人教初三数学 22章二次函数知识点总结及经典习题含答案

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人教版九年级数学上册第22章：二次函数专题重要知识考点提示及例题分析(期末复习)

九年级数学上册专题：二次函数考点提示及例题分析二次函数高频考点及考查题型考点知识提示1.判断一个函数是否是二次函数要关注3点：（1）等号右边是否是整式；（2）自变量的最高次数是否是2；（3）二次函数的系数是否不为0。

例题：下列四个函数中，一定是二次函数的是（）A.y=1/x2+xB.y=ax2+bx+cC.y=x2—(x+7)2D.y=(x+1)(2x—1)分析：A.自变量的最高次数不是2，故错误；B.a=0时，不是二次函数，故错误；C.原方程可得y=14x—49，是一次函数，故错误；D.原方程可得y=2x2+x—1，符合二次函数的定义，故正确2.二次函数是解决现实问题的一个工具，要特别注意实际问题中自变量的取值范围。

例题：某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件,若在国内市场销售,平均每件产品的利润y1(元)与国内销售数量x(103件)的关系为：5x+90(0<x≤2)y1=—5x+130(2≤x<6)若在国外销售,平均每件产品的利润y2(元)与国外的销售数量t（103件）的关系为：100 (0<t≤2)y2=5t+110(2≤t<6)(1)用的代式表示t为t= 。

当0<x≤4时，y2与x的函数关系为y2= ；当4≤x< 时，y2=100(2)求每年该公司钠售这种健身产品的总利润w(103元)与国内的钠售数量x(103件)的函数关系式，并指出x的取值范围。

解：(1)由题意,得X+t=6，故t=6-X100 (0<t≤2)y2=5t+110(2≤t<6)当0<x≤4时,2≤6-x<6,即2≤t<6此时y2与的函数关系为:y2=5(6-X)+110=5X+80当4≤x<6时，0≤6-x<4，即0<t≤2此时y2=100故答案为:6-X；5X+80；6(2)分三种情况①当0<x≤2时W=(15x+90)x+(5x+80)(6-x)=10x2+40x+480②当2<x≤4时W=(-5x+130)x+(5x+80)(6-x)= -10x2+80x+480③当4<x<6时,W=(-5x+130)x+100(6-x)= -5x2+30x+6003.易错提示：当给出的二次函数的表达式中含有字母时，要注意二次项系数不为0这一条件。

九年级数学上册第二十二章二次函数全部重要知识点(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数全部重要知识点单选题1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，且经过点(−3，0)，则下列结论正确的是（）A．b>0B．c<0C．a+b+c>0D．3a+c=0答案：D=−1，得b=2a，则b<0，图象经过(−3，0)，根据对分析：图象开口向下，得a<0，对称轴为直线x=−b2a称性可知，图象经过点(1，0)，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．解：∵图象开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b=−1，2a∴b=2a，∴b<0，故A不符合题意；根据对称性可知，图象经过(−3，0)，∴图象经过点(1，0)，当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；∴c=-a-b，∴c>0，故B不符合题意；将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．故选：D．小提示：本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．2、在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x+2)2−1D．y=(x−2)2−1答案：B分析：先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．解：∵y=x2的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴所得抛物线对应的函数表达式为y=(x+2)2+1，故选B小提示：本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．3、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(−2,0),B(6,0)，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2−4ac>0；②4a+b=0；③当y>0时，−2<x<6；④a+b+c<0．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1答案：B分析：根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)，∴抛物线对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，即△=b2−4ac＞0，故①正确；对称轴为x=−b2a =6−22，整理得4a＋b＝0，故②正确；由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，x＜－2或x＞6，故③错误，由图像可知，当x＝1时，y=a+b+c＜0，故④正确．∴正确的有①②④，故选：B．小提示：本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4√3cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以√3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设运动时间为t s，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．答案：B分析：分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB=4√3，∴∠B＝60°，BC=1AB=2√3，AC=√3BC=6，2∵CD⊥AB，∴CD=12AC=3，AD=√3CD=3√3，BD=12BC=√3，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD=AM−AD=3√3−√3t，DN=DC＋CN=3＋t，∴S=12MD·DN=12(3√3−√3t)(3+t)=−√32t2+9√32，当M在BD上时，3＜t≤4，MD=AD−AM=√3t−3√3，∴S=12MD·DN=12(√3t−3√3)(3+t)=√32t2−9√32，故选：B．小提示：本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．5、三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米答案：B分析：根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y =ax 2+32， ∵BC =10，∴点B （﹣5，0），∴0=a ×（﹣5）2+32， ∴a =-350， ∴大孔所在抛物线解析式为y =-350x 2+32，设点A （b ，0），则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =m （x ﹣b ）2，∵EF =14，∴点E 的横坐标为-7，∴点E 坐标为（-7，-3625）， ∴-3625=m （x ﹣b ）2， ∴x 1=65√−1m +b ，x 2=-65√−1m +b ，∴MN =4，∴|65√−1m +b -（-65√−1m +b ）|=4 ∴m =-925， ∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =-925（x ﹣b ）2， ∵大孔水面宽度为20米，∴当x =-10时，y =-92， ∴-92=-925（x ﹣b ）2， ∴x 1=52√2+b ，x 2=-5√22+b ， ∴单个小孔的水面宽度=|（52√2+b ）-（-52√2+b ）|=5√2（米），故选：B ．小提示：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6、如图，顶点为(−3,−6)的抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(−1,−4)，则下列结论中正确的是（）A ．b 2−4ac ≥0B ．若点(−2,m),(−4,n)都在抛物线上，则m >nC ．当x <−3时，y 随x 的增大而减小D ．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =−7有两个不等的实数根答案：C分析：由抛物线与x 轴有两个交点则可对A 进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B 进行判断；由抛物线的增减性可直接判断C 选项；根据二次函数的最值可对D 进行判断．解：A 、图像与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，b 2-4ac ＞0，故A 选项不符合题意；B、抛物线的对称轴为直线x=-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的距离，所以m=n，故B选项不符合题意；C、顶点为（-3，-6），则对称轴为直线x=-3，抛物线开口向上，则当x＜-3时，y随x的增大而减小，故C 选项符合题意；D、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax2+bx+c=-7（a≠0）没有实数根，故D选项不符合题意．故选：C．小提示：本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；考查了根的判别式、最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容，掌握相关基础知识是解题关键．7、已知实数x，y满足x+y=12，则xy−2的最大值为（）A．10B．22C．34D．142答案：C分析：利用二次函数的性质求解即可．解：∵x+y=12，∴y=12-x，∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，∵-1＜0，∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34，故选：C．小提示：本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．8、已知二次函数y=ax2+2ax+a−1的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点在第一象限C．a≥1D．当x>1时，y的最小值为－1答案：C分析：二次函数y=ax2+2ax+a−1的图象只经过三个象限，要满足条件，常数项大于等于0，解不等式即得．∵二次函数y =ax 2+2ax +a −1的图象只经过三个象限，∴a -1≥0，∴a ≥1．故选C ．小提示：本题考查了二次函数y =ax 2+2ax +a −1的图象只经过三个象限，运用函数图象与x 轴的两个交点横坐标的积大于等于0，即常数项大于等于0，是解决此类问题的关键．9、抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：下列结论不正确的是（）A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线x =12C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(2,0)D ．函数y =ax 2+bx +c 的最大值为254 答案：C 分析：利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可解：由题意得{4a −2b +c =0a −b +c =4c =6，解得{a =−1b =1c =6，∴抛物线解析式为y =−x 2+x +6=−(x −12)2+254， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x =12，该函数的最大值为254，故A 、B 、D 说法正确，不符合题意；令y =0，则−x 2+x +6=0，解得x =3或x =−2，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意；故选C ．小提示：本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．10、如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC 的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN ，其中点P 在AC 上，点NM 分别在BC ，AB 上，记PM=x ，PN=y ，图中阴影部分的面积为S ，若NP 在一定范围内变化，则y 与x ，S与x 满足的函数关系分别是（）A ．反比例函数关系，一次函数关系B ．二次函数关系，一次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．一次函数关系，二次函数关系答案：D分析：先求出AM =PM ，利用矩形的性质得出y =﹣x +m ，最后利用S =S △ABC －S 矩形PMBN 得出结论．设AB =m （m 为常数）．在△AMP 中，∠A =45°，AM ⊥PM ，∴△AMP 为等腰直角三角形，∴AM =PM ，又∵在矩形PMBN 中，PN =BM ，∴x +y =PM +PN =AM +BM =AB =m ，即y =﹣x +m ，∴y 与x 成一次函数关系，∴S =S △ABC －S 矩形PMBN =12m 2-xy =12m 2-x （﹣x +m ）=x 2-mx +12m 2， ∴S 与x 成二次函数关系．故选D ．小提示：本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用，解题的关键是掌握根据题意求出y 与x 之间的函数关系式．填空题11、在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝mx －2mx ＋m －2（m ＞0）．（1）抛物线的顶点坐标为_________；（2）点M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1＜x2≤3）是拋物线上的两点，若y1＜y2，x2－x1＝2，则y2的取值范围为_________（用含m的式子表示）答案：（1，-2）m−2<y2≤4m−2分析：（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，得到当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x1+x2=2，结合x2-x1=2，可得x1=0，x2 =2，得到当2＜x2≤3时，y1＜y2，再将x=2、x=3代入函数关系式进行求解即可．（1）∵y＝mx2－2mx＋m－2=m(x−1)2−2，∴抛物线顶点坐标为（1，-2），故答案为（1，-2）．（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x1+x2=2，结合x2-x1=2，可得x1=0，x2 =2，∴当2＜x2≤3时，y1＜y2，对于y=m（x-1）2-2，当x =2时，y=m-2；当x=3时，y=4m-2，∴m−2<y2≤4m−2．小提示：本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．12、如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−1,0)和点(2,0)，以下结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③a+b=0；④当x<1时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有2___________．（填写代表正确结论的序号）答案：①②##②①分析：根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；③与x轴交于点(−1,0)和点(2,0)，则对称轴x=−b2a =−1+22=−12，故a=b，故③错误；④当x<12时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；综上所述，正确的为①②．所以答案是：①②．小提示：本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．13、阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量y（kg）与销售单价x （元）之间满足一次函数y=−x+50的关系.若不计其他成本（利润=售价-进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是_________元．答案：400分析：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得w=-（x-30）2+400，再根据二次函数的性质可得答案．解：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得，w=(x−10)(−x+50)=−x2+60x−500=−(x−30)2+400，∵a=-1＜0，∴当x=30时，w最大为400元，所以答案是：400．小提示：本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键．14、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．答案：121分析：利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．解：当10≤x ≤20时，设y =kx +b ，，把（10，20），（20，10）代入可得：{10k +b =2020k +b =10，解得{k =−1b =30， ∴每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的函数解析式为y =−x +30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w 元，w =(x −8)y =(x −8)(−x +30)=−x 2+38x −240=−(x −19)2+121，∵−1<0，∴当x =19时，w 有最大值为121，所以答案是：121．小提示：本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．15、已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则a =______．答案：-12分析：把点（3，a ）代入解析式即可求得a 的值．解：∵点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，∴a =-2×32+2×3=-18+6=-12，所以答案是：-12．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．解答题16、已知y=(k+2)x k2+k−4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）直接写出顶点坐标和对称轴．答案：（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．分析：（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案；（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．解：（1）由y=(k+2)x k2+k−4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得{k 2+k−4=2k+2<0，解得k=-3；（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．小提示：本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．17、如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点M ，使得MA +MC 的值最小，求此点M 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在P 点，使△PCD 是等腰三角形，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．答案：(1)y =−x 2+2x +3(2)点M 坐标（1，2）(3)存在，点P 坐标为（1，6），（1，√10），（1，−√10），（1，53）分析：（1）把A 、C 两点的坐标代入y =-x 2+bx +c ，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）由抛物线的对称性可知点A 与点B 关于对称轴对称，所以BC 与抛物线对称轴的交点为M ，此时MA+MC 最小，即MA+MC 最小值等于线段BC 长，求出直线BC 与抛物线对称轴交点M 坐标即可；（3）分两种情况讨论：i )当△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①PC =CD ；②PD =CD ．设出点P 的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可； ii )当△PCD 是以CD 为底的等腰三角形时，点P 在CD 的垂直平分线上，PC=PD ，利用两点间的距离公式列出方程求解即可．（1）解：把A （-1，0），C （0，3）代入y =-x 2+bx +c ，得：{−1−b +c =0c =3 ，解得：{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）解：由抛物线的对称性可知点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，所以设BC 与抛物线对称轴的交点为M ，此时MA+MC 最小，即MA+MC 最小值=BC ，如图，∵y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4；∴抛物线的对称轴为直线x =1，∵A （-1，0），点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，∴B （3，0），设直线BC 解析式为y =kx +m ，则{−k +m =0m =3 ，解得{k =−1m =3， ∴直线BC 解析式为y =-x +3，当x =1时，y =2，∴M （1，2）．（3）解：∵y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4，∴对称轴为直线x =1，∴D （1，0）．设点P 的坐标为（1，t ），∵C （0，3），∴CD 2=12+32=10．分两种情况讨论：i )当△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①若PC =CD ，则12+（t -3）2=10，解得t =0（舍弃）或6，所以点P 的坐标为（1，6）；②若PD =CD ，则t 2=10，解得t=±√10，所以点P 的坐标为（1，√10）或（1，-√10）； ii )当△PCD 是以CD 为底的等腰三角形时，PC =PD ，则1+（t -3）2=t 2，解得：t =53，所以点P 的坐标为（1，53）；综上所述，点P 的坐标有三个，分别是（1，6）或（1，√10））或（1，-√10）或（1，53）．小提示：本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想．18、园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD 的一边CD 长为x 米．(1)BC 长为________米（包含门宽，用含x 的代数式表示）；(2)若苗圃ABCD 的面积为96m 2，求x 的值；(3)当x 为何值时，苗圃ABCD 的面积最大，最大面积为多少？答案：(1)（36-3x ）(2)8(3)当x 为223米时，苗圃ABCD 的最大面积为3083平方米分析：（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD 的一边CD 长为x 米，即得BC 的长为（36-3x ）米；（2）根据题意得，x ·(36−3x )=96，即可解得x 的值；（3）设苗圃ABCD 的面积为w ，w =x ·(36−3x )=−3(x −6)2+108，由二次函数的性质可得答案．（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD 的一边CD 长为x 米，BC 的长为32-3x +4=（36-3x ）米，所以答案是：（36-3x ）；（2）根据题意得，x ·(36−3x )=96，解得，x =4或x =8，∵当x =4时，36-3x =24>14，∴x =4舍去，∴x 的值为8；（3）设苗圃ABCD 的面积为w ，w =x ·(36−3x )=−3(x −6)2+108，∵4<36-3x ≤14，∴223≤x <323，∵-3<0，图象开口向下，∴当x =223时，w 取得最大值，w 最大为3083；答：当x 为223米时，苗圃ABCD 的最大面积为3083平方米．小提示：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．。

九年级数学上册第二十二章二次函数考点总结(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数考点总结单选题1、若y=（m＋1）x m2−6m−5是二次函数，则m= （）A．－1B．7C．－1或7D．以上都不对答案：B分析：令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，∴m=7，故选：B．小提示：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．2、已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x=3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．(3,9)B．(3,−9)C．(−3,9)D．(−3,−9)答案：A分析：根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b=3，2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．小提示：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．3、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据题意分a>0,a<0两种情况讨论，结合函数图象即可求解．解：A.正比例函数中a<0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故A 不正确；B.正比例函数中a>0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中a>0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，故C正确；D. .正比例函数中a<0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故D不正确；故选C小提示：本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．4、如图，已知开口向下的抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点(−1,0)对称轴为直线x =1．则下列结论：①abc >0；②2a +b =0；③函数y =ax 2+bx +c 的最大值为−4a ；④若关于x 的方数ax 2+bx +c =a +1无实数根，则−15<a <0．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C分析：由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故−b 2a =1，故b ＞0，且b =−2a ，则2a +b =0 图象与y 轴的交点为正半轴，则c ＞0，由此可知abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入y =ax 2+bx +c ，中得：y =a +b +c ，计算出函数图象与x 轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：y =a(x −x 1)(x −x 2)，将交点坐标代入得化简得：y =ax 2−2ax −3a ，将x =1，代入可得：y =a −2a −3a =−4a ，故函数的最大值为-4a ，、ax 2+bx +c =a +1变形为：ax 2+bx +c −a −1=0要使方程无实数根，则b 2−4a(c −a −1)<0，将c =-3a ，b =−2a ，代入得：20a 2+4a <0，因为a ＜0，则20a +4>0，则a >−15，综上所述−15<a <0，结合以上结论可判断正确的项．解：由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故−b 2a =1，故b ＞0，且b =−2a ，则2a +b =0故②正确，∵图象与y 轴的交点为正半轴，∴c ＞0，则abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入y =ax 2+bx +c ，中得：y =a +b +c ，由图象可知函数与x 轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x =1，故函数图象与x 轴的另一交点为（3,0），设函数解析式为：y =a(x −x 1)(x −x 2)，将交点坐标代入得：y =a(x +1)(x −3)，故化简得：y =ax 2−2ax −3a ，将x =1，代入可得：y =a −2a −3a =−4a ，故函数的最大值为-4a ，故③正确，ax 2+bx +c =a +1变形为：ax 2+bx +c −a −1=0要使方程无实数根，则b 2−4a(c −a −1)<0，将c =-3a ，b =−2a ，代入得：20a 2+4a <0，因为a ＜0，则20a +4>0，则a >−15，综上所述−15<a <0，故④正确，则②③④正确，故选C ．小提示：本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．5、若y ＝（a ﹣2）x 2﹣3x +2是二次函数，则a 的取值范围是（）A ．a ≠2B ．a ＞0C ．a ＞2D ．a ≠0答案：A分析：根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a 的不等式，解不等式即得答案．解：由题意得： a −2≠0，则a ≠2．故选：A ．小提示：本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．6、如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ．那么水位下降1m 时，水面的宽度为（）A ．√6mB ．2√6mC ．(√6−4)mD ．(2√6−4)m答案：B分析：结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将y=−3代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案．解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：y=ax2，∵观察图形可知抛物线经过点B(2,−2)，∴−2=a⋅22，∴a=−1，2∴抛物线解析式为：y=−1x2，2∴当水位下降1米后，即当y=−2−1=−3时，有−1x2=−3，2∴x1=√6，x2=−√6，∴水面的宽度为：2√6m．故选：B．小提示：本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键．7、某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元答案：D分析：将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D．小提示：此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．8、已知a<−1，点(a−1,y1)，(a,y2)，(a+1,y3)都在函数y=3x2−2的图象上，则（）A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y2<y1<y3D．y3<y2<y1答案：D分析：先求出抛物线的对称轴，抛物线y=3x2-2的对称轴为y轴，即直线x=0，图象开口向上，当a＜-1时，a-1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y1，y2，y3的大小关系．解：∵当a＜-1时，a-1＜a＜a+1＜0，而抛物线y=3x2-2的对称轴为直线x=0，开口向上，∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：D．小提示：本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．9、某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足函数关系式y=−5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（）A．90元，4500元B．80元，4500元C．90元，4000元D．80元，4000元答案：B分析：设每月所获利润为w ，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．解：设每月总利润为w ，依题意得：w =y(x −50)=(−5x +550)(x −50)=−5x 2+800x −27500=−5(x −80)2+4500∵−5<0，此图象开口向下，又x ≥50，∴当x =80时，w 有最大值，最大值为4500元．故选：B ．小提示：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．10、下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当x >1时，y 的值随x 值的增大而增大答案：C分析：利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．解：设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，依题意得：{4a −2b +c =6c =−4a +b +c =−6 ，解得：{a =1b =−3c =−4， ∴二次函数的解析式为y =x 2−3x −4=(x −32)2−254，∵a =1>0，∴这个函数的图象开口向上，故A 选项不符合题意；∵△=b 2−4ac =(−3)2−4×1×(−4)=25>0，∴这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点，故B 选项不符合题意；∵a =1>0，∴当x =32时，这个函数有最小值−254<−6，故C 选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为(32，−254)， ∴当x >32时，y 的值随x 值的增大而增大，故D 选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．填空题11、如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与x 轴交于点(−1,0)和点(2,0)，以下结论：①abc <0；②4a −2b +c <0；③a +b =0；④当x <12时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）答案：①②##②①分析：根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x ＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．解：①抛物线的对称轴在y 轴右侧，则ab ＜0，而c ＞0，故abc ＜0，故正确；②x ＝-2时，函数值小于0，则4a -2b +c ＜0，故正确；③与x 轴交于点(−1,0)和点(2,0)，则对称轴x =−b 2a =−1+22=−12，故a =b ，故③错误； ④当x <12时，图像位于对称轴左边，y 随x 的增大而减大．故④错误；综上所述，正确的为①②．所以答案是：①②．小提示：本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．12、如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．答案：x1＝﹣3，x2＝1分析：根据抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），可得方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即可求解．解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以答案是：x1＝﹣3，x2＝1．小提示：本题考查了一次函数与抛物线交点问题，理解交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．13、已知抛物线y=(x−1)(x−5)与x轴的公共点坐标是A(x1,0),B(x2,0)，则x1+x2=_______．答案：6分析：令y=0，可得(x−1)(x−5)=0，解出即可求解．解：∵抛物线y=(x−1)(x−5)与x轴的公共点坐标是A(x1,0),B(x2,0)，令y=0，则(x−1)(x−5)=0，解得：x1=1,x2=5，∴x1+x2=1+5=6．所以答案是：6．小提示：本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．14、如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米答案：0.64分析：根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长．解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，代入y=ax2(a≠0)，有y F=(−0.6)2a=0.36a，y A=(−0.8)2a=0.64a，点A的纵坐标即为OC的长，∴0.36a＋0.28＝0.64a，解得a＝1，∴抛物线解析式为y=x2，y A=(−0.8)2=0.64，故OC的长为：0.64m．小提示：本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．15、已知函数y=mx2+2mx+1在−3⩽x⩽2上有最大值4，则常数m的值为 __.答案：3或−38分析：分两种情况：m>0和m<0分别求y的最大值即可．解：y=mx2+2mx+1=m(x+1)2+1−m.当m>0时，当x=2时，y有最大值，∴4m+4m+1=4，∴m=3；8当m<0时，当x=−1时，y有最大值，∴m−2m+1=4，∴m=−3，或−3.综上所述：m的值为38或−3.故答案是：38小提示：本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防漏解.解答题16、单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：y=a(x−ℎ)2+k(a<0)；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．答案：(1)23.20 m；y=−0.05(x−8)2+23.20(2)＜分析：（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)，∴ℎ=8，k=23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，根据表格中的数据可知，当x=0时，y=20.00，代入y=a(x−8)2+23.20得：20.00=a(0−8)2+23.20，解得：a=−0.05，∴函数关系关系式为：y=−0.05(x−8)2+23.20．（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t=−0.05(x−8)2+23.20，解得：x =8+√20(23.20−t )或x =8−√20(23.20−t )，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d 1=8+√20(23.20−t )，第二次训练时，t =−0.04(x −9)2+23.24，解得：x =9+√25(23.24−t )或x =9−√25(23.24−t )，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d 2=9+√25(23.24−t )，∵20(23.20−t )＜25(23.24−t )，∴√20(23.20−t )＜√25(23.24−t )，∴d 1＜d 2．所以答案是：＜．小提示：本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t ，用t 表示出d 1和d 2是解题的关键．17、如图，抛物线y =−x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，直线BC 方程为y =x −3．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，若S △PBC =12S △ABC ，请直接写出点P 的坐标；(3)点Q 是抛物线上一点，若∠ACQ =45°，求点Q 的坐标．答案：(1)y =-x 2+4x -3(2)(3+√52,−1+√52)或(3−√52,−1−√52)或（3+√132,−5+√132）或(3−√132,−5−√132) (3)(72,−54)分析：（1）先根据一次函数解析式求出点B 、C 坐标；再代入y =−x 2+bx +c ，求出b 、c 即可求解；（2）过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，过点P作PE∥BC，交y轴于E,交抛物线于p1,p2，过点E作EF⊥BC于F，先求出AN=√2，再根据两三角形面积关系，求得PM=√22，从而求得CE=1，则点P是将直线BC向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标；（3）过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F财富点C作CE⊥DF于E，证△CDE≌△DAD（AAS），得DE=AF，CE=DF，再证四边形OCEF是矩形，得OF=CE，EF=OC=3，然后设DE=AF=n，则CE=DF=OF=n+1，DF=3-n，则n+1=3-n，解得：n=1，即可求出D(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为y=12x-3，最后联立直线与抛物线解析式，求出交点坐标即可求解．（1）解：对于直线BC解析式y=x-3，令x=0时，y=-3，则C(0,-3)，令y=0时，x=3，则B(3,0)，把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入y=−x2+bx+c，得{-9+3b+c=0c=−3，解得：{b=4c=−3，∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；（2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3，令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3,∴A(1,0)，B(3,0)，∴OA=1，OB=3，AB=2，过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，∵A (1,0)，B (3,0)，C (0,-3)，∴OB =OC =3，AB =2，∴∠ABC =∠OCB =45°，∴AN =√2，∵S △PBC =12S △ABC ， ∴PM =√22，过点P 作PE ∥BC ，交y 轴于E ，过点E 作EF ⊥BC 于F ，则EF = PM =√22，∴CE =1∴点P 是将直线BC 向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P 1，P 2，P 3，P 4，∵B (3,0)，C (0,-3)，∴直线BC 解析式为：y =x -3，∴平移后的解析式为y =x -2或y =x -4,联立直线与抛物线解析式，得{y =−x 2+4x −3y =x −2 或{y =−x 2+4x −3y =x −4，解得：{x 1=3+√52y =−1+√52 ，{x 1=3−√52y =−1−√52 ，{x 1=3+√132y =−5+√132 ，{x 1=3−√132y =−5−√132 ，∴P 点的坐标为(3+√52,−1+√52)或(3−√52,−1−√52)或（3+√132,−5+√132）或(3−√132,−5−√132)．（3）解：如图，点Q 在抛物线上，且∠ACQ =45°，过点Q 作AD ⊥CQ 于D ，过点D 作DF ⊥x 轴于F ，过点C 作CE ⊥DF 于E ，∵∠ADC =90°，∴∠ACD =∠CAD =45°，∴CD =AD ，∵∠E =∠AFD =90°，∴∠ADF =90°-∠CDE =∠DCE ，∴△CDE ≌△DAD （AAS ），∴DE =AF ，CE =DF ，∵∠COF =∠E =∠AFD =90°，∴四边形OCEF 是矩形，∴OF =CE ，EF =OC =3，设DE =AF =n ，∵OA =1，∴CE =DF =OF =n +1∴DF =3-n ，∴n +1=3-n解得：n =1，∴DE =AF =1，∴CE =DF =OF =2，∴D (2,-2),设直线CQ 解析式为y =px -3，把D (2,-2)代入，得p =12,∴直线CQ 解析式为y =12x -3，联立直线与抛物线解析式，得{y =12x −3y =−x 2+4x −3解得：{x 1=72y 1=−54 ，{x 2=0y 2=−3 （不符合题意，舍去）， ∴点Q 坐标为(72,−54). 小提示：本题属二次函数与一次函数综合题目，考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键．18、跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B 、C 相距20cm ，头顶A 离地175cm ，相距60cm 的双手D 、E 离地均为80cm ．点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B 、C 两点，且甩绳形状始终保持不变．(1)求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．答案：(1)y=110x2−90.(2)不成功，理由见解析分析：（1）建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D(−30,0),E(30,0),由双手D、E离地均为80cm，可得C 点坐标为：(10,−80),再利用待定系数法求解解析式即可；（2）由175−80=95>80,可得跳绳不过头顶A，从而可得答案．（1）解：建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D(−30,0),E(30,0),∵双手D、E离地均为80cm．∴C点坐标为：(10,−80),设抛物线为：y=ax2−80,{0=900a+b−80=100a+b,解得：{a=110b=−90,所以抛物线为y=110x2−90.（2）解：∵y=0.1x²－90，∴顶点为（0，－90）.即跳绳顶点到手的距离是90cm，∵175−90=85>80,∴跳绳不过头顶A，∴小明此次跳绳能不成功．小提示：本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解本题的关键．。

人教版初中九年级数学上册第二十二章《二次函数》知识点(含答案解析)

一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法： ①2a +b ＝0；②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2； ④9a +3b +c ＝0，其中正确的是（）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④2．函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋a ，在第一象限内y 随x 的减小而减小，则它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是（）A ．B ．C ．D ．3．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知抛物线()20y ax bx c a =++<过()30A -,、()1,0O 、()15,B y -、()25,C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定5．()11,y -()20,y ()34,y 是抛物线22y xx c =-++上三点的坐标，则1y ，2y ，3y 之间的大小关系为（） A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<6．如图是抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论： ①a ﹣b+c ＞0； ②3a+b ＝0； ③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y…﹣3﹣13…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．30x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：x ﹣1 0 2 3 4 y5﹣4﹣3下列结论正确的是（） A ．抛物线的开口向下 B ．抛物线的对称轴为直线x ＝2 C ．当0≤x ≤4时，y ≥0D ．若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1<x 29．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ △的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点(,)A ac bc 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（） A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,113．关于抛物线223y x x =-+-，下列说法正确的是（） A ．开口方向向上 B ．顶点坐标为()1,2- C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是直线1x =-14．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -<15．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（） A ．图象开口向上B ．对称轴是直线2x =-C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小二、填空题16．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则bc 的值为_____（填正或负）．17．一条抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），若点M ，N 的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P 在线段MN 上移动．点B 的横坐标的最大值为3，则点A 的横坐标的最小值为__________．18．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C ．若点1(2,)M y ，2(1,)N y -，3(8,)K y 也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则1y ，2y ，2y 的从小到大的关系是___．19．已知二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0,0a c ≠>）上有五点()()1,01,(),p t n -、、()()2,3,0t 、；有下列结论：①0b >；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是1-和3；③20p t +<；④()(4m am b a c m +≤--为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）． 20．若二次函数()221y x k =++的图象上有两点()(),,,03A m B n -，m ____________n ．（填“>”，“=”或“<”）21．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,3)-，这个二次函数的解析式可以是_______________________．22．抛物线y ＝x 2+2x-3与x 轴的交点坐标为____________________． 23．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．24．若123(4,),(1,),(1,)A y B y C y --为二次函数245y x x =-+的图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系为__________．25．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：()3,0B 、()1,3C -都是“整点”．抛物线()2220y ax ax a a =++->与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是_______．26．若函数21y mx x =++的图象与x 轴只有一个公共点，则m 的值是_______．参考答案三、解答题27．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 28．（1）若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值；（2）已知点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴．29．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的顶点A 与原点重合，顶点B 在x 轴的正半轴上，点D 在y 轴的正半轴上．抛物线2y x bx c =-++经过点B 与点D ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将正方形ABCD 向左平移m 个单位（0m >），边AD 与BC 分别与（1）中的二次函数图像交于P 、Q ，若点Q 纵坐标是点P 纵坐标的2倍，求m 的值．30．如图①，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线23y ax bx =++的解析式；（2）如图②，连接AC ，点E 是第一象限内抛物线上的动点，过点E 作EF AC ⊥于点F ，//EG y 轴交AC 于点G ，求EFG 面积的最大值及此时点E 的坐标；（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点D ，点P 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳完整版(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳完整版单选题1、已知实数a ，b 满足b −a =1，则代数式a 2+2b −6a +7的最小值等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2答案：A分析：由已知得b =a +1，代入代数式即得a 2-4a +9变形为(a -2)2+5，再根据二次函数性质求解．解：∵b -a =1，∴b =a +1，∴a 2+2b -6a +7=a 2+2(a +1)-6a +7=a 2-4a +9=(a -2)2+5，∵(a -2)2≥0，∴当a =2时，代数式a 2+2b -6a +7有最小值，最小值为5，故选：A ．小提示：本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a -2)2+5是解题的关键．2、点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（）A ．m >2B ．m >32C ．m <1D ．32<m <2答案：B分析：根据y 1＜y 2列出关于m 的不等式即可解得答案．解：∵点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上，∴y 1=（m -1-1）2+n =（m -2）2+n ，y 2=（m -1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m -2）2+n ＜（m -1）2+n ，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，即-2m+3＜0，∴m＞3，2故选：B．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．3、抛物线y=x2−x−1经过点（m，3），则代数式m2−m−1的值为（）A．0B．1C．2D．3答案：D分析：将点（m，3）代入代数式中即可得到结果．解：将点（m，3）代入m2−m−1中得，m2−m−1=3，故代数式m2−m−1的值为3，故选：D．小提示：本题考查代数式的值，根据函数图象经过的点求函数解析式，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．4、小明在研究抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）A．无论x取何实数，y的值都小于0B．该抛物线的顶点始终在直线y=x−1上C．当−1<x<2时，y随x的增大而增大，则ℎ≥2D．该抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2，x1+x2<2ℎ，则y1>y2答案：C分析：根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．解：A．∵y=−(x−ℎ)2−ℎ+1，∴当x=ℎ时，y max=−ℎ+1，当ℎ<1时，y max=−ℎ+1>0，故错误；B．∵抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1的顶点坐标为(ℎ，−ℎ+1)，当x=ℎ时，y=−ℎ−1≠−ℎ+1，故错误；C．∵抛物线开口向下，当−1<x<2时，y随x的增大而增大，∴ℎ≥2，故正确；D．∵抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2，x1+x2<2ℎ，∴x1+x2<ℎ，∴点A到对称轴的距离大2于点B到对称轴的距离，∴y1<y2，故错误．故选C．小提示：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5、根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x 的范围是（）C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2答案：B分析：利用二次函数和一元二次方程的性质．解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．故选：B．小提示：本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．6、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（）A．5B．8C．9D．10答案：C分析：第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，则数量在60的基础上减少了3(k−1)，每件产品利润在8的基础上增加2(k−1)，据此可求出总利润关系，求出最值即可．解：设总利润为y元，∵第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，∴每天利润为y=[60−3(k−1)][8+2(k−1)]=−6(k−9)2+864，∴当k=9时，产品利润最大，每天获利864元，故选C．小提示：本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．7、已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x=3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．(3,9)B．(3,−9)C．(−3,9)D．(−3,−9)答案：A分析：根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b=3，2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．小提示：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．8、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据题意分a>0,a<0两种情况讨论，结合函数图象即可求解．解：A.正比例函数中a<0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故A 不正确；B.正比例函数中a>0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中a>0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，故C正确；D. .正比例函数中a<0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故D不正确；故选C小提示：本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．9、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况描述正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个同号的实数根D．有两个无法确定符号的实数根答案：B分析：根据二次函数的图像判断与x轴有两个交点，且在原点两侧，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0有两个异号的实数根．解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，且在原点两侧，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个异号的实数根，故选：B．小提示：本题考查二次函数图像与一元二次方程根的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x 轴有交点的横坐标即为关一元二次方程ax2+bx+c=0的根是解答本题的关键．10、已知抛物线y=2(x−3)2−5，其对称轴是（）A．直线x=−3B．直线x=3C．直线x=−5D．直线x=5答案：B分析：直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．解：∵y=2(x−3)2−5，∴抛物线对称轴为直线x=3．故选：B．小提示：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．填空题11、已知二次函数y=(x−1)2+3，当x＝_______时，y取得最小值．答案：1分析：根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可得出答案．解：∵y=(x−1)2+3，∴该抛物线的顶点坐标为(1,3)，且开口方向向上，∴当x=1时，y取得最小值，所以答案是：1．小提示：本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．12、如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____．答案：3√2分析：由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可．解：连接PB，对于抛物线y=-x2+k，对称轴是y轴，∴PC=PB，∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，所以点B的坐标为（-2，0），所以BD=√(−2−1)2+32=3√2，所以答案是：3√2．小提示：本题考查了抛物线与x轴的交点，轴对称－最短路线问题，找到P点是本题的关键．13、已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．答案：6分析：根据a－b2＝4得出b2=a−4，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．∵a－b2＝4∴b2=a−4将b2=a−4代入a2－3b2＋a－14中得：a2－3b2＋a－14=a2−3(a−4)+a−14=a2−2a−2a2−2a−2=a2−2a+1−3=(a−1)2−3∵b2=a−4≥0∴a≥4当a=4时，(a−1)2−3取得最小值为6∴a2−2a−2的最小值为6∵a2－3b2＋a－14=a2−2a−2∴a2－3b2＋a－14的最小值6所以答案是：6．小提示：本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．14、已知二次函数y =−x 2−2x +3，当a ⩽x ⩽12时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．答案：−1−√3##−√3−1分析：先把函数解析式化为顶点式可得当x <−1时，y 随x 的增大而增大，当x >−1时，y 随x 的增大而减小，然后分两种情况讨论：若a ≥−1；若a <−1，即可求解．解：y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴当x <−1时，y 随x 的增大而增大，当x >−1时，y 随x 的增大而减小，若a ≥−1，当a ⩽x ⩽12时，y 随x 的增大而减小，此时当x =12时，函数值y 最小，最小值为74，不合题意，若a <−1，当x =a 时，函数值y 最小，最小值为1，∴−a 2−2a +3=1，解得：a =−1−√3或−1+√3（舍去）；综上所述，a 的值为−1−√3．所以答案是：−1−√3小提示：本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．15、已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图像的顶点为(2,−2)，与x 轴交于点(1,0)、(3,0)，根据图像回答下列问题：当x _______时，y 随x 的增大而减小：方程ax 2+bx +c =0的两个根是___________．答案： x ＜2 x 1=1，x 2=3分析：利用开口向上和对称轴以及二次函数与一元二次方程的联系即可得到答案．解（1）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），∴二次函数的对称轴为直线x=2，∵抛物线的开口向上，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；（2）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3．小提示：本题考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，属于常考题型．解答题16、在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．答案：(1)v=−12t+10，y=−14t2+10t(2)6cm/s(3)黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球分析：（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入三组数值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，代入（1）式中y关于t的函数解析式求出时间t，再将t代入v关于t的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为w cm，得到w=70+2t−y=14t2−8t+70，化简即可求出最小值，于是得到结论．（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，{10=b 9.5=k+b ，解得{k=−12b=10，∴v=−12t+10，根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得{0=c9.75=a+b19=4a+2b，解得{a=−14b=10c=0，∴y=−14t2+10t;（2）依题意，得−14t2+10t=64，∴t2−40t+256=0，解得，t1=8，t2=32；当t1=8时，v=6；当t2=32时，v=−6（舍）；答：黑球减速后运动64cm时的速度为6cm/s．（3）设黑白两球的距离为w cm，w=70+2t−y=14t2−8t+70=14(t−16)2+6，∵14>0，∴当t=16时，w的值最小为6，∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．小提示：本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．17、已知抛物线y=ax2−4ax+3(a≠0)的图象经过点A(−2,0)，过点A作直线l交抛物线于点B(4,m)．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)将抛物线向下平移n(n>0)个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．答案：(1)y=−14x2+x+3；(2,4)(2)3；2分析：（1）把点A(−2,0)代入y=ax2−4ax+3(a≠0)，求出a的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（2）把C(4,m)代入y=−14x2+x+3可求出m的值；再运用待定系数法求出直线AB的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．（1）将A(−2,0)代入y=ax2−4ax+3得：0=4a+8a+3，解得a=−14，∴抛物线的函数表达式为y=−14x2+x+3，∵−b2a =−12×(−14)=2，4ac−b24a=4×(−14)×3−124×(−14)=4，∴顶点坐标为(2,4)；（2）把C(4,m)代入y=−14x2+x+3得，m =−4+4+3=3，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A (−2,0)，B (4,3)代入y =kx +b 得{0=−2k +b 3=4k +b，解得{k =12b =1， ∴直线AB 的解析式为y =12x +1， ∵顶点的横坐标为2，∴把x =2代入y =12x +1得：y =2，∴n =4−2=2．小提示：本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．18、戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒(1)若每盒售价降低x 元，则日销量可表示为_______盒，每盒口罩的利润为______元．(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．答案：(1)(20+2x )盒，(20-x ) 元(2)每盒售价应定为60元(3)每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元分析：（1）根据题意列出代数式即可；（2）设每盒售价x 元，则每件的销售利润为(x −50)元，日销售量为[20+2(70−x )]件，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可求解；（3）设日利润为y ，由（2）列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．（1）设每盒售价降低x 元，则日销量可表示为(20+2x )盒，每盒口罩的利润为70−50−x =20−x （元）所以答案是：(20+2x)；(20−x)（2）设每盒售价x元，则每件的销售利润为(x−50)元，日销售量为[20+2(70−x)]件，根据题意得，(x−50)[20+2(70−x)]=(70−50)×20解得x1=70,x2=60又∵商家想尽快销售完该款商品，∴x=60．答：每件售价应定为60元；（3）设日利润为y，则y=(x−50)[20+2(70−x)]=−2x2+260x−8000=−2(x−65)2+450∴x=65时，y的最大值为450，即每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．。

初三数学上册(人教版)第二十二章二次函数22.1知识点总结含同步练习及答案

描述：2.二次函数的图象与性质（）的图象与性质（）的图象与性质（、、是常数，）的图象与性质所以．m =2y =a x 2a ≠0y =a (x −h +k )2a ≠0y =a +bx +c x 2a b c a ≠函数（）在上的最值问题：y =a +bx +c a ≠0y =a +bx +c x 2a >0m <x <n描述：例题：3.二次函数图象的变换平移“上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是进行加减．对称旋转函数图象旋转可以看成先把原图象上的点（通常我们选择顶点）绕着旋转中心旋转，得到旋转后的点的坐标，即可得到新的函数．x （1）将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得图象的函数表达式是______．（2）如果保持抛物线的图象不动，把轴、轴分别向上、向右平移个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是_____．解：（1）；（2）．（1） “上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是进行加减．（2）把轴、轴分别向上、向右平移个单位，就相当于把函数分别向下、向左平移个单位．y =x 212y =2x 2x y 2y =(x −1+2)2y =2(x +2−2)2x x y 22将二次函数的图象绕坐标原点旋转，则旋转后的图象对应的解析式为______．y =−2x −1x 2O 180∘y =−−2x +12描述：例题：4.二次函数的解析式设一般式（）若已知条件或根据已知可推出图象上三个点，可以设成一般式，将已知条件代入解析式，得出关于、、的三元一次方程组，解方程即可．设顶点式（）若已知条件或根据已知可推出函数的顶点或对称轴与最值时，可以设成顶点式，将已知条件代入解析式，求出待定系数．设交点式（）若已知条件或根据已知可推出图象上纵坐标相同的两个点的坐标为和时，可以设交点式，将已知条件代入解析式，求出待定系数．解：．可以看成先把原图象上的点绕着坐标原点旋转，得到旋转后的点的坐标，即可得到新的函数．y =−−2x +1x 2O 180∘（1）抛物线关于轴对称的图象为______．（2）在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为____．（3）将抛物线的图象绕它的顶点旋转，则旋转后的抛物线的函数关系式为______．解：（1）；（2）；（3）．y =−2x −3x 2x y =+x −2x 2x y y =−2x +1x 2A 180∘y =−+2x +3x 2y =−+x +2x 2y =−+2x −1x 2y =a +bx +c x 2a ≠0a b c y =a (x −h +k )2a ≠0y =a (x −)(x −)+m x 1x 2a ≠0(,m )x 1(,m )x 2二次函数的图象经过，，三点，求该二次函数的解析式．分析：已知条件中给出三个点，所以可以设一般式．解：设二次函数的解析式为（）．将，，三点代入，得解得即二次函数的解析式为．A (1,2)B (0,−1)C (−2,5)y =a +bx +c x 2a ≠0A (1,2)B (0,−1)C (−2,5)⎧⎩⎨a +b +c =2,c =−1,4a −2b +c =5.⎧⎩⎨a =2,b =1,c =−1.y =2+x −1x 2已知二次函数的图象的顶点为，且过点，求该二次函数的解析式．分析：已知一个顶点和另一个点，所以可以设顶点式．解：设二次函数的解析式为．将点的坐标代入，解得．所以二次函数的解析式为．A (−1,4)B (2,−5)y =a (x +1+4)2B (2,−5)a =−1y =−(x +1+4=−−2x +3)2x 2已知抛物线与轴的交点坐标是，，且抛物线经过，求抛物线的解析x A (−2,0)B (1,0)C (2,8)四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

人教版初中九年级数学上册第二十二章《二次函数》经典练习题(含答案解析)(3)

一、选择题1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0，其中正确的是（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④A解析：A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x＝3122ba-=-，则2a+b＝0，故说法正确；②由图示知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故说法正确；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1<y2，故说法错误；④由图示知，当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7C 解析：C【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝13；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝13，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．3．如图等边ABC的边长为4cm，点P，点Q同时从点A出发点，Q沿AC以1cm/s 的速度向点C运动，点P沿A B C--以2cm/s的速度也向点C运动，直到到达点C时停止运动，若APQ的面积为()2cmS，点Q的运动时间为()s t，则下列最能反映S与t之间大致图象是（）．A ．B ．C ．D ．D解析：D 【分析】当点P 在AB 边运动时，S=12AQ×APsinA ，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，S=12×AQ×PCsinC ，即可求解．【详解】解：当点P 在AB 边运动时，21133sin 22222S AQ AP A t t t =⨯=⨯⨯⨯=，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，1133sin 2(6)(6)2222S AQ PC C t t t t =⨯⨯=⨯⨯-⨯=-，图象为开口向下的抛物线，故选：D ．【点睛】本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 4．下列函数关系式中，属于二次函数的是（） A ．21y x =+ B ．21y x x=+C ．()()221y x x x=+-- D ．21y x =-D解析：D 【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；B 、2y x =+1x不是二次函数，故B 不符合题意； C 、()()2222122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题意；D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意；故答案为：D ．【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．5．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根．其中正确的结论个数是（） A ．3 B ．2C ．1D ．0A解析：A 【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断．解：如图：①如图所示，函数图象关于y 轴对称，故①符合题意． ②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意． ③如图所示，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故③符合题意．④如图所示，当-2＜a ＜-1时，关于x 的方程x 2-2|x|-1=a 有4个实数根，故④符合题意．综上所述，正确的结论有3个．故选：A ．【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．6．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C 【分析】由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向下 ∴a ＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴x=2b a-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确；【点睛】本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值43c =；其中正确的有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．1C解析：C 【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x 轴的交点问题可对②进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a 得到c=-3a ，则可对③④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a=1， ∴b=-2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根是-1，3，所以②正确； ∵当x=-1时，y=0， ∴a-b+c=0，而b=-2a ，∴a+2a+c=0，即c=-3a ， ∴a+2b-c=a-4a+3a=0，即a+2b=c ，所以③正确； a+4b-2c=a-8a+6a=-a ，所以④错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．8．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（） A ．123y y y >> B ．213y y y >> C ．231y y y >> D ．312y y y >>C解析：C 【分析】由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小．【详解】∵222(1)1y x x m x m =++=++-， ∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上， ∴231y y y >>．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．若关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数21(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的交点个数为（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．1或2个C解析：C 【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4y x x a =--+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数．【详解】解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，∴3a-2＞a+2，即a ＞2，令y=0，21(3)4x x a --+-=0，△=（-1）2-4×（a-3）×（-14）=a-2，∵a ＞2， ∴a-2＞0，∴函数图象与x 轴的交点个数为2．故选：C ．【点睛】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．10．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（） A ．3a 1-<<- B ．2a 1-<< C ．1a 0-<< D ．2a 4<<C解析：C 【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题11．抛物线2y x x =+向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为____．【分析】先把配成顶点式再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式【详解】此抛物线的顶点坐标为()把点()向下平移个单位长度再向左平移个单位长度所得对应点的坐标为()即()所以平移后得到的抛物线的解析式为解析：2710y x x =++【分析】先把2y x x =+配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】2211()24y x x x =+=+-，此抛物线的顶点坐标为(12-，14-)，把点(12-，14-)向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得对应点的坐标为(132--，124--)，即(72-，94-)，所以平移后得到的抛物线的解析式为279()24y x =+-，即2710y x x =++．故答案为：2710y x x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 12．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是______．表格给出的信息可看出对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向上与x 轴交于（−10）（30）两点则y>0时x 的取值范围即可求出【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向解析：1x <-或3x > 【分析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则y>0时，x 的取值范围即可求出．【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则当函数值y>0时，x 的取值范围是x<-1或x>3．故答案为：x<-1或x>3．【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，正确掌握才能灵活运用．13．如图，抛物线224y x x =-+与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为1C ，将1C 以y 轴为对称轴作轴对称得到2C ，2C 与x 轴交于点B ，若直线y = m 与1C ，2C 共有4个不同的交点，则m 的取值范围是_______________．【分析】首先求出点A 和点B 的坐标然后求出解析式分别求出直线过抛物线顶点时m 的值以及直线过原点时m 的值结合图形即可得到答案【详解】令解得：或则A （20）B （-20）∵与关于y 轴对称：顶点为(12)∴的解析：02m <<【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出2C 解析式，分别求出直线y m =过抛物线顶点时m的值以及直线y m =过原点时m 的值，结合图形即可得到答案．【详解】令2240y x x =-+=，解得：0x =或2x =，则A （2，0），B （-2，0），∵1C 与2C 关于y 轴对称，1C ：()2224212y x x x =-+=--+，顶点为(1，2)， ∴2C 的解析式为()2221224y x x x =-++=--（20x -≤≤），顶点为(-1，2)，当直线y m =过抛物线顶点时，它与1C ，2C 共有2个不同的交点，此时2m =；当直线y m =过原点时，它与1C ，2C 共有3个不同的交点，此时0m =； ∴当02m <<时，直线y m =与1C ，2C 共有4个不同的交点．故答案为：02m <<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．14．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口解析：②③【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵-2b a =12， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，所以②正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），而抛物线的对称轴为直线x=12， ∴点（-2，0）关于直线x =12的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；故答案为②③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么()b a b c a ++的值为______．＝2再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3然后利用整体代入的方法计算（a ＋b ＋c ）的值【详解】解：∵抛物线解析：6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1，则−2b a ＝−1，所以b a＝2，再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3，然后利用整体代入的方法计算b a （a ＋b ＋c ）的值．【详解】解：∵抛物线经过点（−2，−1.68），（0，−1.68），∴抛物线的对称轴为直线x ＝−1，即−2b a ＝−1， ∴b a＝2， ∴x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等，∵x ＝−3时，y ＝3，∴x ＝1时，y ＝3，即a ＋b ＋c ＝3，∴b a（a ＋b ＋c ）＝2×3＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．16．若抛物线256y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_______________．7【分析】根据抛物线y=x2-5x-6与x 轴分别交于AB 两点可以令y=0求得点AB 的坐标从而可以求得AB 的长【详解】解：∵y=x2-5x-6∴y=0时x2-5x-6=0解得x1=-1x2=6∵抛物线解析：7【分析】根据抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，可以令y=0求得点A 、B 的坐标，从而可以求得AB 的长．【详解】解：∵y=x 2-5x-6，∴y=0时，x 2-5x-6=0，解得，x 1=-1，x 2=6．∵抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，∴点A 的坐标为(-1，0)，点B 的坐标为(6，0)，∴AB 的长为：6-(-1)=7．故答案为：7．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x 轴相交时，y=0．17．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，则代数式a 2﹣ab +b 2的最小值为_____．【分析】由韦达定理得出ab 与m 的关系式由一元二次方程的根与判别式的关系得出m 的取值范围再对代数式a2﹣ab+b2配方并将a+b 和ab 整体代入化简然后再配方结合m 的取值范围可得出答案【详解】∵关于x 的解析：916【分析】由韦达定理得出a ，b 与m 的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出m 的取值范围，再对代数式a 2﹣ab +b 2配方并将a +b 和ab 整体代入化简，然后再配方，结合m 的取值范围可得出答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，∴a +b ＝2m +1，ab ＝m 2﹣1，△≥0，∴△＝[﹣(2m +1)]2﹣4×1×(m 2﹣1)＝4m 2+4m +1﹣4m 2+4＝4m +5≥0，∴m ≥54-． ∴a 2﹣ab +b 2 ＝(a +b )2﹣3ab＝(2m +1)2﹣3(m 2﹣1)＝4m 2+4m +1﹣3m 2+3＝m 2+4m +4＝(m +2)2，∴a 2﹣ab +b 2的最小值为：2592416⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．故答案为：916．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及利用二次函数的性质求解代数的最值，灵活利用韦达定理及根的判别式，是解决本题的关键，熟悉用函数的思想解决最值问题也是关键点．18．已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的,a b 的值：a =__________，b =_________________【分析】根据判别式的意义得到△=b2-4a=0然后a 取一个不为0的实数再确定对应的b 的值【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x 轴只有一个交点∴△=b2-4a=0若a=1则b 可解析：12【分析】根据判别式的意义得到△=b 2-4a=0，然后a 取一个不为0的实数，再确定对应的b 的值．【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象与x 轴只有一个交点，∴△=b 2-4a=0，若a=1，则b 可取2．故答案为1，2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）①②【分析】根据开口向上故；对称轴再y 轴的的左边根据同左异右故抛物线交y 轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x 轴的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故；解析：①②【分析】根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方；对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a =，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-等信息，利用这些信息进行答题．【详解】解：根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方，故0c < ，因此0abc <①正确对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a = 故②20a b -=也正确由抛物线知道，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==- 当当0y >时，图形上是在x 轴的上方，有1x >或者3x <- 故③错误当x=1是，由图可以知道0a b c ++= 即2220a b c ++= 由2b a =，便有320b c += 故④错误由图形可以知道当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故⑤错误故答案为①②【点睛】本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，20．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a +b =0；②b 2-4ac ＜0；③当y ＞0时，x 的取值范围是 -1＜x ＜3；④当 x ＞0时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有a+b≥at 2+bt ．其中结论正确的是_________．①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（30）∵对称轴为x=−＝1从而可知：2a+b=0故①正确；∵抛物线与x解析：①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（3，0）∵对称轴为x=−2b a＝1，从而可知：2a+b=0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点（-1，0），（3，0）∴△=b 2-4ac ＞0，而②b 2-4ac ＜0，故②错误；由图象可知：当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，故③正确；由图象可知：当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故④错误；若t 为任意实数，x=1时，函数取得最大值，故a+b+c≥at 2+bt+c ，∴a+b≥at 2+bt ，故⑤正确，所以，结论正确的是①③⑤．故答案为：①③⑤．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，……，n A 和1C ，2C ，3C ，……，n C 均在抛物线2y x 上，点1B ，2B ，3B ，……，n B 在y 轴的正半轴上，若四边形111OA B C ，四边形1222B A B C ，四边形2333B A B C ，……，四边形1n n n n B A B C 都是正方形.（1）分别写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）分别求出正方形2333B A B C 和正方形1n n n n B A B C -的面积.解析：（1）1A (1，1)，1B (0，2)，1C (-1，1)（2）223⨯ ，22n ⨯．【分析】（1）直接根据图象以及二次函数的解析式求出点的坐标即可；（2）表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律即可；【详解】解：（1）∵四边形111A OC B 是正方形且关于y 轴对称，∴ ∠11AOB =45°，又∵点1A 在二次函数图象上，设1A (x ，x)，∴2x x = 且x ＞0，∴x=1即点1A (1，1)，∴1OA 2 ，12OB = ，∴1A (1，1)，1B (0，2)，1C (-1，1)；（2）根据正方形的性质，1OA 与y 轴的夹角为45°，故直线1OA 解析式为y x =，∵1B (0，2)，求得直线11C B 的解析式为2y x =+，进而求得2A (2，4)，2C (-2，4)，2B (0，6)，同时求得3B (0，12) ，于是12OB =，124B B =，236B B =，正方形111OA B C 面积=12222⨯⨯=，正方形1222B A B C 面积=21448=222⨯⨯=⨯，正方形2333B A B C 面积=216618=232⨯⨯=⨯，正方形1n n n n B A B C -的面积=212222n n n ⨯⨯=⨯；【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律是解题的关键；22．某厂生产一种玩具，成本价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）存在一次函数关系10600 y x =-+．（1）销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？解析：（1）34，6760元；（2）当销售单价定为30元时，才能获得最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出利润与销售单价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为多少；（2）根据（1）中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，可以得到当单价为30时，才能获得最大利润．【详解】解：（1）设该厂每天获得的利润为w 元，2810600106804800W x x x x210x 346760 当x 34=时，W 有最大值6760元因此，当销售单价定为34元时，该厂每天获得的利润最大，最大利润是6760元．（2）由（1）可知210346760W x∴函数图像开口向下，对称轴为34x =，∵最高销售单价不得超过30元，∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时210303467606600W，因此，当销售单价定为30元时，才能获得最大利润是6600元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23．已知二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；（2）当m 的值变化时，该函数图象的顶点在下列哪个函数的图象上? ． A ．y ＝x ﹣1 B ．y ＝﹣x ﹣1 C ．y ＝﹣（x+1）2 D ．y ＝﹣（x ﹣1）2解析：（1）见解析；（2）D【分析】（1）根据已知函数解析式得到抛物线与x 轴的两点交点横坐标：x 1=1，x 2=m ，据此证得结论；（2）根据顶点式先得到抛物线的顶点坐标为（-m ，m ），然后分别代入四个解析式中看是否满足解析式，再进行判断．【详解】（1）证明：当y ＝0时，（x ﹣1）（x ﹣m ）＝0．解得x 1＝1，x 2＝m ．当m ＝1时，方程有两个相等的实数根；当m≠1时，方程有两个不相等的实数根．所以，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）由二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）＝（x ﹣12m +）2+m ﹣2(1)4m +得到该抛物线的顶点坐标是（12m +，m ﹣2(1)4m +），而点（12m +，m ﹣2(1)4m +）满足y ＝﹣（x ﹣1）2，不满足y ＝x ﹣1，y ＝﹣x ﹣1，y ＝﹣（x+1）2，∴点（12m +，m ﹣2(1)4m +）在函数y ＝﹣（x ﹣1）2上．故答案是：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识点，需要掌握二次函数与一元二次方程间的关系，二次函数三种形式．24．如图，Rt △OAB 中,∠OAB=90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移2个单位长度后得△11AA B ．(1)求以A 为顶点，且经过点1B 的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D 、 C 的坐标．解析：（1）()2122y x =-；（2）()0,2D ，(35,35C 【分析】（1）根据三角形的边长求出点A 和点1B 的坐标，设抛物线解析式为()22y a x =-，代入点1B 坐标求出解析式；（2）令0x =，求出y 的值，得到点D 的坐标，再求出直线OB 的解析式和抛物线联立求出点C 的坐标．【详解】解：∵2OA =，∴()2,0A ，∵14OA =，112A B =，∴()14,2B ，设抛物线解析式为()22y a x =-，把点()14,2B 代入，得42a =，解得12a =， ∴()2122y x =-；（2）令0x =，得1422y =⨯=， ∴()0,2D ，设直线OB 解析式为y kx =，把点()2,2B 代入，得到22k =，解得1k =，∴直线OB 解析式为y x =，联立直线和抛物线的解析式，得()2122x x -=，解得35x =±，根据点C 的位置，取35x =-，∴()35,35C --．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握求二次函数的解析式的方法，求抛物线和直线交点的方法．25．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23922S t t =-+；②最大值928，此时P 坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由点A 、B 坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，设点P 坐标为(t ，223t t -++)，由PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形即可表示出S 关于t 的函数表达式；②由于BC 为定值，所以点P 到直线BC 的距离最大时即为S 最大，根据二次函数的性质求出S 的最大值，利用勾股定理求出线段BC 的长，再利用等面积法求出点P 到直线BC 的距离的最大值，进而可求出此时的点P 坐标．【详解】解：（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）代入2y x bx c =-++中，得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴，抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，当x=0时，y=3，∴C （0，3），OC=3，∵点P 的坐标为（t ，223t t -++）且点P 在第一象限，∴PH=223t t -++，OH=t ，BH=3﹣t ，∴PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形=22111(233)(3)(23)33222t t t t t t ⋅-+++⋅+⋅-⋅-++-⨯⨯ =23922t t -+， ∴S 关于t 的函数关系式为S=23922t t -+(t ＞0)；②由S=23922t t -+= 23327()228t --+，且32-＜0，得：当t= 32时，S 有最大值，最大值为278， ∵OB=3，OC=3，∴BC= 2232OB OC +=，∵当t=32时，223t t -++=23315()23224-+⨯+= ∴点P 到直线BC 的距离的最大值为272928832⨯=，此时，点P 的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223=+-y mx mx 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，4AB =．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线____，点A 的坐标为___．（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线223=+-y mx mx 沿x 轴方向平移()0n n >个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC 恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n 的取值范围是______．②若向右平移，则n 的取值范围是______．解析：（1）1x =-，()3,0-；（2）223y x x =+-；（3）①04n <≤，②02n <≤ 【分析】（1）由对称轴为直线x=-2b a，可求解；（2）将点B 坐标代入可求解；（3）设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，利用特殊点代入可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y =mx 2+2mx -3的对称轴为直线x =22m m=-1，AB=4， ∴点A （-3，0），点B （1，0），故答案为：x =-1，（-3，0）；（2）∵抛物线y =mx 2+2mx -3过点B （1，0），∴0=m +2m -3，∴m =1，∴抛物线的解析式：y =x 2+2x -3，（3）如图，∵y =x 2+2x -3=（x +1）2-4，∴设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，把x =-3，y =0代入解析式可得：0=（-3+1+n ）2-4，∴n =0（舍去），n =4，∴向左平移，则n 的取值范围是0＜n ≤4；设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，把x =0，y =-3代入解析式可得：-3=（1-n ）2-4，∴n =0（舍去），n =2，∴向右平移，则n 的取值范围是0＜n ≤2，故答案为：0＜n ≤4；0＜n ≤2．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．27．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货。

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点梳理(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点梳理单选题1、已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=−2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y3<y2B．y1<y2<y3C．y2<y1<y3D．y3<y1<y2答案：D分析：分别计算出自变量为-2、-1和3的函数值，然后比较函数值的大小．解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，∴y3＜y1＜y2．故选：D．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．2、已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．−5或2B．−5C．2D．−2答案：B分析：根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．解：函数y=x2+kx−k2向右平移3个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2；再向上平移1个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴0=(0−3)2+k(0−3)−k2+1即k2+3k−10=0解得：k=−5或k=2∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧∴x=−k＞02∴k＜0∴k=−5故选：B．小提示：此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y＝ax＋b的图象不可能是( )A．B．C．D．答案：D分析：根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合；当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意；当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意；当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；只有选项D的两图象的交点不经过x轴，故选D.小提示：本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．4、在平面直角坐标系中，若抛物线y=2(x+5)(x−3)经一次变换后得到抛物线y=2(x+3)(x−5)，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移8个单位D．向下平移8个单位答案：B分析：先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．小提示：本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．5、如图，已知抛物线y=ax2+bx−2的对称轴是x=−1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，下列结论错误．．的是（）A．b2>−8a B．若实数m≠−1，则a−b<am2+bmC．3a−2>0D．当y>−2时，x1⋅x2<0答案：C分析：先根据抛物线对称轴求出b=2a，再由抛物线开口向上，得到a>0，则b2+8a=4a2+8a>0由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当x=1时，y=a+b−2<0，即可判断C；根据y>−2时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判断D．解：∵抛物线y=ax2+bx−2的对称轴是x=−1，∴−b=−1，2a∴b=2a，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴b2+8a=4a2+8a>0，∴b2>−8a，故A说法正确，不符合题意；∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，y=a−b−2，最小值∴当实数m≠−1，则a−b−2<am2+bm−2，∴当实数m≠−1时，a−b<am2+bm，故B说法正确，不符合题意；∵当x=1时，y=a+b−2<0，∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；∵y>−2，∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，∴x1⋅x2<0，故D说法正确，不符合题意；故选C．小提示：本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．6、二次函数y=x2+2x+2的图象的对称轴是（）A．x=−1B．x=−2C．x=1D．x=2答案：A分析：将二次函数y=x2+2x+2写成顶点式，进而可得对称轴．解：∵y=x2+2x+2=(x+1)2+1．∴二次函数y=x2+2x+2的图象的对称轴是x=−1．故选A．小提示：本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．7、某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元答案：D分析：将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D．小提示：此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．8、抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，则当x=2时，y的值为（）A．−5B．−3C．−1D．5答案：A分析：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，∴{c=−5a−b+c=09a+3b+c=0，解方程组得{c=−5 a=53b=−103，∴抛物线解析式为y=53x2−103x−5，当x=2时，y=53×4−103×2−5=−5．故选择A．小提示：本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．9、如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．答案：B分析：根据平移过程，可分三种情况，当0≤x<1时，当1≤x<3时，当3≤x≤4时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．过点C作CM⊥AB于N，DG=3，在等腰Rt△ABC中，AB=2，∴CN=1，①当0≤x<1时，如图，CM=x，∴PQ=2x，∴y=12⋅PQ⋅CM=12×2x⋅x=x2，∴0≤x<1，y随x的增大而增大；②当1≤x<3时，如图，∴y=S△ABC=12×2×1=1，∴当1≤x<3时，y是一个定值为1；③当3≤x≤4时，如图，CM=x−3，∴PQ=2(x−3)，∴y=12AB⋅CN−12PQ⋅CM=12×2×1−12×2×(x−3)2=1−(x−3)2,当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．小提示：本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．10、如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P从点A出发沿路径A→B→C向终点C运动，连接DP，作DP的垂直平分线MN与正方形ABCD的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，△PMN的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A．B．C．D．答案：A分析：分点P在AB和BC上两种情况，分别求出MN和PF长，利用面积公式求解．解：（1）如图，当0≤x≤4时，点P在AB上，过点N作NE⊥AD于点E，设MN与PD交于点F，∴NE=DC=AD，则PD=√PA2+AD2=√x2+42=√x2+16，又∵MN垂直平分PD，∴PF=12PD=12√x2+16，∴∠MDF+∠FMD=∠MNE+∠FME=90°，∴∠MNE=∠PDA，在△MNE和△PDA中，{∠A=∠NEMAD=EN∠PDA=∠MNE∴△APD≌△EMN，∴PD=MN=√x2+16，∴y=12MN⋅PF=12√x2+16⋅12√x2+16=14x2+4 ,（2）如图，当4＜x≤8时，点P在BC上，过点N作NE⊥CD于点E，设MN交PD于点F，则PD=√PC2+CD2=√(8−x)2+16 ,∴PF=12√(8−x)2+16用（1）的方法得MN=√(8−x)2+16,y=12√(8−x)2+16⋅12√(8−x)2+16=14(x−8)2+4，故y={14x2+4(0≤x≤4)14(x−8)2+4(4＜x≤8)故选择A．小提示：本题考查分段函数，解决问题的关键是根据点P的位置确定自变量的取值范围得出函数解析式．填空题11、抛物线y=3−x2位于y轴左侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”）答案：上升分析：根据二次函数图象的性质解答即可．解：∵二次项系数-1<0，∴抛物线开口向下，∵对称轴是直线y=0，∴抛物线y=3−x2位于y轴左侧的部分是上升的．所以答案是：上升．小提示：本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．12、如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．答案：y=−2x2+16x−24分析：根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为(4,8)，进而得到A点坐标为(2,0)，B点坐标为(6,0)，利用待定系数法即可求得函数解析式．∵四边形ABCD为平行四边形∴CD=AB=4∴C点坐标为(4,8)∴A点坐标为(2,0)，B点坐标为(6,0)设函数解析式为y=a(x−2)(x−6)，代入C点坐标有8=a(4−2)(4−6)解得a=−2∴函数解析式为y=−2(x−2)(x−6)，即y=−2x2+16x−24故答案为y=−2x2+16x−24．小提示：本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标．13、如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有_______（填序号）．答案：①②④分析：由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时，a−b+c<0，即可判断③．解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），∴c=3，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b=1，即2a+b=0，故②正确；2a∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确；∵抛物线开口向下，∴a<0，∵当x=-1时，a−b+c<0，∴a−b+c+7a<0即8a−b+c<0，故③错误，所以答案是：①②④．小提示：本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质．14、如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是_________m．答案：4分析：将y=3.05代入y=−0.2x2+x+2.25中可求出x，结合图形可知x=4，即可求出OH．解：当y=3.05时，−0.2x2+x+2.25=3.05，解得：x=1或x=4，结合图形可知：OH=4m，所以答案是：4小提示：本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．15、如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面53米时，足球飞行的水平距离为__________米．答案：10分析：设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3，代入原点，确定解析式为y=−112x2+x，当y=53米时，求得x的值即可．设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3，代入原点，得：0=a(0−6)2+3，解得a=−112，∴抛物线的解析式为y=−112x2+x，当y=53米时，−112x2+x=53，解得x=10，x=2（舍去），足球飞行的水平距离为10米，所以答案是：10．小提示：本题考查了抛物线的解析式，已知函数值求自变量值，熟练掌握待定系数法是解题的关键．解答题16、李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？答案：(1)y=−0.2x+8.4(1≤x≤10且x为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．分析：（1）根据题意列出y=8.2−0.2(x−1)，得到结果．（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．（1）解：由题意得y=8.2−0.2(x−1)=−0.2x+8.4∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是y=−0.2x+8.4(1≤x≤10，且x为整数)．（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元则w=[12−0.5(x−1)−y]⋅10x=[12−0.5(x−1)−(−0.2x+8.4)]⋅10x=−3x2+41x∵a=−3<0∴抛物线开口向下∵对称轴是直线x=416∴当1≤x≤41时，w的值随x值的增大而增大6∵x为正整数，∴此时，当x=6时，w=138最大当41≤x≤10时，w的值随x值的增大而减小6∵x为正整数，∴此时，当x=7时，w=140最大∵140>138∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．小提示：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．17、某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？答案：（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元分析：（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x的值，从而得到答案．（1）由题意列方程得：（x＋40-30）（300-10x）＝3360解得：x1＝2，x2＝18∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，故舍去∴T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M 元，由题意可得：M ＝（x ＋40-30）（300-10x ）＝-10x 2＋200x ＋3000＝−10(x −10)2+4000 ∴当x ＝10时，M 最大值＝4000元 ∴销售单价：40＋10＝50元∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．小提示：本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．18、在平面直角坐标系中，设二次函数y =−12(x −2m )2+3−m （m 是实数）． (1)当m =2时，若点A (8,n )在该函数图象上，求n 的值．(2)小明说二次函数图象的顶点在直线y =−12x +3上，你认为他的说法对吗？为什么？(3)已知点P(a +1,c)，Q(4m −5+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c ≤138．答案：(1)-7 (2)对，理由见解析 (3)见解析分析：（1）把m =2，点A （8，n ）代入解析式即可求解；（2）由抛物线解析式，得顶点是（2m ，3-m ），把x ＝2m 代入y =−12x +3，求出y 值与3-m 比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误；（3）由点P （a +1，c ），Q （4m -5+a ，c ）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x =a+1+4m−5+a2=a +2m -2，即可得出a +2m -2=2m ，求得a =2，得到P （3，c ），代入解析式即可得到 c =-12（3-2m ）2+3-m ＝-2m 2+5m -32＝-2(m -54)2+138，根据二次函数的性质即可证得结论．(1)解：当m ＝2时，y =-12（x -4）2+1 ∵A （8，n ）在函数图象上， ∴n =-12（8-4）2+1=-7(2)解：由题意得，顶点是（2m，3-m）当x＝2m时，y=-12×2m+3=-m+3∴顶点（2m，3-m）在直线y=-12x+3上(3)证明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上∴对称轴是直线x=a+1+4m-5+a2=a+2m-2∴a+2m-2＝2m，∴a＝2，∴P（3，c），把P（3，c）代入抛物线解析式，得∴c=-12（3-2m）2+3-m＝-2m2+5m-32＝-2(m-54)2+138，∵-2<0，∴c有最大值为138，∴c≤138．小提示：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

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只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 − 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a ⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数 b
y=ax2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax 2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2
向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
初三数学二次函数知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 y = ax2 + bx + c（ a，b，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b，c 可以为零．二次函数的
定义域是全体实数．
2. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的结构特征：
当 x − b 时， y 随 x 的增大而增大； 2a
当 x = − b 时， y 有最小值 4ac − b2 ．
2a
4a
2.
当
a
0
时，抛物线开口向下，对称轴为
x
=
−
b 2a
，顶点坐标为
−
b 2a
，4ac − 4a
b2
．当
x
−
b 2a
时，
y 随 x 的增大而增大；当 x − b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = − b 时， y 有最大值 4ac − b2 ．
y=a(x-h)2+k
2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
四、二次函数 y = a( x − h)2 + k 与 y = ax2 + bx + c 的比较
从解析式上看， y = a( x − h)2 + k 与 y = ax2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a，b，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： y = ax2 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号 a0 a0
开口方向向上
X=h
x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a( x − h)2 + k ，确定其顶点坐标 (h，k ) ；
⑵ 保持抛物线 y = ax2 的形状不变，将其顶点平移到 (h，k ) 处，具体平移方法如下：
3. y = a( x − h)2 的性质：
左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴
性质
a0
向上
( h ，0)
x h 时， y 随 x 的增大而增大；x h 时， y 随
X=h
x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 0 ．
a0
向下
( h ，0)
X=h
x h 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y 随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 0 ．
2. y = ax2 + c 的性质：
上加下减。
a 的符号 a0
开口方向向上
顶点坐标
(0，c)
对称轴 y轴
性质
x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值 c ．
a0
向下
(0，c)
y轴
x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值 c ．
在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴） 3. 常数项 c
⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； ⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．
到前者，即
y
=
a
x
+
b 2 2a
+
4ac − b2 4a
，其中 h
= − b ，k 2a
=
4ac − b2 4a
．
六、二次函数 y = ax2 + bx + c 的性质
1.
当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = − b 2a
，顶点坐标为
−
b 2a
，4ac − 4a
b2
．
当 x − b 时， y 随 x 的增大而减小； 2a
4. y = a( x − h)2 + k 的性质：
a 的符号 a0 a0
开口方向向上
顶点坐标
(h，k 而增大；x h 时， y 随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．
向下
(h，k )
x h 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y 随
2a
2a
4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y = ax2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y = a(x − h)2 + k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）； 3. 两根式（交点式）： y = a(x − x1)(x − x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
顶点坐标
(0，0)
对称轴 y轴
性质
x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值 0 ．
向下
(0，0)
y轴
x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值 0 ．