八年级上册三角形解答题专题练习(word版
【精选】八年级数学上册三角形解答题(篇)(Word版 含解析)
【精选】八年级数学上册三角形解答题（篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究一：如图1．在△ABC 中，已知O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现1902BOC A ︒∠=+∠．理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，∴112ABC ∠=∠，122ACB ∠=∠； ∴()0011112()18090222ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=-∠=-∠， ∴11180(12)180909022BOC A A ︒︒︒︒⎛⎫∠=-∠+∠=--∠=+∠ ⎪⎝⎭（1）探究二：如图2中，已知O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？并说明理由．（2）探究二：如图3中，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？【答案】（1）12BOC A ∠=∠，理由见解析；（2）1902BOC A ︒∠=-∠． 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OBC =12∠ABC ，∠OCD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠OCD =12∠ACD =12∠A +∠OBD ，∠BOC =∠OCD -∠OBC ，然后整理即可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；【详解】（1）12BOC A ∠=∠，理由如下： ∵BO 和CO 分别是ABC ∠与ACD ∠的平分线，∴12OBD ABC ∠=∠，12OCD ACD ∠=∠， 又∵ACD ∠是ABC 的一个外角，∴1122OCD ACD A OBD ∠=∠=∠+∠， ∵OCD ∠是BOC 的一个外角， ∴1122BOC OCD OBD A OBD OBD A ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠ 即12BOC A ∠=∠ （2）∵BO 与CO 分别是∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴∠OBC =12∠CBD ，∠OCB =12∠BCE 又∵∠CBD 与∠BCE 都是△ABC 的外角，∴∠CBD =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，∴∠OBC =12∠CBD =12（∠A +∠ACB ），∠OCB =12∠BCE =12（∠A +∠ABC ）， ∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ）∴1902BOC A ︒∠=-∠ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．2．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=；（3）75°．【解析】 【分析】 （1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数；（2）∠DCE ＝2αβ- ．（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+12∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，又因为CE 是∠ACB 的平分线， 所以1352ACE ACB ∠=∠=︒． 因为CD 是高线，所以∠ADC ＝90°，所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°， 所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°．（2）DCE 2αβ-∠=．（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′，则152DCE αβ-'==︒∠．因为CE 是∠ACB 的外角平分线，所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1(+)2ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．即∠DCE 的度数为75°．【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．3．如图，四边形ABCD ，BE 、DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC ，若∠BAD=α，∠BCD=β（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．【答案】（1）120°；（2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及α+β=120°推导即可；（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBG+∠CDG=12(α+β)，在△BCD中利用三角形的内角和定理得∠BDC+∠CDB =180°﹣β，在△BDG中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；（3）延长BC交DF于H，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBE+∠CDH=12(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入∠CBE+∠CDH=12(α+β)计算即可得出一组内错角相等．【详解】（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，∵α+β=120°，∴∠MBC+∠NDC=120°；（2）β﹣α=60°理由：如图1，连接BD，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，∴12(α+β)+180°﹣β+30°=180°，∴β﹣α=60°，(3)平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=12∠NDC，∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(α+β)，∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(β+β)=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．4．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E= °；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=12y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+452y+=∠F+12y，由此即可求得答案；（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=22.53α+，再根据∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°，∴2y+180﹣2x=90，x﹣y=45，∵∠CAF=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；（2）①如图2所示，②如图2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF=12 y，∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+12y ①，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，∴∠EAF=452y+②，把②代入①得：45°+452y+=∠F+12y，∴∠F=67.5°，即∠AFC=67.5°；（3）如图3，设∠FAH=α，∵AF平分∠EAB，∴∠FAH=∠EAF=α，∵∠AFM=13∠AFC=13×67.5°=22.5°，∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.5+∠FCH，∴∠FCH=α﹣22.5①，∵∠AHN=13∠AHC=13（∠B+∠BCH）=13（90+2∠FCH）=30+23∠FCH，∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，∴α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH，②把①代入②得：∠FPH=22.53α+，∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，α﹣22.5=mα+n22.5·3α+，解得：m=2，n=﹣3．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.5．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .拓展延伸：（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .【答案】解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5【解析】试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．试题解析：解：解决问题连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE=2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．拓展延伸：解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．（2）连接AO ．∵CO =DO ，∴△BOD 的面积=△BOC 的面积=3，△AOC 的面积=△AOD 的面积．∵BO =2EO ，∴△EOC 的面积=△BOC 的面积的一半=1.5， △AOB 的面积=2△AOE 的面积．设△AOD 的面积=a ，△AOE 的面积=b ，则a +3=2b ，a =b +1.5，解得：a =6，b =4.5，∴四边形ADOE 的面积为=a +b =6+4.5=10.5．6．已知，在ABC 中，∠A =60°，（1）如图①，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= ；（2）如图②，∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，则2_________BO C ∠=；（3）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -（内部有1n -个点），则1-∠=n BO C ；（4）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -，若190-∠=︒n BO C ，求n 的值．【答案】（1）120°；（2）100°；（3）60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n ；（4）n=4 【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC ＋∠OCB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据三等分线的定义即可求出∠O 2BC ＋∠O 2CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据n 等分线的定义即可求出∠O n －1BC ＋∠O n －1CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ∴∠OBC ＋∠OCB=12∠ABC ＋12∠ACB =12（∠ABC ＋∠ACB ） =60°∴∠BOC=180°－（∠OBC ＋∠OCB ）=120°故答案为：120°．（2）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，∴∠O 2BC=23∠ABC ，∠O 2CB=23∠ACB ∴∠O 2BC ＋∠O 2CB=23∠ABC ＋23∠ACB =23（∠ABC ＋∠ACB ） =80°∴2∠=BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=100°故答案为：100°．（3）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -∴∠O n －1BC=1n n -∠ABC ，∠O n －1CB=1n n-∠ACB ∴∠O n －1BC ＋∠O n －1CB=1n n -∠ABC ＋1n n -∠ACB =1n n-（∠ABC ＋∠ACB ） =120120-⎛⎫ ⎪⎝⎭n n ° ∴1-∠=n BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n 故答案为：60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n（4）由（3）知：1-∠=n BO C 60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n ∴6012090+=n n解得：n=4 经检验：n=4是原方程的解．【点睛】本题考查了n 等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n 等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．7．（1）如图①∠1＋∠2与∠B ＋∠C 有什么关系？为什么？（2）把图①△ABC 沿DE 折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B ＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，当∠A ＝40°时，∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2＝______.（3）如图③,是由图①的△ABC 沿DE 折叠得到的,如果∠A ＝30°,则x ＋y ＝360°－（∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2）＝360°－ ＝ ,猜想∠BDA ＋∠CEA 与∠A 的关系为【答案】见解析.【解析】【分析】试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C ；（2）△ABC 沿DE 折叠，∠1+∠2=∠B+∠C ，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A ．试题解析：解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C ，理由如下：在△ADE 中，∠1+∠2 = 180°- ∠A在△ABC 中，∠B+∠C = 180°- ∠A∴ ∠1+∠2 = ∠B+∠C（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C ，当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA 与∠A 的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和．【详解】 请在此输入详解！ 8．如图，90CDE CED ∠+∠=︒，EM 平分CED ∠，并与CD 边交于点M ．DN 平分CDE ∠，并与EM 交于点N ．（1）依题意补全图形，并猜想EDN NED ∠+∠的度数等于 ；（2）证明以上结论．证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠，∴ 12EDN CDE ∠=∠， NED ∠＝ ．（理由： ）∵ 90CDE CED ∠+∠=︒，∴EDN NED ∠+∠＝ ×（∠ ＋∠ ）＝ ×90°＝ °．【答案】（1）45度；（2）1,2CED ∠ 角平分线的定义， 12 ，CDE,CED, 12, 45． 【解析】 试题分析：（1）按要求画∠CDE 的角平分线交ME 于点N ，根据题意易得∠EDN+∠NED=45°； （2）根据已有的证明过程添上相应空缺的部分即可；试题解析：（1）补充画图如下：猜想：∠EDN+∠NED 的度数=45°；（2）将证明过程补充完整如下：证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠，∴ 12EDN CDE ∠=∠，NED ∠＝12∠CED ．（理由：角平分线的定义） ∵ 90CDE CED ∠+∠=︒， ∴EDN NED ∠+∠＝12×（∠CDE+∠CED ）＝ 12×90°＝45°．故原空格处依次应填上：12∠CED 、角平分线的定义、CDE 、CED 、12和45.9．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ．(1)若∠B ＝72°，∠C ＝30°，①求∠BAE 的度数；②求∠DAE 的度数；(2)探究：如果只知道∠B ＝∠C ＋42°，也能求出∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【答案】（1）①39°；②21°；（2）21°.【解析】【分析】()1①先根据三角形内角和定理计算出BAC 78∠=，然后根据角平分线定义得到1BAE BAC 392∠∠==；②根据垂直定义得到ADB 90∠=，则利用互余可计算出BAD 90B 18∠∠=-=，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可； ()2由B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+可消去C ∠得到BAC 2222B ∠∠=-，则根据角平分线定义得到BAE 111B ∠∠=-，接着在ABD 中利用互余得BAD 90B ∠∠=-，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可得到DAE 21∠=．【详解】解：()1B C BAC 180∠∠∠++=①，BAC 180723078∠∴=--=，AE 平分BAC ∠，1BAE BAC 392∠∠∴==； AD BC ⊥②，ADB 90∠∴=，BAD 90B 18∠∠∴=-=，DAE BAE BAD 391821∠∠∠∴=-=-=；()2能．B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+，C B 42∠∠∴=-，2B BAC 222∠∠∴+=，BAC 2222B ∠∠∴=-，AE 平分BAC ∠，BAE 111B ∠∠∴=-，在ABD 中，BAD 90B ∠∠=-，()()DAE BAE BAD 111B 90B 21∠∠∠∠∠∴=-=---=．【点睛】本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180.掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．10．已知：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P .（1）观察度量，BPC ∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）（2）若绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）（3）在（2）的条件下，求出BPC ∠的度数.【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．【解析】分析：（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：由△ABD 与△ACE 都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形DAC 与三角形BAE 全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE ，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC 的度数即可．本题解析：（1）∠BPC的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BA E中，{AD ABDAC BAE AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BAE中，{AD ABDAC BAC AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。
八年级数学全等三角形专题练习(word版
八年级数学全等三角形专题练习（word版一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE≅BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠（8字形）∴°120CFD∠=在CAI和BAJ中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.2．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，求出△COD是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC，OD，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．3．如图，点P是AOB∠内任意一点，OP=5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN PM MN++的最小值是5 cm，则AOB∠的度数是__________．【答案】30°【解析】试题解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．4．如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵AB DBABE DBCBE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，∵AEB DCB EB CB MBE NBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△MBE ≌△NBC （ASA ），∴BM=BN ，∠MBE=60°，则△BMN 为等边三角形，故⑤正确；∵△BMN 为等边三角形，∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD ，∴MN//AB ，故②正确；③无法证明PM=PN ，因此不能得到BD ⊥AE ；④由①得∠EAB=∠CDB ，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°，故④正确，故答案为：①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．5．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若AQ PQ =，PR PS =，那么下面四个结论：①AS AR =；②QP //AR ；③△BRP ≌△QSP ；④BRQS ，其中一定正确的是（填写编号）_____________.【答案】①，②【解析】【分析】连接AP ，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS ，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ，推出∠QPA=∠BAP ，根据平行线判定推出QP ∥AB 即可；在Rt △BRP 和Rt △QSP 中，只有PR=PS ．无法判断△BRP ≌△QSP 也无法证明BRQS ．【详解】解：连接AP①∵PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，PR=PS ，∴点P 在∠BAC 的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP ，在Rt △ARP 和Rt △ASP 中，由勾股定理得：AR 2=AP 2-PR 2，AS 2=AP 2-PS 2，∵AP=AP ，PR=PS ，∴AR=AS ，∴①正确；②∵AQ=QP ，∴∠QAP=∠QPA ，∵∠QAP=∠BAP ，∴∠QPA=∠BAP ，∴QP ∥AR ，∴②正确；③在Rt △BRP 和Rt △QSP 中，只有PR=PS ，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②. 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.6．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为_______.【答案】4【解析】【分析】延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】延长AB至F，使BF=CN，连接DF．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠BCD=∠DBC=20°．∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠DBA=∠DCA=90°．在Rt△BDF和Rt△CND中，∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．∵∠MDN=70°，∴∠BDM+∠CDN=70°，∴∠BDM+∠BDF=70°，∴∠FDM=70°=∠MDN．∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．故答案为：4． 【点睛】本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．7．如图，已知AB AC =，AD 平分BAC ∠，60DEB EBC ∠=∠=︒，若3BE =，3DE =，则BC =____________．【答案】33+【解析】【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形，△FDE 是等边三角形，在△DNM 中求出NM 的长度，即可求出BC 的长度.【详解】如图，延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F ，∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵60DEB EBC ∠=∠=︒，∴△BEM 是等边三角形，∴△FDE 是等边三角形，∵3BE =，3DE =，∴33DM =-，∵△BEM 是等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴1332NM DM -==， ∴33333BN BM NM -+=-=-=， ∴233BC BN ==+.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.8．如图，△ABC 中，AB =AC =12厘米，BC =9厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以v 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动。
三角形解答题达标检测卷(Word版 含解析)
三角形解答题达标检测卷（Word版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．【解析】【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得110（133-x）+x=70，求出x的值即可.【详解】（1）如图（1），连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=40°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，∴12（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴12ADC ADB∠=∠，12AEC AEB∠=∠，∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,=45°+40°, =85°；③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C=70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD=133°-x°∴110（133-x）+x=70，∴13.3-110x+x=70，解得x=63，即∠A的度数为63°.【点睛】此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.2．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．【答案】（1）120°；（2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及α+β=120°推导即可；（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBG+∠CDG=12(α+β)，在△BCD中利用三角形的内角和定理得∠BDC+∠CDB =180°﹣β，在△BDG中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；（3）延长BC交DF于H，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBE+∠CDH=12(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入∠CBE+∠CDH=12(α+β)计算即可得出一组内错角相等．【详解】（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，∵α+β=120°，∴∠MBC+∠NDC=120°；（2）β﹣α=60°理由：如图1，连接BD，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，∴12(α+β)+180°﹣β+30°=180°，∴β﹣α=60°，(3)平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=12∠NDC，∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(α+β)，∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(β+β)=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．3．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠A+∠C=2∠P【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．4．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．①②【答案】(1)∠EFD＝12∠C－12∠B.（）成立，理由见解析.【解析】【分析】先根据AE平分∠BAC推出∠BAE=12∠BAC=12[180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．【详解】解：(1)∠EFD＝12∠C－12∠B.理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝12∠BAC.由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋12∠BAC，故∠B＋12∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形内角和定理得∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即12∠C＋12∠B＋12∠BAC＝90°②.②－①，得∠EFD＝12∠C－12∠B.(2)成立．理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋12∠BAC，故∠B＋12∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即12∠B＋12∠BAC＋12∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝12∠C－12∠B.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．5．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E= °；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=12y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+452y+=∠F+12y，由此即可求得答案；（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=22.53α+，再根据∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°，∴2y+180﹣2x=90，x﹣y=45，∵∠CAF=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；（2）①如图2所示，②如图2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF=12 y，∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+12y ①，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，∴∠EAF=452y+②，把②代入①得：45°+452y+=∠F+12y，∴∠F=67.5°，即∠AFC=67.5°；（3）如图3，设∠FAH=α，∵AF 平分∠EAB ，∴∠FAH=∠EAF=α，∵∠AFM=13∠AFC=13×67.5°=22.5°， ∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH ，∴45+α=67.5+∠FCH ，∴∠FCH=α﹣22.5①， ∵∠AHN=13∠AHC=13（∠B+∠BCH ）=13（90+2∠FCH ）=30+23∠FCH ， ∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH ， ∴α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH ，② 把①代入②得：∠FPH=22.53α+， ∵∠FCH=m ∠FAH+n ∠FPH ，α﹣22.5=mα+n 22.5·3α+，解得：m=2，n=﹣3．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.6．ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，AE BC ⊥，垂足为E ，作CF//AD ，交直线AE 于点F.设B α∠=，ACB β∠=．()1若B 30∠=，ACB 70∠=，依题意补全图1，并直接写出AFC ∠的度数； ()2如图2，若ACB ∠是钝角，求AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)；()3如图3，若B ACB ∠∠>，直接写出AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）补图见解析，AFC 20∠=；（2） ()1AFC 180βα2∠=--；（3） ()1AFC αβ2∠=-． 【解析】【分析】 (1)先根据三角形内角和定理求出∠BAC 和∠CAE ，根据角平分线定义求出∠CAD ，即可求出答案；(2)先根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据角平分线定义求出∠BAD ，根据三角形外角性质求出∠ADC ，根据三角形内角和定理求出∠DAE ，根据平行线的性质求出即可；(3)求出∠DAE 度数，根据平行线的性质求出即可．【详解】解：()1如图1，B 30∠=，ACB 70∠=，BAC 180B ACB 80∠∠∠∴=--=，AD 是BAC ∠的平分线，1CAD CAB 402∠∠∴==，AE BC ⊥，AEC 90∠∴=， ACB 70∠=，EAC 180907020∠∴=--=，DAE CAD CAE 402020∠∠∠∴=-=-=，CF//AD ，AFC DAE 20∠∠∴==；()2如图2，ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=，()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+．()180αβ=-+，AD 是BAC ∠的平分线，()11BAD BAC 90αβ22∠∠∴==-+， ()()11ADE B BAD α90αβ90βα22∠∠∠∴=+=+-+=--， AE BC ⊥，DAE ADE 90∠∠∴+=，()1DAE 90ADE βα2∠∠∴=-=-， CF//AD ，DAE AFC 180∠∠∴+=，()1AFC 180βα2∠∴=--； ()3如图3，ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=，()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+，()180αβ=-+，AD 是BAC ∠的平分线，()11CAD BAC 90αβ22∠∠∴==-+， AE BC ⊥，AEC 90∠∴=，ACB β∠=，EAC 18090β90β∠∴=--=-，()()()11DAE CAE CAD 90β90αβαβ22∠∠∠⎡⎤∴=-=----=-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.7．如图，已知，在△ABC 中，∠B＜∠C，AD 平分∠BAC，E 的线段AD(除去端点A 、D)上一动点，EF⊥BC 于点F.(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C 的度数．(2)当E 在AD 上移动时，∠B、∠C、∠DEF 之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．【答案】(1)∠C＝60°.(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由见解析【解析】试题分析：（1）已知：EF⊥BC，∠DEF＝10°可以求得∠EDF 的度数，∠EDF 又是∆ABD 的外角，已知∠B的度数，可求得∠BAD的值，AD平分∠BAC，所以∠BAC的值也可求出，从而求出∠C。
数学八年级上册 全册全套试卷专题练习(word版
数学八年级上册 全册全套试卷专题练习（word 版一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问：()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由，()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00)45(a ≤≤时，探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析．【解析】【分析】（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠，30C ∠=︒， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=︒，即可利用三角形内角和求出答案.【详解】()1当a 为15时，//AB CD ，理由：由图()2，若//AB CD ，则30BAC C ∠=∠=，453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒，所以，当a 为15时，//AB CD ．注意：学生可能会出现两种解法：第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15，第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ，这两种解法都是正确的． ()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒证明： ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,30FEM CAM ∴∠=∠+︒,EFM BDC DBM ∠=∠+∠,DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=︒--=︒,所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105.【点睛】此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.2．如图1，等腰△ABC 中，AC =BC ＝42∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，D 为线段AO 上一动点，以CD 为一边在CD 下方作等腰△CDE ,使CD =CE 且∠DCE=45˚，连结BE .(1) 求证：△ACD ≌△BCE ；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ,若CP ＝CQ ＝5,求PQ 的长.(3) 连接OE ，直接写出线段OE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-3．在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，∠AED =90°，点 F 为 AD 上一点，AF =AB .求证：（1）△ABE ≌AFE ；（2）AD =AB +CD（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED =120°，点 F ，G 均为 AD 上的点，AF =AB ，GD =CD .求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD =AB + 12BC +CD .【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ，即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG 是等边三角形，∴GF=EF=BE=12BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+12BC ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．4．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F（1）证明：PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明5．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8【解析】【分析】（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．【详解】解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0∴a＝b＝4过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM∴OA平分∠MON即OA是第一象限的角平分线（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H∴∠OAH＝∠HAB＝45°∵BM⊥AE∴∠ABH＝∠OAE在△AOE 与△BAH 中OAE ABH OA ABAOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）∴AH ＝OE在△ONE 和△AMH 中OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）∴∠AMH ＝∠ONE设BM 与NE 交于K∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）∴FM ＝FN同理：NE ＝EK∴OE+OF ﹣EF ＝2HK过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q可证：△APF ≌△AQE （SAS ）∴PF ＝EQ∴OE+OF ＝2OP ＝8∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8【点睛】本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）6．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.图1. 图2. 图3.【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF .【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长.【详解】解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD =AB AC ∴=BAD CAD ∴∠=∠；图1（2）解：在图2中，连接CEED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=图2（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=在Rt EFM ∆中，906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=令FM m =，则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=-同理12FN EF m==，2124CF FG m==-在Rt BEM∆和Rt CEN∆中，EM EN=，BE CE=Rt BEM Rt CEN∴∆≅∆BM CN∴=BF FM CF FN∴-=+10124m m m∴-=-+解得1m=8CF∴=图3故答案为（1）见解析，（2）BFC∠=60（3）8CF=.【点睛】本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.7．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACFSS的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴ABFAFCS2S∆∆=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12BC，点D为BC的中点，AB =DE，BE∥AC．（1）求证：△ABC≌△DEB；（2）连结AD、AE、CE，如图2．①求证：CE是∠ACB的角平分线；②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE是等腰三角形，理由详见解析.【解析】【分析】（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=12BC，D是BC中点可得AC=BD，利用HL即可证明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS可证明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形.【详解】（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC∴∠CBE=90°∴△ABC和△DEB都是直角三角形∵AC=12BC，点D为BC的中点∴AC=BD又∵AB=DE∴△ABC≌△DEB（H.L.）（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB∴BC=EB又∵∠CBE=90°∴∠BCE=45°∴∠ACE=90°-45°=45°∴∠BCE=∠ACE∴CE是∠ACB的角平分线②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中AC DCACE BCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCE（SAS）.∴AE=DE又∵AB=DE∴AE=AB∴△ABE是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.9．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；（3）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，类比（2）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE ＋AE＝BE．【详解】(1)如图：（2）在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ，∴AB ＝AD∴∠ABD ＝∠D∵∠PAC ＝20°∴∠PAD ＝20°∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD ︒︒∴∠=-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60°（3）CE ＋AE ＝BE ． 在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠EAC ＝∠EAD ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ．∵AD ＝AC ＝AB ，∴()11802602D BAC x x ︒︒∠=-∠-=- ∴∠AEB ＝60－x ＋x ＝60°． ∴△AME 为等边三角形．∴AM=AE ，∠MAE=60°，∴∠BAC=∠MAE=60°，即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB 和△AEC 中，AB ACBAM CAEAM AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB≌△AEC.∴CE＝BM.∴CE＋AE＝BE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．10．如图，在等边ABC∆中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边CDE∆，连结BE．（1）求CAM∠的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：ADC BEC∆≅∆；（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB∠是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB∠是定值，60AOB∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC=，DC EC=，，60ACB DCE∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD∠=∠，根据SAS就可以得出ADC BEC∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知ACD BCE≅∆∆，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE≅∆∆而有30CBE CAD∠=∠=︒而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D在线段MA的延长线上时，ABC∆与DEC∆都是等边三角形，AC BC∴=，CD CE=，60ACB DCE∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE∠∠∴=，在ACD∆和BCE∆中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS∴∆≅∆，CBE CAD∴∠=∠，同理可得：30CAM∠=︒150CBE CAD∴∠=∠=︒30CBO∴∠=︒，∵30BAM∠=︒，903060BOA∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D在直线AM上时，AOB∠是定值，60AOB∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦．该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你展开右边检验这个等式的正确性；（2）利用上面的式子计算：222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）12[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]=12（a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2）=12×（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=a2+b2+c2-ab-bc-ac，故a2+b2+c2-ab-bc-ac=12[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]正确；（2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020=12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2]=12×（1+1+4）=12×6=3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．12．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数abc（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（abc）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数abc”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数abc”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．【答案】（1）详见解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由题意可得a +c =b ，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc ”能被99整除，所以将展开式中100a 拆成99a +a ，这样展开式中出现了a +c ，将a +c 用b 替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m 、n ，表示出F （m ）、F （n ）代入F （m ）﹣F （n ）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.【详解】（1）证明：∵abc 为欢喜数，∴a +c =b ． ∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ，b 能被9整除，∴11b 能被99整除，99a 能被99整除，∴“欢喜数abc ”能被99整除；（2）设m =11a bc ，n =22a bc （且a 1＞a 2），∵F （m ）﹣F （n ）=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•（b ﹣a 1）﹣a 2（b ﹣a 2）=（a 1﹣a 2）（b ﹣a 1﹣a 2）=3，a 1、a 2、b 均为整数，∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3．∵m ﹣n =100（a 1﹣a 2）﹣（a 1﹣a 2）=99（a 1﹣a 2），∴m ﹣n =99或m ﹣n =297．∴若F （m ）﹣F （n ）=3，则m ﹣n 的值为99或297．【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.13．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，()222222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．.【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数【解析】【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；【详解】(1) 22228,8+=∴是完美数；222925,29=+∴是完美数(2) ()222)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数(3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()222222mn a bc d ac bd ad bc =++=++- 即mn 也是完美数.【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．14．观察下列等式：22()()a b a b a b -=-+3322()()a b a b a ab b -=-++443223()()a b a b a a b ab b -=-+++55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++完成下列问题：（1）n n a b -=___________（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76.【解析】【分析】（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得出结果；（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．【详解】解：（1）()()22a b a b a b -=-+，()()3322a b a b a ab b -=-++，()()443223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++， 由此规律可得：a n -b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）由（1）的规律可得（2-1）()636261322222221+++⋯⋯++++=264-1，∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.故答案是：264-1.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.()()3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]∴33a b -=24431⨯+⨯（）=76. 故答案是：76.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．15．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=- ∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．【答案】()4,x + 20.【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．已知下面一列等式：111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；… （1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：（2）验证一下你写出的等式是否成立； （3）利用等式计算：11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++. 【答案】（1）一般性等式为111=(+11n n n n -+）；（2）原式成立；详见解析；（3）244x x+. 【解析】【分析】（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算.【详解】解：（1）由111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；…， 知它的一般性等式为111=(+11n n n n -+）； （2）1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111(1)1n n n n ==⋅++， ∴原式成立； （3）11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++ 1111112x x x x =-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114x x =-+ 244x x=+. 【点睛】解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.17．阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式23411x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为1x +，可设2341(1)(3)x x x x a b +-=+++.因为223(1)(3)333(3)x x a b x ax x a b x a x a b +++=++++=++++，所以223413(3)x x x a x a b +-=++++.所以341a a b +=⎧⎨+=-⎩，解之，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以2341(1)(31)211x x x x x x +-++-=++ (1)(31)2231111x x x x x x ++=-=+-+++ 这样，分式23411x x x +-+就被拆分成了一个整式31x +与一个分式21x +的差的形式. 问题：（1）请将分式22361x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；（2）请将分式4225932x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.【答案】（1）2236112511x x x x x ++=++--；（2）4222259315122x x x x x +-=--++. 【解析】【分析】（1）仿照例题将2236x x ++分解为(1)(2)x x a b -++，求出a 、b 的值即可得到答案；（2）将42593x x +-分解为22(2)(5)x x m n +++，得到10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，求出m 、n ，整理后即可得到答案.【详解】（1）由分母为x-1，可设2236x x ++=(1)(2)x x a b -++，∵(1)(2)x x a b -++=22222(2)()x ax x a b x a x b a +--+=+-+-，∴2236x x ++22(2)()x a x b a =+-+- ∴236a b a -=⎧⎨-=⎩，得511a b =⎧⎨=⎩，∴22361x x x ++-=(1)(25)111x x x -++-=(1)(25)1111x x x x -++--=11251x x ++-； （2）由分母为22x +，可设42593x x +-=22(2)(5)x x m n +++，∵22(2)(5)x x m n +++=4224251025(10)(2)m x mx x m x m n n x +++++=+++ ∴42593x x +-=42(10)(2)5x m n x m ++++，∴10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，得11m n =-⎧⎨=-⎩， ∴4225932x x x +-+=222(2)(51)12x x x +--+=221512x x --+. 【点睛】此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键.18．小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．【答案】从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成【解析】试题分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8．试题解析：解：设甲公司单独完成需x 周，需要工钱a 万元，乙公司单独完成需y 周，需要工钱b 万元．依题意得：661491x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩． 经检验：1015x y =⎧⎨=⎩是方程组的根，且符合题意． 又6() 5.2101549 4.81015a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯=⎪⎩，解得：64a b =⎧⎨=⎩． 即甲公司单独完成需工钱6万元，乙公司单独完成需工钱4万元．答：从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成．点睛：本题主要考查分式的方程的应用，根据题干所给的等量关系求出两公司单独完成所需时间和工钱，然后比较应选择哪个公司．19．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).(1)扶梯在外面的部分有多少级.(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?【答案】(1)楼梯有54级(2) 198级【解析】【试题分析】(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分, 根据时间相等列方程，有：2727,21818.s x y s xy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ①两式相除,得327418s s -=-,解方程得54s =即可. 因此楼梯有54级.(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有()()5415415454.423m n m n x x x x--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且01m n ≤-≤，经试验知只有13,26m n ==符合要求. 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：13272541986⨯+⨯=(级).【试题解析】(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分,依题意有2727,21818.s x y s x y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩①把方程组①中的两式相除,得327418s s -=-,解得54s =. 因此楼梯有54级. (2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有()()5415415454.423m n m n x x x x--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且01m n ≤-≤，经试验知只有13,26m n ==符合要求. 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：13272541986⨯+⨯=(级).20．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．（1）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗；（2）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵a 元，是否存在正整数a ，使得每本硬面笔记本、软面笔记本的价格都是正整数，并且小明和小丽能买到相同数量的笔记本？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1））不能买到；（2）存在，a 的值为3或9．【解析】【分析】【详解】解：（1））设每本软面笔记本x 元，则每本硬面笔记本（x+1.2）元，由题意，得 12211.2x x =+， 解得：x=1.6． 此时12211.6 1.2 1.6=+=7.5（不符合题意）， 所以，小明和小丽不能买到相同数量的笔记本；（2）设每本软面笔记本m 元（1≤m≤12的整数），则每本硬面笔记本（m+a ）元，由题意，得1221m m a=+，解得：a=34 m，∵a为正整数，∴m=4，8，12．∴a=3，6，9．当86ma=⎧⎨=⎩时，12211.5m m a==+（不符合题意）∴a的值为3或9．五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）21．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【解析】【分析】(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=12(∠B+∠C)，然后将∠B=100º，∠C=120º代入计算即可；③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.【详解】解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：以点O为交点的“8字型”有4个：②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝12（∠B+∠C）=12（100°+120°）＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，∴∠BAP＝23∠CAB，∠BDP＝23∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝13（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝23（∠CDB﹣∠CAB）．∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴3∠P＝∠B+2∠C．故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．22．如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.(1)用“8字型”如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；(2)造“8字型”如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________;(3)发现“8字型”如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线.①图中共有________个“8字型”；②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.【答案】(1)360°；(2)540；(3)①6；②x=5.【解析】分析：（1）根据题意即可得到结论；（3）①由图形即可得到结论；②根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为∠D+∠B=2∠F，再根据∠B、∠D、∠F的比值，即可求得x的值；详解：（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK，∠C+∠D=∠GHK+∠HGK，∠E+∠F=∠HGK+∠GKH，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案为：360°；（2）如图，连结BC，∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD的内角和，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）•180°=540°，故答案为：540°；（3）①图中共有6个“8字型”；故答案为：6．②：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED∴∠DEG=∠AEG，∠ACH=∠BCH，∵在△DGE和△FGC中，∠DGE=∠FGC∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH∵在△BHC和△FHE中，∠BHC=∠FHE∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG∴∠D+∠B=2∠F；∵∠B：∠D：∠F=4：6：x，∠D+∠B=2∠F，∴x=5．点睛：考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．23．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．。
八年级数学上册三角形解答题易错题(Word版 含答案)
八年级数学上册三角形解答题易错题（Word版含答案）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC＋∠ADC＝°；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝14∠CDN，∠CBE＝14∠CBM），试求∠E的度数．【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450【解析】【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．【详解】（1）解：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；故答案为180°；（2）解：延长DE交BF于G，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF，即DE⊥BF；（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE=14×180°=45°，延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E=90°-45°=45°【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】（1）答案为：30°；是；（2）∵AB⊥OM∴∠B AO＝90°∵∠BAC＝60°∴∠OAC＝∠B AO-∠BAC=30°∵∠MON＝60°∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°∴∠ACO＝3∠OAC，∴△AOC为“灵动三角形”；（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°∵△ABC为“智慧三角形”，Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，∴30＝3（90-x），∴x=80Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，∴30=3（60+x）∴x= -50 （舍去）∴此种情况不存在，Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，∴60+x＝3（90-x），∴x＝52.5°，Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，∴60+x＝90°，∴x＝30°，Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，∴90-x＝90°，∴x＝0°（舍去）Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，∴90-x＝3（60+x），∴x= -22.5（舍去），∴此种情况不存在，∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。
【精选】八年级数学三角形解答题专题练习(word版
【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；
(3)求出∠DAE度数，根据平行线的性质求出即可．
【详解】
解： 如图1，
， ，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图2，
中， ，
．
，
是 的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图3，
中， ，
，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°
∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
【点睛】
（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，
（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
【精选】八年级数学上册三角形解答题易错题(Word版 含答案)
【精选】八年级数学上册三角形解答题易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．如图①所示，在三角形纸片ABC 中，70C ∠=︒，65B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点A 落在ABC 内的点A '处.（1）若140∠=︒，2∠=________.（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，直接写出结论.②当点A 落在四边形BCDE 外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，A ∠，1∠，2∠之间又存在什么关系？请说明．（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456∠+∠+∠+∠+∠+∠和是________.【答案】(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.【解析】【分析】（1）根据题意，已知70C ∠=︒，65B ∠=︒，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ，由两个平角∠AEB 和∠ADC 得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；②利用两次外角定理得出结论；（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）∵70C ∠=︒，65B ∠=︒，∴∠A ′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，∴∠A ′ED+∠A ′DE =180°-∠A ′=135°，∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A ′ED+∠A ′DE ）=360°-310°=50°；（2）①122A ∠+∠=∠,理由如下由折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ，∵∠AEB+∠ADC=360°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A ′DE-∠AED-∠A ′ED=360°-2∠ADE-2∠AED ，∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED ）=2∠A ；②221A ∠=∠+∠，理由如下：∵2∠是ADF 的一个外角∴2A AFD ∠=∠+∠.∵AFD ∠是A EF '△的一个外角∴1AFD A '∠=∠+∠又∵A A '∠=∠∴221A ∠=∠+∠（3）如图由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．【点睛】题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．2．如图，△ABC 的三条角平分线相交于点I ，过点I 作DI ⊥IC ，交AC 于点D ．(1)如图①，求证：∠AIB ＝∠ADI ；(2)如图②，延长BI ，交外角∠ACE 的平分线于点F.①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由；②若∠BAC ＝70°，求∠F 的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)解：①结论：DI ∥CF ，②35°.【解析】分析：（1）只要证明∠AIB=90°+12∠ACB ，∠ADI=90°+12∠ACB 即可； （2）①只要证明∠IDC=∠DCF 即可； ②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）即可解决问题；详解：(1)证明：∵AI ，BI 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∴∠BAI ＝12∠BAC ，∠ABI ＝12∠ABC ， ∴∠BAI ＋∠ABI ＝12 (∠BAC ＋∠ABC)＝12 (180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB. 在△ABI 中，∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI)＝180°－(90°－12∠ACB)＝90°＋12∠ACB. ∵CI 平分∠ACB ，∴∠DCI ＝12∠ACB.∵DI ⊥IC ， ∴∠DIC ＝90°，∴∠ADI ＝∠DIC ＋∠DCI ＝90°＋12∠ACB. ∴∠AIB ＝∠ADI.(2)解：①结论：DI ∥CF.理由：∵∠IDC ＝90°－∠DCI ＝90°－12∠ACB ，CF 平分∠ACE ， ∴∠ACF=12∠ACE ＝12 (180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB ，∴∠IDC ＝∠ACF ，∴DI ∥CF. ②∵∠ACE ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°.∵∠FCE ＝∠FBC ＋∠F ，∴∠F ＝∠FCE －∠FBC.∵∠FCE ＝12∠ACE ，∠FBC ＝12∠ABC ， ∴∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC)＝35°. 点睛：本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，难度适中，此类题型的关键在于结合题目条件与三角形的外角性质，三角形内角和定理.3．（1）在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，16BC =，3AD =，4BE =，6CF =，则ABC ∆的周长为______.（2）如图①，在ABC ∆中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，BD ，CD 的中点，且4ABC S ∆=2cm ，则AEF S ∆等于______2cm .① ②（3）如②图，三角形ABC 的面积为1，点E 是AC 的中点，点O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点F ，则四边形BDOF 的面积为______.【答案】（1）36（2）2（3）16 【解析】【分析】(1)利用三角形面积公式，求出AB 、AC 的长，再计算三角形的周长即可；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ，则12ABC S BC h ∆=⋅，根据线段中点的定义以及线段的和差得出12EF BC =，继而再根据三角形面积公式进行求解即可； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====，从而得14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+，14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值即可求得答案.【详解】 (1)111222ABC S BC AD AC BE AB CF ∆=⋅=⋅=⋅， ∴BC AD AC BE AB CF ⋅=⋅=⋅，即16346AC AB ⨯=⋅=⋅，∴12AC =，8AB =，∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=36；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ，则12ABC S BC h ∆=⋅， ∵E 为BD 中点，∴12ED BD =， ∵F 为DC 中点，∴12DF DC =， ∴111222EF BD DC BC =+=，∴211112cm 2222AEF ABC S EF h BC h S ∆∆=⋅=⋅⋅==； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，∵点E ，O 分别是AC ，BE 的中点，1ABC S ∆=，∴14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====， ∴14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+， ∴134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-， 解得112x =， 又14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+， ∴141344y y y y +=--，得112y =， 故11112126BDOF S x y =+=+=四边形. 【点睛】本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．4．Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；（3）若点P 运动到边AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【解析】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案为140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.5．数学活动课上，老师提出了一个问题：我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？（1）独立思考，请你完成老师提出的问题：如图所示，已知∠DBC和∠BCE分别为△ABC的两个外角，试探究∠A和∠DBC，∠BCE之间的数量关系.解：⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交于点F（如图所示），那么∠A与∠F之间有何数量关系？请写出解答过程.【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180º（2）12∠A+∠F=90º【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理计算即可.（2）根据角平分线可知∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠BCE，）再根据三角形内角和定理，结合（1）即可解答.【详解】⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180º.∠DBC+∠BCE=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A=180°+∠A即∠DBC+∠BCE－∠A=180º.（2）12∠A+∠F=90°∵BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，∴∠CBF=12∠CBD，∠BCF=12∠BCE.∴∠CBF+∠BCF=12(∠CBD+∠BCE).∵∠CBF+∠BCF=180º－∠F，∠DBC+∠BCE=180º+∠A.∴180º－∠F =12（∠CBD+∠BCE）=12(180º+∠A)∴12∠A+∠F=90º.【点睛】本题考查了三角形外角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.6．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．①②【答案】(1)∠EFD＝12∠C－12∠B.（）成立，理由见解析.【解析】【分析】先根据AE平分∠BAC推出∠BAE=12∠BAC=12[180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．【详解】解：(1)∠EFD＝12∠C－12∠B.理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝12∠BAC.由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋12∠BAC，故∠B＋12∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形内角和定理得∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即12∠C＋12∠B＋12∠BAC＝90°②.②－①，得∠EFD＝12∠C－12∠B.(2)成立．理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋12∠BAC，故∠B＋12∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即12∠B＋12∠BAC＋12∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝12∠C－12∠B.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．7．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E= °；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=12y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+452y+=∠F+12y，由此即可求得答案；（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=22.53α+，再根据∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°，∴2y+180﹣2x=90，x﹣y=45，∵∠CAF=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；（2）①如图2所示，②如图2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF=12 y，∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+12y ①，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，∴∠EAF=452y+②，把②代入①得：45°+452y+=∠F+12y，∴∠F=67.5°，即∠AFC=67.5°；（3）如图3，设∠FAH=α，∵AF平分∠EAB，∴∠FAH=∠EAF=α，∵∠AFM=13∠AFC=13×67.5°=22.5°， ∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH ，∴45+α=67.5+∠FCH ，∴∠FCH=α﹣22.5①， ∵∠AHN=13∠AHC=13（∠B+∠BCH ）=13（90+2∠FCH ）=30+23∠FCH ， ∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH ， ∴α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH ，② 把①代入②得：∠FPH=22.53α+， ∵∠FCH=m ∠FAH+n ∠FPH ，α﹣22.5=mα+n 22.5·3α+，解得：m=2，n=﹣3．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.8．如图 (1)所示，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，连接AD ，MD ，BC ，BD ， MC ，AC ，S △DMC ，S △DAC 和S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝2DAC DBC S S+.(1)如图 (2)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 不平行时，S △DMC =2DBC DAC S S +是否仍然成立?请说明理由； (2)如图 (3)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 相交于点O 时，S △DMC 与S △DAC ，S △DBC 有什么样的数量关系?试说明你的结论．【答案】(1) S △DMC =2DAC DBC S S +仍成立，理由见解析； (2)S △DMC =2DBC DAC S S -，理由见解析.【解析】【分析】（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC ，DMC ，DBC 都是同底，而由于AB ∥DC ，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A ，M ，B 分别作BC 的垂线AE ，MN ，BF ，AE ∥MN ∥BF ，由于M 是AB 中点，因此MN 是梯形AEFB 的中位线，因此MN=12（AE+BF ），三个三角形同底因此结论①是成立的． （2）本题可以利用AM=MB ，让这两条边作底边来求解，三角形ADB 中，小三角形的AB 边上的高都相等，那么三角形ADM 和DBM 的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD ，OMD 的和就等于三角形BMD 的面积，同理三角形AOC 和OMC 的面积和等于三角形CMB 的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系．【详解】(1)当AB 与CD 不平行时，S △DMC =2DAC DBC S S+仍成立．分别过点A ，M ，B 作CD 的垂线AE ，MN ，BF ，垂足分别为E ，N ，F.∵M 为AB 的中点，∴MN ＝12(AE+BF)，∴S △DAC +S △DBC =12DC·AE+12DC·BF ＝12DC·(AE+BF)= 12DC·2MN=DC·MN=2S △DMC .∴S △DMC =2DAC DBC S S +； (2)S △DMC =2DBC DAC S S-.理由：∵M 是AB 的中点，∴S △ADM ＝S △BDM ，S △ACM =S △BCM ,而S △DBC =S △BDM +S △BCM +S △DMC ,① S △DAC =S △ADM +S △ACM -S △DMC ,②∴①-②得S △DBC -S △DAC =2S △DMC ,故S △DMC =2DBC DAC S S-.【点睛】本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念.9．如图①．ABC 中，AB AC =，P 为底边BC 上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下：如图①，连接AP .∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABP S AB PE =⋅，12ACP S AC PF =⋅，12ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S +=，∴AB PE AC PF AB CH ⋅+⋅=⋅∵AB AC =，∴PE PF CH +=．如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】PE PF CH -=【解析】【分析】参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：ABP ACP ABC SS S +=，同样，P 为BC 延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：ABP ACP ABC SS S =-，即可得出结论． 【详解】∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABP S AB PE =⋅，12ACP S AC PF =⋅，12ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S =-，∴AB PE AC PF AB CH ⋅-⋅=⋅∵AB AC =，∴PE PF CH -=．故答案为：PE PF CH -=．【点睛】本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键．10．图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N.试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系： ；（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P 的度数.（3）图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D、∠B 之间存在着怎样的数量关系.【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，进而求得∠P的度数；（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B.【详解】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°；（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.。
八年级数学上册三角形解答题易错题(Word版 含答案)
八年级数学上册三角形解答题易错题（Word版含答案）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．【解析】【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得110（133-x）+x=70，求出x的值即可.【详解】（1）如图（1），连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=40°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，∴12（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴12ADC ADB∠=∠，12AEC AEB∠=∠，∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,=45°+40°, =85°；③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C=70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD=133°-x°∴110（133-x）+x=70，∴13.3-110x+x=70，解得x=63，即∠A的度数为63°.【点睛】此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.2．如图，在△ABC 中，记∠A=x 度，回答下列问题：（1）图中共有三角形个．（2）若 BD，CE 为△ABC 的角平分线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式表示），并证明你的结论．（3）若 BD，CE 为△ABC 的高线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式表示），并证明你的结论．【答案】（1）图中共有三角形 8 个；（2）(90+12x ) ；（3）(180－x).【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理，分析题意观察图形，根据三角形内角和为180°可知∠ABC=180-2x，根据角平分线的性质可以求出∠BHC，根据高线的性质可知∠CDB=∠BEC=90º，再次利用三角形内角和定理可以求答案【详解】解：（1）图中共有三角形 8 个；（2）∠BHC=(90+ 12x )度．∵BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，∴∠BHC=180º－∠HBC－∠HCB=180º－12(∠ABC+∠ACB)= (90+12x )度．（3）∠BHC=(180－x)度，∵BD，CE 为△ABC 的高线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90º，∵∠BEC+∠ABC+∠BCH=180°∠CDB+∠ACB+∠CBH=180°∴∠BEC+∠ABC+∠BCH+∠CDB+∠ACB+∠CBH=360°∠ABC+∠BCH+∠ACB+∠CBH=180°∵∠ABC+∠ACB=180°－∠A∠BCH+∠CBH=180°－∠BHC∴180°－∠A+180°－∠BHC=180°∴∠BHC=(180－x)度【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和定理3．如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).(1)求△BCD的面积；(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；【解析】【分析】（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；【详解】解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），∴CD=3，且CD//x轴∴△BCD面积=12×3×2=3；（2）∠CPQ＝∠CQP，∵AC⊥BC，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，∴∠CQP＝∠CPQ（2）∠CPQ＝∠CQP，∵AC⊥BC，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，∴∠CQP＝∠CPQ【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.4．如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，4OC OB =.① ②（1）若ABC ∆的面积为20，求点B ，C 的坐标.（2）如图①，向x 轴正方向移动点B ，使90ABC ACB ∠-∠=︒，作BAC ∠的平分线AD 交x 轴于点D ，求ADO ∠的度数.（3）如图②，在（2）的条件下，线段AD 上有一动点Q ，作AQM DQP ∠=∠，它们的边分别交x 轴、y 轴于点M ，P ，作FMG DMQ ∠=∠，试判断FM 与PQ 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）10,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，40,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）45°；（3）FM PQ ⊥ 【解析】【分析】(1)设OB=a ，根据三角形的面积公式列式求出a ，即可得到点B 、C 的坐标；(2)设ACB α∠=，根据题意得到∠ABC=90°+α，根据三角形内角和定理得到∠BAC=90°-2α，再根据角平分线的定义、三角形外角的性质即可得到答案；(3)延长FM 交QP 于H ，设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，根据三角形外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH=90°即可得到答案.【详解】(1)设OB=a ，则OC=4a ，∴BC=3a ，由题意得，134202a ⨯⨯=， 解得：a=103， ∴OB=103，OC=403，∴10,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)设ACB α∠=，∵90ABC ACB ∠-∠=︒，∴90ABC α∠=︒+，∴180BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠()18090αα=︒-︒+-902α=︒-，∵AD 平分BAC ∠，∴1452DAC BAC α∠=∠=︒-， ∴4545ADO DAC ACB αα∠=∠+∠=︒-+=︒；(3)FM ⊥PQ ，理由如下：延长FM 交PQ 于点H ，.设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，则∠DMH=∠FMG=β，∠AQM=∠QMD+∠QDM ，即α=β+45°，∴∠1=180°-∠DQP-∠ADO=90°-β，∴∠2=∠1=90°-β，∴∠2+∠DMH=β+90°-β=90°，∴∠MHQ=90°，即FM ⊥PQ.【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.5．已知：点D 是△ABC 所在平面内一点，连接AD 、CD ．（1）如图1，若∠A ＝28°，∠B ＝72°，∠C ＝11°，求∠ADC ；（2）如图2，若存在一点P ，使得PB 平分∠ABC ，同时PD 平分∠ADC ，探究∠A ，∠P ，∠C 的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D 移至∠ABC 的外部，其它条件不变，探究∠A ，∠P ，∠C 的关系并证明．【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠A+∠C=2∠P【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．6．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ（其中∠X=90°）放置在△ABC上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY，XZ分别经过B，C两点，且直角顶点X在△ABC内部．①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= °；∠XBC+∠XCB= °；②试判断∠A与∠XBA+∠XCA之间存在怎样数量关系？并写出证明过程．（2）如图2，如果直角顶点X在△ABC外部，试判断∠A、∠XBA、∠XCA之间又存在怎样的数量关系？（只写出答案，无需证明）．【答案】（1）①140，90；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°，证明见解析；（2）∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°【解析】试题分析：（1）①根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠XBC+∠XCB=180°﹣∠XBC=90°，进而可求出∠ABX+∠ACX 的度数；②根据三角形内角和定义有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，则可得出结论．（2）由②的解题思路可得：∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°．（1）①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= 140 °；∠XBC+∠XCB= 90 °；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°（或等式的变形也可以）证明：∵∠X=90°∴∠XBC+∠XCB=180°－∠X=90°∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+（∠XBA+∠XCA）+（∠XBC+∠XCB）=180°，∴∠A+（∠XBA+∠XCA）=180°－90°=90°，∴∠A=90°－（∠XBA+∠XCA）（2）∠A+（∠XBA－∠XCA） =90°．点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°以及沟通外角和内角的关系．7．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140【解析】【分析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．【详解】(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180(3)140【点睛】（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．8．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点Ｅ、Ｄ，且AD为∠BAC的平分线，∠B=300，∠ADE=150.（1）求∠BDN的度数；（2）求证：CD=CE.【答案】（1）∠BDN=∠CDE=450（2）CD=CE【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的性质，求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的性质求出∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°，最后根据角的和差求解即可；（2）结合（1）的关系，由“等角对等边”得出结论.试题解析：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB=900，∠B=300,∴∠BAC=600,又AD平分∠BAC，∴∠CAD=300,又∠ACD=900,∴∠CDA=600又∠ADE=150，∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450∴∠BDN=∠CDE=450（2）在△CED中，∠ECD=900，∠CDE=450∴∠CED=450∴ CD=CE点睛：此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.9．根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P= 12（∠B+∠D）=26°．①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣12（∠B+∠D）；③∠P=90°+ 12（∠B+∠D）．【解析】试题分析：（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；②根据四边形的内角和等于360°，可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．试题解析：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．（2）①∠P=26゜．∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B③，①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴∠P=12（∠B+∠D）=26°．②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣12（∠B+∠D）；③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ 12（∠B+∠D）．点睛：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．10．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。
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八年级上册三角形解答题专题练习（word 版一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分EPK ∠，求HPQ ∠的度数.【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-12∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1，图1∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=︒，又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=︒， ∴//AB CD ；(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，图2∴180BEF EFD ∠+∠=︒．又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1(2)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3，∵PHK HPK ∠=∠，2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥，∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1452QPK EPK HPK ∠=∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC＋∠ADC＝°；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝14∠CDN，∠CBE＝14∠CBM），试求∠E的度数．【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450【解析】【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．【详解】（1）解：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；故答案为180°；（2）解：延长DE交BF于G，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF，即DE⊥BF；（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE=14×180°=45°，延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E=90°-45°=45°【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．3．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】（1）答案为：30°；是；（2）∵AB⊥OM∴∠B AO＝90°∵∠BAC＝60°∴∠OAC＝∠B AO-∠BAC=30°∵∠MON＝60°∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°∴∠ACO＝3∠OAC，∴△AOC为“灵动三角形”；（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°∵△ABC为“智慧三角形”，Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，∴30＝3（90-x），∴x=80Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，∴30=3（60+x）∴x= -50 （舍去）∴此种情况不存在，Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，∴60+x＝3（90-x），∴x＝52.5°，Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，∴60+x＝90°，∴x＝30°，Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，∴90-x＝90°，∴x＝0°（舍去）Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，∴90-x＝3（60+x），∴x= -22.5（舍去），∴此种情况不存在，∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。
【点睛】考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．4．（1）如图1．在△ABC中，∠B=60°，∠DAC和∠ACE的角平分线交于点O，则∠O = °，（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n nα∠=-⨯- 【解析】 【分析】（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=111-18022α︒⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE11()22ACO ACE αβ∴∠=∠=+ 同理可得：1()2CAO αγ∠=+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，∴11180180()()22O ACO CAO αβαγ︒︒∠=-∠-∠=-+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111180()1809090222αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；（3）∵∠B=α，11,PAC DAC PCA En nAC∠=∠∠=∠，由（2）可知n=2时，有∠P=1180902α︒︒--=111-18022α︒⨯-（），将2替换成n即可，∴11(1)180Pn n α∠=-⨯-.【点睛】本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.5．（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；②设AED∠的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.【答案】（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y；③∠A=12（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=12（∠2-∠1），见详解【解析】【分析】（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-12∠1，y=90-12∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=12（∠1+∠2）；（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】（1）①根据翻折的性质知△EAD ≌△EA ′D ，其中∠EAD =∠EA ′D ，∠AED =∠A ′ED ，∠ADE =∠A ′DE ； ②）∵∠AED=x，∠ADE=y， ∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y， ∴∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ； ③∠A=12（∠1+∠2）； ∵∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ， ∴x=90-12∠1，y=90-12∠2， ∴∠A=180°-x-y=190-（90-12∠1）-（90-12∠2）=12（∠1+∠2）． （2））∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到， ∴∠A′=∠A，又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1， ∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°， 整理得，2∠A=∠2-∠1．∴∠A=12（∠2-∠1）． 【点睛】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=；（3）75°．【解析】 【分析】（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数； （2）∠DCE ＝2αβ- ．（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+12∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°， 又因为CE 是∠ACB 的平分线，所以1352ACE ACB ∠=∠=︒． 因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°． （2）DCE 2αβ-∠=．（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′， 则152DCE αβ-'==︒∠．因为CE 是∠ACB 的外角平分线，所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1(+)2ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 即∠DCE 的度数为75°．【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．7．Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【解析】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案为140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.8．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：．（填“能“或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ=度；活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．数学思考：（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3) 15°≤θ＜18°．【解析】【分析】（1）根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果；（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组，解不等式组即得结果.【详解】(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能继续摆下去；(2)∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，∴∠A2A1A3=45°，∴∠AA2A1+∠θ=45°，∵∠AA2A1=∠θ，∴∠θ=22.5°；(3)如图乙，∵A2A1=A2A3，∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2θ°，∵A2A3=A4A3，∴∠A3A2A4=∠A3A2A4=3θ°，∵A4A3=A4A5，∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6θ⩾90°，5θ<90°，∴15°⩽θ<18°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.9．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。