三角形中线定理与向量
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三角形的“四心”之青柳念文创作所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及心坎.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 暗示.性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O为ABC ∆的外心.二、三角形的心坎定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的心坎，即内切圆圆心.ABC ∆的心坎一般用字母I 暗示，它具有如下性质：性 质：1.心坎到三角形三边等距，且顶点与心坎的连线平分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP +=λ，则动点P的轨迹过ABC ∆的心坎.三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 暗示.性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，知足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心.四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 暗示.性 质：G 的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的间隔等于它与对边中点的间隔的2倍.即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3CB A GC B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ； （2）)(31PC PB PA PG ++=.。
三角形向量的公式大全
三角形向量的公式大全一、向量加法与三角形法则。
1. 三角形法则（向量加法）- 已知向量→AB和→BC，则→AC=→AB+→BC。
- 几何意义：将向量→AB的终点作为向量→BC的起点，连接→AB的起点与→BC的终点所得到的向量→AC就是→AB与→BC的和向量。
2. 向量加法的交换律在三角形中的体现。
- →AB+→BC=→BC+→AB（虽然三角形法则中顺序有意义，但从向量加法的结果看满足交换律，这里可以通过平行四边形法则辅助理解，以→AB和→BC为邻边的平行四边形，对角线所表示的向量→AC不管是先加→AB还是先加→BC结果相同）3. 向量加法的结合律在三角形中的体现。
- (→AB+→BC)+→CD=→AB+(→BC+→CD)，例如在三角形ABC和三角形BCD中，(→AB+→BC)得到→AC，→AC+→CD=→AD；而→BC+→CD=→BD，→AB+→BD=→AD二、向量减法与三角形法则。
1. 三角形法则（向量减法）- 若→AC=→AB+→BC，则→AB=→AC-→BC。
- 几何意义：向量减法是加法的逆运算，在三角形中，→AB可以看作是从→AC的终点指向→BC的终点的向量。
2. →AB与→BA的关系。
- →AB=-→BA，在三角形中，如果→AB表示从A到B的向量，那么→BA 就是从B到A的向量，它们大小相等，方向相反。
三、三角形中的向量数量积公式。
1. 向量数量积的定义在三角形中的应用。
- 对于三角形ABC中的向量→AB和→AC，它们的数量积→AB·→AC=|→AB||→AC|cos∠ BAC。
- 这个公式可以用来求三角形中的角，例如cos∠BAC=frac{→AB·→AC}{|→AB||→AC|}。
2. 向量数量积的分配律在三角形中的体现。
- →AB·(→AC+→AD)=→AB·→AC+→AB·→AD。
在三角形ABC和ABD共顶点A的情况下，如果把→AC+→AD看作一个新的向量→AE（→AE=→AC+→AD），那么→AB·→AE就等于→AB分别与→AC和→AD数量积的和。
三角形中线的公式
三角形中线的公式三角形中线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
在三角形ABC中，顶点A与对边BC中点D之间的线段AD就是三角形ABC 的一个中线。
中线有以下几个重要性质：1. 中线的长度三角形中线的长度等于对边的一半。
以三角形ABC为例，设三角形的底边为BC，底边中点为D，则中线AD的长度等于BC的一半。
这可以通过计算底边两个顶点的坐标，然后利用勾股定理得出。
2. 中线的位置三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特征点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积都相等。
3. 中线的作用中线在三角形中起着重要的作用。
首先，中线可以将三角形分成两个面积相等的小三角形。
其次，中线还可以求解三角形的面积。
通过连接三角形的三个顶点和对边中点，我们可以将三角形分成三个小三角形，然后计算这三个小三角形的面积之和，即可得到整个三角形的面积。
4. 中线的性质除了上述提到的性质外，中线还具有以下几个重要性质：- 三角形的三条中线交于一点，且交点到各顶点的距离满足重心定理，即重心到顶点的距离等于中线长度的两倍。
- 三角形的两条中线所夹角的余弦等于底边上与之对应的角的正弦的两倍。
这一性质可以通过向量的运算得到。
在实际应用中，中线的公式可以用于解决各种几何问题。
比如，可以利用中线的长度和角度关系来求解三角形的面积，或者利用中线的位置和性质来求解三角形的重心坐标等。
三角形中线是三角形的一个重要特征线段，具有多个重要性质和应用。
通过研究和应用中线的公式，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。
三角形的重心与平面向量
三角形的重心与平面向量一、三角形重心：三角形三边中线的交点.（1）性质：①重心分三角形中线为2：1, ①S ∆BGC =S ∆CGA =S ∆AGB ,①重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.(练习6）（2）三角形中线向量式：AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). （3）重心的向量表达式：设G 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点，则有以下常用结论： ①. AG⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ①. AG⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ①. GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ , ①. PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ①. O 是平面上一定点,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心.【解】：如图所示①ABC ，D,E 分别为边BC,AC 的中点, 因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以点P 的轨迹一定通过①ABC 的重心，①. 若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心.【证】：由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，由正弦定理知ACsinC=ABsinB, 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λACsinC(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 过BC 中点D ，故P 点的轨迹也过中点D ，故点P 过三角形的重心． （4）重心的坐标运算：设G 是∆ABC 的重心，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，则G 的坐标为(x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33)【证】：因为G 是①ABC 的重心,所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ⟺{(x 1−x )+(x 2−x )+(x 3−x )=0(y 1−y )+(y 2−y )+(y 3−y )=0⟺{x 1+x 2+x 33y 1+y2+y 33.二、练习1.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是∆ABC 的重心，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 一定为∆ABC 的( ).A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点2．已知O 是①ABC 的重心，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则实数λ=( )A ．3B ．2C ．1D ．123.动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13[(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+2λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ](λ∈R)，动点P 一定会过ΔABC 的（ ） A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心4．若点G 是①ABC 的重心，a,b,c 分别是∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 的对边，且aGA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bGB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√33cGC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .则∠BAC等于（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．已知G 是①ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(x ，y>0)，则3x+y 的最小值是( )A. 83B. 72C. 52 D.4+2√336．已知点P 是①ABC 所在平面内，且使得|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最小值的点，则点P 是①ABC 的（ ） A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心7.已知向量OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足条件OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 求证：①P 1P 2P 3是正三角形.三、答案与解析1.【解】：取AB 边的中点M ，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )可得3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗ =23MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心.故选：B. 2.【解】：OA⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−λ)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 因为O 是①ABC 的重心，所以{2−λ=1λ=1，解得λ=1.故选：C.3.【解】：取AB 中点D ，做出示意图如下图所示：可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13[(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+2λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=2(1−λ)3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1+2λ3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为2(1−λ)3+1+2λ3=1，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上，所以点P 一定会过①ABC 的重心.故选：C. 4.【解】：因为点G 是①ABC 的重心，所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−GB ⃗⃗⃗⃗⃗ −GC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 代入aGA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bGB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√33cGC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 可得(b −a )GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(√33c −a)GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ , 因为GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，GC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以{b −a =0√33c −a =0,即{b =a c =√3a , 所以cos∠BAC=b 2+c 2−a 22bc=√32，故∠BAC =30°，故选：D.5.【解】：如图，因为G 是①ABC 的重心，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=13xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13yAC⃗⃗⃗⃗⃗ 因为M,N,G 三点共线，所以13x+13y =1,所以3x+y=(3x+y)(13x+13y )=43+xy +y3x ≥43+2√33, 当且仅当y =√3x 时等号成立，故选：D6.【解答】：根据题意，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =p ，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(a −p )2+(b ⃗ −p )2+(c −p )2=3p 2−2(a +b ⃗ +c )•p +(a 2+b ⃗ 2+c 2)，当p =13(a +b ⃗ +c )时，上式取得最小值，此时P 是①ABC 的重心．故选：A ． 7.【证明】：由已知OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12， 同理OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，所以|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 3P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，从而①P 1P 2P 3是正三角形.(此结论反之也成立）.。
三角形中线的向量性质
两边平 方得 ４ ＡＤ 一
ＡＢ ＋ ＡＣ ＋２ ＡＢ ・ ＡＣ ・Ｃ Ｏ Ｓ ／ ＢＡ Ｃ，
寸
，
即 一 一 手 ．
又 由余 弦定 理得 ｂ ＋Ｃ 。 －ｂ ｃ 一３ ，
故 Ｏ ＜ｂ ｚ － ４ － ｃ ｚ 一３ —６ ｃ ≤
３ ． 三 角形 中线 长公 式 由上 面 三个 例 题 的思 路 ， 我 们 不 难 用 三 角 形 中线 的 向量 性质 证 明三角 形 中线长公 式 ．
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所 以 Ａ Ｍ ∈ （ 雩， 导 ］ ．
注意 隐含条件 ｂ ２ ＋ｃ 一３ ＞０可不要忘噢 ！
例 １ 在 ＡＡＢ Ｃ中， 内 角 Ａ， Ｂ， Ｃ的对 边 分别 为 ａ，
图１
ＢＣ ・Ｃ ＯＳ Ａ ＢＣ ，
即 ＢＣ ＋７ ＢＣ １ ８ — ０，
ｂ ， ｃ ． 已知 （ ｚ ） ｓ ｉ ｎ （ ２ ｘ一百 ７ ｒ 俩 ４ － ￣ 足 对 任 意 ｘＥ
解得 Ｂ Ｃ ＝２ ． 又由余弦定理得 ＡＣ ＝√ ６ ，
即３ ＜ｂ ＋ｃ 。 ≤ ６，
又 由余 弦定 理得 ＡＢ・ ＡＣ —ＡＢ ２ ＋Ａ 一１ ，
即 Ｏ ＜ ＡＢｚ ＋ＡＣｚ 一１ ≤
所以 Ｉ ＜ ＡＢ ＋ＡＣ ≤２ ，
，
１ ｚ 一２ （ ＡＢ ｚ ￣ＡＣ ｚ ） 一１ ∈（ １ ， ３ ］ ，
即 — ｌ ∈（ １ ， 同 ．
例 ２ 在 △ ＡＢＣ 中 ， 已 知 ＡＢ一 ４ ， Ｃ Ｏ Ｓ Ｂ一
Ｎ Ｊ Ｊ ｔ ｋ ： ｚ ｘ ｓ ｓ ． ｃ ｂ ｐ ｔ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ
・ ・
４ ３ ・ ・ 电 子 箱 ： ＠ ｉ ｊ 。 ． 。 ｔ ． 。
直角三角形斜边中线定理 (3)
直角三角形斜边中线定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
直角三角形的边可分为三种：斜边、邻边和对边。
直角三角形具有许多特性和性质，其中之一就是直角三角形斜边中线定理。
定理描述直角三角形斜边中线定理指出：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
换句话说，如果在一个直角三角形中，连接斜边的中点与直角顶点的直线段，那么这个直线段的长度等于斜边的一半。
下面是该定理的数学表达式：设直角三角形的斜边长度为c，斜边上的中线长度为m，则有：m = c / 2定理证明我们可以通过几何和代数的方法来证明直角三角形斜边中线定理。
几何证明设直角三角形的斜边为AC，斜边上的中线为BM，并连接顶点A和中点B。
首先，我们可以通过斜边上的中线构造一个三角形ABM。
根据直角三角形的性质，A和C分别为直角三角形ABM的直角顶点和斜边上的另一个顶点。
由于三角形ABM是直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解等式AB和BM的关系。
根据勾股定理，直角三角形ABM的斜边AB的平方等于直角边AM的平方加上直角边BM的平方：AB² = AM² + BM²因为直角三角形ABM是等腰三角形（与斜边等长），所以直角边AM的长度等于斜边AC的一半（即AM=c/2），我们将其带入等式中化简：AB² = (c/2)² + BM²继续化简：AB² = c²/4 + BM²由于AB = AC（直角边）和AC = c（斜边），我们可以将AB替换为c，即：c² = c²/4 + BM²继续化简并整理：3c²/4 = BM²通过移项操作，得到：BM² = 3c²/4我们可以取开根号来求解BM的长度：BM = √(3c²/4) = (√3c) / 2接下来，我们将BM的长度与斜边的一半进行比较：BM = (√3c) / 2 c / 2我们可以发现，BM的长度等于斜边的一半（c/2），这证明了直角三角形斜边中线定理。
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心。
结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=。
中考重点三角形中线定理
中考重点三角形中线定理在中学数学中，三角形是一个基础的几何形状，而三角形中线定理则是中考中重点考察的知识点之一。
三角形中线定理指出，三角形的三条中线所交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等，即三角形的中线交点是三角形所对应的重心。
下面将详细介绍三角形中线定理的原理和推论。
一、三角形中线定理的原理在平面几何中，我们首先需要明确中线的概念。
对于任意给定的三角形ABC，连接顶点A和边BC的中点D，连接顶点B和边AC的中点E，连接顶点C和边AB的中点F，则称线段DE为三角形ABC的中线，线段EF为三角形ABC的中线，线段FD为三角形ABC的中线。
根据三角形中线的定义，我们可以得出以下推论：推论1：三条中线交于一点通过观察我们发现，线段DE、线段EF和线段FD都通过三角形ABC的顶点，且每条中线都是由两个顶点的中点所组成，因此这三条中线会相交于某一点。
这一点被称为三角形ABC的重心，通常用字母G表示。
推论2：重心到三个顶点的距离相等根据三角形中线定理的原理可知，三角形ABC的重心G是三条中线的交点，所以重心G到顶点A的距离等于重心G到顶点C的距离，重心G到顶点B的距离也相等。
为了证明三角形中线定理，我们需要先证明推论2，即重心到三个顶点的距离相等。
下面给出证明过程：证明：由于三角形ABC的每条中线都是由两个顶点的中点所组成，我们设线段DE的中点为M，线段EF的中点为N，线段FD的中点为P。
则根据线段中点定理可知，中点M到顶点A的距离等于中点M到顶点C的距离，中点N到顶点B的距离等于中点N到顶点A的距离，中点P到顶点C的距离等于中点P到顶点B的距离。
接下来，我们通过向量法来证明重心G到三个顶点的距离相等。
设向量AG为向量a，向量BG为向量b，向量CG为向量c。
由向量的性质可知，向量a加上向量b等于向量c。
即a+b=c。
现在我们分别在向量a的起点A、向量b的起点B、向量c的起点C处绘制线段，分别垂直于向量a、向量b、向量c，并在这些线段上选取长度等于a、b、c的向量分别为向量a'、向量b'、向量c'。