12直角三角形(2)-广东省佛山市顺德区勒流江义初级中学北师大版八年级数学下册课件(共13张PPT)
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北师大版数学八年级下册 1.2.2直角三角形课件
跟踪检测
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和 CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D ) A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥ l于 点E， 且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，则DE＝ 8 ．
自我小结
“ HL”公理是仅适用于直角三角形的特殊方法. 因此，判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS”、“AS A”、 “AAS”、“SSS”外，还可以使用“ HL”.
跟踪检测
1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接 得到△PEA≌△PFA的理由是( A ) A．HL B．ASA C．AAS D．SAS 2．不能判断两个直角三角形全等的条件是(A ) A．两锐角对应相等的两个直角三角形 B．一锐角和锐角所对的直角边分别对应相等的两个直角三角形 C．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形 D．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 4.2816: 30:4216 :30Apr-2128-A pr-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。16:30: 4216:3 0:4216: 30Wed nesday, April 28, 2021
跟踪检测
5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数．
北师大版数学八年级(下)1.2直角三角形(2)教学课件 (共18张PPT)
问题3：如图2，在不改变BD=BC的前题下，能否通过改变C，D点的 位置，使△ACB与△ABD全等，此时△ACB与△ABD是什么三角形？
【设计意图】在不改变SSA条件的情况下，通过改变三角 形的形状，看是否能得到两个三角形全等，为下一环节的 引出做好准备，同时向学生渗透一般与特殊的辩证关系， 并从中发展学生的空间观念．
巩固应用
例：如图5，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯 的水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什 么关系？
解：∵∠ABC+∠DFE=90° 在Rt△BAC和Rt△EDF中，AC=DF且BC=EF ∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）
∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）
探索发现
问题4：两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个直角三角 形全等吗？请试一试． 做一做：如图3，线段a=4cm，c=7cm，直角α． （1）求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c．
（2）你们所做的三角形全等吗？你是如何判断的？
a
c
图3
α
【设计意图】通过作图、观察、比较、交流等活动探索直角三角形全
和定理的证明，本章第一节中等腰三角形两底角相等的证明等，但
那些结论的得出在之前的学习中都已经了解，并非新学习的知识。 而本节课中的直角三角形全等判定，是学生第一次接触，是合情推
理与演绎推理紧密联系中很典型的一节课，对今后类似定理或几何
结论的发现和学习具有奠基和启迪的价值．
教材分析
思想层面：本节教材第一次向学生渗透一般
教材浏览
教材分析
知识层面：直角三角形（二）是北师大版八年级下册
第一章第2节第2课时的教学内容。在此之前，学生在七
【设计意图】在不改变SSA条件的情况下，通过改变三角 形的形状，看是否能得到两个三角形全等，为下一环节的 引出做好准备，同时向学生渗透一般与特殊的辩证关系， 并从中发展学生的空间观念．
巩固应用
例：如图5，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯 的水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什 么关系？
解：∵∠ABC+∠DFE=90° 在Rt△BAC和Rt△EDF中，AC=DF且BC=EF ∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）
∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）
探索发现
问题4：两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个直角三角 形全等吗？请试一试． 做一做：如图3，线段a=4cm，c=7cm，直角α． （1）求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c．
（2）你们所做的三角形全等吗？你是如何判断的？
a
c
图3
α
【设计意图】通过作图、观察、比较、交流等活动探索直角三角形全
和定理的证明，本章第一节中等腰三角形两底角相等的证明等，但
那些结论的得出在之前的学习中都已经了解，并非新学习的知识。 而本节课中的直角三角形全等判定，是学生第一次接触，是合情推
理与演绎推理紧密联系中很典型的一节课，对今后类似定理或几何
结论的发现和学习具有奠基和启迪的价值．
教材分析
思想层面：本节教材第一次向学生渗透一般
教材浏览
教材分析
知识层面：直角三角形（二）是北师大版八年级下册
第一章第2节第2课时的教学内容。在此之前，学生在七
北师大版数学八年级下册.2直角三角形 课件
∴∠ABP＝∠ACP＝90°
∵PB＝PC，AP＝AP
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)
∴∠APB＝∠APC
PB＝PC，ຫໍສະໝຸດ 在△PBD和△PCD中，∠DPB＝∠DPC， DP＝DP，
∴△PBD≌△PCD(SAS)
∴∠BDP＝∠CDP
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
实践探究，交流新知
猜想： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
1．分析命题： 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等； 结论：这两个直角三角形全等．
2．数学语言： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′； 求证：△ABC≌△A′B′C′.
解：在Rt△ADC和Rt△CBA中， DA＝BC， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL) AC＝CA，
∴DC＝BA 又∵BE⊥AC，DF⊥AC ∴∠AEB＝∠CFD＝90° 在Rt△ABE和Rt△CDF中， AB＝CD，
AE＝CF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)
课堂检测，巩固新知
1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是( B )
∠AFC＝∠BEA，
在△ACF和△BAE中， ∠FAC＝∠EBA， ∴△ACF≌△BAE(AAS) AC＝BA，
∴AF＝BE
开放训练，体现应用
变式训练1 如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别
为E，F，且DE＝DF，CE＝BF.求证：∠B＝∠C.
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB
同学们， 下课！
开放训练，体现应用
例1 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠EFD的大小有什么关系？
直角三角形课件数学北师大版八年级下册
BC 的中点， DE ⊥DF，求证： EF2=BE2+CF2.
感悟新知
解：延长 ED 到 G，使 DG＝DE，连接 FG，CG，
如图所示．
DF＝DF，
在△ EDF 和△ GDF 中，∠EDF＝∠GDF＝90°，
DE＝DG，
∴△EDF≌△GDF(SAS)．
∴EF＝FG.
又∵D 为斜边 BC 的中点，∴BD＝DC.
第一章
三角形的证明
1.2
直角三角形
学习目标
1 课时讲授 直角三角形角的性质定理与判定定理
勾股定理
勾股定理的逆定理
2 课时流程
逐点
导讲练
互逆命题和互逆定理
“斜边、直角边” (“HL”) 定理
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知1－讲
知识点 1 直角三角形角的性质定理与判定定理
1. 直角三角形角的性质定理
知2－练
感悟新知
BD＝CD，
在△ BDE 和△ CDG 中，∠BDE＝∠CDG，
DE＝DG，
∴△BDE≌△CDG(SAS)．
∴BE＝CG，∠B＝∠BCG.∴AB∥CG.
∴∠GCA＝180°－∠A＝180°－90°＝90°.
∠ B. 求证： CD ⊥ AB.
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用直角三角形角的性质定理与判定
定理求出CD， AB 的夹角为直角 .
证明：∵∠ ACB=90°，
∴∠ A+ ∠ B=90° .
∵∠ ACD= ∠ B，∴∠ A+ ∠ ACD=90° .
∴∠ CDA=90° . ∴ CD ⊥ AB.
感悟新知
解：延长 ED 到 G，使 DG＝DE，连接 FG，CG，
如图所示．
DF＝DF，
在△ EDF 和△ GDF 中，∠EDF＝∠GDF＝90°，
DE＝DG，
∴△EDF≌△GDF(SAS)．
∴EF＝FG.
又∵D 为斜边 BC 的中点，∴BD＝DC.
第一章
三角形的证明
1.2
直角三角形
学习目标
1 课时讲授 直角三角形角的性质定理与判定定理
勾股定理
勾股定理的逆定理
2 课时流程
逐点
导讲练
互逆命题和互逆定理
“斜边、直角边” (“HL”) 定理
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知1－讲
知识点 1 直角三角形角的性质定理与判定定理
1. 直角三角形角的性质定理
知2－练
感悟新知
BD＝CD，
在△ BDE 和△ CDG 中，∠BDE＝∠CDG，
DE＝DG，
∴△BDE≌△CDG(SAS)．
∴BE＝CG，∠B＝∠BCG.∴AB∥CG.
∴∠GCA＝180°－∠A＝180°－90°＝90°.
∠ B. 求证： CD ⊥ AB.
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用直角三角形角的性质定理与判定
定理求出CD， AB 的夹角为直角 .
证明：∵∠ ACB=90°，
∴∠ A+ ∠ B=90° .
∵∠ ACD= ∠ B，∴∠ A+ ∠ ACD=90° .
∴∠ CDA=90° . ∴ CD ⊥ AB.
北师大版八年级下册数学《直角三角形》三角形的证明培优说课教学复习课件
DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图), C
∴AB2=DF2，∴AB=DF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
D
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
┏
E
B F
探究新知 结论 勾股定理与逆定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这 个三角形是直角三角形．
b2
+
ab
=
ab
+
1 2
c2，
a2 + b2 = c2.
探究新知
a
c
c a
b
方法二：
b
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
c2+ 4 1 ab
2
；
c
∵ (a+b)2 = c2+ 4 1 ab ，
2
a2+2ab+b2 = c2+2ab，
c
b
∴a2+b2=c2.
a
探究新知
c a
探究新知
小结 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质定理: 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定定理: 1.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形 是直角三角形.
探究新知 素养考点 2
北师大版 八年级 数学 下册
1.2 直角三角形 第1课时
直角三角形课件北师大版八年级数学下册
北师大版数学∙八年级下册
教学课件
第一章 三角形的证明
2. 直角三角形
第2课时
教学目标——重点难点
第一章 三角形的证明
1.理解并掌握证明直角三角形全等的“斜边直角边定理”.
（重点）
2.综合利用直角三角形的性质及直角三角形全等的判定解
决问题.（重点）
教学目标——温故知新
第一章 三角形的证明
知识储备
1.尺规作图中直尺和圆规的作用分别是什么？
第一章 三角形的证明
听一听
例1 在如图所示的三角形纸片ABC中，∠C=90°，
∠B=30°.按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成
三个全等的小直角三角形（图中虚线表示折痕)：①折
叠三角形纸片ABC,使点B与点A重合；②将折叠后的
纸片再沿AD折叠.
（1）由步骤①可以得到哪些等量关系？
（2）请证明△ACD≌△AED;
’
’
同理，
=
’
’
−
A
A'
C B'
C'
’
’
.
∵ = ‘ ’ ， = ’ ’ ，
∴ = ’ ’ .
∴△ ≌△’ ’ ’ （SSS）.
B
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
知识点2 直角三角形全等的判定
利用斜边直角边相等判定直角三角形全等
通过上面的证明，我们得到判定直角三角形全等的一种新方法：
C'
如图，已知△ABC和△’ ’ ’ 中，∠=∠’ ， =
‘ ’ , = ’ ’ .
求证：△ABC≌△’ ’ ’ .
B
教学过程——新知探究
教学课件
第一章 三角形的证明
2. 直角三角形
第2课时
教学目标——重点难点
第一章 三角形的证明
1.理解并掌握证明直角三角形全等的“斜边直角边定理”.
（重点）
2.综合利用直角三角形的性质及直角三角形全等的判定解
决问题.（重点）
教学目标——温故知新
第一章 三角形的证明
知识储备
1.尺规作图中直尺和圆规的作用分别是什么？
第一章 三角形的证明
听一听
例1 在如图所示的三角形纸片ABC中，∠C=90°，
∠B=30°.按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成
三个全等的小直角三角形（图中虚线表示折痕)：①折
叠三角形纸片ABC,使点B与点A重合；②将折叠后的
纸片再沿AD折叠.
（1）由步骤①可以得到哪些等量关系？
（2）请证明△ACD≌△AED;
’
’
同理，
=
’
’
−
A
A'
C B'
C'
’
’
.
∵ = ‘ ’ ， = ’ ’ ，
∴ = ’ ’ .
∴△ ≌△’ ’ ’ （SSS）.
B
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
知识点2 直角三角形全等的判定
利用斜边直角边相等判定直角三角形全等
通过上面的证明，我们得到判定直角三角形全等的一种新方法：
C'
如图，已知△ABC和△’ ’ ’ 中，∠=∠’ ， =
‘ ’ , = ’ ’ .
求证：△ABC≌△’ ’ ’ .
B
教学过程——新知探究
北师大版八年级下册数学《直角三角形》三角形的证明PPT教学课件
北师版 八年级 下册
第一章 三角形的证明
直角三角形（第1课时）
讲授新课
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂 足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?
解：在R
∴BC=0.5AB=5 cm．
∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90°
1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.
讲授新课
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等角的所对的边相等. 勾股定理：
证明方法: 数方格和割补图形的方法
讲授新课
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求证： a2 b2 c2
A
证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，
连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．
∴∠BDE=90°，ED=a．
∴四边形ACDE是直角梯形．
请根据这一问题列出方程.（只列不解）
设：竹竿x尺，得
x 42 x 22 x2
讲授新课
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (斜边,直角边或
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴R
∴ 因∠此，A=△∠ADB=C9是0°直(全角等三三角角形形．的对应角相等)．E
第一章 三角形的证明
直角三角形（第1课时）
讲授新课
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂 足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?
解：在R
∴BC=0.5AB=5 cm．
∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90°
1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.
讲授新课
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等角的所对的边相等. 勾股定理：
证明方法: 数方格和割补图形的方法
讲授新课
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求证： a2 b2 c2
A
证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，
连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．
∴∠BDE=90°，ED=a．
∴四边形ACDE是直角梯形．
请根据这一问题列出方程.（只列不解）
设：竹竿x尺，得
x 42 x 22 x2
讲授新课
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (斜边,直角边或
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴R
∴ 因∠此，A=△∠ADB=C9是0°直(全角等三三角角形形．的对应角相等)．E
北师大版2024八年级数学下册 1.2.2 直角三角形(2)(课件)
AC=DF ,
∴Rt△BAC≌Rt△EDF (HL).
∴∠B＝∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF＋∠F＝90°，(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B＋∠F=90°
随堂练习
1. 如图所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PF=PE,
则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是( A )
a
c
α
探究新知
N
a
c
α
M
（1）作∠MCN=∠α=90°．
C
探究新知
N
a
M
B
（2）在射线CM上截取CB=ɑ．
C
探究新知
N
A
c
M
B
C
（3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于A．
探究新知到Rt△ABC．
C
探究新知
把作好的三角形剪下来，与同桌作的三角形对比，
A
D
1
证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵∠A＝∠B＝90°，
E
∴△ADE和△BEC是直角三角形 .
2
∵AD＝BE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）.
B
C
随堂练习
6.如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，
A
BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．
求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．
B
B′
AB=A′B′,
BC=B′C′,
A
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
C A′
C′
探究新知
例： 如图,有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右
∴Rt△BAC≌Rt△EDF (HL).
∴∠B＝∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF＋∠F＝90°，(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B＋∠F=90°
随堂练习
1. 如图所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PF=PE,
则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是( A )
a
c
α
探究新知
N
a
c
α
M
（1）作∠MCN=∠α=90°．
C
探究新知
N
a
M
B
（2）在射线CM上截取CB=ɑ．
C
探究新知
N
A
c
M
B
C
（3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于A．
探究新知到Rt△ABC．
C
探究新知
把作好的三角形剪下来，与同桌作的三角形对比，
A
D
1
证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵∠A＝∠B＝90°，
E
∴△ADE和△BEC是直角三角形 .
2
∵AD＝BE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）.
B
C
随堂练习
6.如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，
A
BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．
求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．
B
B′
AB=A′B′,
BC=B′C′,
A
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
C A′
C′
探究新知
例： 如图,有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右
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课本 P20 随堂T2
检测
自主提升
解：依题意，可知 ∠BAC=∠EDF = 90 °， BC = EF，AC = DF， ∴ Rt△BAC ≌ Rt△EDF（HL）. ∴ ∠ B = ∠ DEF. ∵ ∠ DEF + ∠ F = 90 ° ， ∴ ∠ B + ∠ F = 9形 2. “HL”具体指的是什么？ 3. 直角三角形全等的判定方法有哪几种？
1.课本P21 习题1.6 T1、2 2.作业本P6 【必做】 A组题
【选做】 B组题
课本P21 T1、2
（先思考，再交流或听老师讲解）
3、已知：如图，线段 a 2cm,c 4cm, 90 求作： Rt△ABC,使C , BC a, AB c
先在练习本上画草图， 再思考如何作图.
独立完成后， 参考课本 P19
导学二
直角三角形的判定定理
简述为“斜边、直角边”或 “HL”
阅读课本 P19， 了解证明过程
课前准备
数学书、草稿本、一副三角板、圆规、高分作业本2
作业本评讲 P5
作业本评讲 P5
视频：计算技巧
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形(2)
学习目标
1．能用尺规作图：已知一条直角边和斜边作直角三角形． 2．了解判定直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）定 理； 3. 会用““斜边、直角边”（HL）定理解决一些简单问题.
复习回顾
1、如图，已知∠CAB=∠DBA，要使△ACB≌△BDA,还需要
添加一个条件。下列条件中，正确的是：① ② ③ （填序号）
①AC=BD SAS
②∠C=∠D AAS
③∠CBA=∠DAB ASA ④BC=AD
导学一
2、两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的
两个三角形全等吗?如果这组对角是直角呢？