二次函数知识点及题型归纳总结

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二次函数知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式

(1)一般式:2

()(0)f x ax bx c a =++≠;

(2)顶点式:2

()()(0)f x a x m n a =-+≠;其中,(,)m n 为抛物线顶点坐标,x m =为对称轴方程. (3)零点式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠,其中,12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2.二次函数的图像

二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,对称轴方程为2b

x a

=-

,顶点坐标为24(,)24b ac b a a

--. (1) 单调性与最值

①当0a >时,如图2-8所示,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-

上递减,在[,)2b

a

-+∞上递增,当2b x a =-时, 2min 4()4ac b f x a -=;②当0a <时,如图2-9所示,抛物线开口向下,函数在(,]

2b

a -∞-上递增,在[,)

b -+∞上递减,当

b

x =-

时,;24()4ac b f x a -=.

(2) 当2

40b ac ∆=->时,二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和

22(,0)M x ,1212||||||

M M x x a =-==

. 二、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠,当0a >时,()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ,最小值是m ,

图2-9

令02p q

x +=

: (1) 若2b

p a

-≤,则(),()m f p M f q ==;

(2) 若02b p x a <-<,则(),()2b

m f M f q a =-=;

(3) 若02b x q a ≤-<,则(),()2b

m f M f p a =-=;

(4) 若2b

q a

-≥,则(),()m f q M f p ==.

三、一元二次方程与二次函数的转化

1.实系数一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系

(1)方程有两个不等正根12,x x ⇔

21212400

0b ac b x x a c x x a ⎧

⎪∆=->⎪⎪

+=->⎨⎪

⎪=>⎪⎩

(2)方程有两个不等负根12,x x ⇔212

124000b ac b x x a c x x a ⎧

⎪∆=->⎪

⎪+=-<⎨⎪

⎪=>⎪⎩

(3)方程有一正根和一负根,设两根为12,x x ⇔120c x x a

=< 2.一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑:

(1) 开口方向;(2)判别式;(3)对称轴2b

x a

=-与区间端点的关系;(4)区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根,则一元二次2

0(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其

限定条件如表2-5所示.

四、二次不等式转化策略

1. 二次不等式的解集与系数的关系

若二次不等式2

()0f x ax bx c =++≤的解集是0(,][,)a b a c a αβαβαβ⎧

⎪<⎪

⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪

⋅=⎪⎩

二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x 轴交点横坐标有关的.

2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略

已知二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠.()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩;()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩

.

注 若表述为“已知函数2

()f x ax bx c =++”,并未限制为二次函数,则应有

()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨>⎩;()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或0

0a b c ==⎧⎨<⎩

. 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧

有关二次函数的问题,关键是利用图像.

(1) 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法,特别是含参数的两类问 题——动轴定区间和定轴动区间,解法是抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个端点和区间中点,一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论,往往分成:①轴处在区间的左侧;②轴处在区间的右侧;③轴穿过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系),从而对参数值的范围进行讨论.

(2) 对于二次方程实根分布问题,要抓住四点,即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

题型归纳及思路提示

题型1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答,利用数形结合思想进行分析.

例2.41 “0a <”是“方程2210ax x ++=至少有一个负数根”的( )

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析 由于0a <,则方程2

210ax x ++=的判别式440a ∆=->,

设12,x x 为方程的两根,则12122010x x a

x x a ⎧

+=->⎪⎪⎨⎪=<⎪⎩

,故12,x x 异号,因此方程有一个负数根;但反之,若方

程2210ax x ++=有负数根,当0a =时,即210x +=有负数根12

x =-,那么方程2

210ax x ++=有负

数根⇒0a <.因此“0a <”是方程“2

210ax x ++=至少有一个负数根”的充分不必要条件.故选B.

变式1 已知函数2

()f x ax bx c =++,且a b c >>,0a b c ++=,集合{|()0}A m f m =<,则( ). A. m A ∀∈ ,都有(3)0f m +> B. m A ∀∈ ,都有(3)0f m +<

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