勾股定理中的最短距离经典题型
勾股定理最短路径问题-解析版--初中数学专题训练
利用勾股定理求最短路径问题【考法导图】解题技巧：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。
1◎类型1台阶中的最值问题1(2017秋·山东济南·八年级济南外国语学校校考期中)如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是()A.12B.13C.14D.15【答案】B【分析】将台阶展开，根据勾股定理即可求解．【详解】将台阶展开，如下图，因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，所以AB=13(cm)，所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．2(2023·全国·九年级专题练习)一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程为()A.481B.25C.30D.35【答案】B【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长AB．由勾股定理得：AB2=202+2+3×32=252，解得：AB=25．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．3(2020·山东淄博·统考一模)地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？()A.50cmB.100cmC.150cmD.200cm【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和，则斜边=102+102=102，∴长方形地毯的长为：10×102=1002≈141.4cm，故选C．【点睛】本题考查了生活中的平移现象，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．4(2023春·八年级课时练习)如图是楼梯的一部分，若AD=2，BE=1，AE=3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为()A.5B.3C.13D.25【答案】D【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：将台阶展开，如图，因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=25，故选：D．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．2◎类型2正方体中的最值问题1(2023·江苏常州·校考一模)如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是()A.3B.2C.5D.3【答案】C【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，将正方体展开，则AC=2，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得AB=AC2+BC2=5，∴需要爬行的最短路程是5，故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．2(2023秋·陕西西安·八年级统考期末)如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为()A.10B.213C.13D.25【答案】C【详解】先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出BM的长即可；【解答】解：如图，连接BM，则线段BM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，∵正方体的棱长为2，M是EH的中点，∴∠Q=90°，MQ=2，BQ=1+2=3，由勾股定理得BM=22+32=13，故选：C．【点睛】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是理解最短路线．3(2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习)如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是()A.10cmB.4cmC.17cmD.5cm【答案】C【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，【详解】解：如图，它运动的最短路程AB=(2+2)2+222=17(cm)，故选：C．【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，掌握两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出是解题的关键．4(2023春·北京大兴·八年级北京市第八中学大兴分校校考阶段练习)如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为()A.23B.13C.14D.17【答案】B【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，∴AD=2，MD=3，∴AM=22+32=13，故选：B．【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．3◎类型3长方体中的最值问题1(2023春·全国·八年级专题练习)如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为()A.3米B.4米C.5米D.6米【答案】C【分析】分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可．【详解】解：由题意，有以下三个路径：①如图，路径一：则这只昆虫爬行的路程为22+(2+3)2=29(米)；②如图，路径二：则这只昆虫爬行的路程为32+(2+2)2=5(米)；③如图，路径三：则这只昆虫爬行的路程为22+(3+2)2=29(米)；因为29>5，所以这只昆虫爬行的最短路程为5米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键．2(2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习)如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是()A.12cmB.74cmC.80cmD.90cm【答案】B【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可.【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=(3+4)2+52=74 cm；如图2所示，(3+5)2+42=45cm，如图3所示，32+(5+4)2=310cm，∵74<45<310，∴蚂蚁所行的最短路线为74cm.【点睛】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题.3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A 出发，沿棱柱外表面到C′点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是()A.229cmB.14cmC.(213+4)cmD.10cm【答案】D【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：如图1中，AC =AB2+BC 2=42+102=116=229，如图2中，AC =AC2+CC 2=82+62=10，∵10<229，∴爬行的最短路径是10cm．故选:D【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解．4(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点A爬行到点B，则爬行的最短距离是()A.130B.126C.10D.86【答案】C【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是8和6，则所走的最短线段是82+62=10；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是11和3，所以走的最短线段是112+32=130；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是9和5，所以走的最短线段是92+52=106；∵10<106<130，三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程=10，故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．4◎类型4圆柱(锥)中的最值问题1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，圆柱的底面半径为6πcm ，AC 是底面圆的直径，点P 是BC 上一点，且PC =4cm ，一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是()A.45cmB.213cmC.56cmD.10cm【答案】B【分析】把圆柱侧面展开后，连接AP ．由已知可求得圆柱底面圆的周长，从而可求得周长的一半，由勾股定理即可计算出AP 的长．【详解】侧面展开图如图所示：∵圆柱的底面半径为6cm，π∴圆柱的底面周长为12cm，∴AC′=6cm．在Rt△ACP中，AP=42+62=213(cm)．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是把圆柱展开，即把空间问题转化为平面问题来解决，体现了转化思想．2(2022春·全国·八年级假期作业)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm．A.15B.20C.18D.30【答案】A【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长．【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示：则DB=AD=4cm，由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，∴DE=DH-EH=12-4=8cm，∴BE=DE+DB=8+4=12cm，在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC=BE2+CE2=122+92=15cm，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm，故选;：A．【点睛】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．3(2022秋·全国·八年级专题练习)如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离()A.261cmB.234cmC.413cmD.10cm【答案】D【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：BC=10cm，AB=12×12=6cm，CE=2cm，∴BE=BC-CE=8cm，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AC=AB2+BE2=62+82=10cm，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离10cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，画出图形是解题的关键．4(2019·全国·八年级专题练习)如图，一个圆柱形油罐，油罐的底面周长12m，高5m，要从点A环绕油罐建梯子，正好到达点A的正上方的点B，则梯子最短需要()A.12mB.13mC.17mD.20m【答案】B【分析】先把圆柱的侧面展开得到一个长方形，利用勾股定理求出AB的长即可得到答案．【详解】解：将圆柱形油罐的侧面展开如图所示，由题意可知，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m，∴由勾股定理可得：AB=AC2+BC2=52+122=169=13m，∴梯子最短需要13m．故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，本题的解题要点是：将圆柱的侧面展开，结合题意就可将问题转化到Rt△ABC中，这样就可利用“勾股定理”求出AB的长度，从而得到梯子的最短长度．。
勾股定理中的最短路径问题与翻折问题(五大题型)(原卷版)
专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型）【题型1 与长方形有关的最短路径问题】【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【题型4将军饮马与最短路径问题】【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下：几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【题型1 与长方体有关的最短路径问题】【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm．A．10B．50C．10D．70【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（）A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25C．D．35【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）A．B．5cm C．4cm D．【变式1-4】（2022秋•莲湖区期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（）A．B．C．D．【变式1-5】（2022秋•汝阳县期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（）A．B．C．D．【变式1-7】（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（）A．12B．15C．18D．21【变式1-8】（2023•陇县三模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米．A．8B．10C．12D．13【变式1-10】（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A．cm B．4cm C．cm D．5cm【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】（2023春•防城区期中）如图，一圆柱高BC＝12πcm，底面周长是16πcm，【典例2】P为BC的中点，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点P处吃食，要爬行的最短路程是（）A．12πcm B．11πcm C．10πcm D．9πcm【变式2-1】（2023春•德州期中）如图，圆柱形玻璃容器高18cm，底面圆的周长为48cm，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（）A．52cm B．30cm C．D．60cm【变式2-2】（2023春•夏津县期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m 时，这段葛藤的长是（）m．A．3B．2.6C．2.8D．2.5【变式2-3】（2023春•东港区校级月考）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）A．26B．13+C．13D．2【变式2-4】（2023春•富顺县校级月考）如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为（）A．cm B．15cm C．14cm D．13cm【变式3-5】（2022秋•蒲城县期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为20cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．20πcm B．40πcm C．D．【变式2-6】（2023春•宣化区期中）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm【变式2-7】（2023春•随县期末）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要m．【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【典例3】（2023春•连山区期末）如图是楼梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）A．B．3C．D．2【变式3-1】（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）cm．A．10B．50C．120D．130【变式3-2】（2023春•西塞山区期中）如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是m．【变式3-3】（2022秋•叙州区期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A 点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．【题型4将军饮马与最短路径问题】【典例4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm．A．15B．C．12D．18【变式4-1】（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（）A．13cm B．3cm C．cm D．2cm【变式4-2】（2023春•临潼区期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【变式4-3】（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）（π取3）m．A．30B．28C．25D．22【变式4-4】（2022秋•雁峰区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm【变式4-5】（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【典例5】（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-1】（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为．【变式5-2】（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．【变式5-3】（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【变式5-4】（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD 于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于．【变式5-5】（2020•浙江自主招生）将一直径为25cm的圆形纸片（如图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体形状的纸盒（如图③），则这样的纸盒体积最大为cm3．【变式5-6】（2022秋•和平区期中）一长方体容器（如图1），长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD＝．【变式5-7】（2022春•温州期末）图1是一款平衡荡板器材，示意图如图2，A，D为支架顶点，支撑点B，C，E，F在水平地面同一直线上，G，H为荡板上固定的点，GH∥BF，测量得AG＝GH＝DH，Q为DF上一点且离地面1m，旋转过程中，AG始终与DH保持平行．如图3，当旋转至A，Q，H在同一直线上时，连结G′Q，测得G′Q＝1.6m，∠DQG′＝90°，此时荡板G′H′距离地面0.6m，则点D离地面的距离为m．【变式5-8】（2022•公安县模拟）某厂家设计一种双层长方体垃圾桶，AB＝84cm，BC＝30cm，CP＝36cm，侧面如图1所示，EF为隔板，等分上下两层．下方内桶BCFG绕底部轴（CP）旋转打开，如图2，将其打开后点G卡在隔板上，此时可完全放入下方内桶的球体的最大直径为25.2cm，求BG的长度为cm．。
如何利用勾股定理求得最短距离
如何利用勾股定理求得最短距离人教版初中八年级（下册）第十八章介绍了勾股定理的内容和它的一些运用，勾股定理主要用来解决直角三角形三条边之间的关系的一个重要定理。
它在解三角函数、四边形以及实际生活中的运用也极其广泛，也是近几年全国各地中考的高频考点。
其中勾股定理在解决某些出现的最短距离的问题中发挥了很好的作用。
现分别举出勾股定理在长方体、圆柱体、圆锥体中是如何求得最短距离的例子，以便找出用它来解决问题的技巧和方法。
例1、 如图所示,有一个长方体木箱，长为40cm ，宽为30cm ，高为50cm ，点Q 距离点C 为10cm ， 一只蚂蚁从A 点爬行到Q 点的最短距离是多少？【分析】这一道题从表面上看似乎与勾股定理没有什么联系，但通过仔细分析后，将长方体展开，就会与勾股定理产生联系，要解决本题必须分两种情况。
解： 第一种情况：将长方体右侧面CBGF 展开，使得与面ABCD 在同一个平面上，过Q 点作QH ⊥BC 于H ，连接AQ ，如图2，AQ 就是蚂蚁从A 点爬行到Q 点的距离。
由题意可知，cm AB 40=，cm BH CQ 10==，cm QH 50=，则cm AH 50=，根据勾股定理可得：222QH AH AQ +=，cm QH AH AQ 7125050502222≈=+=+=。
第二种情况：将上面的面CDEF 展开，使得与面ABCD 在同一个平面上，连接AQ ，如图3，AQ 就是蚂蚁从A 点爬行到Q 点的距离。
由题意可知，cm AB 40=，cm BQ 60=，根据勾股定理可得：222BQ AB AQ +=，22BQ AB AQ +=，cm AQ 72320604022≈=+=。
显然，第一种情况所求得的AQ 的值要比第二种情况所求得的AQ 的值要小，所以蚂蚁从A 点爬行到Q 点的最短距离是cm 250。
例2、如图4，有一个圆柱体，它的高为12cm ，底面半径为3cm ，在圆柱体下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的食物，沿着圆柱体侧面爬行的最短距离是多少？（π的近似值取3）A B D C E F G• •Q 图1A B D C E FG• • Q 图2 FGQ • H A BDCEF G•• Q 图3EF • Q【分析】这看上去是一个曲面的路线问题，但实际上可以通过圆柱体的侧面展开图来转化为 平面上的路线问题。
勾股定理之最短路径(填空选择)中考题
实用文案一、选择题（共17小题）1、（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A、B、5cmC、D、7cm2、（2009•乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A、B、2C、3D、33、（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A、5B、25C、10+5D、354、（2005•山西）如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（）A、40cmB、20cmC、20cmD、10cm5、（2005•贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A、6cmB、12cmC、13cmD、16cm6、（2004•淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A、（3+2）cmB、cmC、cmD、cm7、（2004•梅州）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（）A、 aB、（1+）aC、3aD、 a8、（2004•济宁）如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A、B、3C、5D、9、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A、12cmB、10cmC、14cmD、无法确定10、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）A、10cmB、12cmC、19cmD、20cm11、如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（）A、8B、2C、2D、2+212、如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A、7B、C、D、513、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A、4.8B、C、5D、14、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A、5cmB、cmC、4cmD、3cm15、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（）A、3B、C、D、116、如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（）A、3米B、4米C、5米D、6米17、如图，在棱长为20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从A点出发向B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（）A、40cmB、20cmC、20cmD、20cm二、填空题（共13小题）18、（2007•呼伦贝尔）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是_________ m．（结果不取近似值）19、（2007•怀化）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是_________ ．（结果保留根号）20、（2007•金昌）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4．若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC 的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为_________ ．21、（2007•梅州）如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是_________ ．22、（2008•昆明）如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是_________ cm．（π取3）23、（2008•青海）如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是_________ cm（结果用带根号和π的式子表示）．24、（2009•青岛）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________ cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_________ cm．25、（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为_________ cm．26、（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B 的最短路程是_________ ．27、（2005•青海）如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A点到C1点的最短距离为_________ ．28、（2003•泸州）如图，一只昆虫要从边长为acm的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是_________ cm．29、如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_________ cm．（π取3）30、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_________ ．答案与评分标准一、选择题（共17小题）1、（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A、B、5cmC、D、7cm考点：平面展开-最短路径问题。
(完整版)勾股定理--最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒ B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD 1=132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB= ()1012122=++．故选C ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．A B A 1B 1D CD 1C 121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析
数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析勾股定理最短路径问题例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。
先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。
这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。
2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。
例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。
本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。
3.在圆柱体中爬行半圈或一圈在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。
例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？4.正方体表面爬行蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。
例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？本题点A为正方形的中心，因此到四条边的距离都是边长的一半。
5.圆柱体多圈问题例题5：为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其平行底面的截面周长为36cm，如果在表面缠绕4圈，需要油纸的长度为多少厘米？分析：将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC可求，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度。
专题2.11运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】-2024-2025学年八年级[含答案]
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专题2.11运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】【浙教版】【题型1正方体中的最短路径】【题型2长方体中的最短路径】【题型3圆柱中的最短路径】【题型4圆锥中的最短路径】【题型5台阶中的最短路径】【题型6由垂线段最短求最短路径】【题型7由将军饮马求最短路径】【题型8不规则图形中求最短路径】【题型1正方体中的最短路径】【例1】（23-24八年级·江西抚州·阶段练习）1．如图，在棱长为3cm的正方体上有一些线段，把所有的面都分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面爬行至右侧B 点最少要花多长时间？【变式1-1】（23-24八年级·四川乐山·期末）2．如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（）A B C D 【变式1-2】（23-24八年级·山东青岛·期中）3．如图，有一棱长为3dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A 到点D 拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE 、BCGF 、EFGH 、CDHG 四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（ ）dm ．A ．15B ．9C ．D ．【变式1-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）4．棱长分别为5cm 3cm ，两个正方体如图放置，点P 在11E F 上，且11113E P EF =，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点P ，需要爬行的最短距离是 ．【题型2 长方体中的最短路径】【例2】（23-24八年级·黑龙江佳木斯·期末）5．如图是一块长、宽、高分别是6cm 4cm 、和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）+B C DA．(3cm【变式2-1】（23-24八年级·全国·竞赛）6．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕到上底面的顶点B，如果缠绕的圈数是n，那么用在该建筑物上的灯线最短需要米．【变式2-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）7．如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是cm．【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）、、，点E到点D的距离为8．如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为40cm30cm20cm10cm．现有一只蚂蚁从点B出发，沿着长方体的表面爬行到点E处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（）A．B．C．50cm D．45cm【题型3圆柱中的最短路径】【例3】（23-24八年级·广西北海·期中）BC=，点P移动9．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若6的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（）A．4B．4p C．8D．10【变式3-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）10．如图，已知圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为dm．【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）BC=，11．如图，圆柱底面圆的周长为6cm，CD、AB分别是上、下底面的直径，高3cm用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．【变式3-3】（23-24八年级·广西河池·阶段练习）12．如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高5AB =，P 点位于圆周顶面13处，小虫在圆柱侧面爬行，从A 点爬到P 点，然后再爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为 ．【题型4 圆锥中的最短路径】【例4】（23-24八年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）13．已知圆锥的底面半径是4cm ，母线长为12cm ，C 为母线PB 的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A 爬到C 的最短距离是 ．【变式4-1】（23-24八年级·河北保定·期末）14．如图，小明用半径为20，圆心角为q 的扇形，围成了一个底面半径r 为5的圆锥.（1）扇形的圆心角q 为 ；（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A 出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程是 .【变式4-2】（23-24·内蒙古赤峰·中考真题）15．某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（）vA．30cm B．cm C．60cm D．20πcm【变式4-3】（23-24八年级·安徽·单元测试）16．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（）A B．C．D．【题型5台阶中的最短路径】【例5】（23-24八年级·重庆九龙坡·期中）17．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B 是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（）A ．60cmB ．80cmC ．100cmD ．140cm【变式5-1】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）18．如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm ，3dm ，3dm ，点M 和点N 是这个台阶上两个相对的端点，M 点有一只蚂蚁，想到N 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N 的最短路程（ ）A ．10dmB ．20dmC ．30dmD ．36dm【变式5-2】（23-24八年级·山东烟台·期中）19．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m ，34m 和14m ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（ ）A ．3.5mB ．4.5mC ．5mD ．5.5m【变式5-3】（23-24八年级·山东济南·期末）20．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm 、长是50cm 、宽是40cm ，一只蚂蚁沿台阶从点A 出发爬到点B ，其爬行的最短线路的长度是 ．【题型6 由垂线段最短求最短路径】【例6】（12-13八年级·浙江杭州·阶段练习）21．如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，4AC BC ==，点D ，E 分别是AB 、AC 的中点，在CD上找一点P ，连接AP 、EP ，当AP EP +最小时，这个最小值是 ．【变式6-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）22．如下图，某国道通过A 、B 两个村庄，而C 村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C 村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知C 村到A 、B 两村的距离分别为6km 、8km ，A ，B 两村的距离为10km ，那么这条水泥路的最短距离为多少？【变式6-2】（23-24·四川宜宾·模拟预测）23．如图A ，B ，C 为三个村庄，A ，B 两村沿河而建且相距17千米，A ，C 相距B ，C 相距13千米，C 村需从河边修建一条引水渠到村庄，每千米造价1.5万元，则费用最低为（ ）万元A ．6BC ．4.5D ．7.5【变式6-3】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）24．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，3AC =，4BC =，5AB =，AD 平分CAB Ð交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为 ．【题型7 由将军饮马求最短路径】【例7】（23-24八年级·福建宁德·阶段练习）25．如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是 km ．【变式7-1】（23-24八年级·云南昭通·期中）26．如图，河CD 的同侧有A 、B 两个村，且AB =，A 、B 两村到河的距离分别为2km AC =，6km BD =．现要在河边CD 上建一水厂分别向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w （元）．【变式7-2】（15-16八年级·江苏无锡·阶段练习）27．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a 、b 、c ．显然，90DAB B Ð=Ð=°，AC DE ^．请用a 、b 、c 分别表示出梯形ABCD 、四边形AECD 、EBC V 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：ABCD S =梯形______，EBC S =△______，AECD S =四边形______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理222a b c +=．知识运用：（1）如图2，铁路上A 、B 两点（看作直线上的两点）相距40千米，C 、D 为两个村庄（看作两个点），AD AB ^，BC AB ^，垂足分别为A 、B ，25AD =千米，16BC =千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若40AB =千米，24AD =千米，16BC =千米，要在AB 上建造一个供应站P ，使得PC PD =，求出AP 的距离．()016x <<．【变式7-3】（23-24八年级·福建福州·期中）28．如图，已知直线a b ∥，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，12AB =，试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足M N a ⊥且AM MN NB ++的长度和最短，则此时AM NB += ．【题型8 不规则图形中求最短路径】【例8】（23-24八年级·云南昆明·期中）29．如图，教室墙面ADEF 与地面ABCD 垂直，点P 在墙面上，若PA =米，2AB =米，点P 到AF 的距离是4米，一只蚂蚁要从点P 爬到点B ，它的最短行程是（ ）米A B C ．5D 【变式8-1】（23-24八年级·河南郑州·期末）30．在一个长11cm ，宽5cm 的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD ，它的底面边长为1cm 的等边三角形，一只蚂蚁从点A 处到点C 处的最短路程是 cm ．【变式8-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）31．如图是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘20m ==AB CD ，点E 在CD 上，4m =CE ，一滑行爱好者从A 点滑行到E 点，则他滑行的最短距离为 m （π的值为3）．【变式8-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）32．固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A 爬行到点B 的最短路程为（ ）A．+B．4+C．2D．41．()2.5s 【分析】把正方形的点A 所在的面展开，然后在平面内，由于展开图有两种情况：在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2；一条直角边长等于4，另一条直角边长等于3；利用勾股定理求点A 和点B 间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．再比较即可得到答案．【详解】解：如图所示，分两种情况讨论：①如图1，将正方体的正前和右侧两面展开，使点A ，B 在同一平面内．则点A 到点B 的最短路径是线段AB ，由题意，得4cm =AO ，3cm BO =，根据勾股定理，得()5cm AB ===；②如图2，将正方体的正前和上底两面展开，使点A ，B 在同一平面内，则点A 到点B 的最短路径为线段AB ，由题意，得2cm AO =，5cm BO =，根据勾股定理．得)cm AB ===．5>，∴图1中的路径最短，∴这只蚂蚁至少要爬行的时间为()52 2.5s ¸=．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎么爬行最近”这类问题的关键．2．B【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键．【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM 爬行路程最短，2BC =Q ，M 为BC 的中点，3,2M D A D \==，A M \==故选：B ．3．C【分析】此题考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A 和D 点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于3个棱长，利用勾股定理可求得，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”解题的关键．【详解】如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AD 即为最短路线，展开后由勾股定理得：222AD AM DM =+，∴22296117AD =+=，即有：)cm AD =，故选：C ．4．．【分析】求出两种展开图PA 的值，比较即可判断；【详解】解：如图，有两种展开方法：方法一∶PA ==，方法二∶PA ==．故需要爬行的最短距离是．故答案为：．【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．5．C【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线．【详解】解：AB 就是蚂蚁爬的最短路线．但有三种情况：当：3AD =，4610DB =+=．AB ．当4=AD ，639DB =+=．AB ．当6AD =，347DB =+=AB ．>>∴第三种情况最短．故选：C ．6．【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，8AA n ¢=米，6A B ¢=米，由勾股定理得，AB ===（米）；故答案为：．7．10【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为AC 的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键．【详解】解：如图，将长方体侧面展开得，\蚂蚁的爬行的最短路径为AC 的长，538AB \=+=（cm ），AC \==10=，\蚂蚁的爬行的最短路径为10cm ，故答案：10．8．C【分析】考虑蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点E ，从正面和右侧面沿直线爬到点E ，从左侧面和上面沿直线爬到点E ，画出图形，利用勾股定理求出距离，进行比较即可解答．【详解】解：当蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点E ，如图所示：此时40cm 20cm BC CD ==，，则30cm EC ED DC =+=，50cm BE \==；当蚂蚁从正面和右侧面沿直线爬到点E ，如图所示：此时20cm,40cm AB AD ==，则50cm AE AD DE =+=，BE \==；从左侧面和上面沿直线爬到点E ，如图所示：此时20cm,40cm AB AD ==，则60cm BD AB DA =+=，BE \==；50<<Q \蚂蚁需要爬行的报短距离是50cm ，故选：C ．【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．9．C【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接AS ，再利用勾股定理即可得出AB 的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键．【详解】解：如图，连接AS ，在圆柱的侧面展开图ABCD 中，6BC =，BC AB ^，设AB x =，∵点P 移动的最短距离为5，∴5AS =，∵点S 是BC 的中点，∴116322BS BC ==´=，∴4AB ===，∴圆柱的底面周长为：2248AB =´=．故选：C ．10．【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC 的长度．∵圆柱底面的周长为12dm ，圆柱高为9dm ，∴9dm,6dm AB BC BC ¢===，∴22296117AC =+=，∴AC =，∴这圈金属丝的周长最小为2AC =．故答案为：．11．【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，把立体图形展开成平面图形，依题意，从A 到C 缠绕了一圈半，则 1.569cm AB =´=，3cm BC =，根据两点之间线段最短求出AC 长即可解决问题．【详解】解：如图所示，∵无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.569cm AB =´=，3cm BC =，由勾股定理得：AC ===故答案为：．12．1313【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．【详解】解：如图，根据题意，5AB CD ==，AC BD ==36182=，∵P 点位于圆周顶面13处，∴136123BP =´=，6PD BD BP =-=，∴小虫爬行的最短路程13AP PC =+==故选：13．13．【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是8cm p ，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是120°，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得．【详解】解：圆锥的底面周长是：()248cm p p ´=，则128180n p p ´=120n =°，即圆锥侧面展开图的圆心角是120°，如图所示，∴60APB Ð=°，∵PA PB =，∴PAB V 是等边三角形，∵C 是PB 的中点，∴AC PB ^，∴90ACB Ð=°，∵在圆锥侧面展开图中12AP cm =，6PC cm =，∴在圆锥侧面展开图中：)AC cm ===，∴蚂蚁在圆锥侧面上从A 爬到C 的最短距离是：，故答案为：．【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算．14． 90°##90度 【分析】（1）由于圆锥的底面圆周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角；（2）根据两点之间线段最短，把圆锥的侧面展开成平面图形，构造直角三角形根据勾股定理即可求得．【详解】解（1）Q 圆锥的底面周长2π510π=´=，π2010π180q ´\=，解得90q =°；故答案为90°．（2）圆锥的侧面展开图如图所示，构造Rt AOA ¢V ，根据两点之间线段最短得最短路程为：=．故答案为【点睛】本题考查了最短路径问题，根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，在平面图形上构造直角三角形是解题的关键．15．B【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为10，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为120°，进而即可求解．【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为20πcm ，∴2π=20πr解得：10r =∵π3020π180n ´=解得：120n =∴侧面展开图的圆心角为120°如图所示，AC 即为所求，过点B 作BD AC ^，∵120ABC Ð=°，BA BC =，则30BAC Ð=°∵30AB =，则15BD =∴AD =2AC AD ==故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为120°解题的关键．16．C【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以A 为圆心，以AB 为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后90BAC Ð=°，连接BP ，根据勾股定理求出BP 即可．【详解】解：圆锥底面是以BC 为直径的圆，圆的周长是6BC p p =，以AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以A 为圆心，以AB 为半径的扇形，弧长是6l p =，设展开后的圆心角是n °，则66180n p p ´=，解得：180n =，即展开后1180902BAC Ð=´°=°，132AP AC ==，6AB =，则在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长就是展开后线段BP 的长，由勾股定理得：BP ===故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．17．C【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出AB的长即可得出结论．【详解】解：如图所示，()3010301080cm+++=，()AB==．100cm故选C．18．C【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，∵它的每一级的长宽高分别为24dm,3dm,3dm,∴30dmMN==即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是30dm，故选：C．19．C【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算AB 的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【详解】解：如下图，将台阶展开为矩形，线段AB 恰好是直角三角形的斜边，则4m AC =，3133m 44BC æö=+´=ç÷èø，在Rt ABC △中，5m AB ===，所以蚂蚁所走的最短路线长度为5m ．故选：C ．20．130cm【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．【详解】解：将台阶展开成平面图形：在Rt ABC △中，50cm AC =，120cm BC =，()130cm AB ===，其爬行的最短长度()130cm AB =，故答案为：130cm ．21．【分析】连接BE ，BP ，根据等腰三角形的性质可得CD 垂直平分AB ，从而得到AP =BP ，进而得到BE 就是PA PE +的最小值，再由勾股定理求出BE ，即可求解．【详解】解：如图，连接BE ，BP ，∵4AC BC ==，点是的中点，∴CD 垂直平分AB ，∴AP =BP ，∴AP +PE =BP +PE ≥BE ，∴BE 就是PA PE +的最小值，∵Rt ABC V 中，4AC BC ==，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴2CE =，∴BE ==∴PA PE +的最小值是．故答案为：【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识是解题的关键．22．这条水泥路的最短距离为4.8km【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，根据垂线段最短确定这条水泥路的最短距离是解本题的关键；过点C 作CD AB ^，根据垂线段最短可知这条水泥路的最短距离为CD 的长度，利用勾股定理的逆定理得ABC V 为直角三角形，然后利用面积相等即可求解．【详解】解：过点C 作CD AB ^，垂足为D 点，则这条水泥路的最短距离为CD 的长度，，在ABC V 中，6km AC =，8km BC =，10km AB =，则2226810+=，即：222AC BC AB +=，∴ABC V 为直角三角形，1122ABC S AB CD AC BC =×=×V Q ∴()68 4.8km 10AC BC CD AB ´´===，\这条水泥路的最短距离为4.8km ．23．D【分析】本题主要考查了勾股定理，正确理解勾股定理的含义是解题关键．过点C 作CH AB ^，设AH x =千米，则()17BH x =-千米，由勾股定理可得2222AC AH BC BH -=-，列出方程求解，再用勾股定理求出CH 即可得出答案．【详解】如图，过点C 作CH AB ^，设AH x =千米，则()17BH x =-千米，222222,CH AC AH CH BC BH =-=-Q ，2222AC AH BC BH \-=-，(()22221317x x \-=--，5x \=，5AH \=千米，5CH \===（千米），\费用最低为5 1.57.5´=万元．故选：D24．125【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在AB 上取点F ¢，使AF AF ¢=，过点C 作CH AB ^，垂足为H ．因为EF CE E C F E +=¢+，推出当C 、E 、F ¢共线，且点F ¢与H 重合时，FE EC +的值最小．【详解】解：如图所示：在AB 上取点F ¢，使AF AF ¢=，∵,FAE F AE AE AE ¢Ð=Ð=,∴()SAS FAE F AE ¢V V ≌,∴EF EF ¢=.在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC Ð=°==\5AB ==．过点C 作CH AB ^，垂足为H ．1122AC BC AB CH ×=×Q ，\125AC BC CH AB ×==，∵EF CE E C F E +=¢+，∴当C 、E 、F ¢共线，且点F ¢与H 重合时，EF EC +的值最小，最小值为CH 的长，EF EC +的值最小为125，故答案为：125．25．17【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN ，由题意先作A 关于MN 的对称点，连接A `B ，构建直角三角形，则A `B 就是最短路线；在Rt △A `DB 中，∠A `DB =90°，BD =8km ，A `D =AD +A `A ，利用勾股定理即可求出A `B ．【详解】如图，做出点A 关于小河MN 的对称点A `，连接A `B 交MN 于点P ，则A `B 就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．在Rt △A `DB 中，由勾股定理求得()`km A B ．则他要完成这件事情所走的最短路程是17km ．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．26．20000元【分析】作A 点关于CD 的对称点为A ¢，连接A B ¢交CD 于点O ，过点A 作AF BD ^于点F ，过点A ¢作A E BD ¢^交BD 的延长线于点E ，分别利用勾股定理求出AF 和A B ¢的长即可．【详解】解：如图，作点A 关于CD 的对称点A ¢，连接BA ¢交CD 于O ，点O 即为水厂的位置．分过点A ¢作A E CD ¢∥交BD 的延长线于点E ，过点A 作AF BD ^于点F ，则AF A E =¢，2km DF AC ==，2km DE A C =¢=．∴()624km BF BD FD =-=-=．在Rt ABF V 中，(22222436AF AB BF =-=-=，∴6km AF =，∴6km A E ¢=．在Rt A BE ¢V 中，8km BE BD DE =+=，由勾股定理得()10km A B ===¢．∴20001020000w =´=（元）．故铺设水管的总费用为20000元．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．27．小试牛刀：()12a a b +；()12b a b -；212c ；()()2111222a a b b a b c +=-+；知识运用：（1）41；（2）16AP =（千米）；知识迁移：20．【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；知识运用：（1）连接CD ，过点C 作AD 的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得CD ．（2）作CD 的垂直平分线，交AB 于点P ，分别在Rt APD V 和Rt PBC V 中用勾股定理表示出CP 与PD 联立方程求解即可．知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可．【详解】解：小试牛刀：()12ABCD S a a b =+梯形， ()12EBC S b a b =-V ， 212AECD S c =四边形， 则它们满足的关系式为：()()2111222a ab b a bc +=-+．知识运用：（1）如图2①，连接CD ，作CE AD ^于点E ，40AB EC ==Q ，16AE BC ==，9ED \=，有勾股定理得到：222DE CE CD +=41CD \==（千米）∴两个村庄相距41千米．（2）连接CD ，作CD 的垂直平分线交AB 于点P ，设AP x =千米，则()40BP x =-千米，在Rt ADP V 中，2222224DP AP AD x =+=+ ，在Rt BPC △中，()222224016CP BP BC x =+=-+，∵PC PD =，∴()2222244016x x +=-+，解得，16x =，即16AP =千米．知识迁移：如图3，过AB 作点C 的对称点C ¢，连接DC ¢交AB 于点P ，过C ¢作C E AB ¢∥，根据对称性：3AE BC BC ¢===，设PB x =，则16AP x =-，有勾股定理得，PC PC ¢==DP =∴20DC DP PC ¢¢=+==．【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目．28．【分析】MN 表示直线a 与直线b 之间的距离，是定值，只要满足AM NB +的值最小即可．过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A ¢，使得AA MN ¢=，连接A B ¢，则A B ¢与直线b 的交点即为N ，过N 作M N a ⊥于点M ．则A B ¢为所求，利用勾股定理可求得其值．【详解】解：过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A ¢，使得4AA ¢=，连接A B ¢，与直线b 交于点N ，过N 作直线a 的垂线，交直线a 于点M ，连接AM ，过点B 作BE AA ¢^，交射线AA ¢于点E ，如图．AA a ¢^Q ，M N a ⊥，N AA M \¢^．又4AA MN ¢==Q ，\四边形AA NM ¢是平行四边形，AM A N ¢\=．由于AM MN NB ++要最小，且MN 固定为4，所以AM NB +最小．。
专题3-3 勾股定理的简单应用-重难点题型(举一反三)(苏科版)(解析版)
专题3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型【苏科版】【题型1 勾股定理的应用（最短路径问题）】【例1】（2021春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB，则问题是求AB的长，根据已知数据得出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可完成解答．【解答】解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长．在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）．由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329．所以AB＝73（cm）．因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm．【点评】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．【变式1-1】（2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB=12底面周长=12×π×16π=8（cm），BP=12BC＝6（cm），所以AP=√82+62=10（cm），故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．【点评】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．【变式1-2】（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=√202−162=12（cm），则该圆柱底面周长为24cm．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【变式1-3】（2020秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【分析】利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【解答】解：如图1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN=√122+162=20（cm）；如图2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN=√182+102=2√106（cm）．如图3中，MN=√222+62=2√130（cm），∵20＜2√106＜2√130，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．【题型2 勾股定理的应用（方位角问题）】【例2】（2020秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【分析】根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度．【解答】解：∵甲的速度是30海里/时，时间是2小时，∴AC＝60海里．∵∠EAC＝35°，∠F AB＝55°，∴∠CAB＝90°．∵BC＝100海里，∴AB=√1002−602=80海里．∵乙船也用2小时，∴乙船的速度是40海里/时．【点评】此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答．【变式2-1】（2020春•孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，根据勾股定理解答即可．【解答】解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，∴AO⊥BO，∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，∴OB＝20×2＝40（海里），∵AB＝50海里，在Rt△AOB中，AO=√AB2−OB2=√502−402=30，∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．【变式2-2】（2020春•鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治．已知C岛在基地A的北偏东58°方向且距基地A32海里，在B处的北偏西32°的方向上．军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里．问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？【分析】先根据方向角得出△ACD是直角三角形，在Rt△ACB中，根据勾股定理可求BC，则AC+CB 即可求得，然后除以速度即可得到时间．【解答】解：根据题意，得∠CAB＝32°，∠CBA＝58°，则∠C＝180°﹣32°﹣58°＝90°，在Rt△ACB中，BC=√AB2−AC2=24（海里），则AC+CB＝32+24＝56（海里），56÷40＝1.4（小时）．故至少需要1.4小时长时间能把患病渔民送到基地．【点评】考查了方向角，勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长．【变式2-3】（2020春•灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC 为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．【解答】解：（1）由题意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，AC＝120×660=12（海里），BC＝50×660=5（海里），∵AB＝13（海里），∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝67°，∴∠CAB＝23°，∴甲的航向为北偏东67°；（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360=6（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×360=2.5（海里），3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：√62+2．52=6.5（海里）．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形是解题的关键．【题型3 勾股定理的应用（范围影响问题）】【例3】（2021春•江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由．【分析】由勾股定理计算出小汽车4秒行驶的路程，再计算出速度，比较即可．【解答】解：如图，AB＝21，BC＝75，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√BC2−AB2=√752−212=72m，72÷4＝18米/秒＝64.8千米/时＞60千米/时，∴超速了．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．【变式3-1】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP ＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．【解答】解：小明能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴小明能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=√10002−6002=800（米），∴PQ＝1600米，∴小明听到广播的时间为：1600÷250＝6.4（分钟），∴他总共能听到6.4分钟的广播．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．【变式3-2】（2020秋•雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD=150×200250=120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=√EC2−CD2=√1302−1202=50（m），∴EF＝100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【变式3-3】（2020秋•内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED=√EC2−CD2=70（km），∴EF＝140km，∵台风的速度为20千米/小时，∴140÷20＝7（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【题型4 勾股定理的应用（梯子问题）】【例4】（2021春•前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°；根据勾股定理，得BC=√172−82=15（米），∴BD＝15+1.5＝16.5（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【变式4-1】（2020秋•玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．【分析】设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，由题意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣1）2+42＝x2解得x＝8.5∴AC＝8.5m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．【变式4-2】（2020秋•阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度．【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．答：教学楼走廊的宽度是2.2米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式4-3】（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解答】解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO=√AB2−OB2=2（米）；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），根据勾股定理：OB′=√A′B′2−OA′2=2（米），所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【题型5 勾股定理的应用（九章算术问题）】【例5】（2021春•合肥期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55．答：原处还有4.55尺高的竹子．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．【变式5-1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺，水深12尺．【点评】此题主要考查学生对题意的理解，熟悉数形结合的解题思想．【变式5-2】（2020春•安庆期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC +AB ＝10，BC ＝4，求AC 的长．【分析】直接利用勾股定理进而得出AC 的长．【解答】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∵AC +AB ＝10，BC ＝4，设AC ＝x ，则AB ＝10﹣x ，∴x 2+42＝（10﹣x ）2，解得：x =215，答：AC 的长为215．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出等式方程是解题关键．【变式5-3】（2020•庐阳区一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？【分析】设经x 秒二人在B 处相遇，然后利用勾股定理列出方程即可求得甲乙两人走的步数．【解答】解：设经x 秒二人在B 处相遇，这时乙共行AB ＝3x ， 甲共行AC +BC ＝7x ， ∵AC ＝10，∴BC ＝7x ﹣10，又∵∠A＝90°，∴BC2＝AC2+AB2，∴（7x﹣10）2＝102+（3x）2，∴x＝0（舍去）或x＝3.5，∴AB＝3x＝10.5，AC+BC＝7x＝24.5，答：甲走了24.5步，乙走了10.5步．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，尤其本题中的文言文更不容易理解．【题型6 勾股定理的应用（其他问题）】【例6】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【分析】如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：不正确；理由：如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2＝CB2，∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式6-1】（2020秋•宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．【变式6-2】（2021春•越秀区校级期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，所以，CD＝15（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，答：风筝的高度CE为16.6米；（2）由题意得，CM＝9，∴DM＝6，∴BM=√DM2+BD2=√82+62=10，∴BC﹣BM＝7，∴他应该往回收线7米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．【变式6-3】（2020秋•荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC ＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．【分析】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：能通过；理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，则OP＝0.8m，OE＝1m，∠OPE＝90°，在Rt△OPE中，由勾股定理得，EP2＝OE2﹣OP2＝1﹣0.82＝0.36，∴EP＝0.6（m），∴EF＝0.6+1.8＝2.4（m），∵2.4＞2.3，∴运输车通过储藏室的门．【点评】本题考查了勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。
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最短距离：
1.(本小题10分)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB=CD=16，点E在CD上，CE=4，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为( )(π按3计算)
A. 15
B.
C.
D. 21
2.如图，圆柱底面半径为，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根棉线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为( ) A. 12cm B. C. 15cm D.
3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( )
A. 13寸
B. 40寸
C. 130寸
D. 169寸
4. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行
的最短路线的长为( )
A. 20
B. 22
C. 28
D. 18
5. 如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm．当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），若筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm．
A. 8，7
B. 8.5，7.5
C. 9，8
D. 10，9
6. 如图，将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中，能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm．
A. 13
B. 12
C. 15
D. 16
7. 一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方形），则装满货物后卡车的最大高度为( )米．
A. 5.2
B. 5.8
C. 7.6
D. 5.4
8.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工厂门口的道路为双行道（双行道中间隔离带忽略不计）．要想使宽为1.5米，高为3.1米的卡车安全通过，那么此大门的宽度至少应增加
多少米？
9. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm．
10. 如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个
侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm．。