6综合题(距离最小值问题)
最短距离专题(答案部分)
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基本应用
1．如图，∠AOB=30°，内有一点 P 且 OP=5，若 M、N 为边 OA、OB 上两动点， 那么△PMN 的周长最小为 5 ．
【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出 OD=OE=OP，∠DOE=60°，得出等 边三角形 DOE，求出 DE=5，求出△PMN 的周长=DE，即可求出答案． 【解答】解：作 P 关于 OA 的对称点 D，作 P 关于 OB 的对称点 E，连接 DE 交 OA 于 M，交 OB 于 N，连接 PM，PN，则此时△PMN 的周长最小， 连接 OD，OE， ∵P、D 关于 OA 对称，∴OD=OP，PM=DM， 同理 OE=OP，PN=EN，∴OD=OE=OP=5， ∵P、D 关于 OA 对称，∴OA⊥PD， ∵OD=OP，∴∠DOA=∠POA， 同理∠POB=∠EOB，∴∠DOE=2∠AOB2×30°═60°， ∵OD=OE=5，∴△DOE 是等边三角形， ∴DE=5 即△PMN 的周长是 PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=5，
【分析】（1）首先作出∠AOB 角平分线，再作出 MN 的垂直平分线，交点即为 P； （2）先作出 M 点关于 AB 的对称点 G，连接 NG 交 AB 于 Q，则 Q 就是所求． 【解答】解：（1）如图所示：
∴点 P 是所求做的点； （2）由题意，得 ∴点 Q 是所求作的点． 【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，线段的垂直平分线的性质的运用， 轴对称最短路径问题的运用，解答时熟练掌握基本作图的方法是关键．
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作 B 点关于 l 的对称点 B′，连接 AB′交E⊥AE，
初中数学几何最值问题综合题
知识板块几何最值问题专项考点一：几何图形中的最小值问题方法：1.找对称点求线段的最小值；步骤：①找点的对称点,动点在哪条线上动,就是对称轴；②连接对称点与另一个点；③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边：3.转化成其他线段,间接求线段的最小值：例如：用点到直线的距离最短,通过作垂线求最值;4.用二次函数中开口向上的函数有最小值：考点二：几何图形中的最大值问题方法：1.当两点位于直线的同侧时,与动点所在的直线的交点,这三点在同一直线时,线段差有最大值:2.当两点位于直线的异侧时,先找对称点,同样三点位于同一直线时,线段差有最大值；3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；4.用二次函数中开口向下的函数有最大值：例题板块考点一：几何图形中的最小值问题例1.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2, AE=3BE, P是AC上一动点,那么PB+PE的最小值是 .例2.如图2,在锐角二ABC中,AB=4V2» LBAC=45°,匚BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD 和AB 上的动点,那么BM+MN的最小值是.例3.如图3,点P是RtiZABC斜边AB上的一点,PE二AC于E, PF二BC于F, BC=6, AC=8,那么线段EF 长的最小值为：例4,如图,在Rt/kABC 中,AB=BC=6,点E, F 分别在边AB, BC 上,AE=3, CF=1, P 是斜边AC 上的 一个动点,那么aPEF 周长的最小值为.例5,如图,在平面直角坐标系中,RtA OAB 的顶点A 的坐标为(9, 0),点C 的坐标为(2, 0) , tanZBOA= —,点P 为斜边OB 上的一个动点,那么PA+PC 的最小值为( ) 3C.6D. 3 + V19例6.如图6,等腰RS ABC 中,NACB=90.,AC=BC=4, 0c 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切OO 于点Q,那么切线长PQ 长度的最小值为( )考点二：几何图形中的最大值问题例1,点A (1, 2)、B (4, 4) , P 为x 轴上一动点. (1)假设IPAI+IPBI 有最小值时,求点P 的坐标； (2)假设IPBUPAI 有最大值时,求点P 的坐标.例2 .如图8所示,A (!,yJ, B(2,yJ 为反比例函数y =,图像上的两点,动点P(x,O)在x 正半轴 2 ~ x上运动,当线段AP 与线段BP 之差到达最大时,点P 的坐标是 L A. V67 例7.如图7,矩形ABCD 中,AB=4, BC=8, E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 上两个动点,且PQ=3,当 CQ= 时,四边形APQE 的周长最小.例3,如图,在平面直角坐标系中,0M过原点O,与x轴交于A 〔4, 0〕,与y轴交于B 〔0, 3〕,点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.〔1〕求匚M的半径：〔2〕证实：BD为二M的切线：〔3〕在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.练习板块1.如图1,正方形ABCD的面积为18, △ ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一动点P,那么PD+PE的最小值为 .2. 〔2021•徐州一模〕如图2,在矩形ABCD中,AB=2, AD=4. E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最小值为.3. 〔2021•萧山区模拟〕如图3,直角三角形ABC中,ZC=90% AC=h BC=2, P为斜边AB上一动点.PE1BC, PF±CA,那么线段EF长的最小值为.4. 〔2021•武汉〕如图4, NAOB=30.,点M、N 分别在边OA、OB 上,且OM=1, ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,那么MP+PQ+QN的最小值是:5.如下列图1,反比例函数y = ' (x>0)图象上的两点A、B的横坐标分别为1, 3,点P为x轴x正半轴上一点,假设PA-PB的最大值为2及,贝ijk=x图36.如图2,在△ ABC中,ZC=90°> AC=4, BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )A.、疗+ 2B. 2屈C. 275D. 272 + 27.如图3,直线1与半径为4的二0相切于点A, P是二0上的一个动点(不与点A重合),过点P 作PB」垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y,那么(x-y)的最大值是.如图,四边形ABCD是正方形,△ ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60.得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证：△ AMB^AENB：(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小；②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由：(3)当AM+BM+CM的最小值为6 + 1时,求正方形的边长.8.己知：如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,0C=3, BC=2,取AB的中点M,连接MC, 把^MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到△ DAO.〔1〕试直接写出点D的坐标：〔2〕点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ_Lx 轴干点Q,连接0P.①假设△ OQP S^DAO,试求出点P的坐标：②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得ITO-TBI的值最大？作业板块1.如图1,在△ ABC中,AB=1O, AC=8, BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB, CA分别相交于点E, F,那么线段EF长度的最小值是.2.如图2,在RtA ABC 中,ZBAC=90% AB=3, AC=4,点P 为BC 边上一动点,PE1AB 于点E,PFLAC于点F,连结EF,点M为EF的中点,那么AM的最小值为A3.如图3,在△ ABC中,ZACB=90°, AC=8, BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x 轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为.4.如图4,在边长为2的菱形ABCD中,NA=60.,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点, 将△ AMN沿MN所在直线翻折得到△ ANIN,连接AC,那么AC长度的最小值是 .5..如图1,抛物线y=ax2+bx+c 〔a对〕的顶点为C 〔1, 4〕,交x轴于A、B两点,交y轴于点D, 其中点B的坐标为〔3, 0〕.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,假设直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,那么x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？假设存在,求出这个最小值及点G、H的坐标：假设不存在,请说明理由：。
高三数学直线综合试题答案及解析
高三数学直线综合试题答案及解析1.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3B．2C．3D．4【答案】A【解析】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3．2.在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过两分钟后，该物体位于点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，由题意知，直线的方程为：，.设直线直线的方程为：解方程组可得：.由得.选B.【考点】坐标法.3.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．【答案】8【解析】由题意得，将的最小值转化为直线上的点到原点距离的最小值的平方，即原点到直线的垂线段长的平方，所以.所以正确答案为8.【考点】解析法的应用4.若直线同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线为该三角形的“Share直线”，已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则这样的“Share直线”（）A．存在一条B．存在三条C．存在六条D．不存在【答案】A【解析】（1）直线过的某个顶点，如图，假设直线过点A.若直线平分的面积则有，此时，，所以周长相等不可能．同理直线过B、C也不存在．若直线交AB、BC于点M、N．如下图，设．设，则，作，由，得.接着根据，解得或者（舍），即这样的直线存在，且只有一条，综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线只有1条.故选A.【考点】1.确定直线的位置关系.5.过点的倾斜角为的直线与圆交于两点，则 .【答案】22【解析】如图，直线的方程为：，即：，由点到直线的距离公式得：，因为，所以由勾股定理得：，由两点距离公式得：，所以由勾股定理得：，则，，求得【考点】直线的方程点评：当涉及到曲线的交点时，不一定就要联立曲线的方程组去求出交点的坐标，像本题，求出交点的坐标是相当麻烦的。
第三讲 最短距离问题
第三讲最短距离问题一、知识梳理几何模型1条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小几何模型2条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等问题：在直线上确定一点，使的值最大方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小二、方法归纳对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。
三、课堂精讲例题（一）、题中出现一个动点。
例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。
【难度分级】A类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，易求解：作关于对称点四边形ABCD是正方形在上，且即是的最小值【搭配课堂训练题】1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标【难度分级】A类〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。
〖答案〗解：（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【难度分级】A类〖试题来源〗2009眉山中考数学真题〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB与对称轴的交点M即为所求。
最短距离问题
2011年中考复习（23）――两线段之和最短专题一、数学模型1、实际问题：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短2、数学问题：已知：直线I和I的同侧两点A、B。
求作：点C,使C在直线I上，并且AC + CB最小。
、构建“对称模型”实现转化二、练习题（一）填空题1、（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A （3, - 2）,B（ 4, 2）两点，现另取一点C（ 1 ,n）,当n = ______ 时，AC + BC的值最小.2、（2009陕西）如图，在锐角厶ABC中，AB = 4迈，/ BAC = 45 ° / BAC的平分线交BC于点D , M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN 的最小值是3、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM = 2, DN +MN的最小值为__________4、如图，在△ ABC 中，AC = BC = 2，/ ACB = 90° D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ ED的最小值为 _________________ 。
5、已知O 0的直径CD 为4, / AOD 的度数为60。
，点B 是AD 的中点，在直径CD 上找一点P,使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值.7、已知，如图 DE 是厶ABC 的边AB 的垂直平分线， D 为垂足，DE 交BC 于E ,且AC = 5, BC = 8,则 △ AEC 的周长为 __________ 。
8、已知，如图，在△ ABC 中，AB V AC , BC 边上的垂直平分线 DE 交BC 于点D ，交AC 于点E , AC = 9、 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 _____________________________ A C 于D,若AC = 5cm,BC = 4cm,则△BDC 的周长为 _______________________________ .10、 如图所示，正方形 ABCD 勺面积为12,A ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上 有一点P ,使PD+ PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A . 2 3B . 2 6C . 3D .610、（ 1）如图1,等腰Rt △ ABC 的直角边长为2, E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 ____________________________ ;（2）几何拓展：如图 2,^ ABC 中，AB=2，/ BAC=30，若在 AC 、AB 上各取一点 M 、N ,使BM+MN 的值最小，则这个最小值 ________________________________0 1 图z（二）作图题6、如图, 的周长为点P 关于0A 交OA 于 M 交0B 于N 若CD= 18cm 则厶PMN5题图0B 的对称点分别为C D,连接CD8,^ ABE 的周长为14,则AB 的长8题图9题图 10题图1如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。
6综合题（距离最小值问题）
AB CDEFPABOP MN综合题（距离最小值问题）1、在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是（ ）。
1、如图：圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点且PC=32BC ，一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 最短距离是（ ）。
2、MN 是半径为1的o θ的直径，点A 在o θ上，∠AMN=30º，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ）。
ABCDME ABoxy4、在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90º，AD ∥BC ，AD=4，AB=5，BC=6，点P 是AB 上的一个动点，当PC+PD 的和为最小值时，PB 的长为 。
5、等边△ABC 的边长为６，AD 是BC 边上的一点，若AE ＝２，EM ＋CM 的最小值为 。
６、在下面直角坐标系中，点Ａ的坐标为（１，3），△AOB 的面积是3： ①求B 的坐标。
②求过点A ，OB 的抛物线的解析式。
③求②中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在求出点C 的坐标，若不存在说明理由。
7、如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为A （4，0）、C （0，2），D 为OA 的中点，设点P 是∠AOC 平分线上的一个动点，（不与点O 重合）（1）试说明无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等。
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过点O 、P 、D 三点的抛物线的解析式。
（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，△PDE 的周长最小？求出此时点P 的坐标和△PDE 的周长。
8、已知抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交于点A （0，3）与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点：（1）求抛物线的解析式。
题型六 几何最值(专题训练)(解析版)
题型六几何最值（专题训练）1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD BD +的最小值是( )【答案】B【详解】如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．∵BE ⊥AC ，∴∠AEB=90°，∵tanA=BE AE=2，设AE=a ，BE=2a ，则有：100=a 2+4a 2，∴a 2=20，∴，∴，∵AB=AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB ，∴（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE ，∠BHD=∠BEA ，∴sin DH AE DBH BD AB Ð===，∴BD ，∴BD=CD+DH ，∴CD+DH ≥CM ，∴BD ≥∴BD 的最小值为故选B ．2.如图，在Rt ABC D 中，90°Ð=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【详解】如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ^垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∴5AB =∵90OPB °Ð=，∴OP ACP ∵点O 是AB 的三等分点，∴210533OB =´=，23OP OB AC AB ==，∴83OP =，∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD AC ^，∴OD BC ∥，∴13OD OA BC AB ==，∴1OD =，∴MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值1013133=+=，513+=633,∴MN 长的最大值与最小值的和是6．故选B ．3.如图，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF V 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF V ，则'A C 的长的最小值是( )A B ．3C 1-D 1-【答案】D【详解】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点A'在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：1A'E AE AB 12===．在Rt BCE V 中，1BE AB 12==，BC 3=，B 90Ð=o ，CE \==，A'C \的最小值CE A'E 1=-=．故选D ．4.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：如图，∵将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，∴BE=AB=BC ，BF=BG ，EF=AG ，∴△BFG 是等边三角形．∴BF=BG=FG ，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG ．根据“两点之间线段最短”，∴当G 点位于BD 与CE 的交点处时，AG+BG+CG 的值最小，即等于EC 的长，过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，，在Rt △EFC 中，∵EF 2+FC 2=EC 2，∴．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG ，∴EF=13故选：D ．5.如图，Rt ABC △中，AB BC ^，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA °Ð+Ð=，则线段CP 长的最小值为________.【答案】2：【详解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴点P 在以AB 为直径的弧上（P 在△ABC 内）设以AB 为直径的圆心为点O ，如图接OC ，交☉O 于点P ，此时的PC 最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴5OC ===∴PC=5-3=26.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE=1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G点运动轨迹．CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF=1G E =1，CF=1322CE =，所以CH=52，因此CG 的最小值为52．GA B CDE F27.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且D D =PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】【详解】ABCD Q 为矩形，AB DC\=又=V V Q PAB PCDS S \点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====故答案为：8.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边△BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是2______．【答案】54．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，∵BE=AE，∴CE=BE=AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∵∠PBQ=∠CBE=60°，∴∠QBC=∠PBE，∵QB=PB，CB=EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC=PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，∴PE=12AE=54，∴CQ的最小值为54．故答案为：549.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为 ．【答案】2【分析】作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM ﹣PN ＝PM ﹣PN'≤MN'，可得当P ，M ，N'三点共线时，取“＝”，再求得//AN CN BM CM =＝31，即可得出PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM 为等腰直角三角形，即可得到CM ＝MN'＝2．【解答】解：如图所示，作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN ＝PN'，∴PM ﹣PN ＝PM ﹣PN'≤MN'，当P ，M ，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC ＝2AB ＝28，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝24，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON'＝CN'＝22，∴AN'＝26，∵BM ＝6，∴CM ＝AB ﹣BM ＝8﹣6＝2，∴//AN CN BM CM =＝31∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM ＝45°，∴△N'CM 为等腰直角三角形，∴CM ＝MN'＝2，即PM ﹣PN 的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．10.如图，ABC V 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的一个动点，连接,BM MN ，则BM MN +的最小值是________．【答案】【分析】根据题意可知要求BM+MN 的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM ，MN 的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN ，即可求出答案．【解析】解：连接CN ，与AD 交于点M ，连接BM ．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD 是BC 边上的中线即C 和B 关于AD 对称，则BM+MN=CN ，则CN 就是BM+MN 的最小值．∵ABC V 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，∴AC=AB=6,AN=12AB=3, CN AB ^,∴CN ====即BM+MN的最小值为故答案为：【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．11.如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD æö+ç÷èø，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．ABC D A BCD问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．12.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____．【答案】2-【解析】【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME ≥OF ．求出OM ，OF 即可解决问题．【详解】解：取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME ≥OF ．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝12AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝，GF，OF＝，∴ME≥OF﹣OM＝﹣2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为2．【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．13.如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．【答案】【详解】将△BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到△BNE ，∵BM=BN ，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM ∵MC=NE ∴AM+MB+CM=AM+MN+NE ．当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE ．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH ⊥AE ，AH=EH ，∠BAH=30°，∴BH=12AB=3，BH=AE=2AH=故答案为14.如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为BC 边上的任意一点，把PBE △沿PE 折叠，得到PBE △，连接CF ．若AB ＝10，BC ＝12，则CF 的最小值为_____．【答案】8【解析】【分析】点F 在以E 为圆心、EA 为半径的圆上运动，当E 、F 、C 共线时时，此时FC 的值最小，根据勾股定理求出CE ，再根据折叠的性质得到BE ＝EF ＝5即可．【详解】解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，∵E是AB边的中点，AB＝10，∴AE＝EF＝5，∵AD＝BC＝12，∴CE＝13，∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案为8．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．15、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．-【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴∠BAP=∠CAP ，∵PA=PA ，∴△BAP ≌△CAP （SAS ），∴PC=PB ，∵MG=PB ，AG=AP ，∠GAP=60°，∴△GAP 是等边三角形，∴PA=PG ，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM ，∴当M ，G ，P ，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段CM 的长，∵AP+BP+CP 的最小值为，∴，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN ⊥AC 于N ．则BN=12AB=1，，，∴16.如图所示，30AOB Ð=o ，点P 为AOB Ð内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN D 周长的最小值_____．【答案】PMN D 周长的最小值为8【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP 、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN D 周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP \D =++=，且1A O P A O P Ð=Ð，2BO P BO P Ð=Ð，12260POP AOB Ð=Ð=°，128O P O P O P ===，12PPO D 为等边三角形，1218PP OP ==即PMN D 周长的最小值为8.17.在正方形ABCD 中，点E 为对角线AC （不含点A ）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，连接EF ；①把图形补充完整（无需写画法）； ②求2EF 的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE 的最小值．【答案】（1）①补图见解析；②2816EF ££；（2）2+【详解】（1）①如图△DCF 即为所求；②∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝AB ＝，∠B ＝90°，∠DAE ＝∠ADC ＝45°，∴AC AB ＝4，∵△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，∴∠DCF ＝∠DAE ＝45°，AE ＝CF ，∴∠ECF ＝∠ACD ＋∠DCF ＝90°，设AE ＝CF ＝x ，EF 2＝y ，则EC ＝4−x ，∴y ＝（4−x ）2＋x 2＝2x 2−8x ＋160（0＜x ≤4）．即y ＝2（x −2）2＋8，∵2＞0，∴x ＝2时，y 有最小值，最小值为8，当x ＝4时，y 最大值＝16，∴8≤EF 2≤16．（2）如图中，将△ABE 绕点A 顺时针旋转60°得到△AFG ，连接EG ，DF ．作FH ⊥AD 于H ．由旋转的性质可知，△AEG 是等边三角形，∴AE ＝EG ，∵DF ≤FG ＋EG ＋DE ，BE ＝FG ，∴AE ＋BE ＋DE 的最小值为线段DF 的长．在Rt △AFH 中，∠FAH ＝30°，AB ＝=AF ，∴FH ＝12AF ，AH ，在Rt △DFH 中，DF =＝2+，∴BE ＋AE ＋ED 的最小值为2．。
直线距离最值问题
直线距离最值问题1. 已知两定点A(-3,5),B(2,15),动点P在直线3x-4y+4=0上,当|PA|+|PB|取最小值时,这个最小值为()A. 5√13B. √362C. 15√5D. 5+10√2【答案】A【解析】如图所示,设A'为点A关于已知直线的对称点,A'(x',y')则:{y'-5x'+3·34=-1,3·x'-32-4·y'+52+4=0,解得x'=3,y'=-3.∴A'(3,-3).而|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=√(2-3)2+(15+3)2=5√13.2.设m∈R,过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x,y),则|PA|＋|PB|的取值范围是( )A. [√5,2√5 ]B. [√10,2√5 ]C. [√10,4√5 ]D. [2√5,4√5 ]【答案】B【解析】当m＝0时，易求得|PA|＋|PB|＝√10；当m≠0时，由直线方程的点斜式斜率存在：动直线x＋my＝0即y＝－1m x，斜率为－1m，定点A(0，0)；动直线mx－y－m＋3＝0即y－3＝m(x－1)，斜率为m，定点B(1，3)；因为斜率乘积为－1，所以两条直线互相垂直，即PA⊥PB，由勾股定理得|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，显然|PA|＋|PB|≤2√5，∴√10≤|PA|＋|PB|≤2√5.选B.3. 已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点间距离的最小值是()A. √55B. √555C. 3√55D. 115【答案】C【解析】|AB|=√(1+t)2+(2t-1)2+0=√5t2-2t+2=√5(t-15)2+95.当t=15时,|AB|取最小值3√55.4. 当点A(1,2),B(3,1),C(2,3)到直线x-my=0的距离的平方和取最大值时,m等于()第1页共2页第2页 共2页 A. 0 B. 1 C. -1 D. 2【答案】C【解析】由题意:(1-2m)21+m 2+(3-m)21+m 2+(2-3m)21+m 2=14m 2-22m+141+m 2.令y=14m 2-22m+141+m 2=14-22m+1m (m ≠0),根据m+1m 的图象知当m=-1时,y 取最大值25,当m=0时,y=14,综上,当m=-1时,y 取最大值,选C . 5. 设两条直线的方程分别为x +y +a =0,x +y +b =0,已知a ,b 是方程x 2+x +c =0的两个实根,且0≤c ≤18,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 ( )A. √24,14B. √2,√22C. √2,12D. √22,12【答案】D【解析】本题考查两条平行线间的距离公式、一元二次方程的根与系数间的关系,难度中等. 依题意得|a -b |=√(a +b)2-4ab =√1-4c ,当0≤c ≤18时,√22≤|a -b |=√1-4c ≤1.注意到题中的两条直线间的距离等于√2,因此题中的两条直线间的距离的最大值与最小值分别是√22,√22×√2=12,故选D .。
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A
B C
D
E
F
P
A
B
O
P M
N
综合题（距离最小值问题）
1、在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是（ ）。
1、如图：圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底
面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点且PC=3
2
BC ，一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 最短距离是（ ）。
2、MN 是半径为1的o θ的直径，点A 在o θ上，∠AMN=30º，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ）。
A
B
C
D
M
E A
B
o
x
y
4、在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90º，AD ∥BC ，AD=4，AB=5，BC=6，点P 是AB 上的一个动点，当PC+PD 的和为最小值时，PB 的长为 。
5、等边△
ABC 的边长为６，AD 是BC 边上的一点，若AE ＝２，
EM ＋CM 的最小值为 。
６、在下面直角坐标系中，点Ａ的坐标为（１，3）
，△AOB 的面积是3： ①求B 的坐标。
②求过点A ，OB 的抛物线的解析式。
③求②中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在求出点C 的坐标，若不存在说明理由。
7、如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为A （4，0）、C （0，2），D 为OA 的中点，设点P 是∠AOC 平分线上的一个动点，（不与点O 重合）
（1）试说明无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等。
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过点O 、P 、D 三点的抛物线的解析式。
（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，△PDE 的周长最小？求出此时点P 的坐标和△PDE 的周长。
8、已知抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交于点A （0，3）与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点：
（1）求抛物线的解析式。
（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的表达式。
（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ）再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ）最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长。
A
B
D
P
C
o
x
y。