导数的概念及运算ppt课件演示文稿
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导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
第一节-导数的概念及运算定积分ppt课件
谨记结论·谨防易错 (1)f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导 数，且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是 周期函数． (3)f1x′＝－f[′fxx]2. (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切只有一个公共点．
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
导数的概念及运算ppt课件演示文稿(1)
原函数
f(x)=
x
导函数
f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________
f(x)=xa(a为常数) f(x)=ax(a＞0且a¹1) f(x)=logax(a＞0且a¹1) f(x)=ex f(x)=ln x f(x)=sin x f(x)=cos x
为7和-7.所以切线方程为y-2=7(x-2)和y-2=-7(x+5)，
化简可得切线方程为7x-y-12=0和7x+y+33=0.
经典例题
题型一 导数的定义
【例1】 设函数f(x)存在导数，当t无限趋近于0时，化 简 f a 4t f a 5t =________.
t
f a 4t f a 5t 解： t f a 4t f a f a f a 5t t f a 4t f a f a 5t f a 4 5, 4t 5t
[ g x ]2
f x2 f x1 x2 x1
基础达标
1. 函数f(x)=2x+b在区间[m，n]上的平均变化率为________．
f x 2. 若f′(x0)=2，则当k无限趋近于0时，
0
k f x0 2k
=________.
3. 函数y=x3+cos x的导数为________．
6. 复合函数的导数 一般地，若y=f(u)，u=ax+b，则y′x=y′u〓u′x, 即
22_第1讲导数的概念及运算理ppt课件
Δt＜0，则 9.8 m/s 是(1＋Δt) s～1 s 时段的速率
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
《导数定义》课件
2023
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
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'
基础达标
1. (教材改编题)一物体的运动方程是s=3+t2，则在时 间段[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A. 0.41 B. 3 C. 4 D. 4.1 D 解析：
s 3 2.12 3 22 4.1 t 2.1 2
2. 设函数f(x)可导，则 于
f 1 3x f 1 等 lim x 0 3x
A.f′(1) B. 3f′(1) C. A 解析：
1 f′(1) D. f′(3) 3
f 1 x f 1 lim f ' (1) x 0 x
3. 函数 y
sinx A. 2 x
cosx x
的导数是(
)
B. sin x
xsinx cosx D. x2
题型三 导数的几何意义的应用
1 3 4 y x 【例3】已知曲线 3 3
，求曲线在点P(2,4)处的
切线方程．
解：y′=x2，∴切线的斜率k=y′|x=2=4， ∴切线方程为y-4=4(x-2)， 即4x-y-4=0.
变式3-1 (2011衡阳八中高三月考)曲线f(x)=xln x在点x=1 处的切线方程为( ) A. y=2x-2 B. y=2x+2 C. y=x-1 D. y=x+1 C 解析： 因为f′(x)=ln x+1，所以f′(1)=ln 1+1=1.又f(1)=0， 所以所求切线方程为y-f(1)=f′(1)(x-1)，即y=x-1.
x 1 lnx lnx ' x 1 lnx x 1' x y x 12 x 12 1 lnx x x 1 x 12
'
(3)y′=(3x)′ex+3x(ex)′-(3x)′+(e2)′ =3xln 3〓ex+3x〓ex-3x〓ln 3 =3x〓ln 3(ex-1)+3x〓ex.
f x0 x f x0 lim 函数f′(x)=________________________ 称为f(x)的导函数 x 0 x
，导函数有时也记作y′.
பைடு நூலகம்
4. 基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a＞0) f(x)=ex f(x)=logax (a＞0，且a≠1) f(x)=ln x 导函数 0 f′(x)=____ f′(x)=______ nxn-1
lnx x 1
(3)y=3xex-3x+e2.
解： (1)方法一：y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x， 所以y′=24x3+9x2-16x-4. 方法二：y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′ =(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)〓2 =24x3+9x2-16x-4. 1 （2）
(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x) 上点_________ (x0，f(x0)) 处的____________ 切线的斜率 ．相应地，切线方程为
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) ． __________________
3. 函数f(x)的导函数
f(x)在x=x0处的导数，记作f ′(x0)或y ′ |x=x0， 即 f ′(x0)=
x 0
f x0 x f x0 y lim x 0 ____________________=________________ 为函数 x 0 x x lim
lim f x0 x f x0 x
f′(x)±g′(x) (2)[f(x)〒g(x)]′=_______________ ； f′(x)g(x)+f(x)g′(x； ) (3)[f(x)〓g(x)]′=____________________
f x f ' xg x f xg ' x (4) ______________________ (g(x) 0) 2 [ g x ] g x
经典例题
题型一 应用导数概念求导数 【例1】求函数y=x2在x=1处的导数．
解：y=(1+x)2-12=2x+(x)2， ∴
f ' (1) lim y lim (2 x) 2 x 0 x x 0
y =2+ x, x
，
即f′(1)=2.
题型二 导数的运算 【例2】求下列函数的导数． (1)y=(3x3-4x)(2x+1)； (2)y=
f′(x)=______ cos x f′(x)=______ -sin x f′(x)=______ axln a f′(x)=______ ex
1 f′(x)=______ xlna
1 f′(x)=______ x
5. 导数运算法则
(1)[cf(x)]′=__________ cf′(x) ；
cosx xsinx C. x2
D 解析：
' ' cosx x cosx x xsinx cosx xsinx cosx y' x2 x2 x2
4. (2011山东青岛模拟)设f(x)=xln x，若f′(x0)=2， 则x0=( ) A. e2 B. ln 2 C.
ln 2 2
D. e
D 解析： f′(x)=x′ln x+x(ln x)′=ln x+1， ∴f′(x0)=ln x0+1=2， ∴ln x0=1，∴x0=e.
5. 曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线的斜率 为________ 3 ． 解析： ∵y′=ex+xex+2，∴y′|x=0=e0+0+2=3， ∴切线斜率k=3.
第十二节 导数的概念及运算
基础梳理
1. 函数f(x)从x1到x2的平均变化率 f x2 f x1 函数f(x)从x1到x2的平均变化率为_____________ ，
y 示为________ ． x
x2 x1
若⊿x=x2-x1， ⊿ y=f(x2)-f(x1)，则平均变化率可表 2. 函数f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率
基础达标
1. (教材改编题)一物体的运动方程是s=3+t2，则在时 间段[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A. 0.41 B. 3 C. 4 D. 4.1 D 解析：
s 3 2.12 3 22 4.1 t 2.1 2
2. 设函数f(x)可导，则 于
f 1 3x f 1 等 lim x 0 3x
A.f′(1) B. 3f′(1) C. A 解析：
1 f′(1) D. f′(3) 3
f 1 x f 1 lim f ' (1) x 0 x
3. 函数 y
sinx A. 2 x
cosx x
的导数是(
)
B. sin x
xsinx cosx D. x2
题型三 导数的几何意义的应用
1 3 4 y x 【例3】已知曲线 3 3
，求曲线在点P(2,4)处的
切线方程．
解：y′=x2，∴切线的斜率k=y′|x=2=4， ∴切线方程为y-4=4(x-2)， 即4x-y-4=0.
变式3-1 (2011衡阳八中高三月考)曲线f(x)=xln x在点x=1 处的切线方程为( ) A. y=2x-2 B. y=2x+2 C. y=x-1 D. y=x+1 C 解析： 因为f′(x)=ln x+1，所以f′(1)=ln 1+1=1.又f(1)=0， 所以所求切线方程为y-f(1)=f′(1)(x-1)，即y=x-1.
x 1 lnx lnx ' x 1 lnx x 1' x y x 12 x 12 1 lnx x x 1 x 12
'
(3)y′=(3x)′ex+3x(ex)′-(3x)′+(e2)′ =3xln 3〓ex+3x〓ex-3x〓ln 3 =3x〓ln 3(ex-1)+3x〓ex.
f x0 x f x0 lim 函数f′(x)=________________________ 称为f(x)的导函数 x 0 x
，导函数有时也记作y′.
பைடு நூலகம்
4. 基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a＞0) f(x)=ex f(x)=logax (a＞0，且a≠1) f(x)=ln x 导函数 0 f′(x)=____ f′(x)=______ nxn-1
lnx x 1
(3)y=3xex-3x+e2.
解： (1)方法一：y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x， 所以y′=24x3+9x2-16x-4. 方法二：y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′ =(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)〓2 =24x3+9x2-16x-4. 1 （2）
(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x) 上点_________ (x0，f(x0)) 处的____________ 切线的斜率 ．相应地，切线方程为
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) ． __________________
3. 函数f(x)的导函数
f(x)在x=x0处的导数，记作f ′(x0)或y ′ |x=x0， 即 f ′(x0)=
x 0
f x0 x f x0 y lim x 0 ____________________=________________ 为函数 x 0 x x lim
lim f x0 x f x0 x
f′(x)±g′(x) (2)[f(x)〒g(x)]′=_______________ ； f′(x)g(x)+f(x)g′(x； ) (3)[f(x)〓g(x)]′=____________________
f x f ' xg x f xg ' x (4) ______________________ (g(x) 0) 2 [ g x ] g x
经典例题
题型一 应用导数概念求导数 【例1】求函数y=x2在x=1处的导数．
解：y=(1+x)2-12=2x+(x)2， ∴
f ' (1) lim y lim (2 x) 2 x 0 x x 0
y =2+ x, x
，
即f′(1)=2.
题型二 导数的运算 【例2】求下列函数的导数． (1)y=(3x3-4x)(2x+1)； (2)y=
f′(x)=______ cos x f′(x)=______ -sin x f′(x)=______ axln a f′(x)=______ ex
1 f′(x)=______ xlna
1 f′(x)=______ x
5. 导数运算法则
(1)[cf(x)]′=__________ cf′(x) ；
cosx xsinx C. x2
D 解析：
' ' cosx x cosx x xsinx cosx xsinx cosx y' x2 x2 x2
4. (2011山东青岛模拟)设f(x)=xln x，若f′(x0)=2， 则x0=( ) A. e2 B. ln 2 C.
ln 2 2
D. e
D 解析： f′(x)=x′ln x+x(ln x)′=ln x+1， ∴f′(x0)=ln x0+1=2， ∴ln x0=1，∴x0=e.
5. 曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线的斜率 为________ 3 ． 解析： ∵y′=ex+xex+2，∴y′|x=0=e0+0+2=3， ∴切线斜率k=3.
第十二节 导数的概念及运算
基础梳理
1. 函数f(x)从x1到x2的平均变化率 f x2 f x1 函数f(x)从x1到x2的平均变化率为_____________ ，
y 示为________ ． x
x2 x1
若⊿x=x2-x1， ⊿ y=f(x2)-f(x1)，则平均变化率可表 2. 函数f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率