第十四讲导数的概念及其运算
导数的概念及运算
使 b (3t 2 1)a 2t 3． 则方程 2t 3 3at 2 a b 0 有三个相异的实数根．
记 g (t ) 2t 3 3at 2 a b，则 g (t ) 6t 2 6at 6t (t a).
于是，若过点 a, b 可作曲线 y f ( x) 的三条切线，
（3）.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函 数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为
ux yx yu
考点2 导数的计算
【变式】求下列函数的导数： 例2.
x x （1） y x sin cos ； 2 2
（2） y x( x 1)( x 2) ；
f′ (x)＝cos x ； (3)f(x)＝sin x; 答： __________
(4)f(x)＝cos x; 答： __________ f′( x)＝－sin x； (5)f(x)＝ax 答： __________ f′ (x)＝axln a；
f′(x)＝ex ； (6)f(x)＝ex 答： __________ 1 (x)＝xln a； (7)f(x)＝logax; 答： f′ __________ 1 f′(x)＝x ； (8)f(x)＝ln x; 答： __________ ′＝f′(x)± g′(x)； (9)y＝f(x)± g(x); 答： y ________________ y′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (10)y＝f(x)g(x); 答： ____________________________ ； f′xgx－fxg′x fx y′＝ 2 (11)y＝ 答： __________________. gx≠0； [ g x ] gx
导数的概念及导数的运算14
如皋市薛窑中学2014届高三理科数学一轮复习导数的概念及导数的运算【考点解读】导数的概念：A级导数的几何意义：B级导数的运算：B级简单的复合函数的导数：B级【复习目标】1? 了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义，了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；12.理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数y=c, y=x , y=x2, y=x3, y —, y= i x的导数；x3? 了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表中的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数。
活动一：基础知识1.平均变化率一般地，函数f(X)在区间［捲公2］上的平均变化率为 _________________________ 。
2 .函数f(x)在X X0处的导数设函数f(x)在区间(a,b)上有定义，x o (a,b)，当X无限趋近于0时，比值一丫__________________________________x无限趋近于一个常数A,则称f(x)在点x x o处可导，并称该常数A为函数f(x)点x x o处的________ ，记作________ 。
3?导数的几何意义导数f (x。
)的几何意义就是曲线y f (x)在点(x。
, f (x。
))处的_____________________________________ 。
4?导函数(导数)若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为 ____________________________ ，记作_____________ 。
5?基本初等函数的导数公式(1) C 0(C 为常数)；(2) (x n) (n Q ) ；( 3) (sin x)(4) (cos x) ；(5) (a x) (6) (e x)(7) (log a x) (8) (In x) _________________________ 6?两个函数的四则运算的导数若u(x)、v(x)的导数都存在，则(1) (u v) _______________ (2) (u?v)(J(4) (mu) m(u) (m 为常数)7?复合函数的导数设u g(x)在点x处可导，y f (u)在点u g(x)处可导，则复合函数f ［g(x):在点x处活动_:基础练习1、若f(x) xe x,则f/(1)2、曲线y xln x在点(e,e)处的切线与直线x ay 1垂直，则实数a的值为_____________________________ .3 1 2 23、某质点的位移函数是s(t) 2t gt (g 10m/s ),则当t 2s时，它的加速度是__________________________________24、已知函数y f (x)在点(2，f (2))处的切线方程为y 2x 1,则函数g(x) x2 f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为____________________________________________________________ .5、函数y xcosx sin x 的导数为______________________ .考点一利用导数的定义求函数的导数例1 . 一质点运动的方程为s= 8- 3t2.(1) 求质点在［1,1 + A t:这段时间内的平均速度；(2) 求质点在t = 1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)？2 (1) y x2 sin xx (2) y ex1(变式训练)求下列函数的导数e1x 21 1(1) y e ?lnx⑵ y x(x亍)x x (3) y In(2x 5)考点二导数的运算例2?求下列函数的导数考点三导数的几何意义例3、(1)曲线y x3 11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是_____________________(2)设函数f(x) g(x) x2,曲线y g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y 2x 1 则曲线y f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为_________________________( 变式训练) (1) 曲线y x(3lnx 1) 在点(1,1)处的切线方程为1(2)直线y -x b 与曲线y21 3 4 (3 ) 已知曲线y —x33 3 1x Inx 相切，贝V b 的值为2(1)求曲线在点P (2, 4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2, 4)的切线方程;(4)已知曲线C f(x) = x3—ax+ a,若过曲线C外一点A(1,0)弓I曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为 ___________。
高考总复习精品课件14导数的概念及其运算(1)
3
y
(lnx)( x 2
1) (x2lnxo(x2 1)2 Nhomakorabea1)
1 (x2 1) lnx 2x x
(x2 1)2
x2
1 x(x2
2x2 lnx 1)2
;
4 y 3sin2x2 sin2x 6sin2 2xcos2x.
[反思感悟] 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运 算的前提条件.运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导 法则,特别是商的求导法则.求导过程中符号判断不清,也是 导致错误的原因,从本例可以看出:深刻理解和掌握导数的运 算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准确有效地进行求 导运算,才能充分调动思维的积极性,在解决新问题时才能举 一反三,触类旁通,得心应手.
技法二 先化简再求导,优化解题过程 【典例2】求函数y=cotx的导数. [解题切入点] 对此题,由于课本没有给出y=cotx的直接求导公式,一些同学 不知怎么办了.其实,将原式化为用sinx与cosx 来表示的式子, 然后再按照商的求导法则来求导即可求解.
[解]因为y cotx cosx , sinx
即f′(x0)
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
(2)导函数 当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′ =
lim f (x x) f (x) .
x0
x
注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的改变量Δy与自变 量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念.
技法一 活用导数定义 【典例1】设f(x)=x(x-1)(x-2)•„•(x-2006),则 f′(0)=________.
[解析]
f x f 0 f x
导数的概念和计算优秀课件
所求直线方程为 x+y-2=0
练习4
（1）曲线y=x4的斜率等于4的切线的方程为 4x-y-3=0 . 1 ( （2）过曲线y=cosx上的点 3 , 2 ) 且与过这点的切线垂直的 1 2 3 y ( x ) 切线方程为 . 2 3 3 （3）设l1为曲线y=sinx在点（0，0）处的切线，l2为曲线 y=cosx在点 ( （4）一物体的运动方程是s=t2+3,则物体的初速度是 时间段（3,3+Δt）中，相应的平均是 加速度是 2 6+△t 6 0
物体运动的加速度a=s〞(t)
练习1：(1) 一球沿斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2 位移单位：m，时间单位：s）.求小球在t=5时的瞬时速 度（用定义法求） 解：△s=s(5+△t)-s(5)=(5+△t)2-52=△t2+10△t
s t 10 t
s v ( t 10 ) 10 lim lim t t 0 t 0
联立方程①，②，③解得a=3,b=-11,c=9
例题2.求过点（2，0）且与曲线y=
1 相切的直线方程。 x
解：设所求切线与曲线的切点为P（a，b） ∴
y xa
1 2 a
1 y b (xa ) 所求切线方程为 2 a ∵点（2，0）在切线上，代入整理，得a2b=2-a ------① 1 y 又∵P（a,b）在曲线 上，∴ab=1 ------------② x 联立①，②解得 a=1,b=1
2.可导与连续的关系
函数在某点处可导是函数在该点处连续的充分不必要条件。
3.函数可导与曲线的切线是否存在的问题
函数在某点处可导是函数在该点有切线的充分不必要条件。
导数的概念及基本运算复习ppt课件
【思维总结】 对于未给出切点的题目，要求切线方程，先 设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标．
跟踪训练
2．对于本题函数 y＝13x3＋43，求曲线在点 P(2,4)的切线方程．
解：∵y′＝x2， ∴在 P(2,4)的切线的斜率为 k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在 P(2,4)的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
() A．0
B．1
C．－2
D．2
答案：C
4．(2012·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程 为________． 答案：y＝2x＋1 5．若函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)，则f′(2)＝________. 答案：15
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求函数的导数
函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的，前者是指 导函数，后者是指导函数在某点的具体函数值．
即 y＝x20·x－23x30＋43.
∵P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0. ∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
2．导函数
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间
(a，b)内可导．对于开区间(a，b)内每一个确定的x0，都对应 着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个 新 的 函 数 ， 我 们 把 这 一 新 函 数 叫 做 f(x) 在 开 区 间 (a ， b) 内 的 _导__函__数___，记作f′(x)或y′.
导数的概念和计算(复习课件)
复习题
已知函数 y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4，求该函数的导数。
已知函数 y = sin(x)，求该函数 的导数。
已知函数 y = cos(x)，求该函数 的导数。
答案与解析
答案 y' = 2x
y' = 3x^2
答案与解析
y' = 4x^3 y' = cos(x)
y' = -sin(x)
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导数的概念和计算(复习课件)
目
CONTENCT
录
• 导数的定义和几何意义 • 导数的计算 • 导数在研究函数中的应用 • 导数的实际应用 • 复习题与答案
01
导数的定义和几何意义
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在这一点附近的小变化量与 自变量小变化量的比值，当小变化量趋近于0时的极限值。
信号处理
导数可以用来分析信号的 频谱和滤波，例如傅里叶 变换和小波变换。
优化设计
导数可以用来优化工程设 计，例如结构优化和机械 优化，提高产品的性能和 效率。
05
复习题与答案
复习题
02
01
03
计算下列函数的导数 y = x^2 y = x^3
复习题
y = x^4
y = sin(x)
y = cos(x)
04
导数的实际应用
导数在经济学中的应用
80%
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出 更优来解决经济学中的最 优化问题，例如最大利润、最小 成本等，通过求导找到最优解。
导数的概念及导数的运算14
如皋市薛窑中学2014届高三理科数学一轮复习导数的概念及导数的运算【考点解读】导数的概念：A 级导数的几何意义：B 级导数的运算：B 级简单的复合函数的导数：B 级【复习目标】1•了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义，了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；2.理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数 y=c , y=x , y=x 2, y=x 3, y 丄，y=仮的导数; x3•了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表中的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数。
活动一：基础知识1 •平均变化率一般地，函数f(x)在区间［x 1,X 2］上的平均变化率为2 .函数f(x)在X x 0处的导数设函数f(x)在区间(a,b )上有定义，x 0 (a,b)，当 x 无限趋近于0时，比值一卩 __________________X无限趋近于一个常数A,则称f(x)在点X x 0处可导，并称该常数 A 为函数f(x)点X X 0处的 _______ ，记作3 •导数的几何意义 导数f(X 0)的几何意义就是曲线 y f (x)在点(X 0, f (X 0))处的4.导函数(导数)若f(x)对于区间(a,b )内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量 X 的变化而变化， 因而也是自变量 X 的函数，该函数称为 _____________________ ，记作 __________ 。
5 •基本初等函数的导数公式 6. 两个函数的四则运算的导数(mu ) m(u) (m 为常数) 7. 复合函数的导数设U g(x)在点X 处可导，y f (u)在点u g(x)处可导，则复合函数 f ［g(x)］在点X 处 可导，则 f [g(x)] f (u)?g (x)。
(7)C 0(C 为常数);(2) (x n ) (cos X)；(5)(a x ) (lOg a X) (8) (In X)(n Q )；(3)(sin x) (6) (e x ) 若 u(x)、 v(x)的导数都存在，则(1) (u v)(u?v)(3) Uv活动二：基础练习1、若 f(x) xe x ,贝yf /(1) ___________ .曲线y xln X 在点(e,e)处的切线与直线x ay 1垂直，则实数a 的值为 ________ 某质点的位移函数是 s(t) 2t 3 ［gt 2 (g 10m/s 2),则当t 2s 时，它的加速度是 2 已知函数y f (x)在点(2, f (2))处的切线方程为y 2x 1,则函数 g(x) x 2 f(x)在点(2, g(2))处的切线方程为 __________________ . 函数y xcosx sin X 的导数为 _______________ . 2、 3、 4、 5、 考点一利用导数的定义求函数的导数 例1.一质点运动的方程为 s = 8-3t 2.⑴求质点在［1,1 + A t ］这段时间内的平均速度; (2)求质点在t = 1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解 )• 考点二导数的运算 例2.求下列函数的导数 (1) y x 2 sin X e x 1 ⑵y 厂 y In (2x 5) (变式训练)求下列函数的导数(1)y e x ?|nx 2(2) y x(x (3)y J 3 x11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是x2,曲线y g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y 2x 1f (1))处的切线的斜率为(变式训练) (1)曲线y x(3ln x 1)在点(1,1)处的切线方程为(2)直线y b与曲线y Inx相切，贝y b的值为(3 )已知曲线(1)求曲线在点1 3-x3P( 2，4o34)处的切线方程;(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程;考点三导数的几何意义例3、(1)曲线y x3(2)设函数f(x) g(x) f(x)在点(1, 则曲线y(4)已知曲线C: f(x)= X3—ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为(5)已知曲线y= 3x —X3及点P(2,2)，则过点P的切线条数为。
导数概念与运算
导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x ex'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
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4 切点为 2, 4 或 2, , 3 4 切线方程为y 4 4 x 2 或y 4( x 2), 3 即4x y 4 0或12x 3y 20 0.
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[反思感悟]利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以 下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐
第三模块导数及其应用
第十四讲导数的概念及其运算
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回归课本
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1.导数的概念 (1)f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim , x 0 x 0 x x
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切线方程 1 3 4 2 y x0 x 0 x x0 , 3 3 2 3 4 2 即y x 0 x x0 . 3 3 2 点P 2, 4 在切线上, 4 2x 0 2 3 4 2 x0 , 即x 3 3x 0 0 4 0, 3 3 2 2 x3 x 4x 0 0 0 4 0,
2
2 sin2x 6sin 2xcos2x.
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[反思感悟]理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进 行求导运算的前提条件.运算过程出现失误,原因是不能正 确理解求导法则,特别是商的求导法则.求导过程中符号判 断不清,也是导致错误的原因,从本例可以看出:深刻理解和 掌握导数的运算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准 确有效地进行求导运算,才能充分调动思维的积极性,在解
(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导;
(3)整理得结果.
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2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数 真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理 式或整式求解更为方便.
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【典例2】求下列函数的导数 : 1 y x 2sinx;
2 x0 x 0 1 4 x 0 1 x 0 1 0,
x 0 1 x 0 2 0, 解得x 0 1或x 0 2,
2
故所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0.
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2 3 设切点为 x , y , 则切线的斜率 k x 0 0 0 4, x 0 2.
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)
f′(x)=3(x-1)2+3且f′(1)=3(1-1)2+3=3.
答案:A
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5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程 为( )
A.y=x-1B.y=-x+1 C.y=2x-2D.y=-2x+2
解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,
'
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注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如 [f(x)+g(x)+h(x)]′=f′(x)+g′(x)+h′(x)等.
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5.复合函数的导数 设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对 应点u处有导数y′=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有 导数,且y′x=y′u·u′x或写作fx(φ(x))=f′(u)·φ′(x).
第4页 共 45 页
注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的改变量Δy与自变 量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念.
y 若 lim 存在 x 0 x
则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.
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2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y-
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(lnx)( x 2 1) lnxo( x 2 1) 3 y ( x 2 1) 2 1 2 ( x 1) lnx 2 x x ( x 2 1) 2 x 2 1 2 x 2 lnx ; 2 2 x( x 1)
4 y 3 sin2x
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1 4 [解] 1 P 2, 4 在曲线y x3 上, 3 3 且y x 2 , 在点P 2, 4 处的切线的斜率k y |x 2 4. 曲线在点P 2, 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 , 即4x y 4 0. 1 3 4 2 设曲线y x 3 3 与过点P 2, 4 的切线相切于点 1 3 4 A x0 , x0 , 3 3 2 则切线的斜率k y |x x 0 x 0 .
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[错解]f′(x)=(x2+bx+c)′·e-x+(x2+bx+c)·(e-x)′ =(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x =e-x[x2+(b+2)x+b+c].
由f′(x)=0
即e-x[x2+(b+2)x+b+c]=0, 得x2+(b+2)x+b+c=0. Δ=(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4. 由于b2>4(c-1),所以Δ>0. 故方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
决新问题时才能举一反三,触类旁通,得心应手.
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类型三
导数的几何意义及应用
解题准备:求曲线切线方程的步骤是: ①求导数f′(x); ②求斜率k=f′(x0); ③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数f(x) 在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切线,
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[反思感悟]利用定义法求导数,要先求出 y , x 然后分离出与Δx无关的量,再求解.
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类型二
利用求导公式求导数
解题准备:1.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f(x) 在开区间(a,b)内的导数的基本步骤: (1)分析函数y=f(x)的结构和特征;
同时还必须明确P(x0,y0)为切点.
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1 3 4 【典例3】已知曲线y x . 3 3 1 求曲线在点P 2, 4 处的切线方程;
2 求曲线过点P 2, 4 的切线方程; 3 求斜率为4的曲线的切线方程.
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[分析]求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的 斜率,再通过点斜式得切线方程.
标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标.
(2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他 的公共点.
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错源一
因忽视解题顺序而致错
1 1 在x 4处的导数. 1 x 1 x
【典例1】求函数f x
1 2 [错解]因为f 4 1 , 所以f 4 0. 3 3
1 x 1 x 2 [正解]因为f ( x) , 1 x 1 x 1 x 2 2 所以f x , f 4 . 2 (1 x) 9
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错源二
忽视复合函数的求导
【典例2】已知函数f(x)=(x2+bx+c)e-x,其中b,c∈R且为常数, 若b2>4(c-1),求证:方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,
即f′(x0)
f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 x
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(2)导函数 当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′ =
f ( x x) f ( x) lim . x 0 x
1 ; x 1 . xlna
8 (logax)
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4.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
f ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) (3) (g(x) 0). 2 [ g ( x)] g ( x)
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考点陪练
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1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足() A.Δx>0 C.Δx≠0 B.Δx<0 D.Δx=0
解析:当Δx>0时,是从右端趋近,Δx<0时,是从左端趋近,这就是 “附近”的意义. 答案:C
评析:本题运用平均变化率中的Δx的意义来解决问题.
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2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段[2,2.1]内相应的平 均速度为( A.0.41B.3 C.4 D.4.1 )
s 3 2.12 (3 22 ) 解析 : 4.1. t 2.1 2
答案:D
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f (1 x) f (1) 3.设函数f(x)可导,则 lim x 0 x
x x x 2 y 3 e 2 e;
lnx (3) y 2 ; x 1 3 4 y sin 2x.
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[解](1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx; (2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln3•ex+3xex-2xln2; =(ln3+1)•(3e)x-2xln2;