第一讲导数、导函数的概念及导数的运算讲义(非常好、有解析)
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
第一节导数的概念及运算.ppt
,解得a=-8,
同理，g(2)=4b+c=0. ∵f′(x)=6x2-8,∴在点P处切线斜率 k f 2 6 22 8 16 又g′(x)=2bx,∴2b×2=16,∴b=4,∴c=-4b=-16. 综上，a=-8,b=4,c=-16. .
2 3 x f′(x)= .
f(x)=x3
1 f(x) x
f(x)=
f (x)
f (x)
1
1 x2
.
x
2 x .
f(x)=xa (a为常数)
a-1 ax f′(x)= .
f(x)=ax(a＞0且a≠1)
f′(x)= a ln a .
x
f(x)=logax(a＞0且a≠1)
x e f(x)=
x 1
1
2
x 1
2
'
1 ' 1 2 x 2 2 x 1 x 1 2 2 x 1 x 1 2
1
学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中 间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是: (1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系 （简称分解复合关系）； （2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数 （简称分层求导）.即：分解（复合关系）—求导（导数相乘）
正解 如右图，按切线的定义，当Δx→0
时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不 存在），因此，过点P的切线方程为x=0.
考点演练
3 2 10. 已知函数 f x 2x ax与g x bx c 的图象都过点
P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值. 解析：
导数的概念及导数的运算讲义
导数的概念及其运算教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业导数及其运算 (3)一、导数的概念 (3)1、导数的引入 (3)2、导数的定义 (3)总结说明： (4)基础演练： (5)求导数举例 (6)总结与延伸： (7)基础演练： (8)二、导数的几何意义 (8)函数的可导性与连续性的关系 (9)基础演练： (10)例题精讲： (10)三、应用练习： (13)四、能力训练 (14)总结归纳： (14)课后作业： (15)导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0,取比值00)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令∆x =x -x 0, 则∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于∆x →0, 于是00)()(lim 0x x x f x f x x --→成为 x yx ∆∆→∆0lim 或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.导数的定义 设函数y =f (x )在点x 0及其近旁有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量∆x 时, 相应地函数y 取得增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)， 如果当∆x →0时，x y∆∆的极限存在, 则称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记作,0()f x , 即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,也可记作0|x x y =',x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处有导数（即极限xyx ∆∆→∆0lim 存在），有时也说成f (x )在点x 0可导.如果极限xyx ∆∆→∆0lim不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于∆x →0时,xy∆∆→∞也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大. 拓展：导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→,00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.总结说明： 定义 实例平均 变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为Δy Δx = f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1①平均速度；②曲线割线的斜率 瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →ΔyΔx ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率 2．平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，ΔyΔx有什么几何意义？答 Δx 表示x 2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1).观察图象可看出，Δy Δx = f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率. 3．基础演练：已知函数532)(2++=x x x f(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx；4． 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数.5．求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数.6．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于7．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.如果函数y =f (x )在开区间（a ，b ）内的每一点都可导, 就称函数y=f (x )在开区间（a ，b ）内可导, 这时, 对于开区间（a ，b ）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数,()f x . 这样就构成了一个以（a ，b ）为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f (x )的导函数, 简称导数，记作)(x f ',y ',dx dy , 或dxx df )(. 即 )(x f '=x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义小结 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1).(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.f (x )在0x 的左导数:0,()fx -=lim 0x -∆→00()()f x x f x x +∆-∆;f (x )在0x 的右导数:0,()f x +=lim 0x +∆→00()()f x x f x x+∆-∆.左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系: 函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '-(x 0) 和右导数f '+(x 0)都存在且相等.如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '+(a ) 和左导数f '-(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导..求导数举例例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数. 解: hx f h x f x f h )()(lim )(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.例2. 求xx f 1)(=的导数.解: h x h x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→ 2001)(1lim )(lim x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数. 解: hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim )( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→.例4．求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数. 解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n -1+ax n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1, 即 (x n )'=nx n -1. (C )'=0, 21)1(x x -=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .更一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数.例5．求函数f (x )=sin x 的导数. 解: f '(x )hx f h x f h )()(lim 0-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim0hh x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x .例6．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: f '(x )h x f h x f h )()(lim-+=→ha a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim0t t a a t x +→ a a ea x a xln log 1==. 特别地有(e x )=e x .例7．求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: hx h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ hxa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==. 解:h xh x x f a a h log )(log lim)(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→h x a h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 a x x a ln 1)(log =' . : 特殊地 xx 1)(ln ='.a x x a ln 1)(log =', xx 1)(ln ='.例8．求函数f (x )=|x |在x =0处的导数. 解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h h f h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h , 因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.总结与延伸：1．常见函数的导数公式：（1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n nnxx (Q n ∈)；（3）x x cos )'(sin =；（4）x x sin )'(cos -=；（5）a a a xx ln )'(=；（6）xx e e =)'(； （7）e xx a a log 1)'(log =； （8）xx 1)'(ln =． 2．导数的运算法则：法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=．法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 3．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x )．基础演练：1：求函数323y x x =-+的导数.2．函数y =x 2cos x 的导数为 。
导数的概念与计算
专题五 导数及其应用
1.求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)
(2) y＝csions xx；
(3) y＝exln x；
(4) y＝(1＋sin x)2.
解：(1) y＝6x3－5x2－4x，所以 y′＝18x2－10x－4. (2)y′＝－sins2ixn－2xcos2x＝－sin12x.
A．y＝0
B．y＝2x
C．y＝x
D．y＝－2x
3．已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中 a 为实数，f′(x)为 f(x)
的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 的值为________．
4．若函数 f(x)＝lnxx，则 f′(2)＝___________．
5．若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐 标是_______________．
(3)0gf（3（xx））u对′x ＝f_′__（__x_）__g_（_[_gx_（）__x－_0）_f4_（]_2_x_）y_u_g′_·′u（_x_′x_）(g(x)≠0)．
4．复合0函5 数y的对u导数
06
专题五 导数及其 应用
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间
作业：
1．(选修 2-2 P18 练习 T2(4)改编)函数 y＝xcos x－sin x 的导
数为( )
02
A．xsin x
专题五 导数及其应用
B．－xsin x
C．xcos x
D．－xcos x
01
解析：y′＝xB′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos
22_第1讲导数的概念及运算理ppt课件
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
导数讲义
导数讲义一、导数的概念1．切线的斜率 如图5—1所示，曲线)(x f y =在其上一点),(00y x P 处的切线PT 是割线PQ 当动点Q 沿此曲线无限接近于点P 时的极限位置．由于割线PQ 的斜率为0)()(x x x f x f k --=，因此当0x x →时如果k 的极限存在，则极限=k 00)()(limx x x f x f x x --→ ………………..（1） 即为切线PT 的斜率．2、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→ (2)存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '． 令),()(,000x f x x f y x x x -∆+=∆∆+=则(2)式可改写为).()()(lim lim00000x f x x f x x f x y x x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆=000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ (3)所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比xy∆∆的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数)(0x f '则为f 在0x 处关于x 的变化率． 若(2)(或(3))式极限不存在，则称f 在点0x 处不可导．3、倒数的几何意义：由导数的定义，)(x f k '=，所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是).)((000x x x f y y -'=-由解析几何知道，若切线斜率为k ，则法线斜率为.1k -从而过点P 的法线方程为).()(1000x x x f y y -'-=-二、常用的求导公式(1)(C )'=0, (2)n nx x n n ,)(1-='为正整数； (3);sin )(cos ,cos )(sin x x x x -='=' (4)(tan x )'=sec 2x , (cot x )'=-csc 2x , (5)),0,1,0(log 1)(log >≠>='x a a e x x a a 特别xx 1)(ln ='. (6)(a x )'=a x ln a ,特别的(e x )'=e x , (7) 211)(arcsin x x -='， 211)(a r c c o s x x --=' 211)(arctan x x +='， 211)cot arc (x x +-='.三、导数的运算法则1．、设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则(1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ',(3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ', (4)2)(vv u v u vu '-'='. 2、复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为：y '(x )=f '(u )⋅g '(x ).证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 此时有xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([ xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim)()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ). 简要证明:x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(l i ml i m 00x g u f xu u y x u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆.四、导数的应用 1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .反之，设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，如果)(x f 在该区间上单调递增（或递减），则在该区间内)(x f ' （或()f x ' ）恒成立。
导数PPT课件
7.(2009· 福建)若曲线 f(x)＝ax5＋ln x 存在垂直于 y 轴的切 线，则实数 a 的取值范围是(－∞，0).
1 解析 ∵f′(x)＝5ax ＋ ，x∈(0，＋∞)， x 1 4 ∴由题知 5ax ＋ ＝0 在(0，＋∞)上有解. x 1 即 a＝－ 5在(0，＋∞)上有解. 5x 1 ∵x∈(0，＋∞)，∴－ 5∈(－∞，0). 5x ∴a∈(－∞，0).
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f′(x)>0(或 f′(x)<0)解出在定义域内相应的 x 的范围； ③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其 次运用求导的方法来证明. (3)求可导函数的极值与最值 ①求可导函数极值的步骤 求导数 f′(x)→求方程 f′(x)＝0 的根→检验 f′(x)在方 程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则 f(x)在这 个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极 小值). ②求可导函数在［a，b］上的最值的步骤 求 f (x)在(a，b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、 f(b)的值和极值的大小.
第7讲
导
数
高考要点回扣
1.导数的概念及运算 (1)定义 f(x＋Δx)－f(x) Δy f ′(x)＝ lim ＝ lim . Δx Δx→0 Δx Δx→0 (2)几何意义 曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝ f′(x0)(其中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数).
解析 由条件知 g′(1)＝2， 又∵f′(x)＝［g(x)＋x2］′＝g′(x)＋2x， ∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
3.已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝(x＋1)2(x－1)(x－2)， 则函 数 f(x)的极值点的个数为 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ( B )
浙江2020版高考数学第四章导数及其应用4.1导数的概念及运算讲义(含解析)
§4.1 导数的概念及运算1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x x ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 概念方法微思考1．根据f ′(x )的几何意义思考一下，|f ′(x )|增大，曲线f (x )的形状有何变化？ 提示 |f ′(x )|越大，曲线f (x )的形状越来越陡峭． 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不一定．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( √ )(4)因为(ln x )′＝1x，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝ln x ．( × )(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (6)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × ) 题组二 教材改编 2．[P18A 组T5]若f (x )＝x ·e x，则f ′(1)＝. 答案 2e解析 f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e. 3．[P18A 组T6]曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为． 答案 2x －y ＋1＝0解析 ∵y ′＝2(x ＋2)2，∴y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 题组三 易错自纠4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194B.174C.154D.134 答案 D6．已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2018)＋2018ln x ，则f ′(2018)等于( )A ．2018B ．－2019C ．2019D ．－2018答案 B解析 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2018)＋2018x，所以f ′(2018)＝2018＋2f ′(2018)＋20182018，即f ′(2018)＝－(2018＋1)＝－2019.7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝. 答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2， ∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)， 又点(2,7)在切线上，可得a ＝1.题型一 导数的计算1．已知f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4，则f ′(x )＝.答案 －12cos x解析 因为y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x . 2．已知y ＝cos xe x ，则y ′＝.答案 －sin x ＋cos xex解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xex. 3．已知f (x )＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x )＝.答案44x 2－1解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x －1)′(2x ＋1)－(2x －1)(2x ＋1)′(2x ＋1)2＝44x 2－1. 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝. 答案 －4解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 思维升华导数计算的技巧(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导；遇到函数为商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量． (2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．题型二 导数的几何意义命题点1 求切线方程例1 (1)(2018·湖州调研)函数y ＝e x(e 是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－x －1 D ．y ＝－x ＋1答案 B解析 y ′＝e x，则在点(0,1)处的切线斜率为1，则切线方程为y ＝x ＋1，故选B. (2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.引申探究本例(2)中，若曲线y ＝x ln x 上点P 的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是． 答案 (e ，e)解析 y ′＝1＋ln x ，令y ′＝2，即1＋ln x ＝2， ∴x ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．命题点2 求参数的值例2 (1)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a 等于( ) A ．12e-B ．122e-C ．12e D ．122e-答案 B解析 设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点横坐标为x 0，则有y ′|0x x ＝＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，则ax 0＝2,2ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝122e-，故选B.(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．(2，＋∞) D ．(0，＋∞)答案 B解析 因为f ′(x )＝1x＋a ，直线2x －y ＝0的斜率为2，由题设知存在x >0，使1x＋a ＝2，即a＝2－1x，又x >0，所以a <2，故选B.命题点3 导数与函数图象例3 (1)(2013·浙江)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝. 答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 跟踪训练 (1)(2018·绍兴质检)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．－3B ．2C ．－3或2D.12答案 B解析 由题意，得y ′＝12x －3x ，设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0)，则有y ′0|x x ＝＝12x 0－3x 0＝－12，解得x 0＝2或x 0＝－3(舍去)，故选B.(2)下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13C.73 D ．－13或53答案 B解析 因为f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，所以f ′(x )的图象开口向上．又a ≠0，所以f ′(x )不是偶函数，即其图象不关于y 轴对称，则f ′(x )的图象为第三个图，由图象特征知f ′(0)＝0，所以a 2－1＝0，又f ′(x )图象的对称轴x ＝－a >0，所以a ＝－1，因此f (x )＝13x 3－x2＋1，f (－1)＝－13－1＋1＝－13.(3)已知b >0且直线y ＝ax ＋b 与曲线y ＝b e x相切，则实数a b等于( ) A.12B ．1C.1e D ．e 答案 B解析 设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧abx 0＋1＝0e x ，ab ＝0ex ，记a b ＝m >0，则x 0＝m －1m ，所以ln m ＝m －1m，解得m ＝1，故选B.1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)答案 C解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )·(2x －2a ) ＝(x －a )·(x －a ＋2x ＋4a )＝3(x 2－a 2)．2．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π答案 C解析 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π.3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0答案 C解析 y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4答案 A解析 求导可得y ′＝－4e x ＋e －x＋2， ∵e x＋e －x＋2≥2e x ·e －x＋2＝4，当且仅当x ＝0时，等号成立，∴y ′∈[－1,0)，得tan α∈ [－1,0)，又α∈[0，π)，∴3π4≤α<π.5．(2019·温州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．eB ．－eC.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|0x x =＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.6．f (x )＝x (2019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2020，则x 0＝. 答案 1解析 f ′(x )＝2019＋ln x ＋x ·1x＝2020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2020，得2020＋ln x 0＝2020，∴x 0＝1.7．已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为． 答案 (－2,9)解析 ∵f (x )＝2x 2＋1，∴f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2，∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2,9)．8．设曲线y ＝e ax－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝. 答案 3解析 ∵y ＝e ax－ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax－1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1，∵曲线y ＝e ax－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3. 9．若曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y ＝12x ＋b ，则实数b 的值为．答案 －1＋ln2解析 由y ＝ln x ，可得y ′＝1x，设切点坐标为(x 0，y 0)，由曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y＝12x ＋b ，可得1x 0＝12，解得x 0＝2，则切点坐标为(2，ln2)，所以ln2＝1＋b ，b ＝－1＋ln2. 10．(2018·宁波质检)已知曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，则a ＝. 答案 1－e解析 因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以曲线f (x )＝x ln x 在x ＝e 处的切线斜率为k ＝2， 则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －e ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e.11.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为．(用“<”连接) 答案 (1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)解析 (1)由题图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0， 所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ， 由f (1)＝1，得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ， 则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ， h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)．12．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0.13．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝5x ＋4sin x －cos x 的“拐点”是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－5x 上B ．在直线y ＝5x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上答案 B解析 由题意，知f ′(x )＝5＋4cos x ＋sin x ， f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由f ″(x 0)＝0，知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝5x 0，故点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝5x 上．14．(2018·浙江杭州地区四校联考)已知曲线f (x )＝a cos x ＋b sin x 在x ＝π2处的切线恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2，2，若tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f (α)的值． 解 因为f (x )＝a cos x ＋b sin x ，所以其导数为f ′(x )＝－a sin x ＋b cos x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝π2处的切线的斜率k ＝－a sin π2＋b cos π2＝－a ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a cos π2＋b sin π2＝b ，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，b ，所以切线方程为y －b ＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2.因为该切线恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2，2，所以2a ＋b ＝2.因为tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝15，cos α＝25，所以f (α)＝a cos α＋b sin α＝2a ＋b 5＝255.15．(2018·温州市适应性测试)若函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有|f (x )＋f ′(x )|≤2(其中f ′(x )为f (x )的导数)，则f (x )的解析式不可能是( )A ．sin xB ．e －x C.1x 2＋1D.5x x 2＋1 答案 D解析 若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ，所以|f (x )＋f ′(x )|＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<2，故排除A ； 若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，所以|f (x )＋f ′(x )|＝|e －x ＋(－e －x)|＝0<2，故排除B ；若f (x )＝1x 2＋1，则f ′(x )＝－2x (x 2＋1)2，所以|f (x )＋f ′(x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 2＋1＋－2x (x 2＋1)2＝(x －1)2(x 2＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x－1x 2＋12， 设y ＝x －1x 2＋1，则yx 2－x ＋y ＋1＝0，则存在x 0∈R ，使yx 20－x 0＋y ＋1＝0，所以1－4y (y ＋1)≥0， 解得－1＋22≤y ≤－1＋22，所以0≤y 2≤3＋224<2， 即|f (x )＋f ′(x )|<2，故排除C ；若f (x )＝5x x 2＋1， 则f ′(x )＝5(x 2＋1)－5x ·2x (x 2＋1)2＝5(1－x 2)(x 2＋1)2， 所以|f (x )＋f ′(x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5x x 2＋1＋5(1－x2)(x 2＋1)2， 当x ＝0时，|f (0)＋f ′(0)|＝|0＋5|＝5>2.故选D.16．(2018·浙江五校第二次联考)若x 1，x 2∈R ，求(x 1－2e x )2＋(x 2－1e x )2的最小值． 解 方法一 设x 2＝ln x 3，x 3>0，则(x 1－2e x )2＋(x 2－1e x )2＝(x 1－x 3)2＋(1e x －ln x 3)2，其几何意义为动点(x 1，1e x )与(x 3，ln x 3)之间的距离的平方，问题转化为求曲线y ＝e x 上的点和y ＝ln x 上的点的最小距离的平方，因为两条曲线关于直线y ＝x 对称，曲线y ＝e x 的平行于直线y ＝x 的切线的方程为y ＝x ＋1，曲线y ＝ln x 的平行于直线y ＝x 的切线的方程y ＝x －1，两条切线之间的距离为2，故(x 1－2e x )2＋(x 2－1e x )2的最小值是2.方法二 由基本不等式得，(x 1－2e x )2＋(x 2－1e x )2 ≥()1221221212e e e e 222x x x x x x x x -+-⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，当x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )min ＝f (0)＝0，则e x －x ≥1(x ∈R )，即()12212ee 2x x x x -+-≥(1＋1)22＝2，当且仅当x 1＝x 2＝0时取等号，故(x 1－2e x )2＋(x 2－1e x )2的最小值是2.。
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导数与导函数的概念【基础知识点】1．函数从到的平均变化率为①____________，若，21x x x =-△，则平均变化率可表示为．21()()y f x f x =-△2．一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，a b )(x f )(b a x o ，∈x ∆无限趋近于一个固定的常数A ，则称在处可导，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()()(x f o x x =并称A 为在处的导数，记作或)(x f o x x =)('o x f ox x x f =|)('3．几何意义：在处的导数就是在处的切线斜率。
)(x f 0x x =)(x f 0x x =4．导函数的概念：的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数)(x f a b )(x f 也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为的导函数，记作)(x f 。
)('x f 【典例解析】【典例1】函数满足，则当x 无限趋近于0时，)(x f 2)1('=f （1）=-+xf x f 2)1()1(（2）=-+xf x f )1()21(变式:设f(x)在x=x 0处可导，（3）无限趋近于1，则=___________xx f x x f ∆-∆+)()4(00)(0x f '（4）无限趋近于1，则=__________xx f x x f ∆-∆-)()4(00)(0x f '（5）当△x 无限趋近于0，所对应的常数与的xx x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00)(0x f ' 关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴ (k,b为常数) ⑵(C为常数)()kx b k'+=0)(='C⑶⑷()1x'=2()2x x'=⑸⑹32()3x x'=211()x x'=-⑺'=⑻（为常数）1()x xααα-'=α⑼()ln (01)x xa a a a a'=>≠，⑽a a11(log x)log e (01)x xlnaa a'==>≠，且⑾⑿xx e)(e='x1)(lnx='⒀⒁cosx)(sinx='sinx)(cosx－='2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝（x－x0）；)('oxf3．求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．4．函数的差、积、商的求导法则：（1）[]()()''()'()f xg x f x g x±=±（2）[]()'()'cf x cf x=（3）[]()()''()()()'()f xg x f x g x f x g x=+（4）'2()'()()()'()(()0)()()f x f xg x f x g xg xg x g x⎛⎫-=≠⎪⎝⎭【典例解析】【典例1】求下列函数的导数（1）（2）y=41yx=（3）（4）4logy x=sin()2y xπ=-（5） （6）3cos()2y x π=+x x x y =题型一：点在曲线上【典例2】已知曲线上一点,则过点的切线方程为.331x y =)38,2(P P 解析：过点P 的切线的斜率为，那么切线方程为 ，即()'24k f ==()8423y x -=- ．123160x y --=变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线在点(1,f (1))处的切线方程为________.2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+题型二：点不在曲线上【典例3】过点作抛物线的切线，则其中一条切线为)0,1(-12++=x x y 解析：设切点为，切线的斜率为，则切线方程为：()00,x y ()'0021fx x =+ ，因为点在切线上，故 ，解得()()'000y y f x x x -=-)0,1(-()()'0001y f x x -=-- ，或 ，切点为 或 ，故切线方程为 或00x =02x =-()0,1()2,3-20x y -+=330x y ++=变式：1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点.与函()1,0-数(是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.()xf x e =e 2．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系中,已知点P 是函数xOy 的图象上的动点,该图象在P 处的切线交y 轴于点M ,过点P 作的)0()(>=x e x f x l l 垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__题型三：已知切线斜率求切线方程【典例4】求垂直于直线且与曲线相切的直线方程。
0162=+-y x 5323-+=x x y 解析：设切点为 ，切线的斜率为，解得，切点()00,x y ()'2000363fx x x =+=-01x =-为 ，切线方程为()1,3--360x y ++=题型四：已知切线求参数【典例5】已知直线是的切线，则的值为kx y =x y ln =k解析：设切点为，切线的斜率为，切线方程为()00,x y ()'001fx k x == ，即 ，由已知条件得 ，切点为 ，()0001y y x x x -=-01y kx y =+-010y -=(),1e ．1k e=变式：若直线是曲线的切线, 则实数的值为 .x y =px x x y +-=233p 解析：设切点为 ，切线的斜率为，切线方程为()00,x y ()'2000361fx x x p =-+= ，即，，解得00y y x x -=-3200003y x x x px x =+-+-32000030x x px x -+-= ； ， ．00,1x p ==032x =134p =拓展：点是曲线上任意一点，求点到直线的最小距离。
P xe y =P x y =题型五：求函数的解析式【典例6】已知的导数,且,求不等式)(x f 2)1(23)(2-++-='a x a x x f a f 2)0(=的解析式.()f x 变式：1．是一次函数, '()f x 2'()(21)()1x f x x f x --=2．若对任意的有且，则此函数的解析式是 .x 34)(x x f ='1)1(-=f 3．曲线C ：f(x)= ax 3+bx 2+cx+d 关于原点成中心对称，y 极小=f(1)=． 32-（1）求f(x)的解析式；（2）在曲线C 上是否存在点P ，使过P 点的切线与曲线C 除P 点以外不再有其它公共点？证明你的结论．si 练习：1．（2005江苏，理14）曲线在点（1,3）处的切线方程是 .31y x x =++【答案】4x-y-1=0.2．(2014·江西)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ＝，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜1e x 率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)．3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数π2a ＝________.4．（2008江苏，理8）设直线是曲线的一条切线，则实数的b x y +=21)0(ln >=x x y b 值是___________.【答案】ln2－1．【解析】 ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以'1y x=112x =2x =b ＝ln2－1．5．（2009江苏，理9）在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C:y ＝x 3－10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为___________________.【答案】(－2,15)．【解析】∵y′＝3x 2－10,设切点P(x 0,y 0)(x 0＜0),则点P 处切线斜率k ＝3x 02－10＝α,∴x 0＝－2(x 0＜0).∴ P(－2,15).6．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线在点2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+（1,f （1））处的切线方程为________．7．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点．与函数()1,0-（是自然对数的底数）图像相切的直线方程是__________．()x f x e =e8．（拓展2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系中,已知点P 是函数xOy 的图象上的动点,该图象在P 处的切线交y 轴于点M ,过点P 作的垂线)0()(>=x e x f x l l 交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__________．9．曲线y=与曲线y=在交点处的切线的夹角为__________。
x1x 10．设点P 是曲线y=x3－3x+2上的任意一点,P 点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是______________),32[)2,0[πππ[解析]∵y ’=3x2－3≥－3, ∴tan α≥－3又∵ 0≤α≤∏∴0≤α<παππ<≤322或。