【中小学资料】九年级数学上册 23.4 中位线 三角形中位线知识总结素材 (新版)华东师大版
九年级数学中位线知识点
九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。
本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。
一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。
二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。
即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。
2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。
重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。
3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。
这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。
三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。
2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。
四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。
解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。
然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。
华师大版九年级数学上册授课课件：23.4 中位线
中点，AD、CE相交于点G.求证： GE GD 1 .
CE AD 3
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC
，
DE AC
=
1 2
.
(三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半）.
∴△ACG∽△DEG, ∴ GE = GD DE 1 .
GC GA AC 2
知1－讲
【例2】 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中
线互相平分.
已知：如图,在 △ABC 中，AD =DB，BE=EC,
AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
证明：连结DE、EF.
∵AD = DB,BE = EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第
三边，并且 等于第三边的一半）.
同理可得EF//BA.
猜想
如图23.4. 2，在△ABC中，点D、E分别 是AB与AC 的中点.根据画出的图形，可 以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
2 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
知1－导 （来自教材）
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ AD AE 1 .
AB AC 2
（来自《典中点》）
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
∴ GE = GD 1 . CE AD 3
拓展
知2－导
23.4 中位线
图 23－4－4 (1)求证：CF＝DE； (2)若 AC＝6，AB＝10，求四边形 DCFE 的面积．
23.4 中位线
解：(1)证明：∵D，E 分别为 AB，BC 的中点， 1 ∴DE∥AC，DE＝ AC. 2 1 又 CF＝ AC， 2 ∴CF＝DE. (2)∵AC＝6，AB＝10， 由勾股定理，得 BC＝ AB2－AC2＝8. 1 1 ∴S 四边形 DCFE＝DE· CE＝ AC· BC＝12. 2 2
中点，连结DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，求OC 的长．
图24－4－6
23.4 中位线
[解析] 解法一：由题意，知 O 点为△ABC 的重心，根据 重心的性质可得出 OC＝2OD； 解法二： 由题意， 知 DE 为△ABC 的中位线， 则 DE∥BC， 1 DE＝ BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形对应边成 2 比例即可得出 OC＝2OD.
1． 三角形的重心： 三角形三条边上的中线交于 一点 ， 这个点就是三角形的 重心 ．
2．三角形重心的性质：重心与一边中点的连线的长是 1 对应中线长的 . 3
23.4 中位线
重难互动探究
探究问题 三角形的中位线及其应用 例 如图 23－4－4 所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90 °，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在 AC 的延长线上， 1 CF＝ AC，∠FEC＝∠B. 2
23.4 中位线
解：解法一：∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，线段 BE，CD 相交于点 O， ∴O 点为△ABC 的重心， ∴OC＝2OD＝4； 解法二：∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， 1 ∴DE∥BC，DE＝ BC， 2 ∴∠ODE＝∠OCB， ∠OED＝∠OBC， ∴△ODE∽△OCB， ∴OD∶OC＝DE∶BC＝1∶2， ∴OC＝2OD＝4. 故 OC 的长为 4.
九年级上册数学 23.4中位线
∴ DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC DE = 1 BC
B
C
2
用 ① 证明线段的平行问题（位置关系）
② 证明一条线段是另一条线段的2倍 途 或1/2 （数量关系）
A
理解三角形的中位线
D
E
定义的两层含义:
B
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，
那么DE为△ABC的中位线；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
同学们，中位线的知识掌握了 吗？我们一起去检验一下吧!
算一算
A
如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
则∠B= 60 度，为什么？
D
E （2）若BC=10cm，
则DE= 4 cm，为什么？
B
图1
C
(3) S△ADE：S△ABC= 1:4 .
B
D 4F 53
A
E
图2
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
D
E
连接三角形两边 中点的线段,叫做
三角形的中位线
B
F
C
AF是△ABC的中线
DE是△ABC的中位线
已知: △ABC 中，点D、E分别是AB、AC的中点。
求证： DE∥BC
DE = 1 BC 2
A
证明： ∵点D、E分别是AB、AC的中点。
∴
AD = AE = 1 AB AC 2
D
∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
DE ∴∠ADE=∠B，BC
=
1 2
B
∴ DE∥BC DE = 1 BC 2
E C
23.4 中位线 (课件)2024-2025-华东师大版数学九年级上册
长是对应中线长的13. 注意：经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个
顶点的对边 .
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知2－讲
特别解读 ●三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的
2倍. ●三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点 .
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知2－练
例 4 如图23.4-5，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，
知1－练
证明：延长 AE 交 BC 于点 H，∵CD 平分∠ACB，AE⊥CD，
∴∠ACE＝∠HCE，∠AEC＝∠HEC＝90°，又∵CE＝CE，
∴△ACE≌△HCE，∴AE＝EH＝12AH.∵EF∥BC， ∴△AEF∽△AHC，∴AAFC＝AAHE＝12，∴AC＝2AF，∴F 是 AC 的中点．又∵G 是 BC 的中点，
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知1－练
证明：连结EF.
由▱ABCD可得AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝BF，∴ED＝FC.
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．∴EG＝
BG，EH＝CH.
∴GH是△EBC的中位线．∴GH∥BC.
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知1－练
例 3 如图23.4-4，在△中，中线BE，CD相交于点O，
∴四边形ABEC是平行四边形，∴点F是BC的中点.
又易知点O是AC的中点，
∴ OF是△ABC的中位线，∴ AB＝2OF.
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知1－练
1-1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足
为E， 过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，
连结FG．
求证：FG＝12AB．
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知2－练
5-1. 如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点， 连结DE交对
九年级数学中位线知识点分析
中位线情境切入学海导航完全解读知能点1、三角形的中位线（1）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（2）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.友情提醒：三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，它们虽然都与三角形的边的中点有关，但中位线是两个中点的连线，而中线是顶点与对应边中点的连线；中线经过三角形的顶点，而中位线没有经过三角形的顶点；中位线只与三角形的两边相交，而中线却与三角形的三边都相交；中线平分三角形的面积，而中位线却不能.例1、如图所示，EF是△ABC的中位线，BD平分 ABC交EF于D，若ED=2，则EB=________________。
思维点击：在△ABC 中，∵EF 是△ABC 的中位线 ∴EF//BC ∵∠=∠EDB DBC∵∠=∠DBC ABD ∴∠=∠EDB ABD ∴EB ED ==2 答案：2.知能点2、三角形的重心（1）三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。
（2）三角形重心的性质：三角形的重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.友情提醒：三角形的重心指的是三角形的物理中心，假如是一X 厚薄均匀的三角形纸片，那么在三角形三条中线的交点处用一根细线穿过提起，可以发现该纸片呈水平状态，这个现象说明该点就是三角形的重心.例2、如图，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点G ，求证：四边形GDCE 的面积等于△ABG 的面积.思维点击：由已知可知G 是△ABC 的重心，所以AG=2GD ，根据三角形的面积公式，得△ABG 的面积等于△BDG 面积的2倍.连结CG ，则△CDG 的面积等于△BDG 的面积.又由BG=2GE ，得△BCG 的面积等于△CEG 的面积的2倍， 所以△CEG 的面积等于△BDG 的面积，所以四边形GDCE 的面积等于△BDG 面积的2倍， 所以四边形GDCE 的面积等于△ABG 的面积. 知识点三、梯形的中位线（1）梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.（2）梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半. 友情提醒：梯形中位线性质的作用：①位置关系：可以证明条直线平行；②可以证明一条线段是另一条线段的倍分关系。
23.4 中位线++课件+++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
图2
典例导思
1. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点
O ，点 E 为 CD 的中点.若 OE ＝3，则菱形 ABCD 的周长
为（ C ）
A. 6
B. 12
（第1题）
C. 24
D. 48
典例导思
2. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 是 AC 延
பைடு நூலகம்
GF ∥ BC ， GF ＝ BC ，
∴ DE ∥ GF ， DE ＝ GF ，
∴四边形 DEFG 为平行四边形.
（第3题）
典例导思
（2）若 DG ⊥ BH ， BD ＝3， EF ＝2，求线段 BG 的
长度.
（2）解：∵四边形 DEFG 为平行四边
形，∴ DG ＝ EF ＝2.
∵ DG ⊥ BH ，∴∠ DGB ＝90°，
∴ AB ＝ AF ＝6 cm，
BD ＝ DF .
∴ CF ＝ AC － AF ＝4 cm.
∵ BD ＝ DF，点 E 为 BC 的中点，
∴ DE ＝ CF ＝2 cm.
图1
典例导思
如图2，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ BD 且
AC ＝4， BD ＝8，点 E 、 F 分别是边 AB 、 CD 的中点，
长线上一点， AD ＝24，点 E 是 BC 上一点，
BE ＝10，连结 DE ， M 、 N 分别是 AB 、
DE 的中点，则 MN ＝ 13 .
（第2题）
典例导思
3. （2023·株洲）如图所示，在△ ABC 中，点 D 、 E 分
《三角形的中位线》 知识清单
《三角形的中位线》知识清单一、三角形中位线的定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
需要注意的是，一个三角形有三条中位线。
二、三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理是解决与三角形中位线相关问题的重要依据。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过以下方式进行证明：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE。
延长 DE 到点 F，使得 EF ＝ DE，连接 CF。
因为 AE ＝ EC，DE ＝ EF，∠AED ＝∠CEF（对顶角相等），所以△ADE ≌△CFE（SAS）。
所以 AD ＝ CF，∠ADE ＝∠F。
因为 AD ＝ BD，所以 BD ＝ CF。
又因为∠ADE ＝∠F，所以 BD∥CF。
所以四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
所以 DE∥BC 且 DE ＝ 1/2BC。
三、三角形中位线定理的应用1、证明线段平行如果已知一条线段是三角形的中位线，那么可以直接得出这条线段与三角形的第三边平行。
例如，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么 DE∥BC。
2、证明线段的数量关系因为三角形的中位线等于第三边的一半，所以可以利用这个关系来证明线段之间的倍数关系。
比如，已知△ABC 中，DE 是中位线，那么 DE ＝ 1/2BC。
3、计算线段的长度当已知三角形的边长或者其他相关线段的长度时，可以通过中位线定理求出中位线的长度。
假设△ABC 的边长分别为 a、b、c，其中 AB ＝ c，AC ＝ b，BC＝ a。
D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么中位线 DE 的长度为 1/2a。
4、求解三角形的面积通过中位线将三角形分成几个部分，利用中位线定理和已知条件，可以求出三角形的面积。
5、构造中位线解决问题在一些几何问题中，如果没有现成的中位线，可以通过连接中点构造中位线，从而使问题得到解决。
中位线知识点.doc
中位线一、温习相似三角形二、三角形中位线1.三角形中位线定义与性质（1 ）三角形中位线定义：联接三角形两端中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线差异：三角形中线是联接一极点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是联接三角形两端中点的线段。
（2 ）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC 中，点D、E 分别为边A B、AC 的中点，则DE 为ABC的中位线。
几何言语描绘： D、E 分别为边 A B、AC 的中点，DE//BC, 且DE= 12 BC提示 a：“平行且等于第三边的一半” ，具体运用时要根据标题的要求活络进行选择，并不一定要把两个结论都写出来。
b：一个三角形有三条中位线。
c：通过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要的作辅助线的方法。
（3 ）三角形中位线的运用：例1 ：已知:如图,D,E,F 分别是△ABC 各边的中点.A 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. D E证明：∵D、E、F 分别是△ABC 各边的中点∴DE＝BF＝FC，DF＝A E＝EC，B CFEF＝AD＝DB∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. A例2 ：测量两点之间不能到达的距离的方法:------ 中位线法MCBN 已知 :如图,A,B 两地被池塘离隔 ,在没有任何测量东西的情况下 ,小明通过下面的方法估测出了 A,B间的距离 :先在 AB 外选一点 C,然后步测出 AC,BC 的中点 M,N,并测出 MN 的长,由此他就知道了 A,B间的距离 .你能说出其间的道理吗??吗??联接A、B,∵MN 是△ ABC 的的中位线,∴AB=2MN.（4 ）三角形的重心及其性质三角形三边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。
（1）重心与一边中点的连线的长是对应中线长的1 3（2）重心把中线分成了1:2两部分，如图，OE:OA=OF:OB=OD:OC=1 ：2（3) 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
九年级数学上册 23.4 中位线 中位线非常讲解素材 (新版)华东师大版
中位线非常讲解课前引入同学们好！今天我们所要学习的知识是初中几何的一个重要知识要点，可以这样说，正因为有了它，才使我们许多几何题目更富有趣味性和探究性，它就是我们要学习的三角形中位线.希望同学们喜欢它，学好它.新课讲解三角形的中位线1.定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在△ABC 中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是ABC的一条中位线.图12.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图1，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且12EF BC.3.注意：（1）三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连结一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段.显然，三角形的中位线与三角形的中线都是线段，一个三角形有三条中位线和三条中线.（2）三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，在应用该定理时，应找出符合定理条件的基本图形.4.应用.例1.如图2所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.图2 图3分析：欲证AP=AQ ，可考虑证明APQ AQP ∠=∠.根据题设条件，可取BC 的中点F ，连结FM ，FN ，（如图3）则MF 、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线.利用BD=CE 易证FM=FN ，从而12∠=∠，由平行线的性质可知1,2APQ AQP ∠=∠∠=∠，于是APQ AQP ∠=∠成立，进而结论成立.证明：取BC 的中点F ，连结FM ，FN ，（如图3）由条件知：MF 、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线所以FM ∥AC ，FN ∥BD ，11,22FM CE FN BD == 所以1,2APQ AQP ∠=∠∠=∠又因为BD=CE ，所以 FM=FN所以，12∠=∠，所以APQ AQP ∠=∠，所以 AP=AQ评注：若已知条件中又中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.。
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三角形中位线知识总结
一、三角形中位线的定义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形有三条边，所以三角形的中位线应该有三条，如图1所示：如果点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，那么线段DE 、EF 、
FD 都是三角形的中位线。
例题、如图2所示，在△ABC 中，AB=8cm ，AC=10cm ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，并且AD=4cm ，CE=5cm ，则下列线段中是△ABC 的中位线的是（ ）
A 、线段CD
B 、线段BE
C 、线段DE
D 、线段AE
解：根据三角形的中位线的定义，可以知道线段DE 是三角形的中位线，所以选择C 。
二、三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图3所示，点D 是线段AB 的中点，点E 是线段AC 的中点，则线段BC 就属于第三边，线段DE 是三角形的中位线，所以DE ∥BC ，DE=12
BC 。
例题1、如图1所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，△ABC 的周长是18cm ，则△DEF 的周长是 cm 。
解：根据三角形中位线的性质，可得DE=
12AC ，DF=12BC ，EF=12AB ，所以DE ＋DF ＋EF=12AC ＋12BC ＋12AB=12（AC ＋BC ＋AB ）=12
×18=9cm 。
所以△DEF 的周长是9cm 。
例题2、如图3所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、CA 的中点，并且∠ADE=70°，∠A=80°，则∠C= °。
解：
因为∠ADE=70°，∠A=80°，
所以∠AED=30°。
因为D 、E 分别是AB 、CA 的中点，
F E D C A
E D C B A E
D C
B
A 图1 图2 图3
所以DE∥BC
所以∠C=∠AED=30°。