费马定理

费马定理

可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使a

b a f --=)

(f )b ()(f '

ξ． 证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x ('

=f 在()

b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情

形，)()a (b f f ≠．做辅助函数x )(f )b ()(f )x (a

b a f x ---=ϕ．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (ϕ在[]b ,a 上

连续，在()b ,a 上可导，且()a a

b b a bf ϕϕ=--=)(f )a ()b (，这就是说)x (ϕ满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有

一点ξ，使得()0)(f )b (f )('

'

=---=a

b a f ξξϕ．即()a b a f --=)

(f )b (f '

ξ．定理得证．

柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g '

≠，则一定存在()b ,a ∈ξ使

()()()()

ξξ''g )(f )b (g f a g b a f =

--．

证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g '

在()b ,a 内存在零点，

因此与假设矛盾．

还是做辅助函数()()

()()()a g a g b a f x F ----=x g g

)

(f )b ()(f )x (．由

()()

b F F =a ，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理

成立．

泰勒中值定理：若)(f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连续导数，那么在此邻域内有

()()()()()()()

x R x n f x f f f x n n

n +++++=!

0...!20x 00f 2'''

．其中

()()()()1

1n x

!

1+++=n n n f x R ξ．ξ是介于0与x 之间的某个值．

证明：做辅助函数

()()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f x f -------+=!

...!2t 2

'''

ϕ．由假设容

易看出()t ϕ在[]x ,0或[]0,x 上连续，且()()x R n

0=ϕ，()0x =ϕ，

()()()()()[

]

()()()()()()()()()()()()()()()⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-----------⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡------=-+11n 2'''

''2''''

'''

'

!1!...!2...f -!2-f n n n t x n t f t x n t f t x t f t x t f t x t t x t f t f t x t f t t ϕ 化简后有

()()()()n 1n '

!

-t x n t f t -=+ϕ．在引进一个辅助函数

()()1

t +-=n t x ψ．

对函数()

t ϕ和()t ψ利用柯西中值定理得到

()()()()()()

ξψξϕψψϕϕ''00x =--x ，ξ是介于0与x 之间的某个值，此时有()()x R n

0=ϕ，

()0x =ϕ，()()()()n x n f ξξξϕ-=+!

-1n '

，

()1

n x 0+=ψ，()0x =ψ，()()()

n

x ξξψ-+=1n -'

，代入上式，即得

()()()()1

1n x

!

1+++=n n n f x R ξ．

定理证明完毕．

这是函数()x f 在0x =点的泰勒公式，同理推导可得

()

x f 在0

x x =点附近的泰勒公式

()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x n n o n +-++-+-+=02

00''00'

0!

...!2f ．其

中()()()()()101n !

1++-+=

n n x x n f x R ξ．ξ是介于0

x 与x 之间的某个值．

定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理.

应用

（判别函数单调性、求不定式极限、证明不等式和等式、证明终止点的存在性、证明方程根的存在性与唯一性、利用泰勒公式求近似值） 证明方程根的存在性

把要证明的方程转化为()0=x f 的形式.对方程()0=x f 用下述方法： （1） 根的存在定理若函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()0<⋅b f a f ，则至少

存在一点()b a ,∈ξ，()0=ξf .

（2） 若函数()x f 的原函数()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件，则()x f 在()

b a ,内至少有一个零值点.

（3） 若函数()x f 的原函数()x F 在0x 处导数也存在，由费马定理知()00'=x F 即

()00=x f .

（4） 若()x f 在区间[]b a ,上连续且严格单调，则()x f 在[]b a ,内至多有一个零值

点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则()x f 无零值点，若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则()x f 有一个零值点.

（5） 用泰勒公式证明根的存在性. （6） 反证法.

（7） 在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定

理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性.

例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程

()()[]()

()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根.

证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且

()()()()b F a f b a b f a F =-=22

根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使

()()[]()

()x f a b a f b f '222-=-ξ

至少存在一个根.