勾股定理的应用 最短距离
足
。
3.平面内两点之间
最短。
创设情境，导入新课
教 学B 楼
行政楼 A
从行政 楼A点走 到教学 楼B点怎 样走最 近？
你能说出 这样走的 理由吗？
一、设疑自探
（ 请同学们自学例1，提出你还不明白的问题 ）
例1、如图一圆柱体底面周长为 20cm,高AB为4cm,BC是 上底面的直径。一只蚂蚁从 A点出发，沿着圆柱的表面 爬行到 C点，试求出爬行的最短路径。
此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿 4cm
与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离
为多少? 蚂蚁A
A1 M
A
C蜂蜜 H
C
四、课堂小结
本节你学会了什么数学思想 ?学会了怎样的 解题路？
实际问题
转化
数学问题
直角三角形
作业
1.如图,一圆柱高 9cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从距上
底面 1厘米点 A爬到对角 B处吃食 ,要爬行的最短路程
A
A
B
B
C
三、质疑再探
变式训练 3：如图，一圆柱体底面周长为20cm, 高AB为
4cm, 把问题改成: ,点B在上底面上且在点A的正上方,蚂蚁 从点A出发绕圆柱侧面一周到达点B,此时它需要爬行的最 短路程又是多 少？
B
B
A A
（拓展提高）
如图：圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为
18cm,在杯子内壁离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，
( ? 取3）是(
)
A.20cm
B.10cm
C.14cm D.无法确定
A
A
B
C
B
2.如图，已知圆 柱体的底面圆的半径
为
4
?
，高AB=3，AD、BC分别是两底面的直径。
若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，
则小虫爬行的最短路线的长度
是 5 。（结果保留根式）
（该题是 2012年广东省中考题改）
B
C
A
D
自学提示
? 自学课本P120的例1解决如下问题 ? ⑴ 如何找最短路线？在哪个图形中找 ? ⑵ 哪儿是蚂蚁爬行的起点？哪是终点？ ? (3 )如何计算?答案是多少？
B
C
B
C
B
4
A
D
20÷2Aຫໍສະໝຸດ DA思路小结：
圆柱体 展开 （立体图形）
矩形 构建 (平面图形)
转化
应用勾股定理
直角 三角形
? 请你自编一道类似的题目，与同学们分享
勾股定理
勾股定理的应用
最短距离问题
1、 通过动手研究能把立体图形中的问题 转化为平面上的问题
2、能够运用勾股定理求圆柱表面的最短 距离
3、体会转化的数学思想
复习回顾
1、前面我们已经学习了勾股定理，你能说出勾股定理的 内容吗？它的表达式是什么？
勾股定理的内容:
。
2.若直角三角形的两条直角边的长分别为 a、b, 斜边c, 则满
二、解疑合探
（变式训练一）
如图一圆柱体底面周长为20cm, 高为4cm, 把问题改成:点A 在距下底面1㎝处,一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的表面 爬行到B点，此时它需要爬行的最短路程又是多 少？
B A
C
B
A
（变式训练二）
如图，一圆柱体底面周长为20cm,高为4cm,把问题改 成: ,一只蚂蚁从距上底面1㎝处的点A爬到对角距下底 面2cm的B处吃食,要爬行的最短路程是( )
勾股定理的应用(最短路径问题)(2)
AB= 32+32 = 18=3 2；
(2)经过前(后)面和右（左）面;
AB= 52 +12 = 26 ；
32
(3)经过左（右）面和上（下）底面.
AB 22 42 20 2 5 .
A
3
26
B
A
3
1
25
B
2
1
C B 1
2C
B 2
A
3
2
A1
3
C
Q 3 2 2 5 26 最短路程是3 2 .
四）阶梯（组合几何体）问题
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、
3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂
蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短
路程是2__5________dm.
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
32B3源自2 ＢAB= AC2+BC2 = 202+152 = 625=25 dm
C1
（三条棱长如图所 示），问怎样走路
最短路程是5.
A1 D
1 B1
C
线最短？最短路线 长为多少？
A
A1
5
b2
4
a A1
41
37
B141c
B
A
如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c（a＞b＞c），
你能求出蚂蚁从顶点A1到C的最短路径吗？
练习2：如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为
20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是_______2c5m.
专题一 勾股定理(解析版)
八年级北师大版上册第一章勾股定理培优专题一、勾股定理的应用（最短路径）1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18，BC=12，BF=10，点M在棱AB上，且AM=6，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程的平方为（）A．400B．424C．136D．324【答案】A【解析】【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【详解】解：如图1，∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，∵BM=18-6=12，BN=10+6=16，∵MN2=122+162=400如图2，∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，∵PM=18-6+6=18，NP=10，∵MN2=182+102=424．∵因为400<424，所以蚂蚁沿长方体表面从点M爬行到点N的最短距离的平方为400.故选：A．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．2．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．【答案】15.【分析】过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E，A′P=AP，∵AP+PC=A′P+PC=A′C，∵CQ=12×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，在Rt∵A′QC中，由勾股定理得：，故答案为15．3．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；(2)试求小虫爬行的最短路程．【答案】(1)如图所示见解析，AQ→QG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm.【分析】(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.【详解】(1)如图所示,AQ→QG为最短路线,(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,所以小虫爬行的最短路程为100cm.【点睛】本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.勾股定理的实际应用4．有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米.（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由.（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？【答案】(1)能通过，理由见解析；(2) 桥洞的宽至少应增加到2.6米.【分析】（1）如图①，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得方程2220.81x +=，解出x 的值，再用x +2.3与卡车的高2.5作比较即可；（2）如图②，在直角三角形AOB 中，已知OB =1.2，AB =2.8－2.3=0.5，由此可求OA 的长，即桥洞的半径，再乘以2即得结果.【详解】解：（1）能通过.理由如下：如图①所示，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得2220.81x +=，解得0.6x =，∵2.5 2.30.6<+，∵卡车能通过.（2）如图②所示，在直角三角形AOB 中，已知OB =1.2，AB =2.8－2.3=0.5，由勾股定理得：22221.20.5 1.3OA =+=，∵ 1.3OA =，∵桥洞的宽至少应增加到1.32 2.6⨯=（米）.① ②【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，画出图形，弄清相关线段所表示的实际数据. 5．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，公路PQ 上点A 处有学校，点A 到公路MN 的距离为80m ，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？【答案】24s.【解析】试题分析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt∵ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．试题解析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA=DA=100m，在Rt∵ABC中，CB60(m)，∵CD=2CB=120m，∵18km/h=18000m/3600s=5m/s，∵该校受影响的时间为：120÷5=24（s）．答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．6.如图是某体育广场上的秋千，秋千静止时，其下端离地面0.7m，秋千荡到最高位置时，其下端离地面1.2 m，此时秋千与静止位置时的水平距离为1.5 m，请你根据以上数据计算秋千摆绳的长度．【答案】2.5m ．【分析】根据题意画出图形，表示出图形中相关线段的长，再利用勾股定理得出答案．【详解】解：如图，作BE∵OA ，垂足为E ，由题意得，0.7m AC =， 1.2m BD =， 1.5m BE =，∵ 1.2m CE BD ==， 1.20.70.5(m)AE =-=．设m OA OB x ==，则(0.5)m OE x =-．在Rt OBE 中，由勾股定理得，222OE O E B B -=，即222(0.5) 1.5x x --=，解得 2.5x =．答：秋千摆绳的长度为2.5m ．二、勾股定理与几何问题的应用7．如图，把长方形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∵FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则长方形ABCD 的边BC 的长为( )A ．20B ．22C ．24D ．30【答案】C【详解】 由折叠得： ,,FP BF CH PH ==在Rt PHF ∆ 中，∵FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则10.FH == 故BC=BF+FH+HC=6+8+10=24. 故选C.8．如图，在四边形ABCD 中，AD∵BC ，∵ABC+∵DCB=90°，且BC=2AD ，分别以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3．若S 2=48，S 3=9，则S 1的值为（ ）A．18B．12C．9D．3【答案】D【分析】过A作AH∵CD交BC于H，根据题意得到∵BAE=90°，根据勾股定理计算即可．【详解】∵S2=48，∵BC A作AH∵CD交BC于H，则∵AHB=∵DCB．∵AD∵BC，∵四边形AHCD是平行四边形，∵CH=BH=AD AH=CD=3．∵∵ABC+∵DCB=90°，∵∵AHB+∵ABC=90°，∵∵BAH=90°，∵AB2=BH2﹣AH2=3，∵S1=3．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．如图，在∵ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A．m2B．m2+1C．2m2D．（m+1）2【答案】A【分析】如图，作AD∵BC交BC于D，根据勾股定理得AB2=BD2+AD2，AP2=PD2+AD2，再根据D是BC的中点，整理得到AB2﹣AP2=PB•PC，再把AB=m代入求解即可.【详解】解：如图，作AD∵BC交BC于D，AB2=BD2+AD2 ①，AP2=PD2+AD2 ②，①﹣②得：AB2﹣AP2=BD2﹣PD2，∵AB2﹣AP2=（BD+PD）（BD﹣PD），∵AB=AC，∵D是BC中点，∵BD+PD=PC，BD﹣PD=PB，∵AB2﹣AP2=PB•PC，∵PA2+PB•PC=AB2=m2．故选A.10．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBE '∆的位置，若1,2,3AE BE CE ===，求BE C '∠的度数．【答案】135︒【分析】连接EE`,如图,根据旋转的性质得BE=B E'=2,AE=C E'=1,∵EBE`=90°,则可判断∵BEE`为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得在∵CE E'中,由于CE`2 +E E'2=CE 2,根据勾股定理的逆定理得到∵CEE`为直角三角形,即∵EE`C=90°,然后利用∵B E'C=∵B E'E+∵C E'E 求解【详解】连接EE`,如图,∵∵ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到∵CBE`∵BE=BE'=2,AE=CE'=1,∵EB E'=90°∵∵BE E'为等腰直角三角形在∵CEE`中∵122=32∵CE 2+E E'2= CE 2∵∵CE E'为直角三角形∵∵E E'C=90°∵∵B E'C=∵B E'E+∵C E'E=135°【点睛】此题考查了等腰直角三角形，勾股定理的逆定理，正方形的性质和旋转的性质，利用勾股定理证明三角形是直角三角形是解题关键11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12315S S S ++=，则2S 的值是__________．【答案】5【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．【详解】解：将四边形M TKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x ，24S y x ，3S x =， 12331215S S S x y ，故31215x y， 154=53x y ， 所以245S x y ， 故答案为：5．【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12315S S S ++=求出是解决问题的关键．12．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，以BP 为边作60PBQ ∠=︒，且BQ=BP ，连接CQ.若::3:4:5PA PB PC =，连接PQ ，试判断PQC △的形状，并说明理由.【答案】PQC △是直角三角形,理由详见解析【解析】【分析】先利用SAS 证明∵ABP ∵∵CBQ ，得到AP=CQ ；设PA =3a ，PB =4a ，PC =5a ，由已知可判定∵PBQ 为正三角形，从而可得PQ =4a ，再根据勾股定理的逆定理即可判定∵PQC 是直角三角形．【详解】解：PQC △是直角三角形. 理由如下：在ABP △与CBQ △中，∵AB CB =，BP BQ =，60ABC PBQ ∠=∠=︒，∵ABP ABC PBC PBQ PBC CBQ ∠=∠-∠=∠-∠=∠.∵ABP CBQ ≌△△.∵AP CQ =.∵::3:4:5PA PB PC =，∵设3PA a =，4PB a =，5.PC a =在PBQ △中，由于4PB BQ a ==，且60PBQ ∠=︒，∵PBQ △为等边三角形.∵4PQ a =.在PQC △中，∵22222216925PQ QC a a a PC +=+==，∵PQC △为直角三角形.【点睛】此题考查了等边三角形的性质、勾股定理逆定理和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证明ABP CBQ≌△△得出AP=CQ.13．已知：如图，∵ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA∵CA于A．求：BD的长．【答案】7 2【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x．在Rt∵ADE和Rt∵ADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，继而代入求出x的值即可．【详解】如图,过点A作AE∵BC于点E，∵AB=AC=10，BC=16，∵BE=CE=8，在Rt∵ACE中，利用勾股定理可知：AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x，又DA∵CA，在Rt∵ADE和Rt∵ADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，代入为：62+（8﹣x）2=（16﹣x）2﹣102，解得：x=72．即BD=72．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在Rt∵ADE和Rt∵ADC中分别利用勾股定理，列出等式AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2．14．已知：AB=AC，且AB∵AC，D在BC上，求证：2222BD CD AD+=．【答案】证明见解析【分析】作AE∵BC于E，由于∵BAC=90°，AB=AC，得到∵BAC是等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质得到BE=AE=EC，进而得到BD= AE－DE，DC= AE+DE，代入BD2+CD2计算，结合勾股定理，即可得到结论．【详解】作AE∵BC于E，如图所示．∵AB=AC，且AB∵AC，∵∵BAC是等腰直角三角形．∵AE∵BC，∵BE=AE=EC，∵BD=BE －DE=AE－DE，DC=EC+DE= AE+DE，∵BD2+CD2= （AE－DE）2+（AE+DE）2= AE2+DE2-2AE•DE+ AE2+DE2+2AE•DE= 2AE2+2DE2= 2（AE2+DE2）=2AD2．【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰直角三角形的性质，关键在于得出BD= AE－DE，DC= AE+DE．三、动点问题15．已知，如图，在Rt∵ABC中，∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1)t为______时，∵PBQ是等边三角形？(2)P，Q在运动过程中，∵PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，∵PBQ是直角三角形？说明理由．【答案】(1)12；(2)当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形，理由见解析.【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．【详解】(1)要使，∵PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ，∵在Rt∵ABC中，∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm．∵AB=36cm，可得：PB=36-2t，BQ=t，解得：t=12故答案为；12(2)当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形，理由如下：∵∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm∵AB=2BC=18×2=36(cm)∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发∵BP=AB-AP=36-2t，BQ=t∵∵PBQ是直角三角形∵BP=2BQ或BQ=2BP当BP=2BQ时，36-2t=2t解得t=9当BQ=2BP时，t=2(36-2t)解得t=72 5所以，当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形．【点睛】此题考查了等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，关键是含30°角的直角三角形的性质的逆定16．如图1，Rt∵ABC 中，∵ACB =90．，直角边AC 在射线OP 上，直角顶点C 与射线端点0重合，AC =b ，BC =a ，30a -=．（1）求a ，b 的值；（2）如图2，向右匀速移动Rt∵ABC ，在移动的过程中Rt∵ABC 的直角边AC 在射线OP 上匀速向右运动，移动的速度为1个单位／秒，移动的时间为t 秒，连接OB ．①若∵OAB 为等腰三角形，求t 的值；②Rt∵ABC 在移动的过程中，能否使∵OAB 为直角三角形？若能，求出t 的值：若不能，说明理由．【答案】（1）a =3，b =4（2）①t =4或t =1；②能．t =94． 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则每一个数都为零，得出b -4=0 ,a -3=0 ,求解即可得出a ,b 的值；（2） ①首先根据勾股定理算出AB 的长及用含t 的式子表示出OA ,OB 2 ，然后分三类讨论：当OB =AB 时；当AB =OA 时 ；当OB =OA 时 ；一一列出方程求解即可得出t 的值； ②能．由于t ＞0，点C 在OP 上，∵ACB = 90，故只能是∵OBA =90°，根据勾股定理得出关于t 的方程求出t 的值即可. 【详解】（1）解0≥,30a -≥， 30a -=，0=， 30a -=∵a=3，b=4（2）解:①∵AC=4，BC=3，∵AB，∵OC=t∵OB2=t2+32=t2+9，OA=t+4，当OB=AB时，t2+9=25，解得t=4或t=﹣4（舍去）；当AB=OA时，5=t+4，解得t=1；当OB=OA时，t2+9=（t+4）2，解得t=-78（舍去）．综上所述，t=4或t=1；②能．∵t＞0，点C在OP上，∵ACB ∵只能是∵OBA=90°，∵OB2+AB2=OA2，即t2+9+25=（t+4）2，解得t=94．∵Rt∵ABC在移动的过程中，能使∵OAB为直角三角形，此时t=94．【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义及分类讨论的数学思想.掌握非负数的性质是解（1）的关键，掌握勾股定理及分类讨论的数学思想是解（2）的关键.四、分类讨论的思想17．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【答案】12，13或3，4．【详解】试题分析：由n=1，得到a= （m 2﹣1）①，b=m②，c=（m 2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，分情况，列方程即可得到结论．试题解析：当n=1，a=12（m 2﹣1）①，b=m②，c=12（m 2+1）③， ∵直角三角形有一边长为5，∵∵、当a=5时，12（m 2﹣1）=5，解得：（舍去）， ∵、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，∵、当c=5时，12（m 2+1）=5，解得：m=±3， ∵m ＞0，∵m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．18．∵ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则∵ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或33 【答案】C【分析】存在2种情况，∵ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在∵ABC的内部和外部【详解】情况一：如下图，∵ABC是锐角三角形∵AD是高，∵AD∵BC∵AB=15，AD=12∵在Rt∵ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∵在Rt∵ACD中，DC=5∵∵ABC的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，∵ABC是钝角三角形在Rt∵ADC中，AD=12，AC=13，∵DC=5在Rt∵ABD中，AD=12，AB=15，∵DB=9∵BC=4∵∵ABC的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.18．如图是某商品的商标，由七个形状、大小完全相同的正六边形组成．我们称正六边形的顶点为格点，已知∵ABC的顶点都在格点上，且AB边位置如图所示，则∵ABC是直角三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】C【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．【详解】如图所示：AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，∵ABC是直角三角形的个数有6+4=10个.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆, 勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握正多边形和圆, 勾股定理的逆定理.。
勾股定理最短路径问题做题技巧
勾股定理是数学中的经典定理，被广泛应用于解决直角三角形中的各种问题。
其中，勾股定理最短路径问题是一个常见而又有一定挑战性的问题，需要我们对勾股定理的应用进行深入理解和掌握。
下面，我将共享一些在做勾股定理最短路径问题时的一些技巧和注意事项，希望能对大家有所帮助。
1. 确定直角三角形在解决勾股定理最短路径问题时，首先需要确定问题中是否存在直角三角形。
通常情况下，我们可以通过问题描述中给出的线段长度或角度信息来判断是否为直角三角形。
一旦确定存在直角三角形，我们便可以应用勾股定理来解决最短路径问题。
2. 确认最短路径在确定了直角三角形后，接下来我们需要确认问题中所要求的最短路径。
这个最短路径可能是直角三角形中的某条边，也可能是直角三角形内部的某一段路径。
在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断最短路径的具体位置。
3. 应用勾股定理一旦确定了直角三角形和最短路径，我们就可以开始应用勾股定理来求解问题了。
勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
我们可以根据勾股定理的这一表达式来进行问题的推理和计算，从而得出最终的最短路径结果。
4. 注意特殊情况在应用勾股定理解决最短路径问题时，我们还需要特别注意一些特殊情况。
当直角三角形的两条直角边长度相等时，斜边也将会最短，这种情况下我们可以直接应用勾股定理来得出结果。
另外，当直角三角形的两条直角边长度有一个为0时，斜边也将为另一条直角边，这时最短路径也就不言而喻了。
5. 结合实际问题当我们应用勾股定理解决最短路径问题时，需要将数学知识与实际问题相结合，确保解答的合理性和可行性。
我们可以通过画图、列方程等方法来辅助求解，从而得出准确的最短路径结果。
在解决勾股定理最短路径问题时，我们需要确保对勾股定理的基本原理有充分的理解，同时要灵活运用对问题进行分析和求解。
希望以上共享的技巧和注意事项能够帮助大家在做题时更加得心应手，解决问题时得心应手。
专题3-3 勾股定理的简单应用-重难点题型(举一反三)(苏科版)(原卷版)
专题3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型【苏科版】【题型1 勾股定理的应用（最短路径问题）】【例1】（2021春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【变式1-1】（2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【变式1-2】（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【变式1-3】（2020秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【题型2 勾股定理的应用（方位角问题）】【例2】（2020秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【变式2-1】（2020春•孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？【变式2-2】（2020春•鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治．已知C岛在基地A的北偏东58°方向且距基地A32海里，在B处的北偏西32°的方向上．军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里．问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？【变式2-3】（2020春•灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【题型3 勾股定理的应用（范围影响问题）】【例3】（2021春•江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由．【变式3-1】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【变式3-2】（2020秋•雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【变式3-3】（2020秋•内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【题型4 勾股定理的应用（梯子问题）】【例4】（2021春•前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？【变式4-1】（2020秋•玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．【变式4-2】（2020秋•阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度．【变式4-3】（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【题型5 勾股定理的应用（九章算术问题）】【例5】（2021春•合肥期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【变式5-1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）【变式5-2】（2020春•安庆期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．【变式5-3】（2020•庐阳区一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？【题型6 勾股定理的应用（其他问题）】【例6】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【变式6-1】（2020秋•宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【变式6-2】（2021春•越秀区校级期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【变式6-3】（2020秋•荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC ＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．。
勾股定理应用之最短路径问题
沿着台阶面爬到B点去吃可口的食物，最短线路是多少？
A
20
CHale Waihona Puke 解：如图，将台阶3
展开， BC=(3+2) ×3=15AC=2
２
0
∵△ABC为直角
3
三角形 2
答：最短路线
3
是25cm。
2
B
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1.在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图， 将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模 型，再运用勾股定理解决实际问题。
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬
行的最短路程。
解：如图，将圆柱体 展开， BC=18÷2=9 AC=1
2 ∵△ABC为直角 三角形
C
B
答：蚂蚁爬行的最短路线
是15cm。
A
最短路径问题
几何体的表面路径的最短的问题，一般将 立体图形展开为平面图形来计算。
勾股定理 --最短路线问
1
1.两点之间，线段最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是长方形,它的一边长是圆 柱的高,它的另一边长是底面圆的周长。
圆柱侧面两点最短路径问题
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求为出什爬么
行的最短路程。
1
1B
B
1
1 1
1
A
1
1
长方体中的最值问题
如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、8。现有一蚂
蚁从顶点A出发，沿长方体表面到达顶点B，蚂蚁走的路程
最短为多少厘米？
最短距离公式
最短距离公式最短距离公式是数学中的一个重要概念，它可以用来计算两个点之间的最短距离。
在实际生活中，最短距离公式被广泛应用于地图导航、工程设计、运输物流等领域。
本文将对最短距离公式的原理、应用和优化进行详细介绍。
一、最短距离公式的原理最短距离公式是基于勾股定理的推导而来的。
勾股定理指的是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
根据勾股定理，我们可以得出最短距离公式的基本形式：d = √((x2-x1) + (y2-y1))其中，d表示两点之间的最短距离，x1和y1分别表示第一个点的横纵坐标，x2和y2分别表示第二个点的横纵坐标。
最短距离公式的原理就是通过勾股定理计算出两点之间的距离。
二、最短距离公式的应用1.地图导航地图导航是最短距离公式的常见应用之一。
在地图上，我们可以将地点的坐标表示为经纬度或平面直角坐标系中的坐标，通过最短距离公式计算两个地点之间的距离，从而确定最短路径。
地图导航软件如高德地图、百度地图等都是基于最短距离公式实现的。
2.工程设计在工程设计中，最短距离公式可以用来计算两个点之间的距离，从而确定物体的大小、位置、形状等参数。
例如，在建筑设计中，可以利用最短距离公式计算出建筑物的高度、宽度、长度等参数；在机械设计中，可以利用最短距离公式计算出机械零件之间的距离，从而确定机械的尺寸和形状。
3.运输物流在运输物流中，最短距离公式可以用来计算货物的运输距离、时间和成本。
例如，在物流配送中，可以利用最短距离公式计算出配送点之间的距离，从而确定最短路径和最优配送方案；在货物运输中，可以利用最短距离公式计算出货物的运输距离和时间，从而确定运输成本和时间。
三、最短距离公式的优化最短距离公式的计算量较大，特别是在大规模数据的情况下。
为了提高计算效率，可以采用以下优化技术：1.分段计算将距离的计算分成多个步骤，每次计算两个点之间的距离，然后将这些距离相加得到总距离。
这种方法可以避免单次计算量过大，提高计算效率。
人教版八年级数学下册《勾股定理的应用——立体图形中的最短距离》PPT
8cm的长方体牛奶盒，现在A处有一只蚂蚁，想
沿着长方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬
行的最短距离是多少？ B (1)点A处在几个面 上？ 点B呢？
牛奶盒
A 10cm
8cm (2)蚂蚁从点A到点B至 少要经过几个面？分别
6cm 有哪些情况？ (3)如何展开长方体？
B3 解：由题意知有三种展开方法， 如图.由勾股定理得
B1 B
AB12 102 6 82
296 2 74
AB2 82 10 62
8
B2
320 8 5
AB3 62 10 82
A
10
360 6 10
6
∴AB1＜AB2＜AB3.
∴小蚂蚁完成任务的最短
路程为AB1，长为2 74 cm.
拓展提升
若长方体的长，宽，高分别为a，b 和c，且a>b>c,则沿长方体表面从A到 Cˊ所走的最短路程是
归纳总结
二、数学思想： 立体图形
转化 展开
转化思想
平面图形
课后作业
1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有 一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，
求蚂蚁爬行的最短距离是多少. B
A 2.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒 形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如 图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
（2）这条“径路”长 5 米,他们少走了 4
为1米)A？
Байду номын сангаас
别踩我,我怕疼 A
疼
!
步(设两步
C
B
C
B
研学问题
勾股定理的应用举例-最短距离
——勾股定理的应用举例（2）
一、平面内的最短距离
1.如图，在公路AB旁有一座山C，现在C处需要爆破，已知 点C与公路上的停靠站A之间的距离为300m，与公路上另一 停靠站B之间的距离为400m，且CA丄CB，为了安全起见， 爆破点C周围半径250m范围内不得进入，问在进行爆破时， 公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁？
∴CD=240m
∵240＜250 ∴公路AB段会有危险需要暂时封锁
二、立体图形中的最短距离：正方体中的最短距离 2.如图，在棱长为10厘米的正方体的 一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向 顶点B处爬行，那么蚂蚁爬行的最 短路线的平方为多少？
B
A A B 蛋糕
B
A
二、立体图形中的最短距离：长方体中的最短距离
B
B
A
A
二、立体图形中的最短距离：台阶中的最短距离
2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A A A
解：台阶的展开图如图：连结AB 在Rt△ABC中根据勾股定理 AB2=BC2＋AC2 ＝552＋482＝5329 ∴AB=73cm
解：过点C作CD丄AB，垂足为D
∵CA丄CB
300 D 500
400
∴∠ACB=900
在Rt△ABC中 AB2=AC2+BC2=3002+4002
SABC
∴
1 1 AC BC ABCD 2 12 1
2 300 400 2
专题02 勾股定理的四种实际应用(解析版)2021-2022学年八年级数学上(北师大版,成都专用)
专题02 勾股定理的四种实际应用【基础知识点】勾股定理的实际应用有很多，有梯子滑落问题、最短距离问题，树枝旗子折断问题，航海是否有影响问题等等，构造直角三角形是解决问题的关键。
类型一、梯子滑落高度问题例1.如图，一架梯子AB 斜靠在一竖直的墙OA 上，这时 2.5m AO =，30OAB ∠=︒．梯子顶端A 沿墙下滑至点C ，使60OCD ∠=︒，同时，梯子底端B 也外移至点D ．求BD 的长度．（结果保留根号）【解析】在Rt OAB 中， 2.5AO =，30OAB ∠=︒，2AB ∴=根据勾股定理知BO ，60OCD ∠=︒，30ODC ∴∠=︒，在AOB ∆和DOC ∆中，OAB ODC AOB DOC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB DOC AAS ∴∆≅∆，OA OD ∴=，OC OB =，52BD OD OB ∴=-==． 【变式训练1】如图所示，一架梯子AB 斜靠在墙面上，且AB 的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB 为1.5米，求这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A 下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B 在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【答案】（1）梯子距离地面的高度为2米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．【解析】（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO2==米；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，根据勾股定理：OB′＝2米，所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．【变式训练2】如图，一架25米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙MO上，梯子底端B到墙底端O的距离为7米．（1）若梯子的顶端A沿墙面下滑4米，那么底端B将向外移动多少米？请写出解题过程．（2）在梯子AB滑动过程中，AB上是否存在点P，它到墙底端O的距离保持不变？若存在，请求出OP 的长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）8米；（2）存在，252 OP m=【解析】如图，在直角△ABO中，已知AB=25米，BO=7米，则由勾股定理得：（米）；△AO=AA1+OA1△OA1=24米-4米=20米，△在直角△A1B1O中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，△由勾股定理得：OB1米，△BB1=OB1-OB=15米-7米=8米；答：梯足将向外移8米．（2）AB的中点P到O的距离始终不变，12522 OP AB m ==类型二、水杯中的筷子问题例1．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11B．11≤h≤12C．h≥12D．0＜h≤12【答案】B【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB13cm，△h＝24﹣13＝11cm．△h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【变式训练】如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．【答案】13【解析】如图所示：BC =3cm ，CD =4cm ，AB =12cm ，连接BD 、AD ，在Rt △BCD 中，BD （cm ），在Rt △ABD 中，AD （cm ）． 故吸管插在盒内部分的长度h 的最大值为13cm ．故答案为：13．类型三、最短距离问题例1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A 出发，在盒子表面上爬到点G ，已知6AB =，5BC =，3CG =，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．【答案】10【解析】由题意，如图1所示，得AG == 如图2所示，得10AG ==，如图3所示，AG ==△蚂蚁爬行的最短路程是10．故答案为：10.【变式训练1】如图所示，ABCD 是长方形地面，长8m AB =，宽5m AD =，中间竖有一堵砖墙高2m MN =．一只蚂蚱从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________m 的路程．【答案】13【解析】如图所示，将图展开，图形长度增加2MN ，原图长度增加4米，则8412m AB =+=，连接AC ．△四边形ABCD 是长方形， 12m AB =，宽5m AD =，△13m AC ===．△蚂蚱从A 点爬到C 点，它至少要走13m 的路程．故答案为：13【变式训练2】如图，台阶阶梯每一层高20cm ，宽40cm ，长50cm ．一只蚂蚁从A 点爬到B 点，最短路程是____________．【答案】130cm【解析】如图所示，△楼梯的每一级的高宽长分别为20cm ，宽40cm ，长50cm ，△130AB ==(cm) 即蚂蚁从点A 沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是130cm ．故答案为：130cm ．类型三、是否有影响问题例1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A ，B 的距离分别为300AC km =，400BC km =，又500AB km =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB ∠的度数．（2）海港C 受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C 刚好不受影响，即250CE CF km ==，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）90︒；（2）海港C 受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为7小时．【解析】（1）300AC km =，400BC km =，500AB km =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∆∴是直角三角形，△△ACB=90°；（2）海港C 受台风影响，过点C 作CD AB ⊥，ABC ∆是直角三角形，AC BC CD AB ∴⨯=⨯，300400500CD ∴⨯=⨯，240()CD km ∴=， 以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，∴海港C 受台风影响．（3）当250EC km =，250FC km =时，正好影响C 港口，70()ED km ==，140EF km ∴=，台风的速度为20千米/小时，140207∴÷=（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【变式训练1】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离是___米；重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间是____秒．【答案】80 12【解析】作AD ON ⊥于D ，30MON ∠=︒，160AO =m ，1802AD OA ∴==m ，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离80m ．如图以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点， AD BC ⊥，12BD CD BC ∴==，在Rt △ABD 中，60BD ==m ，120BC ∴=m ，重型运输卡车的速度为36千米/时10=米/秒，∴重型运输卡车经过BC 的时间1201012=÷=（秒)，故卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．【变式训练2】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160m 处有一所医院A ，当卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P 沿道路ON 方向行驶一次时，给医院A 带来噪声影响的持续时间是__分钟．【答案】0.48．【解析】作AD△ON 于D ，△△MON ＝30°，AO ＝160m ，△AD ＝12OA ＝80m ， 以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点，△AD△BC ，△BD ＝CD ＝12BC ，在Rt△ABD 中，BD 60m ==，△BC ＝120m ，△卡车的速度为250米/分钟，△卡车经过BC 的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．类型四、是否超速问题例1.“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC △AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【答案】这辆小汽车超速，每小时超速3.2千米．【解析】根据题意，得18,30,90AC m AB m C ==∠=︒，在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得：24.BC ==小汽车2秒行驶24米，则1小时行驶243600432002m ⨯=， 即小汽车行驶速度为43.2千米/时，因为43.2＞40，所以小汽车超速行驶，超速43.240 3.2-=（千米/时）．【变式训练】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正前方30米的C 处，过了2秒后，小汽车行驶至B 处，若小汽车与观测点间的距离AB 为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】这辆小汽车超速【解析】根据题意，得AC=30m ，AB=50m ，△C=90°，在Rt△ACB 中， 40===BC m ， △小汽车的速度4020/72/70/2==>m m s km h km h s； △这辆小汽车超速．课后练习1．高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D （,,A C D 共线）处同时施工．测得30,8km,105CAB AB ABD ∠=︒=∠=︒，求BD 长．（结1.414≈≈）【答案】BD 长约为5.7km ．【解析】如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，30,8km CAB AB ∠=︒=，14km 2BE AB =∴=，60ABE ∠=︒，105ABD ∠=︒，45DBE ABD ABE ∴∠=∠-∠=︒，Rt BDE ∴是等腰直角三角形， 5.656 5.7(km)BD ∴==≈≈， 答：BD 长约为5.7km ．2．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点,A B ，其中AB AC =，由于某种原因，电C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A H B 、、在同一条直线上），并新修一条路CH ，已知CB =千米，2CH =千米，1HB =千米．（1）CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求新路CH 比原路CA 少多少干米？【答案】（1）是，证明见解析；（2）12千米．【解析】（1）△在CHB 中，2,1,CH BH BC ===22221+=，CHB ∴是以BHC ∠为直角的直角三角形，CH AB ∴⊥，△点到直线垂线段的长度最短，CH ∴是村庄C 到河边的最近路．（2）设AC AB x ==，1BH =千米，(1)AH AB BH x ∴=-=-千米，在Rt ACH 中，由勾股定理得：222CH AH AC +=，2222(1)x x ∴+-=，解得52x =， 52AC AB ∴==千米，CH ∴比CA 少51222-=千米． 3．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠点A 的距离为800米，与公路上另一停靠点B 的距离为600米，且CA CB ⊥，如图，为了安全起见，爆破点C 周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【答案】公路AB 段没有危险不需要暂时锁锁，见解析【解析】公路AB 段没有危险不需要暂时封锁，如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．△CA CB ⊥，800AC =米，600BC =米，△1000AB =（米）．△8006004801000BC AC CD AB ⋅⨯===（米）． △450480<，△公路AB 段没有危险不需要暂时封锁．4．如图，小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处，小红家位于小明家北500米（500AC =米）、东1200米（1200BC =米）点B 处．（1）求小明家离小红家的距离AB ；（2）现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站，使PA PB +最小，请确定点P 的位置，并求PA PB +的最小值．【答案】（1）1300AB =米；（2）见解析，1500米【解析】（1）如图，连接AB ，由题意知AC =500，BC =1200，△ACB =90°，在Rt △ABC 中，△△ACB =90°，△AB 2=AC 2+BC 2=5002+12002=1690000，△AB ＞0，△AB =1300米；（2）如图，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A 'B 交MN 于点P ．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ，由题意知AD =200米，A 'C △MN ，△A 'C =AC +AD +A 'D =500+200+200=900米，在Rt △A 'BC 中，△△ACB =90°，△A 'B 2=A 'C 2+BC 2=9002+12002=2250000，△A 'B ＞0，△A 'B =1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．5．某高速公路的同一侧有A ，B 两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AE =，3km BF =，12km EF =，要在高速公路上E 、F 之间建一个出口Q ，使A 、B 两城镇到Q 的距离之和最短，在图中画出点Q 所在位置，并求出这个最短距离．【答案】见解析，13km【解析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，则点Q 为所建的出口；此时A 、B 两城镇到出口Q 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD BC ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，AE△MN ，BF△MN ，△四边形AEFD 为矩形△12AD EF ==，2DF AE ==在t R ADC 中，12AD =，5DC DF CF =+=，△由勾股定理得：13AC ===△这个最短距离为13km ．6．如图，某工厂A 到直线公路l 的距离AB 为3千米，与该公路上车站D 的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C ，使CA ＝CD ，求物品中转站与车站之间的距离．【答案】258千米 【解析】由题意可得：AB=3，AD=5△在Rt△ABD 中，4BD ===设AC=CD=x ，则BC=4-x ，在Rt△ABC 中，2223(4)x x +-=，解得：x=258 △物品中转站与车站之间的距离CD 的长为258千米 故答案为：258千米。
勾股定理在最短路径问题中的应用
勾股定理在最短路径问题中的应用标题：勾股定理的在最短路径问题中的应用导言：最短路径问题是一类在图论中广泛应用的数学问题，它关注着在给定的网络中寻找两个节点之间最短路径所需经过的边或弧的集合。
数学家们在求解最短路径问题的过程中，经过了数不清的探索和尝试。
本文将介绍勾股定理在最短路径问题中的应用，通过深入讨论和具体案例分析，旨在帮助读者更加深入、全面地理解这一主题。
一、勾股定理概述1.1 勾股定理定义勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是三角学中一个经典的定理。
它表明，在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。
二、最短路径问题介绍2.1 最短路径问题的定义最短路径问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的加权有向图或无向图中，求解两个顶点之间的最短路径。
这种路径可能经过一些中间节点，但其总权值和需要最小。
三、勾股定理在最短路径问题中的应用3.1 最短路径问题的建模在最短路径问题中，我们需要将问题建模为一个加权有向图或无向图。
对于一个直角三角形，我们可以将直角边的长度作为边的权值，斜边的长度作为两个节点之间的距离。
3.2 以勾股定理为基础的最短路径算法基于勾股定理的最短路径算法利用了直角三角形的特性，将直角边长度作为边的权值，通过计算两个节点之间的距离来求解最短路径。
3.3 实例分析：勾股定理在最短路径问题中的具体应用通过一个具体的实例，我们可以更好地理解勾股定理在最短路径问题中的应用。
假设我们有一个城市地图，有一辆车位于城市的某个节点A上，我们需要找到车从节点A到达另一个节点B的最短路径。
4. 总结与回顾通过本文的讨论，我们了解了勾股定理在最短路径问题中的应用。
勾股定理提供了一种有效的方法来计算两个节点之间的距离，从而为最短路径问题的求解提供了便利。
通过建立一个适当的数学模型，我们可以利用勾股定理来解决各种实际应用中的最短路径问题。