《多元函数微积分》习题解答第二章-15页word资料
《多元函数微分学》练习题参考答案
解：在 L 上任取一点 P ( x, y ),
f (x , y ) = 0
考虑 d = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 在条件 f ( x, y ) = 0 下的极值问题 作 F = ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) + λ f ( x , y ) ，则
' ⎧ ⎪ F x = 2(x − x 0 ) + λ f 'x ( x , y ) = 0 ， ⎨ ' ⎪ ⎩F y = 2( y − y 0 ) + λ f 'y (x , y ) = 0 2 2 2 2 2
P87-练习 4 设 z = f ( xy,
x y ) + g ( ) ，其中 f 有二阶连续偏导数， g 有二阶导数，求 y x
∂2z ． （2000） ∂x∂y
解: 根据复合函数求偏导公式
∂z 1 y = f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ (− 2 ) , ∂x y x
24
∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ ⎛ 1 y ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ ( − 2 ) ⎟ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ y x ⎠ x 1 1 x y 1 = f1′ + y[ f11′′ x + f12′′ ⋅ (− 2 )] − 2 f 2′ + [ f 21′′ x + f 22′′ ⋅ (− 2 )] − g ′′ ⋅ 3 − g ′ ⋅ 2 y y y y x x 1 x y 1 = f1′ + xyf11′′ − 2 f 2′ − 3 f 22′′ − 3 g ′′ − 2 g ′ y y x x
《多元函数积分学》练习题参考答案
∫ ∫
2 1 2
dx ∫ dy ∫
2
4− x 1 4− y 1
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
2 4− y 1
（B） （D）
∫
2 1 2 1
dx ∫
4− x
x
2
f ( x, y ) dy
1
∫
dy ∫ f ( x, y ) dx
y
2 4− y 1 1
∫
2
1
dx ∫ f ( x, y ) dy + ∫ dy ∫
0 < r < R, 顺时针 ，沿 L 与 L1 围成 D ，
I =� ∫=
L
L + L1
− ⎟ dσ − � � ∫ −� ∫ = =∫∫ ⎜ ∫ ⎝ ∂x ∂y ⎠
L1 D
⎛ ∂Q
∂P ⎞
L1
y dx − x dy y dx − x dy = ∫∫ 0dσ − � 2 2 ∫ L1 x + 4y r2 D
） ． （ D） I 4
（ A） I 1 解：由对称性 I 2 =
（B） I 2
（C） I 3
∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D2 D1
I 4 = ∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D4
在 D1 上， y cos x > 0 ，所以 I1 = 在 D3 上 y cos x < 0 ， 所 以 I 3 =
则 f ( x, y ) = xy +
1 8
P105-练习 3 计算 I = 解
2 2
∫∫ x
D
2
+ y 2 − 1 dσ ，其中 D : 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 ．
微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分习题解答
x 1 1 x 1 ，求 f ( x, y ), f ( , ), f ( xy , ), y x y y f ( x, y)
解 f ( x, y ) xy
1 1 1 y x 1 y x ； f( , ) ; f ( xy , ) x 2 y 2 ; 2 x y xy x y f ( x, y) xy x y
z c -a
-b a x
O
b
y
（4） D ( x, y, z ) x 0, y 0, z 0, x 2 y 2 z 2 1
z
１
O x
4．求下列各极限： （1） lim
x 0 y 1
１
y
１
1 xy 1 0 = 1 x2 y2 0 1
ln( x e y ) x2 y2 ln(1 e 0 ) 1 0 ln 2
y x y 1 1 x e , z y e x , dz 2 e x dx e dy ; 2 x x x x
y
y
y
y
5.(1) z x
(2) z
y y x 1 x z dz dx dy ; , , ln( x 2 y 2 ) , z x 2 y 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x y2
(2) z x a sin 2(ax by), z y b (ax by), z xy 2ab cos 2(ax by), z yy 2b 2 cos 2(ax by) .
3
f x y 2 2 xz , f y 2 xy z 2 , f z 2 yz x 2 , f xx 2 z, f xz 2 x, f yz 2 z,
《高等数学》多元函数微分学部分 练习题答案
八、多元函数的微积分： （一）求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -=解:233zx y y x ∂=-∂， 323z x xy y ∂=-∂．（2）)ln(xy z =解：()12ln()z xy =，()1211ln()()2z xy y x xy -∂==∂ ()1211ln()()2z xy x y xy -∂==∂.（3）2arcsin()cos ()z xy xy =+,2arcsin()cos ()z xy xy =+；2cos()[sin()]sin(2)z y xy xy x y xy x ∂=+-=-∂,2cos()[sin()]sin(2)z x xy xy x x xy y ∂=+-=-∂.（4）yxy z )1(+=解：关于x 是幂函数故：121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+=+∂， 关于y 是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)y xy z e+=，故：ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11y xy y z xy e xy y x xy xy y xy xy+∂=++=+++∂++ 解II: 两边取对数得ln ln(1)z y xy =+，因此11z y y z x xy ∂=∂+ , 1l n (1)1z xxy y z y xy ∂=++∂+, 即21(1)y zy xy x-∂=+∂， 1(1)ln(1)(1)y y z xy xy xy xy y -∂=++++∂. （二）求下列函数的全微分：（1） xz x yy=+ , 因为1z y x y ∂=+∂,2z x x y y ∂=-∂.所以21()d ()d z z xdz dx dy y x x y x y y y ∂∂=+=++-∂∂ . （2）2x yz e -=,因为2x y ze x -∂=∂,22x y z e y -∂=-∂.所以2(d 2d )x y z zdz dx dy e x y x y-∂∂=+=-∂∂. （3）z =因为()()()()13322222222232221[]()22z xyy x y y x y x xy x y x x xy---∂∂-=+=-+⋅=-+=∂∂+，()23222z x yxy∂==∂+所以()()233222222)z zxyx dz dx dy dx dy xdy ydx x yxyxy∂∂-=+=+=-∂∂++（4）yzu x = 因为11()yz yz u yz x yzx x --∂==∂,ln ln yz yz u x x z zx x y ∂=⋅=∂,ln ln yz yz u x x y yx x z ∂=⋅=∂ 所以u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂=1ln ln )yz yz yz yzx dx yx xdy yx xdz -++ (ln ln )yz yzx dx y xdy y xdz x=++（三）求下列函数的偏导数和微分： （1）设2ln ,,32,x z u v u v x y y ===-，求,z z x y∂∂∂∂. 解：212ln 3z f u f v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂()()22223ln 3232x x x y y x y y =-+-， z f u f v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222ln ()(2)x u u v y v =⋅-+⋅-()()223222ln 3232x x x y y x y y=---- （2）设32 ,sin ,t y t x e z y x ===-，求dz ；3222sin 22cos (2)(3)(cos 6)x y x y t t dz z dx z dye t e t e t t dt x dt y dt---∂∂=+=+-=-∂∂ dz 3sin 22(cos 6)d t t e t t t -=-.（四）设下列方程所确定的函数为()y f x =,求dxdy.(1)ln 0xy y -=解: 设(,)ln .F x y xy y =- 则,x F y = 1y F x y=-, x yF dydx F =-1yx y=--21y xy =--21y xy =-.(2) 0sin 2=-+xy e y x解I ： 设2(,)sin .xF x y y e xy =+-则2,xx F e xy =- cos 2y F y xy =-,2d d cos 2xx y F y y e x F y xy-=-=-.解II ：22cos d d d 2d 0(cos 2)d ()d x xy y e x y x xy y y xy y y e x +--=⇒-=-2d d cos 2xy y e x y xy-⇒=-.(3) ln ln 0xy x y ++= 解: 设(,)ln ln .F x y xy x y =++ 则1,x F y x=+1y F x y =+,x y F dy dx F =-11y x x y+=-+(1)(1)y xy x xy +=-+y x =-.（五）对下列隐函数, 求x z ∂∂,y z ∂∂,xy∂∂及dz .(1)20x y z ++-解:设(,,)2F x y z x y z =++-则1x F =21y z F F =-=,x z F z x F ∂=-====∂y zF z y F ∂=-====∂y xF x y F ∂=-====∂.dz =+解II ：（隐函数法）两边关于x求导：10z x ∂+=∂，得xyxyz xyzyz x z --=∂∂两边关于y求导：20z y ∂+=∂得xyxyz xyzxz y z --=∂∂2两边关于y求导：20x y ∂+=∂得x y ∂=∂.dz =+解III:令(),,2F x y z x y z =++-则1x F =，2y F =1z F =故1x z F zx F ∂=-==∂-，1y z F z y F ∂=-==∂1y x F xy F ∂=-===∂.dz =+(2) 0ze xyz -=解: 设(,,).zF x y z e xyz =-则,x F yz =- ,z y z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- ,y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-.Fx x yF yy x∂∂∂=-=-∂∂∂ .z z yz xz dz dx dy e xy e xy=+--(3)yz z x ln = (3) 设),(y x z z =是由方程y zz x ln =所确定的隐函数，求x z ∂∂和yz ∂∂. 解I ： 用隐函数求导公式(),,ln ln x F x y z z y z=-+，,1z x F =∂∂∴,1y y F =∂∂z z x z F 12--=∂∂ ,112z x z z z x z x z +=---=∂∂∴)(1122z x y z zz x yy z +=---=∂∂,11Fx z y yF yy xz∂∂∂=-=-=-∂∂∂. 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解II ： 将z 看作y x ,的函数，两边对x 求导，得：xz z z x zxz ∂∂=∂∂-12 即zx zx z +=∂∂，同理两边对y 求导得)(2z x y z y z +=∂∂ 将x 看作,y z 的函数，两边对y 求导，得：1xyz y∂∂=-即.x z y y∂=-∂ 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解III ： 将方程两边求全微分，得：y dyz dz z xdz zdx -=-2，解出dz 得：()dy z x y z dx x z z dz +++=2 zx zx z +=∂∂∴，)(2z x y z y z +=∂∂, 将方程两边求全微分，得：y dy z dz z xdz zdx -=-2，解出dx 得：z x z dx dy dz y z +=-+ .x z y y∂∴=-∂ （六）1、设333,z xyz a -= 求2zx y∂∂∂.解I : 设33(,,)3,.F x y z z xyz a =--则3,x F yz =- 23,33y z F xz F z xy =-=-,2,x z F z yz x F z xy ∂=-=∂- 2.y z F z xzy F z xy∂=-=∂- 2222()()(2)()()z zz yz xy yz z x z z y yx y y x z xy ∂∂+---∂∂∂∂∂==∂∂∂∂- 22222()()(2)()xz xzz y z xy yz z x z xy z xyz xy +-----=-22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y z z xy z xy --+--==--.解II ：利用隐函数求导 方程两边同时对x 求导23330,z z zyz xy x x ∂∂--=∂∂20,z zz yz xy x x∂∂--=∂∂ 2,z yz x z xy ∂=∂-同理2,z xzy z xy∂=∂-对方程20,z zzyz xy x x∂∂--=∂∂两边同时再对y 求导 22220,z z z z z z z z z y x xy y x x y y x x y∂∂∂∂∂∂+----=∂∂∂∂∂∂∂∂ 22()2z z z z z z xy z x y zx y x y x y ∂∂∂∂∂-=++-∂∂∂∂∂∂22222yz xz yz xzz x y z z xy z xy z xy z xy =++-----33222z 2()z xy xyz z xy z xy +=---522322z 2()z x y xyz z xy --=-, 所以2522323z 2.()z z x y xyz x y z xy ∂--=∂∂-解III ：333,z xyz a -=方程两边同时微分,23d 3(d d d )0z z yz x xz y xy z ---=,2()d d d z xy z yz x xz y -=+, 22d d d .yz xzz x y z xy z xy =+--所以 22,z yz z xz x z xy y z xy∂∂==∂-∂-. 222222222()()(2)()()(2)()()z z xz xz z y z xy yz z x z y z xy yz z x z y y z xy z xyx y z xy z xy ∂∂+---+---∂∂∂--==∂∂--22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y zz xy z xy --+--==--.2、设0ze xyz -=, 求22zx ∂∂.解: 设(,,).z F x y z e xyz =-则,x F yz =- ,zy z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- .y z z F z xzy F e xy∂=-=∂- 2222()()()()()()z z z z z z z z ze xy z e y e ze xy zyz z x x x y y x x x e xy e xy ∂∂∂-----+∂∂∂∂∂∂===∂∂∂-- 2()()z z z z yze ze xy zye xyy e xy --+-=-3()()()z z z z e ze xy yz zy e xy y e xy --+-=-22322()z z z yze yz e xy z y e xy --=-2223322.()z z z y ze y z e xy z e xy --=-十二、计算下列二重积分：1.22()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 解: 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是11222211()()Dx y d dx x y dy σ--+=+⎰⎰⎰⎰1231111[]3x y y dx --=+⎰ 1212(2)3x dx -=+⎰31122[]33x x -=+=8.3= 2.22()Dxy x d σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;解: 积分区域可表示为1,:202,y x y D y ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩原式()222102yy dy x y x dx =+-⎰⎰132201211()32yyx y x x dx =+-⎰232019313().2486y y dy =-=⎰ 3.2Dxy d σ⎰⎰其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 解: 积分区域可表示为201,:,x D x y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩21220xx Dxy d dx xy dy σ=⎰⎰⎰⎰21301[]3x x xy dx =⎰ 14701()3x x dx =-⎰1111[].35840=-= 1题图 2题图 3题图11。
高数典型题解-多元函数的微积分
15.设 z xy ln y ，试用两种方法求 dz . 解法一：
z z 1 y ln y , x ln y xy x ln y 1 , x y y
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dz
z z dx dy y ln y dx xln y 1dy . x y
多元函数的微积分
（一）多元函数微分
1.表达式 lim f x, y lim lim f x, y 成立吗？
x x0 y y0 x x0
y y0
答：不一定. 例如： lim
x 0 y 0
xy xy 0. 不存在，而 lim lim 2 2 x 0 y 0 x y
y
的近似值.（了解！ ）
y 1
解：令 f x, y x ，则 f x x, y yx 取 x 1, x 0.01, y 3, y 0.01 ,
, f y x, y x y ln x
则
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11.若 z (1 x ) ，求
xy
z z ， . x y
解：取对数得 ln z xy ln(1 x) , 两边对 x 求导，得
1 z 1 , y ln(1 x) xy z x 1 x
z xy (1 x) xy y ln(1 x) , x 1 x z (1 x) xy ( xy )' y ln(1 x) x(1 x) xy ln(1 x) . y
12.若 f ( x, y ) x ( y 1) ln sin 解： f x ( x,1) = [ f ( x,1)]x = ( x ) x =1. 13. z e
微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分王宝富 钮海第二章习题解答(下)
习题2-1 1、解：在任意一个面积微元σd 上的压力微元σρg x d dF =，所以，该平面薄片一侧所受的水压力⎰⎰=Dgxd F σρ2、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量⎰⎰=Dd y x Q σμ),(3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得()()⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤++≤++10101010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量34)384438()()(1032122222=-+-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰-dy y y y dx y x dy d y x M y yDσ 5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(xy dy y x f dx dx y x f dy（2）积分区域如图2-1-3所示，所以⎰⎰⎰⎰=xx y ydy y x f dx dx y x f dy 2/4022),(),(2（3）积分区域如图2-1-4所示，所以⎰⎰⎰⎰+----=1121222122),(),(y yx x xdx y x f dy dy y x f dx（4）积分区域如图2-1-5所示，所以⎰⎰⎰⎰=eexey dx y x f dy dy y x f dx ),(),(10ln 06、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以()⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==101054/1134/3105565111432322x x dx x x x dy y x dx d y xxxDσ （2）积分区域如图2-1-7所示，所以1564)4(2122224022222=-==⎰⎰⎰⎰⎰--dy y y dx xy dy d xy y Dσ （3）积分区域如图2-1-8所示，所以11021011211011111101101)()()()(----+-----+-+-++--+-+-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e dx e e e dx e ee dxe e e dx e e e dy e dx dy e dx d e x x x x x x x x xxy x x xy x Dyx σ（4）积分区域如图2-1-9所示，所以613832419)()(20232/22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx x y x dy d x y x yy Dσ 7、解：（1）积分区域如图2-1-10所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以ar ≤≤≤≤-0,22πθπ，故()⎰⎰⎰⎰⋅=-aDdr r r f r d d y x f 022sin)cos,(,ππθσ（2）积分区域如图2-1-11所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故⎰⎰⎰⎰⋅=θπθθθσsin 20)sin ,cos (),(dr r r f r d d y x f D8、解：（1）积分区域如图2-1-12所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θθπθ2cos sin 0,40≤≤≤≤r ，故[]12sec tan sec )(4040cos sin 014021221022-===⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰--ππθθπθθθθθd dr r r d dy y x dx xx（2）积分区域如图2-1-13所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故8)(432022022a dr r d dx y x dy ay a aπθπ==+⎰⎰⎰⎰-9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故49)(12131221222=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y dx x d yx x x D σ （2）积分区域如图2-1-15所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以10,20≤≤≤≤r πθ，故()28)1(21a r c2121)1(41121211211************21010444210143410421022202222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--=⋅+-=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππθσπr rr r d r dr dr r r dr r rrdr rr rdr r r d d y x y x D（3）积分区域如图2-1-16所示， 故433222232214)32()()(a dy a y a ay dx y x dy d y xaayay a aD=+-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-σ（4）积分区域如图2-1-17所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以b r a ≤≤≤≤,20πθ，故()33220212232)(a b dr r d d y xbaD-==+⎰⎰⎰⎰πθσπ10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：⎰⎰==1441D d S S σ，所以24024022sin 0402cos 2sin 24a a d a rdr d S a =-===⎰⎰⎰ππθπθθθθ图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16图2-1-17 图2-1-18习题2-21、解：⎰⎰⎰Ω=dv z y x Q ),,(μ2、化三重积分为直角坐标中的累次积分解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域x y x D xy -≤≤≤≤10;10:，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=101022,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f（2）因为积分区域Ω的上曲面为开口向下的抛物柱面22x z -=与下曲面为开口向上的旋转抛物面222y x z +=围成，二曲面的交线在x o y平面上的投影为圆122=+y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-≤≤--≤≤-Ω22222221111:x z y x x y x x ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----+Ω=11112222222,,,,x x x y x dz z y x f dy dx dv z y x f（3）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域1;11:2≤≤≤≤-y x x D xy ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=111222,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f3、解：积分区域Ω如图2-2-1所示0)1(61211161211111022=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω-dx x x dy y xdx zdz dy xdx xzdxdydz xxy 另解：因为积分区域Ω关于坐标面yoz 对称，又xz z y x f =),,(关于第一坐标是奇函数，所以0=⎰⎰⎰Ωxzdxdydz 。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
微积分II(甲)多元函数积分学练习解答
微积分II （甲）多元函数积分学练习题解答１.计算二重积分22d D x yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域． 解：222121x xDx xyd dx dy y σ=⎰⎰⎰⎰ ()231124x x dx =-=⎰ ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．解：202yy Dxyd dy xydx σ=⎰⎰⎰⎰2234003338322y dy y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰ ３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.解：21021)9x I dx ==⎰⎰４．计算二重积分2,{(,)Dy xd D x y x σ-=≤⎰⎰ 解： 12D D D =⋃（1D 是所有阴影部分面积）12222DD D y x d y x d y x d σσσ-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2211222101x xdx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰11424111146(22)2215x dx x x dx --=+-+=⎰⎰． ５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．解：32233220cos cos =cos cos =4DDDr r rdrd r drd d r dr d r dr ππσθθθθθθθθ=⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．2解：Ｉ＝2sin 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．解：Ｉ＝2cos 402(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 解 设所求体积为V ，则有=V ()221Dxy d σ--⎰⎰，其中 (){}22,1D x y xy =+≤，于是=V ()()22211D Dxy d r rdrd σθ--=-⎰⎰⎰⎰=()212012d r rdr ππθ-=⎰⎰.9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积． 解 设所求体积为V ，则有=V ()⎰⎰--Dd y xσ226，其中 (){}x y x y x D -≤≤≤≤=10,10,，于是=V ()⎰⎰--Dd y xσ226=()112206x dx xy dy ---⎰⎰()1323011766136x x x x dx ⎡⎤=--+--=⎢⎥⎣⎦⎰10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心． 解 设该薄板所在区域为D ，则 该均质薄板的面积为 0sin 2S xdx π==⎰，又有 sin 00x Dxd dx xdy πσπ==⎰⎰⎰⎰， 及sin 04x Dyd dx y dy ππσ==⎰⎰⎰⎰，由均质平面薄片的质量中心公式可得所求质量中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛8,2ππ．二、三重积分11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．解xydV Ω⎰⎰⎰111x dx dy xydz -=⎰⎰⎰=1100x dx xydy -⎰⎰()120111224x x dx =-=⎰． 12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体．解 ()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311()111300011x x y dx dy dz x y z ---=+++⎰⎰⎰ =()1121318821x dx x dy x y -⎡⎤-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1013115ln 2218828x dx x ⎡⎤⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦⎰． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 解 Ω在z xoy =平面上的投影区域为22{(,)1}x y x y +≤ 可用柱面坐标计算：221211122200012401224(1).21r r d r dr zdz r dr z r r dr πθπππΩ⎛⎫== ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域．解 球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+的交线为2222243x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 从中解得两曲面交线为,1=z 223x y +=，Ω在xOy 面上的投影区域为:D ,30≤≤r πθ20≤≤，利用柱面坐标，对投影区域D 内任一点),,(θr 有2243r z r -≤≤， 所以I 23r DzdV rdrd θΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2203r d zdz πθ=⋅⎰⎰⎰π413=． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．解()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=++θϕρϕρd d d dV z y xsin 42222140004sin 5d d d ππθϕϕρρπ==⎰⎰⎰16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．解 在球面坐标系中, :Ω,20a r ≤≤,40πϕ≤≤πθ20≤≤，故所求体积V ⎰⎰⎰Ω=dV 224sin d d d ππθϕρϕρ=⎰⎰⎰340)2sin 3d ππϕϕ=⋅⎰.)12(343a -=π 17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．解 在球面坐标下计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕρϕρd d d dV V sin 222cos 24sin a d d d ππϕθϕϕρρ=⎰⎰⎰3334082cos sin 3a d a ππϕϕϕπ==⎰．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )， 求Ω的质量m ．解 据题意得，密度函数为,),,(22y x K z y x +=ρ所以.),,(22⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+==dV y x K dV z y x m ρ利用柱面坐标，先对z 积分，Ω在xOy 平面上投影域D 为},1),({22≤+=y x y x D故222212122001()r Dr m Kr rdrd dz K r drd dzK d r dr dzπθθθ-Ω-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1220162(1)15KK r r dr ππ=+=⎰． 三、曲线积分19． 计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。
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习题2-1 1、解：在任意一个面积微元 SKIPIF 1 < 0 上的压力微元 SKIPIF 1 < 0 ，所以，该平面薄片一侧所受的水压力 SKIPIF 1 < 02、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量⎰⎰=Dd y x Q σμ),(3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得()()⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤++≤++10101010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量34)384438()()(1032122222=-+-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰-dy y y y dx y x dy d y x M yyDσ5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以⎰⎰⎰⎰=110010),(),(x y dy y x f dx dx y x f dy （2）积分区域如图2-1-3所示，所以⎰⎰⎰⎰=x x yy dy y x f dx dx y x f dy 2/422),(),(2（3）积分区域如图2-1-4所示，所以⎰⎰⎰⎰+----=11210222122),(),(y yx x xdx y x f dy dy y x f dx（4）积分区域如图2-1-5所示，所以⎰⎰⎰⎰=ee xeydx y x f dy dy y x f dx ),(),(10ln 00 6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以()⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==101054/1134/3105565111432322x x dx x x x dy y x dx d y x xxDσ （2）积分区域如图2-1-7所示，所以1564)4(2122224022222=-==⎰⎰⎰⎰⎰--dy y y dx xy dy d xy y Dσ（3）积分区域如图2-1-8所示，所以11021011211011111101101)()()()(----+-----+-+-++--+-+-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e dx e e e dx e ee dxe e e dx e e e dy e dx dy e dx d e x x x x x x x x xxy x x xy x Dy x σ（4）积分区域如图2-1-9所示，所以613832419)()(20232/222022=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx x y x dy d x y x yy Dσ 7、解：（1）积分区域如图2-1-10所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以a r ≤≤≤≤-0,22πθπ，故 ()⎰⎰⎰⎰⋅=-aDdr r r f r d d y x f 022sin)cos,(,ππθσ（2）积分区域如图2-1-11所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故⎰⎰⎰⎰⋅=θπθθθσsin 20)sin ,cos (),(dr r r f r d d y x f D8、解：（1）积分区域如图2-1-12所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θθπθ2cos sin 0,40≤≤≤≤r ，故[]12sec tan sec )(4040cos sin 014021221022-===⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰--ππθθπθθθθθd dr r r d dy y x dx xx（2）积分区域如图2-1-13所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故8)(43222022a dr r d dx y x dy ay a aπθπ==+⎰⎰⎰⎰-9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故49)(12131221222=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy ydx x d y x x x Dσ（2）积分区域如图2-1-15所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以10,20≤≤≤≤r πθ，故()28)1(21arcsin 2121)1(4112121121121111102141021010444210143410421022202222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--=⋅+-=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππθσπr r r r d r dr dr r r dr r rrdr r r rdr r r d d y x y x D（3）积分区域如图2-1-16所示， 故433222232214)32()()(a dy a y a ay dx y x dy d y xaayay a aD=+-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-σ（4）积分区域如图2-1-17所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以b r a ≤≤≤≤,20πθ，故()33220212232)(a b dr r d d y x baD-==+⎰⎰⎰⎰πθσπ 10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：⎰⎰==1441D d S S σ，所以24024022sin 0402cos 2sin 24a a d a rdr d S a =-===⎰⎰⎰ππθπθθθθ图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16图2-1-17 图2-1-18习题2-21、解：⎰⎰⎰Ω=dv z y x Q ),,(μ2、化三重积分为直角坐标中的累次积分解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域x y x D xy -≤≤≤≤10;10:，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=101022,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f（2）因为积分区域Ω的上曲面为开口向下的抛物柱面22x z -=与下曲面为开口向上的旋转抛物面222y x z +=围成，二曲面的交线在xoy 平面上的投影为圆122=+y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-≤≤--≤≤-Ω22222221111:x z y x x y x x ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----+Ω=11112222222,,,,x x x y x dz z y x f dy dx dv z y x f（3）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域1;11:2≤≤≤≤-y x x D xy ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=111222,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f3、解：积分区域Ω如图2-2-1所示0)1(61211161211111022=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω-dx x x dy y xdx zdz dy xdx xzdxdydz x xy另解：因为积分区域Ω关于坐标面yoz 对称，又xz z y x f =),,(关于第一坐标是奇函数，所以0=⎰⎰⎰Ωxzdxdydz 。
4、解：积分区域Ω如图2-2-2所示，当h z ≤≤0时，过),0,0(z 作平行与xoy面的平面，与立体Ω的截面为圆⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+z z z h R y x D z 222:，因而z D 的半径为z hR，面积为222z h R π，故4220322h R dz z hR dxdy zdz zdxdydz hhD zππ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω5、求下列立体Ω的体积解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：)455(32]161)5(31[20204232542202-=---=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-ΩΩπθθπππr r rdzdr d dz rdrd dv V r图2-2-1 图2-2-2 图2-2-3（2）因为积分区域Ω的上曲面为平面x z -=1，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域11;1:2≤≤-≤≤y x y D xy ，所以15821212)1(10421111111022=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ωdy y y dx x dy dz dx dy dv V y yx6、利用柱面坐标计算下列三重积分解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的上半球面222y x z --=，下曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，将22y x z +=代入222y x z --=得z z -=2，解此方程得1=z 积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域1:22≤+y x D xy ，由柱坐标公式得：10,20:≤≤≤≤r D xy πθ()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=--==-Ω10422012127221222ππθπdr r r r zrdz dr d zdv r r。
（2）因为积分区域Ω的上曲面为平面2=z ，下曲面为开口向上的旋转抛物面222y x z +=，将2=z 代入222y x z +=得422=+y x ，所以积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域4:22≤+y x D xy ，由柱坐标公式得：20,20:≤≤≤≤r D xy πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+Ω2023202022/3223162122)(2ππθπdr r r dz r dr d dv y x r 。
7、利用球面坐标计算下列三重积分 解：（1）用球面坐标计算πϕπϕϕθθϕϕπππ5451)cos (2sin sin )(1050140204222=⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⋅===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩr drr d d d drd r dv z y x（2）用球面坐标计算44/0644/0544/04cos 203204/0267cos 68cos sin 8)cos 2(41cos sin 2cos sin sin cos a a d a d a drr d d d drd r r zdv a πϕπϕϕϕπϕϕϕϕπκϕϕθθϕϕϕπππϕππ=-==⋅⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ8、选用适当的坐标计算下列三重积分解：（1）积分区域Ω为球，故用球面坐标计算：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθπϕϕ2020cos 0:r ，所以10cos 512cos 41sin 2sin 2sin 2/052/042/0cos 03cos 022/020222πϕπϕϕϕπϕϕπϕϕθπππϕϕππ=⋅-=⋅⋅==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d drr d dr r r d d dv z y x（2）将y z 2=代入22y x z +=得到xoy 平面上的一个圆()1122=-+y x ，用直角坐标公式计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+---Ω=yy x x xzdz dy dx zdv 21111112222，由于计算量较大，请同学一试。