第11讲算符特点证明题
量子力学习题
= Ly z − Lz y + yLz − zLy = ( Ly z − zLy ) + ( yLz − Lz y ) = [ Ly , z ] + [ y, Lz ] = 2ix = (2ir ) x
= Ly pz − Lz p y + p y Lz − pz Ly = ( Ly pz − pz Ly ) + ( p y Lz − Lz p y ) = [ Ly , pz ] + [ p y , Lz ]
① 写出Ψ（ｘ，ｔ）； ② 求在Ψ（ｘ，ｔ）态中测量粒子的能量的可能值及其概率。 ③ 求 ｔ＝０ 时的＜ｘ＞（即坐标的平均值），并问＜ｘ＞是否随时间 ｔ 变化。
x 2 + y 2 + z 2 ， k、α 是实
的正常数。求： ① 粒子的角动量是多少？ ② 角动量 ｚ 方向的分量的平均值。 ③ 若角动量的 ｚ 分量 L z 被测量，求 L z = + 的概率有多大？ ④ 发现粒子在θ、φ方向上 ｄΩ立体角内的概率是多少？θ、φ是通常球 坐标中的方向角。
二、 算符的本征态及力学量的测量
１、证明：若两个算符具有共同的本征态，而且这些本征态构成体系状态的完备 集，则这两个算符对易。
Axe− λ x ( x > 0) ψ ( x) (λ > 0) = 0( x < 0) ２、一维运动的粒子处在 求动量和坐标的不确定度，
并验证不确定关系
并说明算符 Ａ、Ｂ 厄米性。 ５、证明：设 A、B 都是矢量算符 Ｆ 是标量算符，证明： F , A ⋅= B F , A ×= B F , A ⋅ B + A ⋅ F , B F , A × B + A × F , B
证明角动量算符是厄米算符
证明角动量算符是厄米算符要证明角动量算符是厄米算符，我们需要证明它的本征值是实数，以及它满足厄米算符的性质。
首先，我们考虑角动量算符的本征值问题。
设一个态函数$|\psi\rangle$是角动量算符$\hat{L}$的本征态，对应的本征值为$\lambda$，即$\hat{L}|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle$。
我们希望证明$\lambda$是实数。
首先我们将$|\psi\rangle$在坐标表象下展开：$|\psi\rangle = \int d^3x\psi(\mathbf{x})|\mathbf{x}\rangle$，其中$\psi(\mathbf{x})$是态函数的波函数表示，$|\mathbf{x}\rangle$是坐标算符的本征态。
那么角动量算符在坐标表象下的表示为$\langle\mathbf{x}|\hat{L}|\mathbf{x}'\rangle$。
我们来考虑$\hat{L}|\psi\rangle$在坐标表象下的表示：$$\hat{L}|\psi\rangle = \intd^3x'\langle\mathbf{x}|\hat{L}|\mathbf{x}'\rangle\intd^3x\psi(\mathbf{x})|\mathbf{x}'\rangle\\=\intd^3x'\langle\mathbf{x}|\hat{L}|\mathbf{x}'\rangle\psi(\mathbf{x}') $$然后我们来考察$|\psi\rangle$与$\hat{L}|\psi\rangle$的内积：$$\langle\psi|\hat{L}|\psi\rangle = \int d^3x\intd^3x'\psi^*(\mathbf{x})\langle\mathbf{x}|\hat{L}|\mathbf{x}'\rangle\psi(\mathbf{x}')\\=\int d^3x\intd^3x'\psi^*(\mathbf{x})\langle\mathbf{x}|\hat{L}|\mathbf{x}'\ran gle\psi(\mathbf{x}')\\=\int d^3x\intd^3x'\psi^*(\mathbf{x'})\langle\mathbf{x}'|\hat{L}|\mathbf{x}\ra ngle\psi(\mathbf{x})$$上述的两行等式中，我们可以交换积分顺序，因为积分是与算符无关的。
高二物理竞赛课件：算符的一般特性
( I ) pˆ x 与pˆ y对 易 ，pˆ y与x对 易 ， 但 是pˆ x 与x不 对 易 ； ( II ) pˆ x 与pˆ y对 易 ，pˆ y与z对 易 ， 而pˆ x 与z对 易 。
对易括号
这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上， 对波函数做相应的运算才有意义，例如：
Ôu=v
表示 Ô 把函数 u 变成 v，
Ô 就是这种变
换的算符。
du / dx = v
d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
当 m n 时，氦激发态 4 度交换简并，应该使用简并
微扰论。
I II
S(A(00))((rr11,,rr22))AS((ss11zz,,ss22zz))S(A(00))130m
s
(ms 0,1.)
其中：
(0) S
(r1
,
r2
)
(0) A
(r1
,
r2
)
1 2
[
n
(r1
)
m
(r2
)
n
(r2
对易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
算符的运算规则
y
y
x
Rz ( )
x
当 1 ，即在无穷小转动下，对 R (r) 做泰勒展开，精确
到一级项有 R (r) 1 i Lz (r)
（3.2.42）
3.2 算符旳运算规则
所以，状态 (r) 在空间转动后变为另一状态 R (r) ，它
等于某个变换算符作用于原来态上旳成果，而该变换算
符 ia Lz
➢ 算符之和 A B A B
（3.2.4）
为任意波函数。显然，算符之和满足互换率和结合律
AB B A
A B C A B C
显然，线性算符之和仍为线性算符。
➢ 算符之积
( AB) A(B )
注：一般情形
AB BA
（3.2.5） （3.2.6）
3.2 算符旳运算规则
Lx
i
(sin
ctg cos )
Ly
i
( cos
ctg sin )
Lz i
（3.2.28）
（3.2.29） （3.2.30） （3.2.31） （3.2.32）
3.2 算符旳运算规则
由此可得：Lx 2
2[sin2 2 2ctg sin cos 2 ctg 2 cos2 2
同理： LzYlm ( ,) m Ylm ( ,)
（3.2.41）
即在 Ylm 态中，体系旳角动量在 z 轴方向投影为 Lz m
一般称 l 0 旳态为s 态，l 1, 2,3旳态依次为 p, d, f 态。
3.2 算符旳运算规则
目前考虑角动量算符旳物理意义。设体系绕 z 轴滚
动 角并以 Rz ( )算符变换表达：rR Rz ( ) (r) ，
所以
2
2
量子力学— —算符
，都是厄米算符。
对于任意量子态
，
。所以，动量算符确实是一个厄米算符。 动量算符确实是一个厄米算符
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1.2 （位置算符）本征值与本征函数
假设，位置算符 的本征值为 的本征函数是 。用方程表达， 这方程的一般解为，
其中， 虽然
是常数， 无法归一化：
是狄拉克δ函数。
设定
= 1，我们可以使
满足下述方程：
们立刻再测量可观察量
，得到的答案必定是
可是，假若，我们改为测量可观察量 为
，则量子态不会停留于本征态
的本征态。假若，得到的测量值为其本征值
，则量子态几率地坍缩为本征态
根据不确定性原理， 的不确定性与 与 之间， 与 的不确定性的乘积 之间，也有类似的特性。 ，必定大于或等于 。
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3.1 角动量算符 简介
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系 统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力 学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计 算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现 于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是 以波函数或量子幅来描述其几率性行为，而不是命定 性(deterministic)行为。
量子力学
算 符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋 7.3.4 自旋与统计
二、动量算符
力学的算符表示和表象
(18)
对于 p y ， p z 也有同样的等式。如果 G px 是 p x 的解析函数，且可展成 p x 的幂级数 G p x Cn p x n (19)
n
则有
n ˆx G px G px Cn * r , t p r , t dr n
(1)
等均代表对 的运算。概括起来讲，设某种运算将函数 变为函数 u，记作
ˆ u Fv
ˆ 称作算符。若算符 F ˆ 满足 则表示这种运算的符号 F
(2)
ˆ c v c v c F ˆ ˆ F 1 1 2 2 1 v1 c2 Fv2
(3)
ˆ 为线性算符。动量算符， 其中 v1 和 v2 是任意函数， c1 和 c2 是常数（一般为复数） ，则称 F
(3)
（二）再论(归一化的) r , t 和 C r , t 的物理意义
2 2
与波函数相联系的粒子，一般既不具有精确的位置，有不具有精确的动量。一般 地，对于 ψ 表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量 时，我们不能对测量结果做确定的预言，但是对于 N 个大量数目、彼此独立的等价系统 （每个系统都由同一波函数 ψ 描述） ，如果我们对它们中的每一个做位置测量，则 给
（一）统计平均值的意义
如果通过一系列的实验测定系统的一个状态参量 ξ，得到相应的值为 A1,A2……AS，在 总的试验次数 N 中，得到这些值的次数分别是 N1,N2,……NS，则 ξ 的（算数）平均值为
AN
i 1 s i
s
i
N
i 1
Ai
i 1
s
Ni N
(1)
i
当总的试验次数 N 时，量 ξ 的平均值的极限便是ξ的统计平均值
量子力学 算符
ˆx ˆ 1 0 ˆx ˆD D
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
（5）算符服从乘法结合律
ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆC ˆ )C A
d ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ, C , Bx 例如： A dx
ˆ 3x ˆ (B ˆ )] f D ˆC ˆC ˆ (3xf ) 3 f 3xf ˆ, [ A B
量子力学的哈密顿算符：
2 2
px V ( x) 2m
其本征值为体系 能量的可能值
2
d ˆ H V ( x) 2 2m dx
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。这是量子力 学的一个基本假定。即：每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？
第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 第二步：做以下变换：
笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符，即：q ˆ q 线动量的每个笛卡儿分量pq代之以算符：
i ˆq p 2 i i q i q q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标：
2 2 d ˆ T ˆ V ˆ H V ( x) 2 2m dx
这与不含时间的薛定谔方程一致。
d [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
量子力学算符与体系对应的性质的关系
ˆ 的具有本征值 若i 是 F
a i 的本征函数，则有：
ˆ a F i i i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
2
2
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？
三年级上奥数第11讲 巧添算符
【例 1】在下面每两个数字之间填上“＋”或“－”，使等式成立． 2 4 （ 1） 1 3 5 6 ＝ 1
（ 2 ）1
2
3
4
5
6
7
8
9 ＝ 1
【巩固 1】在下面每两个数字之间填上“＋”或“－”，使等式成立． 1 2 4 3 5 6 ＝ 3
【例 2】在合适的地方填上“ ”，使等式成立.（位置相邻的两个数字可以组成一个数）. （ 1） 1 2 3 4 5 60
8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8
） ，使下列各个等式成立. 8= 0 8= 1 8= 2 8= 3
【例 6】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立.
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1
2
3
4
5 = 10
1
2
3
4
5 = 10
（ 2 ）1
2
3
4
5
6 75
【巩固 2】在合适的地方填上“ ”，使等式成立.（位置相邻的两个数字可以组成一个数）.
1
2
3
4
5
6 102
【例 3】填上适当的运算符号，使算式成立 . （ 1 ）3 10 5 4=24
（ 2 ）11
5
6
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（2）例子
证明坐标算符和动量算符是线性厄密算符。
而对数算符不是线性算符。
证明：以一维情况为例。
坐标算符为x，动量算符为=-iћ/x。
i．因为=x，则有(c1ψ1+c2ψ2)=
x(c1ψ1+c2ψ2)=c1xψ1+c2xψ2=c1ψ1+c2ψ2，
所以坐标算符x是线性算符。
又因为x是实数，
ψ*xΦdx=xψ*Φdx=(xψ)*Φdx，因此坐标算符是厄密算符。
同理y、z分量的算符也是线性厄密算符。
ii．对于动量算符，有
(c1ψ1+c2ψ2)=-iћ/x(c1ψ1+c2ψ2)=c1(-iћψ1/x)+c2(-
iћψ2/x)=c1ψ1+c2ψ2，
所以动量算符是线性算符。
又因为ψ*Φdx=-iћψ*Φ/xdx
=-iћψ*dΦ=-iћψ*Φ|+iћΦdψ*
=iћψ*/xΦdx
（该等号成立的条件是：ψ*(-)=ψ*()和Φ(-)=Φ()，讨论：当ψ、Φ表示束缚态时显然成立；都是自由态的平面波时，也有结论ψ(-)=ψ(+)和Φ(-)=Φ(+)；当表示不同本征值的本征态时，由于此时这两个函数必正交，故有：ψ*Φ|=d(ψ*Φ)= /xψ*Φdx=/x0=0，正交特点：ψn*Φm d=nm）
=(iћ/x)ψ*Φdx=*ψ*Φdx=(ψ)*Φdx
因此动量算符是厄密算符。
同理p y、p z分量的算符也是线性厄密算符。
iii．设Â=log，则有
Â(c1ψ1+c2ψ2)=log(c1ψ1+c2ψ2)c1logψ1+c2logψ2=c1Âψ1+c2Âψ2可见对数算符不是线性算符，不能作为表示量子力学中的力学量。