中考数学一模试卷(含解析)8

2016年江苏省盐城中考数学一模试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1． 16的平方根是（）A．8 B．4 C．±4 D．±22．计算（﹣2a3）2的结果是（）A．﹣8a5B．4a6C．8a5D．﹣4a63．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不完全相同的几何是（）A．正方体B．长方体C．球 D．圆锥4．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班60名学生的成绩统计如下：则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）A．80，80 B．70，80 C．80，90 D．90，806．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），则点A关于x轴的对称点B的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1）7．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB=BC，∠1=70°，CD⊥AB于D，那么∠2等于（）A．20° B．30° C．32° D．25°8．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，且A，C在坐标轴上，满足OA=，OC=1．将矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0≤t≤6），旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S，表示S与t的函数关系的图象大致如图所示，则矩形OABC的初始位置是（）A． B． C．D．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）9．使式子有意义的x的取值范围是．10．已知=（a≠0），则代数式的值为．11．分解因式：x2﹣2x+1= ．12．“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”于2016年3月3日在北京胜利召开．截止到2016年3月14日，在百度上搜索关键词“两会”，显示的搜索结果约为96 500 000条．将96 500 000用科学记数法表示应为．13．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．14．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为．15．如图，△ABC的中位线DE=10cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是16cm，则△ABC的面积为cm2．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，⊙O的半径=2，则劣弧的长= ．17．反比例函数y=和正比例函数y=mx的部分图象如图所示，由此可以得到关于x的方程=mx的解为．18．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（，0）、（3，0）、（0，5），点D在第一象限，且∠ADB=60°，则线段CD的长的最小值为．三、解答题（共10小题，满分96分）19．计算：|﹣4|﹣20160﹣cos30°（2）解方程： +3=．20．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．21．国家规定体质健康状况分为优秀、良好、合格和不合格四种等级．为了了解某地区10000名初中学生的体质健康状况，某校数学兴趣小组从该地区七、八、九年级随机抽取了共500名学生数据进行整理分析，他们对其中体质健康为优秀的人数做了以下分析：（1）写出本次随机抽取的七年级人数m= ；（2）补全条形统计图；（3）在分析样本时，发现七年级学生的体质健康状况中不合格人数有10人，若要制作样本中七年级学生体质健康状况等级人数的扇形统计图，求“不合格”人数对应扇形统计图的圆心角度数；（4）根据抽样调查的结果，估计该地区10000名初中学生体质健康状况为优秀的人数．22．从1名男生和3名女生中随机抽取参加“最是书香能致远”演讲比赛的同学．（1）若抽取1名，恰好是男生的概率为；（2）若抽取2名，求其中有男生参加比赛的概率．（用树状图或列表法求解）23．如图，已知AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN 交于点N．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）求证：四边形BNCM是菱形．24．如图，一艘潜艇在海面下500米深处的A点，测得正前方俯角为31.0°方向上的海底有黑匣子发出的信号，潜艇在同一深度保持直线航行500米，在B点处测得海底黑匣子位于正前方俯角为36.9°的方向上，求海底黑匣子C所在点距离海面的深度．（精确到1米）（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin31.0°≈0.51，cos31.0°≈0.87，tan31.0°≈0.60）25．小明为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小明一次性购买这种服装x（x为正整数）件，支付y元．（1）当x=12时，小明购买的这种服装的单价为元；（2）写出y关于x的函数表达式，并给出自变量x的取值范围；（3）小明一次性购买这种服装付了1050元，请问他购买了多少件这种服装？26．如图1，C地位于A，B两地之间，甲步行直接从C地前往B地；乙骑自行车由C地先回A地，再从A地前往B地（在A地停留时间忽略不计）．已知两人同时出发且速度不变，乙的速度是甲的倍，设出发xmin后甲、乙两人离C地的距离分别为y1m，y2m，图②中线段OM表示y1与x的函数图象．（1）甲的速度为m/min，乙的速度为m/min；（2）在图2中画出y2与x的函数图象；（3）求甲乙两人相遇的时间；（4）在上述过程中，甲乙两人相距的最远距离为m．27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，连接CD．（1）如图1，如果∠A=30°，那么DE与CE之间的数量关系是 DE=BC．（2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，如果∠A=45°，P是射线CB上一动点（不与B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D 逆时针旋转90°，得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）．28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、C（1，0），与y轴交于点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PA，以PA为边作矩形APMN使得=4，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（4）如图2，若点Q（0，t）为y轴上任意一点，⊙I为△ABO的内切圆，若⊙I上存在两个点M，N，使∠MQN=60°，请直接写出t的取值范围．2016年江苏省盐城初级中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．16的平方根是（）A．8 B．4 C．±4 D．±2【考点】平方根．【分析】看看哪些数的平方等于16，就是16的平方根．【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故选C．【点评】本题考查平方根的概念，要熟记这些概念，本题属于基本运算，要求必须掌握．2．计算（﹣2a3）2的结果是（）A．﹣8a5B．4a6C．8a5D．﹣4a6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】分别利用积的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a3）2=4a6．故选：B．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不完全相同的几何是（）A．正方体B．长方体C．球D．圆锥【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据几何体的三种视图，对各图形的主视图与左视图分析后进行选择即可．【解答】解：A、正方体的主视图与左视图是全等的正方形；B、长方体的主视图的长方形的长与宽分别是长方体的长与高，左视图的长方形的长与宽分别是长方体的宽与高，两图形不一定相同；C、球的主视图与左视图是半径相等的圆；D、圆锥的主视图与左视图是全等的等腰三角形．故选B．【点评】本题考查简单几何体的三视图的相关知识；判断出所给几何体的三视图是解决本题的关键．4．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班60名学生的成绩统计如下：则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）A．80，80 B．70，80 C．80，90 D．90，80【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．【解答】解：由统计表知：这组数据的个数是60，中间的第30和第31个数都是80，则中位数是80，80出现的次数最多，则众数是80．故选：A．【点评】此题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的概念是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），则点A关于x轴的对称点B的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：∵A（﹣1，2），∴点A关于x轴的对称点的坐标是：（﹣1，﹣2）．故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．7．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB=BC，∠1=70°，CD⊥AB于D，那么∠2等于（）A．20° B．30° C．32° D．25°【考点】平行线的性质．【分析】先由平行线的性质得出∠ACB=∠1=70°，根据等角对等边得出∠BAC=∠ACB=70°，由垂直的定义得到∠ADC=90°，那么∠2=90°﹣∠DAC=20°．【解答】解：∵m∥n，∴∠ACB=∠1=70°，∵AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=70°，∵CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°，∴∠2=90°﹣∠DAC=90°﹣70°=20°．故选A．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，垂直的定义，三角形内角和定理，求出∠BAC=70°是解题的关键．8．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，且A，C在坐标轴上，满足OA=，OC=1．将矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0≤t≤6），旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S，表示S与t的函数关系的图象大致如图所示，则矩形OABC的初始位置是（）A． B． C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图象计算0秒、2秒、6秒的时候，矩形在第二象限内的面积为S，即可分析出矩形OABC 的初始位置．【解答】解：由图象可以看出在0秒时，S=0，在2秒时，S=，在6秒时，S=；由题意知，矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转，6秒逆时针旋转90°，S=，不难发现B和D都符合，但在2秒时，S=，即矩形OABC绕原点0逆时针旋转30°时，S=，则只有D符合条件．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的图象以及旋转问题，正确分析0秒、2秒、6秒时图形的位置和图形在第二象限的面积是解决问题的关键．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）9．使式子有意义的x的取值范围是x≥﹣6 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】直接利用二次根式有意义的条件，进而得出x的取值范围．【解答】解：使式子有意义，则x+6≥0，解得：x≥﹣6，则x的取值范围是：x≥﹣6．故答案为：x≥﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．10．已知=（a≠0），则代数式的值为 5 ．【考点】分式的值．【分析】令==k，则a=3k，b=2k，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：令==k，则a=3k，b=2k，故原式===5．故答案为：5．【点评】本题考查的是分式的值，分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．11．分解因式：x2﹣2x+1= （x﹣1）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．12．“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”于2016年3月3日在北京胜利召开．截止到2016年3月14日，在百度上搜索关键词“两会”，显示的搜索结果约为96 500 000条．将96 500 000用科学记数法表示应为9.65×107．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将96500000用科学记数法表示应为9.65×107，故答案为：9.65×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜1 ．【考点】根的判别式．【专题】推理填空题．【分析】关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=m，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，解得：m＜1．故答案为m＜1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为．【考点】几何概率．【分析】利用击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比，进而求出答案．【解答】解：∵整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个，∴落在黑色区域即获得笔记本的概率为，故答案为：．【点评】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比=几何概率．15．如图，△ABC的中位线DE=10cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F 两点间的距离是16cm，则△ABC的面积为160 cm2．【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．【分析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC=2DE=20cm；由折叠的性质可得：AF⊥DE，∴AF⊥BC，∴S△ABC=BC×AF=×20×16=160cm2，故答案为：160．【点评】本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出AF是△ABC的高．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，⊙O的半径=2，则劣弧的长= ．【考点】弧长的计算；圆内接四边形的性质．【分析】连接OB、OD，首先根据圆周角定理求出∠BOD的度数，然后根据弧长公式求解．【解答】解：连接OB、OD，∵∠A=100°，∴∠C=80°，∴∠BOD=160°，则劣弧==．故答案为：．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是根据圆周角定理求出∠BOD的度数，注意掌握弧长公式．17．反比例函数y=和正比例函数y=mx的部分图象如图所示，由此可以得到关于x的方程=mx的解为x=1或x=﹣1 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；分式方程的解．【分析】由函数与方程的关系可得到方程的解即为函数图象交点的横坐标，可求得答案．【解答】解：∵点C（1，2）为两函数图象的一个交点，∴两函数图象的另一交点坐标为（﹣1，﹣2），∴关于x的方程=mx的解为x=1或x=﹣1，故答案为：x=1或x=﹣1．【点评】本题主要考查函数与方程的关系，掌握两函数的交点横坐标即为两函数解析式组成的方程的解是解题的关键．18．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（，0）、（3，0）、（0，5），点D在第一象限，且∠ADB=60°，则线段CD的长的最小值为2﹣2 ．【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；垂径定理；圆周角定理．【分析】作圆，求出半径和PC的长度，判出点D只有在CP上时CD最短，CD=CP﹣DP求解．【解答】解：作圆，使∠ADB=60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示：∵A（，0）、B（3，0），∴E（2，0）又∠ADB=60°，∴∠APB=120°，∴PE=1，PA=2PE=2，∴P（2，1），∵C（0，5），∴PC==2，又∵PD=PA=2，∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）∴CD最小值为：2﹣2．故答案为：2﹣2．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决本题的关键是判出点D只有在CP上时CD最短．三、解答题（共10小题，满分96分）19．（1）计算：|﹣4|﹣20160﹣cos30°（2）解方程： +3=．【考点】解分式方程；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=4﹣1﹣×=3﹣=2；（2）去分母得：1+3x﹣6=x﹣1，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．【解答】解：∵由①得：，由②得：x≤1，∴不等式组的解集为：，在数轴上表示不等式组的解集为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．国家规定体质健康状况分为优秀、良好、合格和不合格四种等级．为了了解某地区10000名初中学生的体质健康状况，某校数学兴趣小组从该地区七、八、九年级随机抽取了共500名学生数据进行整理分析，他们对其中体质健康为优秀的人数做了以下分析：（1）写出本次随机抽取的七年级人数m= 200 ；（2）补全条形统计图；（3）在分析样本时，发现七年级学生的体质健康状况中不合格人数有10人，若要制作样本中七年级学生体质健康状况等级人数的扇形统计图，求“不合格”人数对应扇形统计图的圆心角度数；（4）根据抽样调查的结果，估计该地区10000名初中学生体质健康状况为优秀的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据七年级优秀人数除以优秀人数所占的百分比，可得答案；（2）根据八年级优秀人数除以优秀人数所占的百分比，可得八年级的人数，根据有理数的减法，可得九年级人数，根据九年级人数乘以九年级的优秀率，可得九年级优秀的人数，可得答案；（3）根据七年级不合格人数除以七年级的人数乘以360°，可得答案；（4）根据优秀率诚意总人数，可得答案．【解答】解：（1）本次随机抽取的七年级人数m=38÷19%=200，故答案为：200．（2）八年级人数26÷26%=100人，九年级人数500﹣200﹣100=200人，九年级人数优秀的人数200×28%=56人，统计图正确；（3）“不合格”人数占七年级总人数的百分比==5%．“不合格”人数对应扇形统计图的圆心角度数=360°×5%=18°．答：“不合格”人数对应扇形统计图的圆心角度数为18°．（4）×10000=2400人．答：估计该地区10000名初中学生体质健康状况优秀人数是2400人．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率；折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．22．从1名男生和3名女生中随机抽取参加“最是书香能致远”演讲比赛的同学．（1）若抽取1名，恰好是男生的概率为；（2）若抽取2名，求其中有男生参加比赛的概率．（用树状图或列表法求解）【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）由1名男生和3名女生中随机抽取参加“最是书香能致远”演讲比赛，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与有男生参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵1名男生和3名女生中随机抽取参加“最是书香能致远”演讲比赛，∴抽取1名，恰好是男生的概率为：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，其中有男生参加比赛的有6种情况，∴有男生参加比赛的概率==．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（2015•溧水县二模）如图，已知AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．过点C作CN∥BD，过点B 作BN∥AC，CN与BN交于点N．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）求证：四边形BNCM是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）利用SSS定理可直接判定△ABC≌△DCB；（2）首先根据CN∥BD、BN∥AC，可判定四边形BNCM是平行四边形，再根据△ABC≌△DCB可得∠1=∠2，进而可得BM=CM，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．【解答】解：（1）∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）；（2）∵CN∥BD、BN∥AC，∴四边形BNCM是平行四边形，∵△ABC≌△DCB，∴∠1=∠2，∴BM=CM，∴四边形BNCM是菱形．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．24．如图，一艘潜艇在海面下500米深处的A点，测得正前方俯角为31.0°方向上的海底有黑匣子发出的信号，潜艇在同一深度保持直线航行500米，在B点处测得海底黑匣子位于正前方俯角为36.9°的方向上，求海底黑匣子C所在点距离海面的深度．（精确到1米）（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin31.0°≈0.51，cos31.0°≈0.87，tan31.0°≈0.60）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先作CD⊥AB于D，依题意，AB=500米，∠DAC=31.0°，∠CBD=36.9°，设CD=x，分别解Rt△ACD和Rt△BCD，表示出AD、BD，再根据AD﹣BD=AB列出方程，解方程求出x即可．【解答】解：作CD⊥AB于D，依题意，AB=500米，∠DAC=31.0°，∠CBD=36.9°，设CD=x，在Rt△ACD中，tan31.0°=，∴AD=x．在Rt△BCD中，tan36.9°=，∴BD=x．∵AD﹣BD=AB，∴x﹣x=500，解得x=1500，x+500=2000．答：海底黑匣子C所在点距离海面的深度为2000米．【点评】此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解俯角的定义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题．25．小明为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小明一次性购买这种服装x（x为正整数）件，支付y元．（1）当x=12时，小明购买的这种服装的单价为76 元；（2）写出y关于x的函数表达式，并给出自变量x的取值范围；（3）小明一次性购买这种服装付了1050元，请问他购买了多少件这种服装？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）根据每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，由此即可解决．（2）分①0≤x≤10，②10＜x≤25，③x＞25，分别求出y与x的关系即可．（3）根据（2）中结论列出方程即可解决，注意自变量的取值范围．【解答】解：（1）由题意x=12时，单价为76元，故答案为76．（2）①当0≤x≤10时，y=80x，②∵单价不得低于50元，∴降价了30元，购买了25件，∴10＜x≤25时，y=[80﹣2（x﹣10）]x=﹣2x2+100x，③当x＞25时，y=50x，综上所述y=．（3）①﹣2x2+100x=1050，解得x=15或35，∵10＜x≤25，∴x=15．②50x=1050，解得x=21，21＜25不合题意舍弃，答：小明购买了15件这种服装．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、分段函数等知识，解题的关键是理解题意，正确求出分段函数的解析式，学会构建函数解决实际问题，属于中考常考题型．26．如图1，C地位于A，B两地之间，甲步行直接从C地前往B地；乙骑自行车由C地先回A地，再从A地前往B地（在A地停留时间忽略不计）．已知两人同时出发且速度不变，乙的速度是甲的倍，设出发xmin后甲、乙两人离C地的距离分别为y1m，y2m，图②中线段OM表示y1与x的函数图象．（1）甲的速度为80 m/min，乙的速度为200 m/min；（2）在图2中画出y2与x的函数图象；（3）求甲乙两人相遇的时间；（4）在上述过程中，甲乙两人相距的最远距离为960 m．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象中点（30，2400），利用“速度=路程÷时间”可算出甲的速度，再根据甲乙速度间的关系可得出乙的速度；（2）根据乙的速度，以及A、C两地及B、C两地间的距离，利用“时间=路程÷速度”可找出函数图象经过点（0，0）、（3，600）、（6，0）、（18，2400），按照顺序连接两点即可得出结论；（3）设甲乙两人相遇的时间为xmin，结合（2）y2与x的函数图象可知，乙相当于比甲晚出发6分钟，依照“路程=速度×时间”可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论；（4）结合函数图象可知：最值只有可能出现在两种情况下，乙刚到A地时或乙到B地时，分别求出两种情形下两人间的距离，再作比较即可得出结论．【解答】解：（1）甲的速度为：2400÷30=80（m/min）；乙的速度为：80×2.5=200（m/min）．故答案为：80；200．（2）∵600÷200=3（min），600×2÷200=6（min）．2400÷200+6=18（min）．∴y2与x的函数图象过点（0，0）、（3，600）、（6，0）、（18，2400）．画出图形如图所示．（3）设甲乙两人相遇的时间为xmin，依题意得：80x=200（x﹣6），解得：x=10．答：甲乙两人相遇的时间为10min．。