光的衍射计算题及答案

《光的衍射》计算题

1. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长1和2，垂直入射于单缝上．假

如1的第一级衍射极小与2的第二级衍射极小相重合，试问 (1) 这两种波长之间有何关系

(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合 解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得 111sin λθ=a 222sin λθ=a 由题意可知 21θθ= , 21sin sin θθ=

代入上式可得 212λλ= 3分

(2) 211112sin λλθk k a == (k 1 = 1, 2, ……) a k /2sin 211λθ= ·

222sin λθk a = (k 2 = 1, 2, ……) a k /sin 222λθ=

若k 2 = 2k 1，则1 = 2，即1的任一k 1级极小都有2的2k 1级极小与之重合． 2分

2. 波长为600 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直入射到宽度为a =0.10 mm 的单缝上，观察夫琅

禾费衍射图样，透镜焦距f =1.0 m ，屏在透镜的焦平面处．求： (1) 中央衍射明条纹的宽度 x 0；

(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x 2 ． 解：(1) 对于第一级暗纹，有a sin 1≈ 因 1很小，故 tg 1≈sin 1 =

/ a ~

故中央明纹宽度 x 0 = 2f tg 1=2f / a = 1.2 cm 3分 (2) 对于第二级暗纹，有 a sin 2≈2

x 2 = f tg 2≈f sin 2 =2f

/ a = 1.2 cm 2分

3. 在用钠光(= nm)做光源进行的单缝夫琅禾费衍射实验中，单缝宽度a=0.5 mm ，透镜焦距f =700 mm ．求透镜焦平面上中央明条纹的宽度．(1nm=109m)

解： a sin = 2分

a f f f x /sin tg 1λφφ=≈== 0.825 mm 2分

x =2x 1=1.65 mm 1分

|

4. 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm ．缝后放一个焦距f = 400 mm 的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm ，求入射光的波长．

解：设第三级暗纹在3方向上，则有

a sin 3 = 3

此暗纹到中心的距离为 x 3 = f tg 3 2分

因为3很小，可认为tg 3≈sin 3，所以

x 3≈3f / a ．

两侧第三级暗纹的距离是 2 x 3 = 6f / a = 8.0mm

∴ = (2x 3) a / 6f 2分

…

= 500 nm 1分

5. 用波长= nm(1nm=10−9m)的平行光垂直照射单缝，缝宽a =0.15 mm ，缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7 mm ，求此透镜的焦距．

解：第二级与第三级暗纹之间的距离

x = x 3 –x 2≈f / a ． 2分 ∴ f ≈a x / =400 mm 3分 }

6. (1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，1=400 nm ，=760 nm (1 nm=10-9 m)．已知单缝宽度a =×10-2 cm ，透镜焦距f =50 cm ．求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离．

(2) 若用光栅常数d =×10-3 cm 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．

解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知

()111231221

sin λλϕ=+=k a (取k ＝1 ) 1分 ()2222

3

1221sin λλϕ=+=k a 1分

f x /t

g 11=ϕ , f x /tg 22=ϕ 由于 11tg sin ϕϕ≈ , 22tg sin ϕϕ≈

所以 a f x /23

11λ= 1分

a f x /2

3

22λ= 1分

'

则两个第一级明纹之间距为

a f x x x /2

3

12λ∆=

-=∆=0.27 cm 2分 (2) 由光栅衍射主极大的公式 1111sin λλϕ==k d

2221sin λλϕ==k d 2分

且有

f x /t

g sin =≈ϕϕ

所以

d f x x x /12λ∆=-=∆=1.8 cm 2分

7. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，1=440 nm ，2=660 nm (1 nm = 10-9 m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d ．

…

解：由光栅衍射主极大公式得 111sin λϕk d = 222sin λϕk d =

2

1

2122112132660440sin sin k k k k k k =⨯⨯==λλϕϕ 4分

当两谱线重合时有

1=

2

1分

即

6

9

462321===k k ．．．．．．． 1分 两谱线第二次重合即是

4

6

21=k k ， k 1=6， k 2=4 2分 由光栅公式可知d sin60°=6

1

…

60

sin 61

λ=

d =×10-3 mm 2分

8. 一束具有两种波长1和2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长1的第三级主极大衍射角和2的第四级主极大衍射角均为30°．已知1=560 nm (1 nm= 10-9 m)，试求: (1) 光栅常数a ＋b

(2) 波长2

解：(1) 由光栅衍射主极大公式得 ()1330sin λ=+

b a

cm 1036.330

sin 341

-⨯==

+

λb a 3分 ]

(2) ()2430sin λ=+

b a

()4204/30sin 2=+=

b a λnm 2分

9. 用含有两种波长=600 nm 和='λ500 nm (1 nm=10-9 m)的复色光垂直入射到每毫米有200 条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为f=50 cm 的凸透镜，在透镜焦平面处置一屏幕，求以上两种波长光的第一级谱线的间距x ．

解：对于第一级谱线，有：

x 1 = f tg 1， sin 1= / d 1分 ∵ sin ≈tg ∴ x 1 = f tg 1≈f / d 2分 和＇两种波长光的第一级谱线之间的距离 ?

x = x 1 –x 1＇= f (tg 1 – tg 1＇)

= f (－＇) / d =1 cm 2分

10. 以波长400 nm ─760 nm (1 nm ＝10-9 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．

解：令第三级光谱中=400 nm 的光与第二级光谱中波长为的光对应的衍射角都为， 则 d sin =3，d sin =2λ'

λ'= (d sin / )2==λ2

3

600nm 4分

∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm 1分