋(n ＋1)×2＋(n ＋2)×4＝n ＋1.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】 解：记Ai 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； Bi 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16， P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P (B 2)＝0.42＝0.16， P (A 2)＝0.62＝0.36.C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2， P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.307 2.【变式训练1】 解：设Ak ，Bk 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1A 2B 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A1B1A 2B 2)＋P (A1B1A2B 2A 3)＝P (A1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427.【例2】 解：设随机变量X 为射击成绩为10环的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13. (1)在5次射击中，至少有3次射击成绩为10环的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝40243＋10243＋1243＝1781.(2)因为ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3，所以E (ξ)＝3. 【变式训练2】 解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 52×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝40243.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4 A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1 A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881.(3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6，P (ξ＝0)＝P (A 1 A 2 A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1 A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝29； P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427； P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以ξ【例3】 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C 4i ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 42⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 43⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×27＋2×81＋4×81＝81.【变式训练3】 解：(1)依题意，ξ的可能取值为20,0，－10， ξ的分布列为E (ξ)＝20×35＋0×15＋(－10)×5＝10(万元)．(2)设η表示100η的分布列为E (η)＝30a －20b ＝50a －20.依题意要求50a －20≥10，∴35≤a ≤1.创新模拟·预测演练1．D 解析：正态分布曲线关于x ＝μ对称，即关于x ＝3对称，m 与6－m 关于x ＝3对称， ∴P (ξ<6－m )＝P (ξ>m )＝a ， 则P (ξ>6－m )＝1－a . 2．D3．A 解析：P (Z ＝6)＝C 11C 52C 63＝12，y ＝212x x-⎛⎫⎪⎝⎭在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递增．4．B 解析：若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为6C 62＝25.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C 43⎝ ⎛⎭⎪⎫253·35＝96625.5.10727解析：依题意ξ的可能取值分别为3,4,5， P (ξ＝3)＝23×23×23＋13×13×13＝927，P (ξ＝4)＝C 32⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13×23＋C 32×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×13＝1027，P (ξ＝5)＝1－P (ξ＝3)－P ()ξ＝4＝827.E (ξ)＝3×P (ξ＝3)＋4×P (ξ＝4)＋5×P (ξ＝5)＝10727.6．解：(1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“可判断一个选项是错误的”一道题选对为事件B ，“不理解题意的”一道题选对为事件C ，∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)ξ可能的取值为40,45,50,55,60.P (ξ＝40)＝12×12×23×34＝18，P (ξ＝45)＝C12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748，P (ξ＝50)＝12×12×23×34＋C 21×12×12×13×34＋C 21×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748，P (ξ＝55)＝C 21×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748，P (ξ＝60)＝12×12×13×14＝148.所得分数ξE (ξ)＝40×648＋(45＋50)×48＋55×48＋60×48＝12.。
高考数学总复习 第二单元 第三节 函数的单调性练习
第二单元 第三节一、选择题 1.函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则当0＜a ＜1时，函数g (x )＝a f (x )的单调增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[a ，1]D ．[a ，a ＋1]【解析】 令u ＝f (x )，则g (u )＝a u(0＜a ＜1)为减函数，所以u ＝f (x )应为x 的减函数，由图象可得区间． 【答案】 B2．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( ) A.14 B.12 C.22 D.32【解析】 函数定义域为－3≤x ≤1，函数可化为 y 2＝1－x ＋x ＋3＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－x ＋12＋4，当x ＝－1时，y max 2＝8，y max ＝22；当x ＝1时，y min 2＝4，y min ＝2. ∴m M ＝222＝22. 【答案】 C3．已知f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是( )A ．大于B ．小于C ．大于等于D ．小于等于【解析】 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.【答案】 D4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]【解析】 ∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上单调递减， ∴a ≤1. ∵g (x )＝ax ＋1在[1,2]上单调递减，∴a ＞0，∴0＜a ≤1.【答案】 D5．函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的递增区间是( ) A ．(－∞，－3] B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．R【解析】 函数可化为 f (x )＝|x －3|＋|x ＋3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ≤－3，6 －3＜x ≤3，2x x ＞3，作出函数f (x )的图像如图所示．由图象可得[3，＋∞)为函数的递增区间． 【答案】 B6．已知函数f (x )＝kx 2－4x －8在x ∈[5,20]上是单调函数，则实数k 的取值范围( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫25，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，110∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫25，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞ 【解析】 依题意，k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，2k≤5或2k ≥20，解得k ＝0，或k ≥25或k ＜0，或0＜k ≤110.综上，得k ≥25或k ≤110.【答案】 C7．如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是( )A ．(1－a )13＞(1－a )12 B ．log (1－a )(1＋a )＞0C ．(1－a )3＞(1＋a )2D ．(1－a )1＋a＞1【解析】 令f (x )＝(1－a )x，则该函数为减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 【答案】 A 二、填空题8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ＞0，0 x ＝0，－1 x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间为________．【解析】 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ＞1，0 x ＝1，－x 2 x ＜1.【答案】 [0,1)9．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是________．【解析】 方法一：由f (x )＝a |x －b |＋2知其图象关于直线x ＝b 对称，当x ≤b 时|x －b |递减；当x ≥b 时，|x －b |递增．又f (x )在[0，＋∞)上为单调增函数，所以a ＞0且b ≤0.方法二：由f (x )＝a |x －b |＋2，在[0，＋∞)上为增函数可知：①当a ＞0时，x －b ≥0，故b ≤0.②当a ＜0时，x －b ＜0，故b 无解．【答案】 a ＞0且b ≤010．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －2x ＋6a － 1 x ＜1，a x x ≥1，满足对任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由任意的x 1≠x 2，有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0，得函数f (x )在R 上是减函数，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3a －2＜0，3a －2×1＋6a －1≥a ，解得38≤a ＜23.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫38，23三、解答题11．已知f (x )＝x 2－6x ＋5，x ∈[t ，t ＋2]，求f (x )的最大值．【解析】 f (x )＝(x －3)2－4，当t ＋1≥3，即t ≥2时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝(t －1)2－4；当t ＋1＜3，即t ＜2时，f (x )max ＝f (t )＝(t －3)2－4.综上得，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3t ≥2，t 2－6t ＋5 t ＜2.12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)＜－2. 【解析】 (1)令x 1＝x 2，得f (1)＝0. (2)设任意的x 1，x 2＞0，且x 1＜x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1.又x ＞1时，f (x )＜0，∴由x 2x 1＞1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＜0，即f (x 2)＜f (x 1)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)由f (3)＝－1，f (1)＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f (1)－f (3)＝1， ∴f (9)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3 13＝f (3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－2.∴f (|x |)＜－2＝f (9)可化为⎩⎪⎨⎪⎧|x |＞9，x ＞0，解得x ＞9.。
福建省福州市高考数学二轮复习 专题训练三 函数概念与基本处等函数I
福州2013年高考数学二轮复习专题训练：函数概念与基本处等函数I 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数1212)(+-=x x x f 的图像关于( ) A ．直线0x = 对称 B ．直线0y =对称C ．点(0,0)对称D ．点(1,1)对称【答案】C2．下列各式错误．．的是( ) A ．lg1.6lg1.4>B ．0.50.5log 0.4log 0.6>C ．0.80.733>D ．0.10.10.750.75-<【答案】D 3．已知函数111()2(),()()2,x f x f x f m f n ---=+=反函数为若则11m n+的最小值为( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2【答案】C4．已知函数2y x x =-的定义域为{0， 1，2}，那么该函数的值域为( )A ．{0，1，2}B ．{0，2}C ．1{|2}4y y -≤≤ D ．{|02}y y ≤≤ 【答案】B 5．方程2122032)1(x x ax x a ，的两根=--+满足）（2121x x x -<且01>x , 则实数a 的取值范围是( )A ．()3,1B ． ()+∞+,31C ． )31,23(--D ． ),23(∞+- 【答案】D6．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数(2)()=ln f x g x x 的定义域是( ) A ．(0,1)B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．[0,1] 【答案】A 7．若函数21()log ()2a f x x ax =-+有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ． (1,2)B ． [2,)+∞C ． (0,1)D ． (0,1)(1,2)U 【答案】A 8．函数的反函数为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B9．如果函数对任意实数t 都有那么( )A ．B ．C ．D ．【答案】A10．下列四个数中最大的一个是( )A ． B. C. D.【答案】A11．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月)的关系：t y a =，有以下叙述：① 这个指数函数的底数是2；② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ；③ 浮萍从24m 蔓延到216m 需要经过2个月；④ 浮萍每个月增加的面积都相等．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①②【答案】B12．已知函数21,(0)()1,(1),x x m f x x m x ⎧+<<=⎨+≤<⎩2()21,f m =且则m 的值为( )A ．12B ．22 C 42 D ．4222【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．．已知⎩⎨⎧≤++>=01)1(0log )(2x x f x x x f ，则)2()2(-+f f 的值等于 ；【答案】414．已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为____________【答案】(－∞，－12－ln2) 15．如图，过原点O 的直线与函数2x y =的图象交与A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数4x y =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 。
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2013高考数学复习二----上海市十校2010学年第一学期高三联考试卷（文科数学）上海市莘庄中学命题一. 填空题(每小题4分,共56分)1.已知集合{0,}A x x x R =≥∈,集合{}B x x a =≤,且A B R =,则实数a 的取值范围为2.若3cos 5θ=，tan 0θ<，则sin θ= 3.若集合5{|5,},{|1}2mx A m C m Z B x x ==∈=≥-，其中5m C 为组合数，则A B =4.已知函数221,1,(),1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若a f f 4))0((=，则实数a =5.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()cos f x x a x π=+⋅，若(1)2f =，则实数a = 6.若函数()()()f x x a bx a =+- (常数,a b R ∈)是偶函数，且它的值域为[4,)-+∞，则该函数的解析式为7.从4名世博志愿者和3名小白菜中选出4人参加座谈会，若这4人中必须既有志愿者又有小白菜，不同的选法共有8.设n a 是(1)nx +的展开式中2x 项的系数（2,3,4,n =），则极限211lim()n na a →∞++= 9.已知正数,x y 满足191x y+=，则x y +的取值范围为 10.在过去的184天里，我们走过了一段成功、精彩、难忘的世博之旅，190个国家、56个国际组织以及中外企业踊跃参展，200多万志愿者无私奉献，7308万参观者流连忘返，网上世博永不落幕，这一切共同铸就了上海世博会的辉煌.这段美好的时光将永远在我们心中珍藏！以下是国庆七天长假里入园人数部分统计表（单位：精确到0.01万人） 日期 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 入园人数25.40X44.7543.1343.2129.8421.92若这七天入园人数的平均值比总体均值少4.37万，则这七天入园人数的中位数为11.设甲乙两个袋子中装有若干个相同的红球和白球，且甲乙两个袋子中的球数比为1:3，已知从甲袋中摸到红球的概率为13，而将甲乙两袋子的球放在一起后，从中摸到红球的概率为23，则从乙袋中摸到红球的概率为12.2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为015的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为060和030，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为 米．13.两个等差数列}{n a 的和}{n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，已知395+-=n n T S n n ，则使n n a t b =⋅ 成立的正整数t 的所有可能取值为 （用列举法表示你所找到的所有数）14.把正整数排列成三角形数阵（如图甲），然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到新的三角形数阵（如图乙），再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，则100a =二.选择题(每小题5分,共20分)15.已知{lg(1),}A x y x x R ==-∈,1{1,}B xx R x=<∈,则（ ） A. “x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件 B. “x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件 C. “x B ∈”是“x A ∈”的充分必要条件D. “x B ∈”是“x A ∈”的既不充分条件又必要条件16.在△ABC 中，如果sin 3sin A C =,030B =,那么角A 等于（ ）A ．0120B ．060C ．045D ． 030 17.已知12a <<，则函数22()2f x a x x =-+-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．418．设函数()122010122010f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x R ∈）四位同学研究得出如下四个命题，其中真命题的有（ ）个①()f x 是偶函数；②()f x 在(0,)+∞单调递增；③不等式()20102011f x <⨯的解集为∅； ④关于实数a 的方程2(32)(1)f a a f a -+=-有无数解．A ．1B ．2C ．3D ．4 三.解答题(12分+13分+14分+17分+18分=74分) 19.（本题满分12分）已知02πα<<，解关于x 的不等式：2sin sin log (31)log (3)0x x αα+--<.20. (本题满分12分)本题共有2个小题，第一个小题满分8分，第2个小题满分4分已知函数2()2sin()()23cos ()3222f x x cos x x ααα=++++-.（1）若[]πα,0∈且)(x f 为偶函数，试求α的值；（2）在（1）的条件下，若x 为三角形ABC 的一内角，求满足()1f x =的x 的值.21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分某研究小组为了解某一路口周一上午6：00——9：00进、出市区的车辆数量变化规律，以每5分钟为一个统计单位（如6：00——6：05为第1个统计单位，6：05——6：10为第2个统计单位，）进行跟踪统计（分别记第1个统计单位内统计的进、出市区的车辆数为1a 、1b ，第2个统计单位内统计的进、出市区的车辆数为2a 、2b ，，第n 个统计单位内统计的进、出市区的车辆数为n a 、n b ）.某同学根据测得的数据绘制了图-1，图-2.a n 250b n（1）根据图像，试用一次函数拟合n a 、n b 关于n 的表达式；（2）计算（8：00——8：05）这一统计单位内通过该路口的进、出车辆总数，指出在哪一个统计单位内进、出市区车辆的总数达到最大值？并说明理由.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第一个小题满分4分，第2个小题满分6分, 第3个小题满分8分.已知函数()kf x x b =+（常数,k b R ∈）的图像过点(4,2)、(16,4)两点. （1）求()f x 的解析式；（2）记()f x 的反函数为()g x ，解不等式()(1)22g x g x x +-<-；（3）记()f x 的反函数为()g x ，若不等式()1g x ax >-恒成立,求实数a 的取值范围.23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第一个小题满分3分，第2个小题满分7分, 第3个小题满分8分.已知函数()(1)xf x a =+ (1,)a a R >-∈.（1）若()f x 在(0,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当12a =-时，记2()log (2)n a f n f n =+，求数列{}n a 的前n 项和为n S ； （3）当2a =时，且[,]x m n ∈，()[1,9]f x ∈，探求2221m n mn +-+的取值范围.一．填空题1．0a ≥； 2．45-； 3．{4}； 4．2； 5．3； 6．2()4f x x =-； 7．34； 8．2； 9．[16,)+∞； 10．39.18； 11．79； 12．30； 13．{1,2,3,4}； 14．186；二．选择题15．B ； 16．A ； 17．D ； 18．C ； 三．解答题 19．解：02πα<<sin (0,1)α⇒∈ ------------------2分2sin sin log (31)log (3)0x x αα+--<2sin sin log (31)log (3)x x αα⇔+<-2231030313x x x x +>⎧⎪⇔->⎨⎪+>-⎩ ------------------8分4)x ⇒∈ ------------------12分20．（1）解：2()2sin()()()222f x x cos x x ααα=++++2sin(2)3x πα==++ ------------------4分()f x 为偶函数,32k k z ππαπ⇔+=+∈,6k k Z παπ⇒=+∈ ---------------6分又，[0,]6παπα∈⇒=---------------8分（2）1()12sin(2)1cos 222f x x x π=⇔+=⇒=---------------10分又，x 为三角形内角，(0,)2(0,2)x x ππ∈⇒∈566x ππ⇒=或 ---------------12分21．（1）892,1184164,183012644,3036n n n a n n n N n n +≤≤⎧⎪=+<≤∈⎨⎪-+<≤⎩---------------6分250,11810430,1836n n b n N n n ≤≤⎧=∈⎨-+<≤⎩---------------8分（2）8342,1186594,1830221074,3036n n n n a b n n n N n n +≤≤⎧⎪+=-+<≤∈⎨⎪-+<≤⎩---------------10分时间段（8：00-8：05）对应的进出车辆数总和为2325625594444a b +=-⨯+=（辆）---------------12分由分段一次函数的单调性知：当18n =时，max ()486n n a b +=（辆）---------------14分22．（1）24416k kb b⎧=+⎨=+⎩10,2b k ⇒==()f x ⇒=分 （2）2()(0)g x x x =≥ ---------------6分()(1)22g x g x x +-<-2210(1)22x x x x -≥⎧⇔⎨+-<-⎩---------------8分x ⇒∈ ---------------10分 （3）2()(0)g x x x =≥，不等式()1g x ax >-恒成立等价于不等式21x ax >-在[0,)x ∈+∞上恒成立 ---------------12分 当0x =时，不等式21x ax >-恒成立；a R ∈ ---------------14分 当0x >时，不等式1a x x <+恒成立，min 1()2a x x<+= ---------------17分 综上，实数a 的取值范围为(,2)a ∈-∞ ---------------18分23．(1)当(0,)x ∈+∞时，()(1)xf x a =+为增函数，11a ⇒+>0a ⇒> --------------3分（2）当12a =-时，22111()log ()()2222n n nn a n =+=- --------------5分212111[()2][()4][()2]222n n n S a a a n =+++=-+-++-2111[()()()][242]222n n =+++-+++11()(1)2nn n =--+ ------------10分（3）当2a =时，()3xf x =为偶函数，其图像关于y 轴对称。