2015年天津高考文科数学试题及答案解析(word精校版)
2015年高考数学(文科)真题试卷(天津卷)
2015年高考文数真题试卷（天津卷）选择题：每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的1.（2015 天津）已知全集 ， 集合 ， 集合 ， 则集合A.B.C.D.2.（2015·天津）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为A.7B.8C.9D.143.（2015·天津）设 ，则" "是" "的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（2015·天津）已知双曲线 的一个焦点为 ，且双曲线的渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为A.B.C.D.5.（2015 天津）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦 分别经过点 若，则线段 的长为A.B.3C.D.6.（2015·天津）已知定义在 上的函数 ( 为实数）为偶函数，记,则 的大小关系为（）A.B.C.D.7.（2015·天津）已知函数 ,函数 ,则函数的零点的个数为A.2B.3C.4D.5填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分8.（2015·天津） 是虚数单位，计算 的结果为_______________ .9.（2015·天津）一个几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积为_______________10.（2015·天津）已知函数 ,其中 为实数， 为 的导函数，若 ,则 的值为_______________ 。
11.（2015 天津）已知 ，则当 的值为_______________ 时 取得最大值。
12.（2015 天津）在等腰梯形 中，已知 .点 和点 分别在线段 和 上，且 ，则 的值为_______________ 。
13.（2015 天津）已知函数 ，若函数 在区间内单调递增，且函数 的图像关于直线 对称，则 的值为_______________ 。
2015年天津市高考数学试卷(文科)
2015年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}2．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．143．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=16．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3 C．D．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i是虚数单位，计算的结果为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．12．（5分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．13．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编，编分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．17．（13分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．20．（14分）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．2015年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁U B={2，5}，又集合A={2，3，5}，则集合A∩∁U B={2，5}．故选：B．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．14【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=10，i=0i=1，S=9不满足条件S≤1，i=2，S=7不满足条件S≤1，i=3，S=4不满足条件S≤1，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴，∴b=a，∵焦点为F（2，0），∴a2+b2=4，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．6．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3 C．D．【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f （0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i是虚数单位，计算的结果为﹣i．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：i是虚数单位，===﹣i．故答案为：﹣i．【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．11．（5分）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为3．【分析】由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．【解答】解：因为f（x）=a x lnx，所以f′（x）=f（x）=lna•a x lnx+a x，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．12．（5分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编，编分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．【分析】（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），共15种；（ii）设A为事件“编为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）共9个基本事件，∴事件A发生的概率P==【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．17．（13分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．【分析】（Ⅰ）连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于B1B，∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1==4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设出数列{a n}的公比和数列{b n}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*；数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．∴．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）通过e=、a2=b2+c2、B（0，b），计算即得结论；（Ⅱ）设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），M（x M，y M）．（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得x P=﹣，利用BQ⊥BP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得x Q=，计算即得结论；（ii）通过=可得|PQ|=|PM|，利用|PM|sin∠BQP=，可得|BP|=，通过y P=2x P+2c=﹣c计算可得c=1，进而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设左焦点F（﹣c，0），∵离心率e=，a2=b2+c2，∴a=c，b=2c，又∵B（0，b），∴直线BF的斜率k===2；（Ⅱ）设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），M（x M，y M）．（i）由（I）知a=c，b=2c，k BF=2，∴椭圆方程为+=1，直线BF方程为y=2x+2c，联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得x P=﹣，∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=﹣x+2c，联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x2﹣40cx=0，解得x Q=，又∵λ=，及x M=0，∴λ===；（ii）∵=，∴==，即|PQ|=|PM|，又∵|PM|sin∠BQP=，∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=，又∵y P=2x P+2c=﹣c，∴|BP|==c，因此=c，即c=1，∴椭圆的方程为：+=1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符得到原函数的单调性；（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）=a的根，由g （x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．同理得到x1′≤x1，则可证得．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3．当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）=﹣12，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）=a的根为x2′，可得．∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（x2′），因此x2≤x2′．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）．设方程h（x）=a的根为x1′，可得，∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1），因此x1′≤x1，由此可得．【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．。
2015天津高考数学(文)试题及答案
2015天津高考数学（文）试题及答案满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共8小题）1.复数（）A．B．C．D．2.若，满足则的最大值为（）A．0B．1C．D．23.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．B．C．D．4.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．56.设是等差数列. 下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A．B．C．D．8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（共6小题）9.在的展开式中，的系数为．（用数字作答）10.已知双曲线的一条渐近线为，则．11.在极坐标系中，点到直线的距离为．12.在中，，，，则．13.在中，点，满足，．若，则；．14.设函数①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．三、解答题（共6小题）15.已知函数．(Ⅰ) 求的最小正周期；(Ⅱ) 求在区间上的最小值．16.，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 求二面角的余弦值；(Ⅲ) 若平面，求的值．18.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．19.已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．20.已知数列满足：，，且．记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．答案部分1.试题解析:原式=2i-i2=1+2i答案:A2.考点:线性规划试题解析:如图所表示的区域为不等式组表示的平面区域，易知点为目标函数取得最大值的最优解，即Z max=0+21=2答案:D3.试题解析:据框图可得：答案:B4.试题解析:显然由推不出，但能推出，故选B答案:B5.考点:空间几何体的三视图与直观图试题解析:直观图如图：在过点P作AB的垂线交AB于点D，连接DC,＝,,所以，表面积S=2+.答案:6.考点:等差数列试题解析:可使用特值法。
2015年天津市高考数学试卷(文科)
2015年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}2．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．143．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=16．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3 C．D．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i是虚数单位，计算的结果为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f （x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．12．（5分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．13．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．17．（13分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．20．（14分）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g （x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．2015年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，。
2015年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析word版本
2015年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，2．（5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最，解得，即3．（5分）（2015•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）5．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且22﹣=1 B﹣=1﹣y2=1=1a b==16．（5分）（2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）B．7．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，1=，8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位，计算的结果为﹣i．==10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．×π故答案为：π11．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为3．lnx+12．（5分）（2015•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．==413．（5分）（2015•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．==，=•（+++）（+）•+•+•+++××=故答案为：14．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．=）x+，ω≤x+，可x=，从而可求sin x+﹣，的单调递增区间为：[①②x+=k，可解得函数x=，可解得：．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2015•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．=，×=3××=2P==16．（13分）（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．2A+，，32A+=cos2Acos﹣sin2Asin=17．（13分）（2015•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．BN==18．（13分）（2015•天津）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．，然后利用错位相减法求得数列由已知有，消去的通项公式为（Ⅱ）由（Ⅰ）有两式作差得：19．（14分）（2015•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．、﹣，计算即得结论；）通过=|PM||BP|=ca=k==2+﹣x+2c，，及=；）∵=，∴=，即|PQ|=|PM|，∴BQP=c|BP|=c=∴椭圆的方程为：+20．（14分）（2015•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，．，可得由此可得。
2015年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）参考公式：∙ 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+；∙ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；∙ 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；∙ 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年天津，文1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5A = ，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B =ð（ ）（A ）{}3 （B ）{}2,5 （C ）{}1,4,6 （D ）{}2,3,5 【答案】B【解析】{2,3,5}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选B ．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．（2）【2015年天津，文2】设变量,x y 满足约束条件2020280x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为（ ）（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）14 【答案】C【解析】解法一：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由3z x y =+得3y x z =-+， 平移直线3y x z =-+，由图像可知当直线3y x z =-+过点A 时，3y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由20280x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3A ，代入目标函数3z x y =+得3239z =⨯+=，即目标函数的3z x y =+的最大值为9，故选C ．解法二：()()5132289922z x y x x y =+=-++-+≤，当2,3x y ==时取得最大值9，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2015年天津，文3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【解析】由程序框图可知：2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ======，故选C ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i ，S 的值是解题的关键，属于基础题．（4）【2015年天津，文4】设x R Î，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，则“12x <<”是“|2|1x -<”的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．（5）【2015年天津，文5】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为()2,0F ，且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切，则双曲线的方程为（ ）（A ）221913x y -= （B ）221139x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=，与圆()2223x y -+=2c =，由此可解得1,a b ==2213y x -=，故选D ．【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出,a b 的值，是解题的关键．（6）【2015年天津，文6】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N ．若2,4,3CM MD CN ===，则线段NE 的长为（ ）（A ）83（B ）3 （C ）103 （D ）52 【答案】A【解析】由相交弦定理可知AM MB CM MD ⋅=⋅，CN NE AN NB ⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB ⋅=⋅，CN NE CM MD ∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A ．【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．（7）【2015年天津，文7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<【答案】B【解析】因为函数()21x m f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以 221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭ ()2log 52log 5214b f ==-=，()02(0)210c f m f ===-=，所以c a b <<，故选B ．【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．（8）【2015年天津，文8】已知函数()()22222x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()32g x f x =--，若函数()()y f x g x =-的零点个数是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】A【解析】解法一：当0x <时，()22f x x -=，此时方程()()21f x g x x x -=--+的小于0的零点为x =，当02x ≤≤时，()222f x x x -=--=，()()22f x g x x x -=-+=无零点，当2x >时，()2224f x x x -=--=-，方程()()2222733f x x x x x -=-+-=--大于2零点有一个，故选A ．解法二：()()32g x f x =--，∴()()()()32y f x g x f x f x =-=-+-，由()()320f x f x -+-=，得：()()23f x f x +-=，设()()()2h x f x f x =+-，若0x ≤，则0x -≥，22x -≥，则()()()222h x f x f x x x =+-=++；若02x ≤≤，则20x -≤≤，022x ≤-≤，则()()()22222222h x f x f x x xxx =+-=-+--=-+-+=；若x >，0x -<，20x -<，则()()()()22222258h x fx f x x x xx =+-=-+--=-+．即()2220202582x x x h x x x xx x ⎧++≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩，故函数()()y f x g x =-的零点个数为2个，故选A ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2015年天津，文9】i 是虚数单位,计算12i2i-+的结果为 ．【答案】i -【解析】()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++． 【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查． （10）【2015年天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ． 【答案】83π【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目． （11）【2015年天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '=，则a 的值为 ． 【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==．【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键． （12）【2015年天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值． 【答案】4【解析】()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭，当2a b =时取等号，结合0a >，0b >，8ab =可得4, 2.a b ==【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题． （13）【2015年天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ==，则AE AF ⋅的最小值为 ． 【答案】2918【解析】解法一：因为19DF DC λ=，12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918．A解法二：在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=，得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=, 12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+21312AB BC AD AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111129131218331818AB AD BC AD AB BC AB =⋅+⋅++⋅=++-=． 【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．（14）【2015年天津，文14】已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤，且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2ππ42ωω+=⇒=． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k 的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2015年天津，文15】（本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛． （Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：（Ⅰ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2； （Ⅱ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ，共15种．（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题． （16）【2015年天津，文16】（本小题满分13分）ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆ 的面积为，2b c -=，1cos 4A =-．（Ⅰ）求a 和sin C 的值；（Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：（Ⅰ）ABC ∆中，由1cos 4A =-，得sin A =由1s i n 312b c A =得24bc =，又由2b c -=，解得6,4b c == 由2222cos a b c bc A =+-，可得8a =．（Ⅱ）)2cos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A πππ⎛⎫+=-=--= ⎪⎝⎭【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．（17）【2015年天津，文17】（本小题满分13分）如图,已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，BC =，1AA =1BB =E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面11A B BA ； （Ⅱ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB ； （Ⅲ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小．解：（Ⅰ）证明：如图，连接1A B ，在△1A BC 中，因为E 和F 分别是BC ，1A C 的中点，所以1//EF BA ，又因为EF ⊄平面11A B BA ，所以//EF 平面11A B BA ．（Ⅱ）因为AB AC =，E 为BC 中点，所以AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，所以1BB ⊥平面ABC ，从而1BB AE ⊥，又1BC BB B =，所以AE ⊥平面1BCB ，又因为AE ⊂平面1AEA ，所以平面1AEA ⊥平面1BCB ．（Ⅲ）取1BB 中点M 和1B C 中点N ，连接1A M ，1A N ，因为N 和E 分别为1B C 和BC 中点，所以1//NE BB ，112NE BB =，故1//NE AA ，1NE AA =，所以1//A N AE ，1A N AE =．又因为AE ⊥平面1BCB ，所以12A N AE ==，因为1//BM AA ，1BM AA =，所以1//A M AB ，1A M AB =， 又由1AB BB ⊥，有11A M BB ⊥，在11Rt A MB ∆中，可得114A B =．在11Rt A NB ∆中，11111sin 2A N AB N A B ∠==，因此1130A B N ∠=︒，所以直线11A B 与平面1BCB 所成角为30︒．【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题． （18）【2015年天津，文18】（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ==+=，5237a b -=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n b ｛｝的前n 项和．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ,由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩，消去d 得42280q q --=，解得2,2q d ==，所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ，{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N ．（Ⅱ）由（Ⅰ）有()1212n n c n -=-，设{}n c 的前n 项和为n S ，则()0121123252212n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯， ()1232123252212n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()2312222122323n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-，所以()2323n n S n =-+．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．（19）【2015年天津，文19】（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，离．（Ⅰ）求直线BF 的斜率；（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ，||=||PM MQ l ． （i ）求l 的值；（ii）若||sin PM BQP Ð解：（Ⅰ）(),0F c -，由已知c a =及222a b c =+，可得,2a b c ==，又因为()0,B b ，故直线BF 的斜率()020b bk c c-===--．（Ⅱ）设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ，（i ）由（Ⅰ）可得椭圆方程为2222154x y c c +=，直线BF 的方程为22y x c =+，两方程联立消去y 得：2350x cx +=，解得53P c x =- ．因为BQ BP ⊥，所以直线BQ ，方程为122y x c =-+，与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -=，解得4021Q cx =．又因为PM MQ λ=，及0M x =得78M P P Q M Q x x x x x x λ-===-．（ii ）由（i ）得78PM MQ=，所以777815PM PM MQ ==++，即157PQ PM =，又因为||sin PM BQP Ð所以=||sin BP PQ BQP Ð=15||sin 7PM BQP ?．又因为4223P P y x c c =+=-，所以BP ==，1c =， 所以椭圆方程为22154x y +=．【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．（20）【2015年天津，文20】（本题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R =-?（Ⅰ）求()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（Ⅲ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：132143ax x -<-+．解：（Ⅰ）由4()4f x x x =-，可得3()44f x x ¢=-，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞，单调递减区间是()1,+∞． （Ⅱ）设()0,0P x ，则1304x =，()012f x '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-，()()()00g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，()()()()0F x f x f x x x '=--，则()()()0F x f x f x '''=-．由于3()44f x x =-在(),-∞+∞单调递减,故()F x '在(),-∞+∞单调递减,又因为()00F x '=，所以当 ()0,x x ∈-∞时，()0F x '>，所以当()0,x x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在()0,x -∞单调递增，在()0,x +∞ 单调递减，所以对任意的实数x ，()()00F x F x ≤=，对于任意的正实数x ，都有()()f x g x £．（Ⅲ）由（Ⅱ）知13()12(4)g x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得132412ax '=-+．因为()g x 在(),-∞+∞单调递减．又由（Ⅱ）知()()()222g x f x a g x '≥==，所以22x x '≤．类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线为()y h x =，可得()4h x x =，对于任意的(),x ∈-∞+∞，有()()40f x h x x -=-≤，即()()f x h x ≤．设方程()h x a =的根为1x '，可得14ax '=．因为()4h x x =在(),-∞+∞单调递增，()()()111h x a f x h x '==≤．因此11x x '≤，所以13212143ax x x x ''-≤-=-+． 【评析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．。
2015天津卷(文数)
2015天津卷(文数)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考天津卷,文1)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩∁U B等于( B )(A){3} (B){2,5} (C){1,4,6} (D){2,3,5}解析:因为∁U B={2,5},所以A∩∁U B={2,5}.故选B.2.(2015高考天津卷,文2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为( C )(A)7 (B)8 (C)9 (D)14解析:画出可行域,可知在点A(2,3)处,目标函数z=3x+y有最大值9.故选C.3.(2015高考天津卷,文3)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:第一次执行,i=1,S=10-1=9;第二次执行,i=2,S=9-2=7;第三次执行,i=3,S=7-3=4;第四次执行,i=4,S=4-4=0,满足条件,则退出循环,所以输出i的值为4.故选C.4.(2015高考天津卷,文4)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由于不等式|x-2|<1的解集为{x|1<x<3},由于(1,2)⫋(1,3),则1<x<2可以推出1<x<3,反之不成立,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件.故选A.5.(2015高考天津卷,文5)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( D )(A)-=1 (B)-=1(C)-y2=1 (D)x2-=1解析:由于双曲线右焦点F(2,0)与圆心重合,且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,故右焦点到渐近线的距离等于圆的半径的长,得b=,又a2+b2=c2,所以a=1,所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.6.(2015高考天津卷,文6)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( A )(A)(B)3(C)(D)解析:设MA=t,则MB=2t,根据圆的相交弦定理MC·MD=MA·MB,得8=2t2,所以t=2,所以MA=MN=NB=2,又NA·NB=NE·NC,所以4×2=3×NE,所以NE=,故选A.7.(2015高考天津卷,文7)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( B )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)a<c<b (D)c<b<a解析:由于f(x)为偶函数,所以m=0,即f(x)=2|x|-1,其图象过原点,且关于y轴对称,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.又a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),且0<log23<log25,所以c<a<b.故选B.8.(2015高考天津卷,文8)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( A )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2015高考天津卷,文9)i是虚数单位,计算的结果为.解析:===-i.答案:-i10.(2015高考天津卷,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.解析:由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1 m,两个圆锥的高均为1 m,圆柱的高为2 m.因此该几何体的体积为V=2×π×12×1+π×12×2=π(m3).答案:π11.(2015高考天津卷,文11)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a 的值为.解析:f'(x)=a ln x+x·=a(ln x+1),因为f'(1)=3,所以f'(1)=a=3.答案:312.(2015高考天津卷,文12)已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为时,log2a·log2(2b)取得最大值.解析:由于a>0,b>0,ab=8,所以a=,所以log2a·log2(2b)=log2·log2(2b)=(3-log2b)·(1+log2b)=-(log2b)2+2log2b+3=-(log2b-1)2+4,当b=2时,有最大值4,此时a=4.答案:413.(2015高考天津卷,文13)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60° ,点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且=,=, 则·的值为.解析:作CO⊥AB于O,建立如图所示的平面直角坐标系,则A-,0,B,0,C0,,D-1,,所以E,,F-,,所以·=,·,=+=.解析:14.(2015高考天津卷,文14)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=sinωx+,因为函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)=sinω2+=±,所以ω2+=+kπ,k∈Z,即ω2=+kπ,k∈Z,又函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,所以ω2+≤,即ω2≤,取k=0,得ω2=,所以ω=.答案:三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)(2015高考天津卷,文15)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果;②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.解:(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6} ,{A5,A6},共15种.②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.因此,事件A发生的概率P(A)==.16.(本小题满分13分)(2015高考天津卷,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-.(1)求a和sin C的值;(2)求cos的值.解:(1)在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=,由S△ABC=bcsin A=3,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.由=,得sin C=.(2)cos2A+=cos 2A·cos -sin 2A·sin=(2cos2A-1)-×2sin A·cos A=.17.(本小题满分13分)(2015高考天津卷,文17)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E 和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证:EF∥平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.(1)证明:如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明:因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1,又因为AE⊂平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面BCB1. (3)解:取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NE∥B1B,NE=B1B,故NE∥A1A且NE=A1A,所以A1N∥AE,且A1N=AE.又因为AE⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在△ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.因为BM∥AA1,BM=AA1,所以A1M∥AB,A1M=AB,又由AB⊥BB1,得A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中,可得A1B1==4.在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N==,因此∠A1B1N=30°.所以,直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.18.(本小题满分13分)(2015高考天津卷,文18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.解:(1)设数列{a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,由题意知q>0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N❋;数列{b n}的通项公式为b n=2n-1,n∈N❋.(2)由(1)有c n=(2n-1)×2n-1,设{c n}的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-S n=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,S n=(2n-3)×2n+3,n∈N❋.19.(本小题满分14分)(2015高考天津卷,文19)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.①求λ的值;②若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.解:(1)设F(-c,0),由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k===2.(2)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).①由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得x P=-.因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得x Q=.又因为λ=,x M=0,可得λ===.②由①有=,所以==,即|PQ|=|PM|.又因为|PM|sin∠BQP=,所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=.又因为y P=2x P+2c=-c,所以|BP|==c,因此c=,得c=1.所以,椭圆的方程为+=1.20.(本小题满分14分)(2015高考天津卷,文20)已知函数f(x)=4x-x4,x∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x).求证:对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x);(3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x1<x2,求证:x2-x1≤-+.(1)解:由f(x)=4x-x4,可得f'(x)=4-4x3.当f'(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减;所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=,f'(x0)=-12.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f'(x0)(x-x0),即g(x)=f'(x0)(x-x0).令函数F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0),则F'(x)=f'(x)-f'(x0).由于f'(x)=-4x3+4在(-∞,+∞)上单调递减,故F'(x)在(-∞,+∞)上单调递减.又因为F'(x0)=0,所以当x∈(-∞,x0)时,F'(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以对于任意的实数x,F(x)≤F(x0)=0,即对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x).(3)证明:由(2)知g(x)=-12(x-).设方程g(x)=a的根为x'2,可得x'2=-+.因为g(x)在(-∞,+∞)上单调递减,又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x'2),因此x2≤x'2.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=4x,对于任意的x∈(-∞,+∞),有f(x)-h(x)=-x4≤0,即f(x)≤h(x).设方程h(x)=a的根为x'1,可得x'1=.因为h(x)=4x在(-∞,+∞)上单调递增,且h(x'1)=a=f(x1)≤h(x1),因此x'1≤x1.因此可得x2-x1≤x'2-x'1=-+.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学天津卷pdf版
2= BC, DF
1
DC,
则 AE ⋅ AF 的值为
．
3
6
f (x)=
14.已知函数
sin ωx + cosωx (ω > 0), x ∈ R,
若函数 f ( x) 在区间 (−ω,ω ) 内单调
递增，且函数 f ( x) 的图像关于直线 x = ω 对称，则ω 的值为
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。 15.（13 分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18，先采用分层抽样的 方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛。 （I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
点 E，F 分别是 BC 和 A1C 的中点，
（I）求证：EF 平面 A1B1BA ；
（II）求证：平面 AEA1 ⊥ 平面 BCB1 。
（III）求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小。
18.已知{an} 是各项均为正数的等比数列，{bn} 是等差数列，且 a1 = b1 =1, b2 +b3 = 2a3 ,
Sn =1× 20 + 3× 21 + 5× 22 + + (2n −1) × 2n−1,
2Sn =1× 21 + 3× 22 + 5× 23 + + (2n −1)× 2n , 两式相减得 −Sn =1+ 22 + 23 + + 2n − (2n −1)× 2n =− (2n − 3)× 2n − 3, 所以 Sn =(2n − 3) 2n + 3 .
15 5
（16）本小题主要考查同角三角函数的基本系数、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦 公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识。考查基本运算求解能力.满分 13 分.
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2015年天津高考文科数学试题及答案解析 一、选择题 1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,4}A =，集合{1,3,4,6}B =，则集合A U C B =I
(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}
2.设变量,y x 满足约束条件2020280
x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî，则目标函数的最大值为3y z x =+ (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14
3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5
4.设R x Î，则“12x <<”是“|2|1x -<”的
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
5.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点为F(2,0)， 且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切，则双曲线的方程为
(A) 221913x y -= (B) 22
1139
x y -= (C) 2213x y -= (D) 2
2
13y x -= 6.如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为
(A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 52
7.已知定义在R 上的函数||()21(m )x m f x -=-为实数为偶函数，记
0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==，则,b,c a ,的大小关系为
(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<
8.已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî
，函数()3(2)g x f x =--，则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为
(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5
二：填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.i 是虚数单位，计算122i i
-+ 的结果为 ． 10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 ．
11.已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '= ，则a 的值为 ．
12.已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值。
13.在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC P ，2,1,60,AB Bc ABC ==∠=o
点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且21,,36
BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ． 14.已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
15.（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛。
（I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（II ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为123456,,,,,A A A A A A ，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛。
（i ）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率。
16.（13分）△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为31512,cos ,4
b c A -==- （I ）求a 和sinC 的值；
（II ）求cos 26A π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值。
17.（13分）
如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11,BB AA P AB=AC=3，125,7BC AA ==,，127,BB = 点E ，F 分别是BC ，1A C 的中点，
（I ）求证：EF P 平面11A B BA ；
（II ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB 。
（III ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小。
18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ==+=, 5237a b -=.
(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.
19. 已知椭圆22221(a b 0)x y a b
+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ,5 (1)求直线BF 的斜率；
(2)设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ，|PM|=|MQ|l .
1)求l 的值；
2)若75|PM|sin Ð，求椭圆的方程. 20. 已知函数4()4,,f x x x x R =-?其中*n N Î，且n 2³.
(1)求()f x 的单调性；
(2)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x £;
(3)若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <，求证：1
321-43a x x <-+.。