导数的概念及运算复习课件
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导数的概念及运算课件
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
(文)曲线 y＝xsinx 在点－2π，π2处的切线与 x 轴、直线 x＝π
所围成的三角形的面积为( )
π2 A. 2
B．π2
C．2π2 D.12(2＋π)2
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
解析：∵y′＝sinx＋xcosx，∴y′|x＝－2π＝－1，∴曲线 y＝xsinx 在点－π2，π2处的切线方程为 y＝－x，所围成的三角 形的面积为π22.故选 A.
夯实基础 稳固根基
一、导数及有关概念
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是定义域内不同的两
点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－
f(x0)，则当Δx≠0时，商
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0＋Δx－fx0 Δx
Δy ＝__Δ_x___.称为函数y
＝f(x)从x0到x1的平均变化率．
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
解析：∵y′＝－ex4＋ex12， ∴tanα＝－ex4＋ex12＝－ex2＋4e2xex＋1＝－ex＋4e1x＋2， ∵ex＞0，∴ex＋e1x ≥2(当且仅当 x＝0 时取等号)， ∴ex＋e1x＋2≥4，∴0＜ex＋4e1x＋2≤1，∴－1≤tanα＜0， ∵α∈[0，π)，∴α∈[34π，π)，故选 D. 答案：D
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
二、导数公式 1．常用的导数公式 C′＝0(C 为常数)； (xm)′＝mxm－1(x>0，m≠0 且 m∈Q)； (xn)′＝nxn－1(n∈N＋) (sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx； (ex)′＝ex，(ax)′＝axlna； (lnx)′＝1x；(logax)′＝xl1na.
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
(文)曲线 y＝xsinx 在点－2π，π2处的切线与 x 轴、直线 x＝π
所围成的三角形的面积为( )
π2 A. 2
B．π2
C．2π2 D.12(2＋π)2
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
解析：∵y′＝sinx＋xcosx，∴y′|x＝－2π＝－1，∴曲线 y＝xsinx 在点－π2，π2处的切线方程为 y＝－x，所围成的三角 形的面积为π22.故选 A.
夯实基础 稳固根基
一、导数及有关概念
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是定义域内不同的两
点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－
f(x0)，则当Δx≠0时，商
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0＋Δx－fx0 Δx
Δy ＝__Δ_x___.称为函数y
＝f(x)从x0到x1的平均变化率．
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
解析：∵y′＝－ex4＋ex12， ∴tanα＝－ex4＋ex12＝－ex2＋4e2xex＋1＝－ex＋4e1x＋2， ∵ex＞0，∴ex＋e1x ≥2(当且仅当 x＝0 时取等号)， ∴ex＋e1x＋2≥4，∴0＜ex＋4e1x＋2≤1，∴－1≤tanα＜0， ∵α∈[0，π)，∴α∈[34π，π)，故选 D. 答案：D
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
二、导数公式 1．常用的导数公式 C′＝0(C 为常数)； (xm)′＝mxm－1(x>0，m≠0 且 m∈Q)； (xn)′＝nxn－1(n∈N＋) (sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx； (ex)′＝ex，(ax)′＝axlna； (lnx)′＝1x；(logax)′＝xl1na.
课件5：3.1 导数的概念及运算
__f′_(x_0_)__；切线方程为__y_－__f(_x_0_)＝__f_′_(x_0_)_(_x_－__x_0_)_． 物理意义：若物体位移随时间变化的关系为 s＝
f(t)，则 f′(t0)是物体运动在 t＝t0 时刻的___瞬__时__速__度___．
4．基本初等函数的导数公式
(1)常用函数的导数
【解析】(1)设切点为(x0，y0)， 故切线的斜率为 k＝x20＝1，解得 x0＝±1， 故切点为1，53，(－1，1)．
故所求切线方程为 y－53＝x－1 和 y－1＝x＋1， 即 3x－3y＋2＝0 和 x－y＋2＝0.
(2)∵y′＝x2，且 P(2，4)在曲线 y＝13x3＋43上， ∴在点 P(2，4)处的切线的斜率 k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－ 2)，即 4x－y－4＝0. (3)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2，4)的切线相切于
1＋2x2 1＋x2.
【点评】求复合函数的导数，关键在于分析函数的 复合关系，适当确定中间变量，然后“由外及内”逐层 求导．
三、导数的几何意义及应用
例3已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程； (2)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点 P(2，4)的切线方程．
例4已知函数 f(x)＝xln2＋x，2xx＋>0a，，x<0，其中 a 是实
数．设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两 点，且 x1<x2.
(1)指出函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线互相垂直， 且 x2<0，证明：x2－x1≥1； (3)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围．
f(t)，则 f′(t0)是物体运动在 t＝t0 时刻的___瞬__时__速__度___．
4．基本初等函数的导数公式
(1)常用函数的导数
【解析】(1)设切点为(x0，y0)， 故切线的斜率为 k＝x20＝1，解得 x0＝±1， 故切点为1，53，(－1，1)．
故所求切线方程为 y－53＝x－1 和 y－1＝x＋1， 即 3x－3y＋2＝0 和 x－y＋2＝0.
(2)∵y′＝x2，且 P(2，4)在曲线 y＝13x3＋43上， ∴在点 P(2，4)处的切线的斜率 k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－ 2)，即 4x－y－4＝0. (3)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2，4)的切线相切于
1＋2x2 1＋x2.
【点评】求复合函数的导数，关键在于分析函数的 复合关系，适当确定中间变量，然后“由外及内”逐层 求导．
三、导数的几何意义及应用
例3已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程； (2)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点 P(2，4)的切线方程．
例4已知函数 f(x)＝xln2＋x，2xx＋>0a，，x<0，其中 a 是实
数．设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两 点，且 x1<x2.
(1)指出函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线互相垂直， 且 x2<0，证明：x2－x1≥1； (3)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围．
导数的概念和计算(复习课件)
1 上,∴ab=1 x
------------②
所求直线方程为 x+y-2=0
练习4 (1)曲线y=x4的斜率等于4的切线的方程为 4x-y-3=0 . π 1 ( , ) 且与过这点的切线垂直的 (2)过曲线y=cosx上的点 3 2
1 2 3 π y = (x . ) 切线方程为 2 3 3
(3)设l1为曲线y=sinx在点(0,0)处的切线,l2为曲线 π ( ,0)处的切线,则l1与l2的夹角大小为 90° . y=cosx在点
′ = 2e 2 x cos x e 2 x sin x y
(4)
2 x log 3 e 1 2 y′ = 2 log 3 e ( x 1)′ = x 1 x2 1
练习3: 1.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3 0或 2 3. (1)这两条曲线在x=x0的点处的切线互相平行,则x0= (2)这两条曲线在x=x1的点处的切线互相垂直,则x1= 4 2.已知f(x)=cos2x ,则 f ′′( ) = . 2 3.已知函数y=x3的切线的斜率等于3,则其切线有
B. 0
二,求导公式 1.常用导数公式
c′=0(c为常数) (xm) ′=mxm-1(m∈Q) (sinx) ′=cosx (cosx) ′=-sinx (ex) ′=ex (ax) ′=ax lna (lnx) ′= 1
1 (log a x)′ = log a e x
x
2.两个函数四则运算的导数
y x
lim y
t →0
x
5.二阶导数:y=f(x)的导数f′(x)的导数,记作f ″(x)或y ″ 物体运动的加速度a=s″(t)
练习1:(1) 一球沿斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2 位移单位:m,时间单位:s).求小球在t=5时的瞬时速 度(用定义法求) 解:△s=s(5+△t)-s(5)=(5+△t)2-52=△t2+10△t s = t + 10 t
导数的概念及其意义 、导数的运算(高三一轮复习)
；
gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ 16 cf′(x)
．
— 8—
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 9—
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ 17 f(g(x)) ．
— 20 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
命题点2 导数的几何意义
考向1 求切线方程
例2
(1)(2022·湖南衡阳二模)函数f(x)＝xln(－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－
e 2
处的
切线方程为 4x－2y＋e＝0
.
(2)(2y0＝22－·新1e高x 考Ⅱ卷.)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
(2)f1x′＝－f[′fxx]2(f(x)≠0)． (3)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次函数的图 象相切只有一个公共点． (4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变 化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”．
f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝ 7αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ 8 cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ 9 －sin x
— 6—
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ 10 axln a
课件4：3.1 导数的概念及运算
利用导数研究曲线上某点的切线方程 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，其关键在于 求出切点及斜率． 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程可按如下方法 可得： (1)求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x) 在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率； (2)在已知切点和求出切线斜率的条件下，利用直线方 程的点斜式写出切线方程：y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)，如果 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数 不存在)，切线方程为 x＝x0.
第三章 导数及其应用
3.1 导数的概念及运算
1. 物体在地球上作自由落体运动时，下落距离 S＝12gt2
其中 t 为经历的时间，g＝9.8 m/s2，若 V＝Δlit→m0
S1＋Δt－S1 Δt
＝9.8 m/s，则下列说法正确的是( C )
A．0～1 s 时间段内的速率为 9.8 m/s
B．在 1～(1＋Δt)s 时间段内的速率为 9.8 m/s
＝lhi→m0 fx0＋hh－fx0，所以此极限仅与 x0 有关而与 h 无关，
故选 B.
二 导数的运算
【例 2】求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx；
(2)y＝ln(x＋2)；
(3)y＝eexx＋－11；
(4)y＝xx＋＋csoinsxx.
【 解 答 过 程 】 (1)y′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx.
【温馨提示】切点处的导数值是切线的斜率；注意“在 点处的切线”与“过点的切线”的区别．
【跟踪训练 5】(2014·广东)曲线 y＝e－5x＋2 在点(0,3)处的
高考数学-导数-专题复习课件
)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
高数课件-导数的概念
率
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
感谢观看
汇报人：
导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
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汇报人：
导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
小学数学导数的基本概念与运算课件
拐点的判定条件：函数在某点的二 阶导数为零，且三阶导数不为零。
导数的零点与方程的根
导数为零的点称为临界点或驻点 导数的零点不一定是方程的根 导数的符号决定了函数在零点附近的单调性 通过导数的零点可以判断方程的根的类型
导数在实际问题中的应用案 例
第五章
速度与加速度的计算
导数在速度计算中的应用：通过导数描述物体运动的速度和加速度，进而解决实际问题
导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用：研究边际成本和边际收益，分析经济行为的变化趋势。 导数在物理学中的应用：解释速度、加速度、功率等物理量的变化规律，研究物体的运动状态。 导数在工程学中的应用：优化设计、控制工程、信号处理等领域，提高工程质量和效率。 导数在金融学中的应用：评估投资组合的风险和回报，预测股票价格的变化趋势。
第一章
导数的定义与意义
第二章
导数的概念
导数定义：函数 在某一点处的切 线斜率
导数意义：表示 函数在某一点处 的变化率
导数应用：研究 函数的单调性、 极值和最值等
导数运算：求导 公式和法则
导数在数学中的意义
导数是函数局部性质的一种量度
导数可以用来研究函数的单调性、极值和最值等性质
导数在几何上可以用来求切线的斜率 导数在物理和工程中有着广泛的应用，如速度、加速度、电流强度等物理 量的计算
分析。
导数在数学建模中的应用
导数在经济学中的应用：研究边际成本、边际收益等经济变量，分析经济现象。 导数在物理学中的应用：描述速度、加速度、温度等物理量的变化规律，解决物理问题。 导数在生物学中的应用：研究种群增长、传染病传播等生物学现象，预测未来趋势。 导数在工程学中的应用：优化设计、控制工程系统等，提高工程效率。
核按钮高考数学专题复习课件导数的概念与运算
最大值和最小值
函数的极值是最大值和最小值的 统称，可以通过导数和二阶导数 计算。
拐点和凸凹性
函数的拐点是凸凹性转换的点， 可以通过导数和二阶导数计算。
最优化问题
最优化问题是实际应用中常见的 问题类型，可以通过导数方法求 解。
总结
导数是数学和物理中的基础概念，具有广泛的应用和深刻的理论意义。希望通过本课程的学习，大家能够深入 理解导数的概念和计算方法，掌握导数分析的基本技能，从而在数学和科学领域更加自信和成功。
核按钮高考数学专题复习 课件导数的概念与运算
导数是高中数学和微积分的基本概念之一。导数用于描述函数在给定点处的 变化率，是许多数学和物理问题的核心概念。在本课程中，我们将深入了解 导数的概念、性质和计算方法。
导数的定义和几何意义
切线
导数是曲线在给定点处的切线的 斜率。
斜率
导数是函数在给定点处的斜率， 表示函数值的变化率。
隐函数
隐函数是复杂曲面的显式函数表示，导数需数
向量代数和微积分
向量函数是高维空间中的映 射，导数描述了向量场的局 部性质。
偏导数和全导数
高维函数的导数需要使用偏 导数和全导数等更复杂的计 算方法。
导数的应用
导数广泛应用于科学工程与 实际问题，如最值问题和最 优化问题等。
函数的导数和反函数的导数
1
一阶导数
函数的导数可以表示为函数的初等函数或数学公式的形式。
2
高阶导数
函数的导数也可以求二阶导、三阶导等高阶导数，揭示函数的更多性质。
3
反函数的导数
反函数的导数可以通过求导链式法则和反函数公式获得。
参数方程的导数和隐函数的导数
参数方程
参数方程描述曲线的参数关系，导数需要通过参数 求导法则计算。
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解析：因为函数 f(x)在 x＝x0 处可导，所以可得 f′(x0) fx0＋h－fx0 ＝lim ，所以此极限仅与 x0 有关而与 h 无关， h→0 h 故选 B.
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二
导数的运算
【例 2】求下列函数的导数： (1)y＝x2sinx； ex ＋ 1 (3)y＝ x ； e －1 (2)y＝ln(x＋2)； x＋cosx (4)y＝ . x＋sinx
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4. 一木块沿一斜面下滑， 下滑的水平距离 S(m)与时间 t(s) 12 之间的函数关系式为 S＝4t ，t＝3 s 时，此木块在水平方向上 1.5 m/s 的瞬时速度为 .
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S3＋Δt－S3 1 3 解析：v＝ ＝4Δt＋2，当 Δt 趋向于 0 时， Δt v 趋向于 1.5，故所求瞬时速度为 1.5 m/s.
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【思路点拨】根据函数的求导公式可得答案．
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【解答过程】 (1)y′＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′＝ 2xsinx ＋ x2cosx. 1 1 (2)y′＝ (x＋2)′＝ . x＋2 x＋2 ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ －2ex (3)y′＝ ＝ x x 2 2. e －1 e －1
＋30t2＋45t＋4，其中 h 的单位为 m，t 的单位为 s. ①h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么； ②求第 2 s 内的平均速度； ③求第 2 s 末的瞬时速度．
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【思路点拨】(1)利用导数定义求函数的导数时，先算 Δy fx＋Δx－fx 函数的增量 Δy， 再算比值Δx＝ ， 再求极限 y′ Δx Δy ＝Δ lim x→0 Δx；(2)①由 h(t)表示航天飞机发射 t 秒后的高度分 h2－h0 别说明 h(0)，h(1)，h(2)的意义；②直接由 得到第 2 －0 2 s 内的平均速度；③求出 2 秒末的瞬时变化率，取极限值 求第 2【解答过程】(1)y′＝Δ lim x→0 Δx fx＋Δx－fx x＋Δx2－x2 ＝ ＝ Δx Δx x2＋2x·Δx＋Δx2－x2 ＝ Δx ＝2x＋Δx， Δy 所以 y′＝Δ lim lim x→0 Δx＝Δ x→0 (2x＋Δx)＝2x.
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(2)①h(0)表示航天飞机发射前的高度； h(1)表示航天飞机升空后 1 s 的高度； h(2)表示航天飞机升空后 2 s 的高度； ②航天飞机升空后第 2 秒内的平均速度为 h2－h0 5×23＋30×22＋45×2＋4－4 － v＝ ＝ 2 2 －0 ＝125(m/s)．
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2 f 1 ＋ Δ x － f 1 [ 1 ＋ Δ x ＋1]－2 Δy 解析：Δx＝ ＝ ＝2＋Δx. Δx Δx
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【跟踪训练 2】设函数 f(x)在 x＝x0 处可导，则 fx0＋h－fx0 lim ( ) h→0 h A．与 x0，h 都有关 B．仅与 x0 有关而与 h 无关 C．仅与 h 有关而与 x0 无关 D．与 x0、h 均无关
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【温馨提示】(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 (2)求平均变化率Δx＝ ； Δx Δy (3)得导数 f′(x0)＝Δ lim x→0 Δx.简记作：一差、二比、三极 限．
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【跟踪训练 1】在曲线 y＝x2＋1 的图象上取一点(1,2)及邻 Δy 近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则Δx为( 1 A．Δx＋Δx＋2 C．Δx＋2 ) 1 B．Δx－Δx－2 1 D．2＋Δx－Δx
第 1讲
导数的概念及运算
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1 2 1. 物体在地球上作自由落体运动时，下落距离 S＝2gt S1＋Δt－S1 其中 t 为经历的时间， g＝9.8 m/s ， 若 V＝Δt lim →0 Δt
2
＝9.8 m/s，则下列说法正确的是( C ) A．0～1 s 时间段内的速率为 9.8 m/s B．在 1～(1＋Δt)s 时间段内的速率为 9.8 m/s C．在 1 s 末的速率为 9.8 m/s D．若 Δt＞0，则 9.8 m/s 是 1～(1＋Δt)s 时段的速率
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5.已知 f(x)＝x2＋2x· f′(1)，则 f′(0)＝ 4
.
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解析： f′(x) ＝ 2x ＋ 2f′(1) ⇒ f′(1) ＝ 2 ＋ 2f′(1) ，所以 f′(1)＝－2，f(x)＝x2－4x，f′(x)＝2x－4，所以 f′(0)＝－4.
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一
利用定义求函数的导数
【例 1】(1)用定义法求 y＝x2 的导数． (2)航天飞机升空后一段时间内，第 t s 时的高度 h(t)＝5t3
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S1＋Δt－S1 解析： 由导数的物理意义可知， V＝Δt lim 指 →0 Δt 的是物体在 1 秒末的瞬时速度，由此可知正确答案是 C.
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2. f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则 x0＝(C ) A. 2 C．± 2 B．－ 2 D．± 1
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解析：用幂函数的导数公式求出 f′(x)，解方程可得答 案．
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3. 函数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δx 时，函数值 相应的增量为 f(1＋Δx)－f(1) .
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解析：因为函数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δ x， 所以函数在 1＋Δx 处的函数值为 f(1＋Δx)， 所以函 数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δx 时，函数值相 应的增量为 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)．
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③航天飞机升空后在 t＝2 时的位移增量与时间增量的比 h2＋Δt－h2 3 2 值为 v＝ ＝ [5(2 ＋ Δ t ) ＋ 30(2 ＋ Δ t ) ＋45(2＋Δt) Δt ＋ 4 － (5×23 ＋ 30×22 ＋ 45×2 ＋ 4)]/Δt ＝ 5Δt3＋60Δt2＋225Δt 2 ＝ 5( Δ t ) ＋ 60( Δ t ) ＋ 225 ， Δt 当 Δt 趋向于 0 时，v 趋向于 225， 因此，第 2 s 末的瞬时速度为 225 m/s.