五年级奥数图形面积计算题

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五年级奥数题图形与面积含详细答案

五年级奥数题：图形与面积一、填空题共10小题,每小题3分,满分30分1．3分如图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是_________ 厘米．2．3分第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是1．那么7,2,1三个数字所占的面积之和是_________ ．3．3分如图中每一小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是_________ 平方厘米．4．3分2014 长沙模拟如图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是_________ 平方厘米．5．3分在△ABC中,BD=2DC,AE=BE,已知△ABC的面积是18平方厘米,则四边形AEDC的面积等于_________ 平方厘米．6．3分如图是边长为4厘米的正方形,AE=5厘米、OB是_________ 厘米．7．3分如图正方形ABCD的边长是4厘米,CG是3厘米,长方形DEFG的长DG是5厘米,那么它的宽DE是_________ 厘米．8．3分如图,一个矩形被分成10个小矩形,其中有6个小矩形的面积如图所示,那么这个大矩形的面积是_________ ．9．3分如图,正方形ABCD的边长为12,P是边AB上的任意一点,M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点,E、F、G是边CD上的四等分点,图中阴影部分的面积是_________ ．10．3分图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米,四边形ABCD的面积是_________ 平方厘米．二、解答题共4小题,满分0分11．图中正六边形ABCDEF的面积是54．AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ的面积．12．如图,涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形面积是多少平方厘米．13．一个周长是56厘米的大长方形,按图中1与2所示意那样,划分为四个小长方形．在1中小长方形面积的比是：A：B=1：2,B：C=1：2．而在2中相应的比例是A'：B'=1：3,B'：C'=1：3．又知,长方形D'的宽减去D的宽所得到的差,与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3．求大长方形的面积．14．2012 武汉模拟如图,已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6,直线AB将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是_________ ．2010年五年级奥数题：图形与面积B参考答案与试题解析一、填空题共10小题,每小题3分,满分30分1．3分如图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是170 厘米．考点：巧算周长．分析：要求该图形的周长,先求出每个小正方形的面积,根据正方形的面积公式,得出小正方形的边长,然后先算出该图形的外周的长,因为内、外的长相等,再乘2即可得出结论．解答：解：400÷16=25平方厘米,因为5×5=25平方厘米,所以每个小正方形的边长为5厘米,周长为：5×4+5×4+5×3+5×2+5×3+5×2,=85×2,=170厘米；答：它的周长是170厘米．点评：此类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积,根据正方形的面积公式,得出小正方形的边长,进而算出该图形的外周的长,因为内、外的长相等,再乘2即可得出结论．2．3分第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是1．那么7,2,1三个数字所占的面积之和是25 ．考点：组合图形的面积．分析：此题需要进行图形分解：“7”分成一个长方形、一个等腰直角三角形、一个平行四边形；“2”分成一个梯形、一个平行四边形、一个长方形；“1”分成一个梯形和两个长方形．然后进行图形转换,依据题目条件即可求出结果．解答：解：“7”所占的面积和=+3+4=,“2”所占的面积和=3+4+3=10,“1”所占的面积和=+7=,那么7,2,1三个数字所占的面积之和=++10=25．故答案为：25．点评：此题关键是进行图形分解和转换．3．3分如图中每一小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是平方厘米．考点：组合图形的面积．分析：由图可以观察出：大正方形的面积减粗线以外的图形面积即为粗线围成的图形面积．解答：解：大正方形的面积为4×4=16平方厘米；粗线以外的图形面积为：整格有3个,左上,右上,右中,右下,左中,右中,共有3++5×=平方厘米；所以粗线围成的图形面积为16﹣=平方厘米；答：粗线围成的图形面积是平方厘米．故此题答案为：．点评：此题关键是对图形进行合理地割补．4．3分2014•长沙模拟如图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是24 平方厘米．考点：组合图形的面积．分析：两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积．解答：解：4×4+8×8﹣×4×4+8﹣×8×8,=16+64﹣24﹣32,=24cm2；答：阴影的面积是24cm2．故答案为：24．点评：求组合图形面积的化为求常用图形面积的和与差求解．5．3分在△ABC中,BD=2DC,AE=BE,已知△ABC的面积是18平方厘米,则四边形AEDC的面积等于12 平方厘米．考点：相似三角形的性质份数、比例；三角形的周长和面积．分析：根据题意,连接AD,即可知道△ABD和△ADC的关系,△ADE和△BDE的关系,由此即可求出四边形AEDC的面积．解答：解：连接AD,因为BD=2DC,所以,S△ABD=2S△ADC,即,S△ABD=18×=12平方厘米,又因为,AE=BE,所以,S△ADE=S△BDE,即,S△BDE=12×=6平方厘米,所以AEDC的面积是：18﹣6=12平方厘米；故答案为：12．点评：解答此题的关键是,根据题意,添加辅助线,帮助我们找到三角形之间的关系,由此即可解答．6．3分如图是边长为4厘米的正方形,AE=5厘米、OB是厘米．考点：组合图形的面积．分析：连接BE、AF可以看出,三角形ABE的面积是正方形面积的一半,再依据三角形面积公式就可以求出OB的长度．解答：解：如图连接BE、AF,则BE与AF相交于D点S△ADE=S△BDF则S△ABE=S正方形=×4×4=8平方厘米；OB=8×2÷5=厘米；答：OB是厘米．故答案为：．点评：此题主要考查三角形和正方形的面积公式,将数据代入公式即可．7．3分如图正方形ABCD的边长是4厘米,CG是3厘米,长方形DEFG的长DG是5厘米,那么它的宽DE是厘米．考点：组合图形的面积．分析：连接AG,则可以依据题目条件求出三角形AGD的面积,因为DG已知,进而可以求三角形AGD的高,也就是长方形的宽,问题得解．解答：解：如图连接AGS△AGD=S正方形ABCD﹣S△CDG﹣S△ABG,=4×4﹣3×4÷2﹣1×4÷2=16﹣6﹣2=8平方厘米；8×2÷5=厘米；答：长方形的宽是厘米．故答案为：．点评：依据题目条件做出合适的辅助线,问题得解．8．3分如图,一个矩形被分成10个小矩形,其中有6个小矩形的面积如图所示,那么这个大矩形的面积是243 ．考点：组合图形的面积．分析：从图中可以看出每上、下两个小矩形的一个边是相邻的,也就是说长是相等的,那么根据矩形的面积公式知,如果长相同,面积之比也就是宽之比,反之宽之比也就是面积之比；由中间面积20和16的矩形,可以算出空着的小矩形面积,最后把所有小矩形面积加起来就是大矩形的面积．解答：解：由图和题意知,中间上、下小矩形的面积比是：20：16=5：4,所以宽之比是5：4,那么,A：36=5：4得A=45；25：B=5：4得B=20；30：C=5：4得C=24；D：12=5：4得D=15；所以大矩形的面积=45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243；故答案为：243．点评：此题考查了如果长方形的长相同,宽之比等于面积之比,还考查了比例的有关知识．9．3分如图,正方形ABCD的边长为12,P是边AB上的任意一点,M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点,E、F、G是边CD上的四等分点,图中阴影部分的面积是60 ．考点：组合图形的面积．分析：根据题意：正方形ABCD的边长为12,P是边AB上的任意一点,M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点,E、F、G是边CD上的四等分点,可连接DP,然后再利用三角形的面积公式进行计算即可得到答案．解答：解：阴影部分的面积=×DH×AP+×DG×AD+×EF×AD+×MN×BP=×4×AP+×3×12+×3×12+×4×BP=2AP+18+18+2BP=36+2×AP+BP=36+2×12=36+24=60．答：这个图形阴影部分的面积是60．点评：此题主要考查的是三角形的面积公式．10．3分图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米,四边形ABCD的面积是 4 平方厘米．考点：重叠问题；三角形的周长和面积．分析：因为S△EFC+S△GHC=四边形EFGH面积÷2=12,S△AEF+S△AGH=四边形EFGH面积÷2=12,所以S△ABE+S△ADH=S△BFC+S△DGC=四边形EFGH面积÷2﹣阴影部分的总面积是10平方厘米=2平方厘米．所以：四边形ABCD面积=S△ECH﹣S△ABE+S△ADH=四边形ABCD面积÷4﹣2=6﹣2=4平方厘米．解答：解：由题意推出：S△ABE+S△ADH=S△BFC+S△DGC=四边形EFGH面积÷2﹣阴影面积10平方厘米=2平方厘米．所以：四边形ABCD面积=S△ECH﹣S△ABE+S△ADH=四边形ABCD面积÷4﹣2=6﹣2=4平方厘米．故答案为：4．点评：此题在重叠问题中考查了三角形的周长和面积公式,此题设计的非常精彩．二、解答题共4小题,满分0分11．图中正六边形ABCDEF的面积是54．AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ的面积．考点：等积变形位移、割补．分析：如图,将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形,根据平行四边形对角线平分平行四边形面积,采用数小三角形的办法来计算面积．解答：解：如图,S△PEF=3,S△CDE=9,S四边形ABQP=11．上述三块面积之和为3+9+11=23．因此,阴影四边形CEPQ面积为54﹣23=31．点评：此题主要利用面积分割,用数基本小三角形面积来解决问题．12．如图,涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形面积是多少平方厘米．考点：等积变形位移、割补．分析：由图及题意知,可把涂阴影部分小正六角星形等分成12个小三角形,且都与外围的6个空白小三角形面积相等,已知涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,可求出大正六角星形中心正六边形的面积,而这个正六边形又可等分成6个小正三角形,且它们与外围六个大角的面积相等,进而可求出大正六角星形面积解答：解：如下图所示,涂阴影部分小正六角星形可等分成12个小三角形,且都与外围的6个空白小三角形面积相等,所以正六边形ABCDEF的面积：16÷12×12+6=24平方厘米；又由于正六边形ABCDEF又可等分成6个小正三角形,且它们与外围六个大角的面积相等,所以大正六角星形面积：24×2=48平方厘米；答：大正六角星形面积是48平方厘米．点评：此题要借助求正六边形的面积来解答,它既可看作是18个小正三角形,又可看作是6个大点的正三角形组成．13．一个周长是56厘米的大长方形,按图中1与2所示意那样,划分为四个小长方形．在1中小长方形面积的比是：A：B=1：2,B：C=1：2．而在2中相应的比例是A'：B'=1：3,B'：C'=1：3．又知,长方形D'的宽减去D的宽所得到的差,与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3．求大长方形的面积．考点：比的应用；图形划分．分析：要求大长方形的面积,需求出它的长和宽,由条件“在1中小长方形面积的比是：A：B=1：2,B：C=1：2．而在2中相应的比例是A'：B'=1：3,B'：C'=1：3．又知,长方形D'的宽减去D的宽所得到的差,与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3”可知：D的宽是大长方形宽的,D′的宽是大长方形宽的,D的长是×28﹣大长方形的宽,D′的长是×28﹣大长方形的宽,由此便可以列式计算．解答：解：设大长方形的宽为x,则长为28﹣x因为D的宽=x,D′的宽=x,所以,D′的宽﹣D的宽=．D长=×28﹣x,D′长=×28﹣x,D′长﹣D长=×28﹣x,由题设可知：=即=,于是=,x=8．于是,大长方形的长=28﹣8=20,从而大长方形的面积为8×20=160平方厘米．答：大长方形的面积是160平方米．点评：此题比较复杂,主要考查比的关系,应利用比的意义,找清数量见的比,再利用题目条件,就可以进行计算求得结果．14．2012•武汉模拟如图,已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6,直线AB将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是40 ．考点：三角形的周长和面积．分析：可以把S看成是一个整体,根据各线段的关系和左右两部分面积的关系,可以列出一个方程,求出S△ADE的△ADE面积,然后再根据所求三角形与S△ADE的关系求出答案．解答：解：由题意知,S△AEG=3S△ADE,S△BFE=S△BEC,设S△ADE=X,则S△AEG=3X,S△BFE=38﹣X,可列出方程：38﹣X+3X=65,解方程,得：x=10,所以S△ADG=10×1+3=40．故答案为：40．点评：此题考查了如何利用边的关系求三角形的面积．。

小学五年级奥数第八讲__组合图形的面积及作业

组合图形的面积一、已知右面的两个正方形边长分别为6分米和4分米，求图中阴影部分的面积。

分析：S阴影=6*6+4*4－4*10÷2－6*6÷2=14平方分米二、右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。

（单位：厘米）分析：S阴影=（7+10）*2÷2=17平方厘米三、如图，这个长方形的长是9厘米，宽是8厘米，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。

分析：S阴影=4*H1÷2+4*H2÷2=2*（H1+ H2）=2*9=18平方厘米四、在右图中，三角形EDF的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米，已知长方形ABDC的长和宽分别为6厘米、4厘米，DF的长是多少厘米？分析：S ACF=S ACDE+S EDF S ABCD= S ACDE+S ABES ACF－S ABCD= S ACDE+S EDF －（S ACDE+S ABE）= S EDF－S ABE=6平方厘米S ACF=（4+DF）*6÷2 S ABCD =4*6=24平方厘米S ACF－S ABCD=（4+DF）*6÷2－24=6；求得DF=6厘米五、右图是一块长方形公园绿地，绿地长24米，宽16米，中间有一条宽为2米的道路，求草地（阴影部分）的面积。

分析：S阴影=24*16－（24+16）*2+4*2*2=512平方米六、如图，三角形ABC的面积是24平方厘米，且DC=2AD，E、F分别是AF、BC的中点，那么阴影部分的面积是多少？分析：因为F是中点，S ABF与S AFC面积相等；S ABC=S ABF+S AFC故S ABF与S AFC面积为12平方厘米，同理E是中点，S ABE与S BEF面积相等；S ABE与S BEF面积为6平方厘米，DC=2AD；故S BCD=2S ABDS ABC=S BCD+ S ABD；S ABD面积为8平方厘米，S BCD面积为16平方厘米S阴影=S BCD－S BEF=16－6=10平方厘米七、如图，三角形ABC的面积是90平方厘米，EF平行于BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙的面积各是多少平方厘米？分析：BE=2AE，故S BEC=2S ACE；S ABC=S BEC+ S ACE；S BEC面积为60平方厘米，S ACE面积为30平方厘米EF平行于BC，CF=2AF，故S CEF=2S AEF；S ACE =S CEF+ S AEF；S CEF面积为20平方厘米，S AEF面积为10平方厘米甲面积为10平方厘米；乙面积为20平方厘米；丙面积为60平方厘米八、如图长方形，长18厘米，宽12厘米，AE、AF两条线段把长方形面积三等分，求三角形AEF的面积。

五年级奥数专题-不规则图形面积计算含解析

不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算般我们称这样的图形为不规则图形那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10 厘米和12 厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白三角形（△ ABG、△ BDE、△ EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6 厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ ABE、△ ADF与四边形AECF的面积彼此相等，∴四边形AECF的面积与△ ABE、△ ADF的面积都等于正方形1 ABCD的1。

3在△ ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=，2∴△ ECF的面积为2×2÷ 2=2。

所以S△AEF=S四边形AECF-S△ ECF=12-2=1（0 平方厘米）。

例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10 厘米和6 厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积思路导航：在等腰直角三角形ABC中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=，4∴阴影部分面积=S△ ABG-S△BEF=25-8=1（7 平方厘米）例4 如右图，A 为△ CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ ABC阴影部分）面积为5平方厘米.求△ ABD及△ ACE的面积.思路导航：取BD 中点F，连结AF.因为△ ADF、△ ABF和△ ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ ACD的面积等于15 平方厘米，△ ABD的面积等于10平方厘米。

五年级下册数学试题 - 图形面积（奥数版块）北师大版

第十四讲图形问题三角形的阴影面积一、等积模型D C BA 1-a ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．一半模型二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S=或者1324S S S S⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S=++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S4S3S2S1ODCBA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b=②221324::::::S S S S a b ab ab=；③S的对应份数为()2a b+．例一、图是由两个完全一样的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。

AB CDOaS3S2S1S4练习一、图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按图中的已知条件求阴影部分的面积。

（单位：厘米）练习二、图是正方形ABCD是有三个长方形拼成。

长方形EFGH的宽式正方形的一半，甲阴影部分的面积是30平方厘米。

求阴影部分的总面积。

例二、图是梯形的上底AB长20厘米，下底DC长30厘米，高15厘米，求阴影部分的面积。

练习一、图中，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。

五年级奥数之图形面积

图形面积例1、右图长方形中，E、F分别为相邻两条边的中点，阴影部分是大长方形面积的几分之几？【思路导航】此题虽然没有给出任何数据，但是可以抓住“E、F”分别为相邻两条边的“中点”这个已知条件，利用面积分割的方法得出答案。

如右图把大长方形分割一下，可看出阴影部分占整个图形面积的3/8。

答：阴影部分是长方形面积的3/8。

例2、用两个如右图所示的大小相同的直角三角形，可以拼成多少种不同的四边形？【思路导航】把两个直角三角形的斜边或直角边分别相拼，就可得到不同的四边形。

两斜边相拼可拼成两个四边形；两直角边分别相拼，又可拼成两个四边形；这样共拼成以下四种四边形：答：可拼成4种四边形。

例2、直线a平行于直线b，对下列3个三角形的面积来说正确的是哪一个？[ ]A.（1）的面积最大。

B.（2）的面积最大。

C.（3）的面积最大。

D.（1）（2）（3）的面积同样大。

【思路导航】因为三角形的面积是由它的底和高决定的，只要研究这三个三角形的底和高的关系就能确定答案。

例3、如图所示的四边形的面积等于多少？ODBA13131213131212【思路导航】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)例4、如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC∠=︒，10cmAP=，求四边形ABPC的面积．12 PDCBAP'PDCBA【思路导航】因为BAC ∠和BPC ∠都是直角，和为180︒，所以ABP ∠和ACP ∠的和也为180︒，可以旋转三角形APC ，使AC 和AB 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形'AP P ，面积为1010250⨯÷=平方厘米．【随堂练习】1、边长是15厘米的3个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？2、用一块长8分米，宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形纸板拼成一个正方形．拼成的正方形的周长是多少分米？3、两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了6厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？4、(2007年”希望杯”第一试)右图中的阴影部分BCGF 是正方形，线段FH 长18厘米，线段AC 长24厘米，则长方形ADHE 的周长是厘米．A CB5、如图，在长方形ABCD 中，EFGH 是正方形．已知10cm AF =，7cm HC =，求长方形ABCD 的周长．HGFE DCBA6、如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙和丙．甲的周长为4厘米，乙的边长是甲的周长的1.5倍，丙的周长是乙的周长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？F E A7、有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长．8、右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120平方厘米，求原长方形的长与宽．9、冯大叔给儿子做玩具用8个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．求小长方形的长和宽？10、用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示．已知外面大正方形的周长是264厘米，里面小正方形的面积是900平方厘米，每块长方形条砖的长是_________厘米，宽是______厘米．11、如图所示。

五年级奥数专题--长方形、正方形的面积

五年级奥数专题--长方形、正方形的面积专题简析：长方形的面积=长×宽,正方形的面积=边长×边长。

掌握并能运用这两个面积公式,就能计算它们的面积。

但是,在平时的学习过程中,我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。

这就需要我们切实掌握有关概念,利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法,使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题,从而正确解答。

例1.已知大正方形比小正方形边长多2厘米,大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。

求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？变式训练1.有一块长方形草地,长20米,宽15米。

在它的四周向外筑一条宽2米的小路,求小路的面积。

2.正方形的一组对边增加30厘米,另一组对边减少18厘米,结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。

原正方形的面积是多少平方厘米？3.把一个长方形的长增加5分米,宽增加8分米后,得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。

求这个正方形的边长是多少分米？例 2.一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形,其中三个长方形的面积如下图所求,求第四个长方形的面积。

变式训练1.下图一个长方形被分成四个小长方形,其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米,求阴影部分的面积。

2.下面一个长方形被分成六个小长方形,其中四个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米）,求A 和B 的面积。

3.下图中阴影部分是边长5厘米的正方形,四块完全一样的长方形的宽是8厘米,求整个图形的面积。

例3.把20分米长的线段分成两段,并且在每一段上作一正方形,已知两个正方形的面积相差40平方分米,大正方形的面积是多少平方分米？变式训练1.一块正方形,一边划出1.5米,另一边划出10米搞绿化,剩下的面积比原来减少了1350平方米。

这块地原来的面积是多少平方米？B1224A 45152.一个正方形,如果它的边长增加5厘米,那么,面积就比原来增加95平方厘米。

五年级奥数图形面积

图形面积【基本原则】各种具有一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，其中包括四边形和梯形被两条对角线分割而成的4个小三角形之间的面积关系．【典型例题】1．图16-1中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍， EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米?【分析与解】ABD ，ABC 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABCS BD SBC ==,所以ABD S=1122ABCS ⨯=⨯180=90(平方厘米)．同理有13ABE ABDAE SS AD=⨯=×90=30(平方厘米)，34AFE ABEFE S S BE=⨯=×30=22.5(平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．2．如图16-2，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，有EAD 、ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EADABDABDEA SS SAB==．同理36EAHEADEADABD AHSS SSAD===．类似的，还可得6FCGBCDSS=，有()66EAHFCGABDBCDABCD SSSSS +=+==30平方厘米．连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFBABCSS=，6DHGACDSS=，有()66EFBDHGABCACDABCD SSSSS +=+==30平方厘米.有四边形EFGH 的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD ，有EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAHS=6ABDS．类似的，还可得FCGS =6BCDS，有EAHS+FCGS=6（ABDS+BCDS)=6ABCD S =30平方厘米．连接AC ，还可得EFB S =6ABC S，DHG S=6ACDS，有EFBS+DHG S=6（ABC S+ACDS）=6ABCD S=30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．评注：方法二用到了一个比较重要的性质，若两个三角形的某对夹角相等或互补(和为180°)，那么构成这个角的两边乘积的比为面积比．这个原则，我们可以在中学数学中的三角部分学到，当然我们也可以简单的利用比例性质及图形变换来说明，有兴趣的同学可以自己试试．3．图16-3中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【分析与解】方法一：如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．因为△ADE 、△DEC 高相同，所以面积比为底的比，有ADE DECS S=AEEC，所以ADE S =AEEC×6.同理有ABE BCES S=AEEC，所以ABE S =AEEC×7．所以有△ADE 与△ABE 的面积比为6：7．又有它们的面积和为52-(6+7)=39(公顷.)所以ADE S=767+×39=18(公顷)，ABE S =767+×39=21(公顷.)显然，最大的三角形的面积为21公顷．方法二：直接运用例2评注中的重要原则，在△ABE ，△CDE 中有∠AEB=∠CED ，所以△ABE ，△CDE 的面积比为(AE ×EB)：(CE ×DE)．同理有△ADE ，△BCE 的面积比为(AE ×DE)：(BE ×EC)．所以有ABES×CDE S=ADES×BCES，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．即ABE S×6=ADE S×7，所以有△ABE 与△ADE 的面积比为7：6，ABE S=767+×39=21公顷，ADE S=667+×39=18公顷．显然，最大的三角形的面积为21公顷．评注：在方法二中，给出一个很重要的性质：在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．希望大家牢牢记住，并学会在具体问题中加以运用.4. 如图16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?【分析与解】如下图，连接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABCSS=AEAC，所以ABE S =AEAC×ABC S =15ABCS同理有AEF S=AFABABE S ,即=AEF S=15×56ABC S =16ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ．即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120．5．如图16-5，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE ，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，连接FC ，△DBF 、△BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;△FGC 、△DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么△DEF 的面积为13y 平方厘米．BCD S=2x+2y=1，BDE S=x+13y=l ×13=13．所以有x+y=0.53x+y=1⎧⎨⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有2x=0.5，即x=0.25,y=0.25．而阴影部分面积为y+23y=53×0.25=512平方厘米．评注：将这种先利用两块独立的图形来表达相关图形的面积，再根据已知条件列出一个二元一次方程组，最终求出解的方法称为“凌氏类蝶形法”．类蝶形问题必须找好两块独立的图形，还必须将边的比例关系转化为面积的比例关系．类似的还有一道题：△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已△ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大1.2平方厘米，则△ABC 的面积是_______平方厘米? 有兴趣的同学可以自己试试．6．如图16-6，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点．三角形ABC 由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米?【分析与解】因为E 是DC 中点，F 为Ac 中点，有AD=2FE 且阳平行于AD ，则四边形ADEF 为梯形．在梯形ADEF 中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=A 2D ：F 2E =4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4：8，所以②×⑤=④×④：16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF 的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18．有△CEF 与△ADC 的面积比为CE 平方与CD 平方的比，即为1：4．所以△ADC 面积为梯形ADEF 面积的44-1=43，即为18×43=24．因为D 是BC 中点，所以△ABD 与△ADC 的面积相等，而△ABC 的面积为△ABD 、△ADC 的面积和，即为24+24=48平方厘米．三角形ABC 的面积为48平方厘米．评注：梯形中连接两条对角线．则分梯形为4部分，称之为：上、下、左、右．如下图：运用比例知识，知道：①上、下部分的面积比等于上、下边平方的比． ②左、右部分的面积相等．③上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积．7．图16-7是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如图16-8，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图16—8中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．有∠ABC 为直角，而∠CED=∠ABC ，所以∠CED 也为直角.而CE=CB=5.△ADE 与△CED 同高，所以面积比为底的比，及ADE CEDS S=AE EC =13-55=85，设△ADE 的面积为“8”，则△CED 的面积为“5”．△CED 是由△CDB 折叠而成，所以有△CED 、△CDB 面积相等，△ABC 是由△ADE 、△CED 、△CDB 组成，所以ABC S=“8”+“5”+“5”=“18”对应为12×5×12=30，所以“1”份对应为53，那么△ADE的面积为8×53=1313平方厘米．即阴影部分的面积为1313平方厘米．8．如图16-9，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，已知梯形的上底长是下底长的23．那么余下阴影部分的面积是多少?【分析与解】不妨设上底长2，那么下底长3，则上面部分的三角形的高为10÷2×2=10，下面部分的三角形的高为12÷3×2=8，则梯形的高为lO+8=18．所以梯形的面积为12×(2+3)×18=45，所以余下阴影部分的面积为45-10-12=23．评注：这道题中上下底、梯形的高都不确定，但是余下阴影部分的面积却是确定的值，所以面积值与上下底、高的确定值无关，所以可以大胆假设，当然也可以谨慎的将上底设为2x 下底为3x ．9．图16-10中ABCD 是梯形，三角形ADE 面积是1．8，三角形ABF 的面积是9,三角形BCF 的面积是27．那么阴影部分面积是多少?【分析与解】设△ADF 的面积为“上”，△BCF 的面积为“下”， △ABF 的面积为“左”，△DCF 的面积为“右”．左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而下=27，所以上=81÷27=3.△ADE 的面积为1.8，那么△AEF 的面积为1.2，则EF ：DF=AEF S ：AEDS=1.2：3=0.4．△CEF 与△CDF 的面积比也为EF 与DF 的比，所以有ACES=0.4×ACDS=0.4×(3+9)=4.8．即阴影部分面积为4.8．10．如图16-11，梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米，下底BC 长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米．则梯形ABCD 的面积为多少平方厘米?【分析与解】 △ADD 与△BCO 的面积比为AD 平方与BC 平方的比，即为9：81=19．而△DCO 与△ABO 的面积相等为12，又BCOS ABOS×DCOS=ADOS×BCOS=12×12=144，因为144÷9=4×4，所以ADO S=4，则BCOS=4×9=36，而梯形ABCD 的面积为△ADO 、△BCO 、△ABO 、△CDO 的面积和，即为4+36+12+12=64平方厘米．即梯形ABCD 的面积为64平方厘米．11．如图16-12，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【分析与解】连接BF ，四边形BCDF 为梯形，则BFE 的面积与黄色CDE 的面积相等为 6.6636FEDBCEBFECDESSSS⨯=⨯=⨯=，所以3649BCES=÷=.9615BCDBECCDES S S=+=+=.又因为BD 是长方形ABCD 的对角线，15ABDBCDS S==所以FED15411ABDS SS =-=-=绿色四边形ABEF 红色.绿色四边形面积为11平方厘米．12．如图16-13，平行四边形ABCD 周长为75厘米．以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD 的面积．【分析与解】因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有14×BC=16 ×CD ，即BC ：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC 为底，对应高为14，20×14=280，所以平行四边形ABCD 的面积为280平方厘米．13．如图16-14，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米?【分析与解】为了方便叙述，将某些点标上字母，如下图：大正方形的面积为32111105510+++=，所以大正方形的边长应为1. 上面两个长方形的面积之比为32:105=3：4，所以IG=47．下面两个长方形的面积之比为11:510=2：l，所以IG=13．那么LI=4157321-=，那么阴影小正方形的面积为55252121441⨯=．14．图16-15中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．【分析与解】如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH．设阴影部分面积为“阴”平方厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米．DGH 、HMG 的面积相等，GCF 与GPF ；FBE 与 EOF ，HAE 与HNE 这3对三角形的面积也相等．阴一空=2×3=6，阴+空=lO ×10=100．阴=(6+100)÷2=53．即阴影部分的面积为53平方厘米．15．如图16-16，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有3块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】如下图所示，为了方便叙述，将部分区域标上序号，设阴影部分面积为“阴”：(49+①+35)+(13+②)= 12矩形的面积， ①+阴+②=12矩形的面积．比较上面两个式子可得阴影部分的面积为97．。

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平面图形的面积计算
例1：如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用多少厘米铁丝？（单位：厘米）
例2：已知大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是4厘米，求阴影部分
的面积。

例3：如图，ABCD 是边长为4分米的正方形，长方形
DEFG 的长是5分米，求长方形DEFG 的宽。

例4：如图，已知四边形ABCD 被它的两条对角线分成四个三角形，其中甲的面
积是1，乙的面积是2，丙的面积是3，求丁的面积。

思维点拨：可以利用蝴蝶原理解决，甲×丙=丁×乙。

蝴蝶原理：任意的一个四边形，两对角线连接，相对的两块面积乘积相等。

A
B
C D
E 甲丁乙
丙
A
B
C E
F
G
F
A
E D
C
B
G
两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积。

练习：
1,如右图，长方形ABCD 中，BE=4厘米，CE=3厘米，长方形的面积是多少平方厘米。

2、一个等腰直角三角形，最长的边是20厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米。

3、如下图，是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部分）的面积有多大
4、如图，求四边形的面积是是平方厘米。

（单位：厘米）
A
C D
E
45°
3
A
B C
D
O
48。