四年级奥数容斥原理

第4讲包含与排除——容斥原理

知识要点

以前我们是不是遇到过这样问题：从左边数，小明排在第8个，从右边起小明排在第15个，这一排一共有多少个人？这道题是不是小明被重复计算啦，如果要使得计算的结果既不重复，又无遗漏，就需要把重复的计数排除出去，这样的计数方法就是容斥原理，也称之为重叠问题。

解决这类问题，我们还可以借助韦恩图来分析数量关系。

小明

1人

8人 15人

一般先把包含的所有数量都计算出来，再把重叠的部分排除出去，就可以计算出不重复、不遗漏的数量了：8+15-1=22（人）

精典例题

例1:四（2）班参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加了，这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

模仿练习

学校文艺组的每位同学至少会演奏钢琴和手风琴中的一种乐器，已知会演奏钢琴的有24人，会演奏手风琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，那么文艺组一共有多少人？

精典例题

例2:某餐馆有40道招牌菜，牛牛吃过其中的15道，丁丁吃过其中的9道，且有4道菜是两人都吃过的，那么有多少道招牌菜两人都没有吃过？

模仿练习

在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的人有7人，既没有采樱桃又没有采杏的有6人，只采了杏的有多少人？

先画韦恩图分析数量关系，再利用包含与排除的方法来计算。

先算他们吃过的菜，再算没有吃过的。

精典例题

例3:在1到100这100个自然数中，5和6的倍数一共有多少个？

模仿练习

在1到100这100个自然数中，不能被5和8整除的数一共有多少个？

精典例题

例4:50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左往右按1、2、3……一次报数，然后让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转。现在还面向老师的同学有多少名？

模仿练习

一根长60里面的木棍，每5厘米用红点标记，每6厘米用蓝点标记，延标记的地方把木棍锯断，木棍总共被锯成了多少段？

精典例题

例5：光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个小组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的人数有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，三种都参加了的有5人，问：参加棋类比赛的共有多少人？

模仿练习

三位经理投资了若干只股票，张经理买了66只，王经理买了40只，李经理买了23只，张经理和王经理都买了有17只，王经理和李经理都买了的有13只，李经理和张经理都买了的有9只，三人都买了的有6只，请问这三位经理一共买了多少只不同的股票？

先弄清楚有多少同学转了，有多少个同学没转，再思考哪些同学转了两次，因为没转

的和转了两次的同学都是面向老师的。

先找5的倍数有多少个？6的倍数有多少个？再利用包含与排除的方法解决。

这是属于三个数量的容斥问题，先计算参加三类棋人数的总和，在把重复计算了两次

的人数减去，但要思考：其中重复计算了3次5人，有没有被减掉？减了几次？

家庭作业

1.四（3）班有45人，参加数学兴趣小组的有30人，参加语文兴趣小组的有22人，并且每人至少参加了一个兴趣小组，那么两样都参加了的有几人？

2.对全班的同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人，两项都会的有10人，两项都不会的有9人，这个班一共有多少人？

3.1到100这些自然数中，4和5的倍数一共有多少个？

4. 36个学生回答两个问题，答对第一题的有23人，答对第二题的有25人，两题都答对的有14人，两题都没有答对的有多少人?

5.47名同学参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的有14人，数学得分95分以上的有21人，两门都没有在95分以上的有22人，求两门都在95分以上的有多少人。

6.30名同学面向老师站成一排，老师先让大家从左往右按1、2、3……一次报数，然后让报数是2的倍数的同学向后转，再让报数是3的倍数的同学向后转，现在还有多少名同学面向老师？

7.四年级课外活动有体育、音乐和书法，参加的人数分别是54人、46人、36人，其中参加体育和音乐两组有7人，参加音乐和书法两组的有10人，参加体育和书法两组的有10人，三个组都参加了的有2人，五年级参加课外活动的一共有多少人？