相似三角形题型讲解解析

相似三角形题型讲解

相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。 一、如何证明三角形相似

例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。

评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。

例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD

分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°

在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD

例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC

A B C D

E

F G 12

3

4A

B

C

D

分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。

证明：在△CBE和△ABD中，

∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD

∴△CBE∽△ABD

∴BC

AB

=

BE

BD

即：BC

BE

=

AB

BD

在△DBE和△ABC中

∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用

∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC ∴∠DBE=∠ABC

且BC

BE

=

AB

BD

∴△DBE∽△ABC

例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形

C

E

C

(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

A

B

C

D

E

1

2

A

A

B

B C C

D

D

E

E

1

2

4

1

2

(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA 解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，

由勾股定理可求得AE=a

2，

在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且2

=

=

AE

EC

EF

AE

所以△EAF∽△ECA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）

B

E

A

C

D

1

2

A

B C

D

E F

注：以上两例中都用了相似三角形的判定定理2，该定理的灵活应用是教学上的难点所在，应注重加强训练。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式

例1、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF •AC=BC •FE

分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF ：FE=BC ：AC ，再利用相似三角

形或平行线的性质进行证明：

证明：过D 点作DK ∥AB ，交BC 于K ， ∵DK ∥AB ，∴DF ：FE=BK ：BE

又∵AD=BE ，∴DF ：FE=BK ：AD ，而BK ：AD=BC ：AC 即DF ：FE= BC ：AC ，∴DF •AC=BC •FE

例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900

，M 是BC 的中点，DM⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2

=MD •ME ；（2）MD

ME

AD AE =22 证明：（1）∵∠BAC=900

，M 是BC 的中点，

∴MA=MC，∠1=∠C， ∵DM⊥BC， ∴∠C=∠D=900

-∠B， ∴∠1=∠D， ∵∠2=∠2， ∴△MAE∽△MDA， ∴

MA

ME

MD MA =， A

B

C

D

E

M

12A

B

C

D

E

F

K