二次函数知识点及题型归纳总结
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二次函数知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:2
()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2)顶点式:2
()()(0)f x a x m n a =-+≠;其中,(,)m n 为抛物线顶点坐标,x m =为对称轴方程. (3)零点式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠,其中,12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2.二次函数的图像
二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,对称轴方程为2b
x a
=-
,顶点坐标为24(,)24b ac b a a
--. (1) 单调性与最值
①当0a >时,如图2-8所示,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-
上递减,在[,)2b
a
-+∞上递增,当2b x a =-时, 2min 4()4ac b f x a -=;②当0a <时,如图2-9所示,抛物线开口向下,函数在(,]
2b
a -∞-上递增,在[,)
b -+∞上递减,当
b
x =-
时,;24()4ac b f x a -=.
(2) 当2
40b ac ∆=->时,二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和
22(,0)M x ,1212||||||
M M x x a =-==
. 二、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠,当0a >时,()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ,最小值是m ,
图2-9
令02p q
x +=
: (1) 若2b
p a
-≤,则(),()m f p M f q ==;
(2) 若02b p x a <-<,则(),()2b
m f M f q a =-=;
(3) 若02b x q a ≤-<,则(),()2b
m f M f p a =-=;
(4) 若2b
q a
-≥,则(),()m f q M f p ==.
三、一元二次方程与二次函数的转化
1.实系数一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系
(1)方程有两个不等正根12,x x ⇔
21212400
0b ac b x x a c x x a ⎧
⎪∆=->⎪⎪
+=->⎨⎪
⎪=>⎪⎩
(2)方程有两个不等负根12,x x ⇔212
124000b ac b x x a c x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪+=-<⎨⎪
⎪=>⎪⎩
(3)方程有一正根和一负根,设两根为12,x x ⇔120c x x a
=< 2.一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑:
(1) 开口方向;(2)判别式;(3)对称轴2b
x a
=-与区间端点的关系;(4)区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根,则一元二次2
0(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其
限定条件如表2-5所示.
四、二次不等式转化策略
1. 二次不等式的解集与系数的关系
若二次不等式2
()0f x ax bx c =++≤的解集是0(,][,)a b a c a αβαβαβ⎧
⎪<⎪
⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪
⎪
⋅=⎪⎩
二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x 轴交点横坐标有关的.
2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略
已知二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠.()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩;()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩
.
注 若表述为“已知函数2
()f x ax bx c =++”,并未限制为二次函数,则应有
()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨>⎩;()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或0
0a b c ==⎧⎨<⎩
. 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧
有关二次函数的问题,关键是利用图像.
(1) 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法,特别是含参数的两类问 题——动轴定区间和定轴动区间,解法是抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个端点和区间中点,一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论,往往分成:①轴处在区间的左侧;②轴处在区间的右侧;③轴穿过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系),从而对参数值的范围进行讨论.
(2) 对于二次方程实根分布问题,要抓住四点,即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
题型归纳及思路提示
题型1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系
思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答,利用数形结合思想进行分析.
例2.41 “0a <”是“方程2210ax x ++=至少有一个负数根”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由于0a <,则方程2
210ax x ++=的判别式440a ∆=->,
设12,x x 为方程的两根,则12122010x x a
x x a ⎧
+=->⎪⎪⎨⎪=<⎪⎩
,故12,x x 异号,因此方程有一个负数根;但反之,若方
程2210ax x ++=有负数根,当0a =时,即210x +=有负数根12
x =-,那么方程2
210ax x ++=有负
数根⇒0a <.因此“0a <”是方程“2
210ax x ++=至少有一个负数根”的充分不必要条件.故选B.
变式1 已知函数2
()f x ax bx c =++,且a b c >>,0a b c ++=,集合{|()0}A m f m =<,则( ). A. m A ∀∈ ,都有(3)0f m +> B. m A ∀∈ ,都有(3)0f m +<