小学奥数-容斥原理(教师版)
小学奥数《容斥原理》(同步语音)
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设三科都得满分者为x 全班人数 20 20 20 7 8 9 x 3 整理后：全班人数＝39＋x 39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数 就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数 学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人 数一定不超过两科得满分的人数，即 x 7，x 8 且 x 9 ，由此我们得到 x 7 ，另一方面x最小可 能是0，即没有三科都得满分的。 当x取最大值7时，全班有(39 7 )46 人，当x取最小 值0时，全班有39人。 答：这个班最多有46人，最少有39人。
小学数学
容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计
算，人们研究出一种新的计数方法，这 种方法的基本思想是：先不考虑重叠的 情况，把包含于某内容中的所有对象的 数目先计算出来，然后再把计数时重复 计算的数目排斥出去，使得计算的结果 既无遗漏又无重复，这种计数的方法称 为容斥原理。
容斥原理（第一讲）
5、全班有50人，不会骑车的有23人，不会 滑旱冰的有35人，两样都会的有5人。问： 两样都不会的有多少人？ 50-5=45人 23+35-45=15人 6、六年级（2）班有48名学生，其中会骑自 行车的有27个，会游泳的有18人，既会骑自 行车又会游泳的有10人。问两样都不会的有 多少人？ 27+18-10=35人 48-35=13人
容斥原理
试一试：
某班学生每人家里至少有空调和电脑
两种电器中的一种，已知家中有空调 的有41人，有电脑的有34人，二者都 有的有27人，这个班有学生多少人？ 41+34-27=48人
41
27
34
小学奥数容斥原理
小学奥数容斥原理
小学奥数中的容斥原理是一种经典的数学方法，它常常用于解决有关组合计数的问题。
容斥原理可以帮助我们计算两个集合的交集、并集以及差集的元素个数。
具体来说，容斥原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素个数，我们可以先计算每个集合的元素个数，然后减去这两个集合的交集的元素个数。
这样可以避免重复计算。
例如，假设我们有两个集合A和B，集合A中有3个元素，集合B中有4个元素。
如果我们想计算这两个集合的并集的元素个数，根据容斥原理，我们应该先计算集合A的元素个数，再计算集合B的元素个数，然后减去集合A和集合B的交集的元素个数。
另外，容斥原理也可以用于计算三个集合的并集、四个集合的并集，以及更多集合的并集，只需要依次计算每个集合的元素个数，并根据公式依次加减交集的元素个数。
需要注意的是，在应用容斥原理时，我们需要确保计算交集和并集时没有重复计算的情况发生。
这需要我们对问题进行仔细分析和思考，以保证计算结果的正确性。
总之，容斥原理是一种解决组合计数问题的有力工具，在小学奥数中有着重要的应用，通过灵活运用容斥原理，我们可以更快、更准确地解决各类问题。
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
第三十五周容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab Nb Na例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
练习一1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
(小学奥数)容斥原理之最值问题
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)． 二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-5.容斥原理之最值問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 “走美”主試委員會為三～八年級準備決賽試題。
四年级奥数(40讲)《举一反三》第35讲 容斥原理
第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
小学奥数教案——容斥问题
小学奥数教案——容斥问题教案容斥问题一本讲学习目标理解并掌握容斥问题。
二重点难点考点分析容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。
也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。
三概念解析容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质1和性质2分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性质。
四例题讲解一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完请举手”结果没有人举手。
求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人！某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答的不对某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人`在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅'学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。
这个文艺组一共有多少人一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
小学奥数 容斥原理之数论问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1A B7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个． 例题精讲 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，C1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-A B B C A C--A B C A B B C A C A B C ++---+所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个； B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个． 依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个. 【答案】43【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
小学数学五年级下册奥数思维 — 容斥原理
小学数学五年级下册奥数思维—容斥原理知识点解析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？例5：光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？1.分析与解答完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
2.分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
小学数学奥数测试题容斥原理_人教版-教育文档
第 1 页2019年小学奥数计数专题——容斥原理1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?2．某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3只铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?5．有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?6．东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?7．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占32，标有4的倍数的卡片占43，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张?8．在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?9．五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．10．如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．11．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?13．如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?14．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?15．甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?第 1 页参考答案1．17【解析】有至少参加一个小组的同学有15+18－10＝23人，所以有40－23＝17人两个小组都不参加．2．9【解析】有数学、语文至少有一门得满分的学生有45－29＝16人．所以语文成绩得满分的有16－10+3＝9人．3．38【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．1～50之间，4的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡450＝12，6的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡650＝8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有⎥⎦⎤⎢⎣⎡1250＝4． 于是，第一类同学有50－12－8+4＝34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4＝38名同学面向老师．4．232【解析】1～100，2的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100＝50个，3的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡3100＝33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以这样的数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡6100＝16人． 于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100－50－33+16＝33． 所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有50×2+33×3+33×1＝232支．5．90【解析】我们只用先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数．从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．有1～180，3的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡3180＝60个，4的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡4180＝45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡12180＝15个． 注意到180厘米处的记号无法剪断，所以剪了(60－1)+(45－1)－(15－1)＝89，所以绳子被剪成89+1＝90段．6．3【解析】将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级，那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅．而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15－25)÷2＝3幅．7．36【解析】设这些卡片共有x 张，那么标有3的倍数的卡片有32x 张，标有4的倍数的卡片有43x 张，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数． 所以有32x+43x －15＝x ，解得x ＝36． 即这些卡片一共有36张．8．686个【解析】1～1000之间，5的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡51000＝200个，7的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡71000＝142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡351000＝28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000－200－142+28＝686个．9．62【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A ，参加美术兴趣小组的人组成集合B ，参加语文兴趣小组的人组成集合C ．|A|＝25，|B|＝35，|C|＝27，|B ∩C|＝12，|A ∩B|＝8，|A ∩C|＝9，|A ∩B ∩C|＝4,|A ∪B ∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A ∩B|－|A ∩C|－|B ∩C|+|A ∩B ∩C|.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27－12－8－9+4＝62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．10．58【解析】设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．|A|＝|B|＝|C|＝30， |A ∩B|＝6，|B ∩C|＝8，|A ∩C|＝5，|A ∪B ∪C|＝73，而|A ∪B ∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A ∩B|－|B ∩C|－|A ∩C|+|A ∩B ∩C|.有73＝30×3－6－8－5+|A ∩B ∩C|，即|A ∩B ∩C|＝2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只．是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6－2＝4，8－2＝6，5－2＝3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73－4－6－3－2＝58． 11．21【解析】设参加数学小组的学生组成集合A ，参加语文小组的学生组成集合B ，参加文艺小组的学生组成集合C ．三者都参加的学生有x 人．有|A ∪B ∪C|＝46，|A|＝24，|B|＝20，|C|＝3.5|A ∩C|＝7|A ∩B ∩C|，|B ∩C|＝2|A ∩B ∩C|，|A ∩B|＝10．因为|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C|，所以46＝24+20+7x －10－2x－2x+x，解得x＝3，即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3×7＝21人．12．33【解析】设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．|A|＝33，|B|＝44，|C|＝55，|A∩B|＝29，|A∩C|＝25，|B∩C|＝36．本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C|，当|A∩B∩C|最大时，|A ∪B∪C|有最大值．也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最多．而|A∩B∩C|最大不超过|A|、|B|、|C|、|A∩B|、|B∩C|、|A∩C|6个数中的最小值，所以|A∩B∩C|最大为25．有此时|A∪B∪C|＝33+44+55－29－25－36+25＝67，即三者至少有一人借过的数最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．13．9960【解析】如下图，下图中“○”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“○”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，显然此时就有显现的红色点最少，有1994×5－(2－1)×10＝9960个．14．4【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68－100＝46盆，此时甲单独浇过的为78－46＝32盆，乙单独浇过的为68－46＝22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端，于是三者都浇过花最少为58－32－22＝4盆．15．12【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都读过的最少为：75+60－100＝35个，此时甲单独读过的为75－35＝40个，乙单独读过的为60－35＝25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52－40＝12个．评注：注意与14题的区别，本题中必须是从一端连续的排下去，而14题没有要求连续．第 3 页。
小学五年级奥数PPT：容斥原理.ppt
? 例1：设某班每名学生都要选修至少一种外语， 其中选修英语的学生人数为25，选修法语的 学生人数为18，选修德语的学生人数为20， 同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选 修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法 语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三 种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名 学生？
（A+D+E+G）＋（B＋D＋F＋G）＋（C＋E+F+G）-（D＋G）－（F＋G）－（E＋Ｇ）
↓
↓
↓ ↓ ↓↓
２５ ＋ ３４＋ ２２－１８－１４－１２
＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ
＝６块（去重时把 G去完了）
再加上三种都参加的G
２５＋３４＋２２－１８－１４－１２＋８ ＝这个班人数
?结论（公式二）
? 如果被计数的事物有A、B、C三类， 那么，A类或B类或C类事物个数= A类 事物个数+ B类事物个数+C类事物个 数—既是A类又是B类的事物个数—既 是A类又是C类的事物个数—既是B类 又是C类的事物个数+既是A类又是B类 而且是C类的事=158人 158-90=68人
? 3、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2 两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的 有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题 都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？
35+28-20=42人
? 4、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会 下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有 12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少 人？
41+34-27=48（人）
?
41 27 34
容斥原理
?一个班有45名学生，订阅《小学生数 学报》的有 15人，订阅《今日少年报》 的有10人，两种报纸都订阅的有 6人。
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容斥原理 森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。”这个统计正确吗？ 同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理1 如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 即A∪B = A+B - A∩B 容斥原理2 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。 即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C
容斥原理1 【例1】★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 15+12-4=23 【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 【解析】100-(62+34-11)=15 【例2】★一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？ 【解析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。 40-（48－37）=29人。
【小试牛刀】 五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？
【解析】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两
种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。 【例3】★★ 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？ 【解析】由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它年级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：（16＋12－20）÷2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是4＋20=24人。 【例4】★★五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？ 【解析】（24+28-32）÷2=10
【例5】★在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？ 【解析】显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75－20=55人。 【小试牛刀】40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人， 做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人？ 【解析】19人 【例6】★★在1至1000这1000个自然数中，能被5或11整除的自然数一共有多少个？ 【解析】如下图，小圆表示能被11整除的自然数，大圆表示能被5整除的自然数。如果把大圆内的200个自然数和小圆内90个自然数相加，阴影部分的自然数事实上被加了两次。因此要想求出：能被5或11整除的自然数的个数就应该：
能被5整除的自然数的个数+能被11整除的自然数的个数－既能被5整除又能被11整除的自然数的个数=能被5或11整除的自然数的个数。 【解析】 能被5整除的自然数有多少个？ 1000÷5=200 有200个。 能被11整除的自然数有多少个？ 1000÷11=90……10 有90个。 既能被5整除又能被11整除的自然数有多少个？ 1000÷55=18……10 有18个。 所以能被5或11整除的自然数的个数是：200+90－18=272个。 【小试牛刀】 60名同学面向老师站成一横排。老师先让同学们从左到右按照1、2、3、4、……、59、60的顺序依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。请问：现在面向老师的学生还有多少名？ 【解析】从1到60中，4的倍数一共有：60÷4=15个，6的倍数一共有：60÷6=10个，既是4的倍数又是6的倍数有：60÷12=5个。一次都不转的学生是：60－（15+10－5）=40个，转两次的学生有5个，所以面向老师的学生还有40+5=45个。 【例7】★★★有一根长是240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，同时每隔6厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？ 【解析】240厘米长的绳子每隔4厘米作一个记号，这样一共有：240÷4－1=59个记号；每隔6厘米作一个记号，这样一共有：240÷6－1=39个记号。而两者每隔12厘米重复一个记号，这样一共重复了：240÷12－1=19个记号。因此绳子上共有记号数是：59+39－19=79，所以绳子一共被剪成了79+1=80段。 容斥原理2
【例8】★★某校有28名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有15人，参加跳类项目的有13人，参加投掷类项目的有14人，既参加跑又参加跳项目的有4人，既参加跑又参加投掷项目的有 6人，既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有2人，试说明，这个报名表有误。 【解析】按照赞加各个项目的详细人数，该校参加市运动会的人数为15+13+14-4-6-5+2=29人，与实际参加人数不符，所以这个报名表有误。 【小试牛刀】 某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 【解析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。 25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3 【例9】★★★从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？ 【解析】能被3整除的自然数有多少个？ 1000÷3=333……1 有333个。 能被5整除的自然数有多少个？ 1000÷5=200 有200个。 能被7整除的自然数有多少个？ 1000÷7=142……6 有142个。 既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个？ 1000÷15=66……10 有66个。 既能被3整除又能被7整除的自然数有多少个？ 1000÷21=47……13 有47个。 既能被5整除又能被7整除的自然数有多少个？ 1000÷35=28……20 有28个。 能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个？ 1000÷（3×5×7）=9……55 有9个。 能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有： 333+200+142－（66+47+28）+9=457个。 所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：1000－543=457
【小试牛刀】分母是1001的最简分数一共有多少个？ 【解析】这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。 由容斥原理知:在1—1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个. 【例10】★★如下图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？
【解析】三角形ABD、三角形AFD、三角形ACD都可以AD为底，AB为高，故它们的面积都等于AD×AB÷2=15×8÷2=60（平方厘米）。 阴影部分面积=（三角形ABD面积+三角形ACD面积）－ （三角形AFD面积-四边形DEFG面积） =（60+60）-（60-9）=69（平方厘米）。
【小试牛刀】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C
这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？
【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得： ⑴ 先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉． ⑵ 再“排除”：5687x，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回． ⑶ 再“包含”：56873x，这就是三张纸片覆盖的面积． 根据上面的分析得：5687338x，解得：6x． 【例11】★★某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫