高考高三数学总复习教案：集合的概念

课堂过关第一章集合与常用逻辑用语第１课时集合的概念（对应学生用书（文）、（理）１～２页）考情分析考点新知了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．①学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.②学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.③集合含义中掌握集合的三要素.４不要求证明集合相等关系和包含关系.１．（必修１P１0第５题改编）已知集合A＝{m＋２，２m２＋m}，若３∈A，则m＝________．答案：—错误!解析：因为３∈A，所以m＋２＝３或２m２＋m＝３．当m＋２＝３，即m＝１时，２m２＋m＝３，此时集合A中有重复元素３，所以m＝１不合题意，舍去；当２m２＋m＝３时，解得m＝—错误!或m ＝１（舍去），此时当m＝—错误!时，m＋２＝错误!≠３满足题意．所以m＝—错误!.２．（必修１P7第４题改编）已知集合{a|0≤a<４，a∈N}，用列举法可以表示为________．答案：错误!解析：因为a∈N，且0≤a<４，由此可知实数a的取值为0，１，２，３．３．（必修１P１7第6题改编）已知集合A＝[１，４），B＝（—∞，a），A B，则a∈________．答案：[４，＋∞）解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知．４．（原创）设集合A＝{x|x＝５—４a＋a２，a∈R}，B＝{y|y＝４b２＋４b＋２，b∈R}，则A、B的关系是________．答案：A＝B解析：化简得A＝{x|x≥１}，B＝{y|y≥１}，所以A＝Ｂ．５．（必修１P １7第8题改编）满足条件{１}M{１，２，３}的集合M的个数是________．答案：４个解析：满足条件{１}M{１，２，３}的集合M有{１}，{１，２}，{１，３}，{１，２，３}，共４个．１．集合的含义及其表示（１）集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．（２）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．（３）集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．（４）集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．（５）常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．２．两类关系（１）元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．（２）集合与集合之间的关系１包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．２真包含关系：如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．３相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等．（３）含有n个元素的集合的子集共有２n个，真子集共有２n—１个，非空子集共有２n—１个，非空真子集有２n—２个.题型１正确理解和运用集合概念例１已知集合A＝{x|ax２—３x＋２＝0，a∈R}．（１）若A是空集，求a的取值范围；（２）若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来；（３）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．解：（１）若A是空集，则Δ＝9—8a＜0，解得a＞错误!.（２）若A中只有一个元素，则Δ＝9—8a＝0或a＝0，解得a＝错误!或a＝0；当a＝错误!时这个元素是错误!；当a＝0时，这个元素是错误!.（３）由（１）（２）知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是a≥错误!或a＝0．错误!已知a≤１时，集合[a，２—a]中有且只有３个整数，则a的取值范围是________．答案：—１<a≤0解析：因为a≤１，所以２—a≥１，所以１必在集合中．若区间端点均为整数，则a＝0，集合中有0，１，２三个整数，所以a＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度２<２—２a<４，解得—１<a<0，此时，集合中有0，１，２三个整数，—１<a<0适合题意．综上，a的取值范围是—１<a≤0．错误!设集合M＝错误!，N＝{x|x＝错误!＋错误!，k∈Z}，则M________N.答案：真包含于题型２集合元素的互异性例２已知a、b∈R，集合A＝{a，a＋b，１}，B＝错误!，且A B，B A，求a—b的值．解：∵ A B，B A，∴A＝Ｂ．∵a≠0，∴a＋b＝0，即a＝—b，∴错误!＝—１，∴b＝１，a＝—１，∴a—b＝—２．错误!已知集合A＝{a，a＋b, a＋２b}，B＝{a，ac, ac２}．若A＝B，则c＝________．答案：—错误!解析：分两种情况进行讨论．１若a＋b＝ac且a＋２b＝ac２，消去b得a＋ac２—２ac＝0．当a＝0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴ c２—２c＋１＝0，即c ＝１．但c＝１时，B中的三元素又相同，此时无解．２若a＋b＝ac２且a＋２b＝ac，消去b得２ac２—ac—a＝0．∵a≠0，∴２c２—c—１＝0，即（c—１）（２c＋１）＝0．又c≠１，故c＝—错误!.错误!集合A＝错误!，集合B＝{a２，a＋b，0}，若A＝B，求a２0１３＋b２0１４的值．解：由于a≠0，由错误!＝0，得b＝0，则A＝{a，0，１}，B＝{a２，a，0}．由A＝B，可得a２＝１．又a２≠a，则a≠１，则a＝—１．所以a２0１３＋b２0１４＝—１．题型３根据集合的含义求参数范围例３集合A＝{x|—２≤x≤５}，集合B＝{x|m＋１≤x≤２m—１}．（１）若B A，求实数m的取值范围；（２）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．解：（１）当m＋１＞２m—１即m＜２时，B＝满足B A；当m＋１≤２m—１即m≥２时，要使B A成立，则错误!解得２≤m≤３．综上所述，当m≤３时有BＡ．（２）因为x∈R，且A＝{x|—２≤x≤５}，B＝{x|m＋１≤x≤２m—１}，又没有元素x使x∈A与x∈B 同时成立，则１若B＝，即m＋１＞２m—１，得m＜２时满足条件；２若B≠，则要满足条件错误!解得m＞４．或错误!无解．综上所述，实数m的取值范围为m＜２或m＞４．错误!已知集合A＝{y|y＝—２x，x∈[２，３]}，B＝{x|x２＋３x—a２—３a>0}．若A B，求实数a的取值范围．解：由题意有A＝[—8，—４]，B＝{x|（x—a）（x＋a＋３）>0}．１当a＝—错误!时，B＝错误!，所以A B恒成立；２当a<—错误!时，B＝{x|x<a或x>—a—３}．因为A B，所以a>—４或—a—３<—8，解得a>—４或a>５（舍去），所以—４<a<—错误!；３当a>—错误!时，B＝{x|x<—a—３或x>a}．因为A B，所以—a—３>—４或a<—8（舍去），解得—错误!<a<１．综上，当A B时，实数a的取值范围是（—４，１）．１．设集合A＝{x|x＜２}，B＝{x|x＜a}，且满足A真包含于B，则实数a的取值范围是____________．答案：（２，＋∞）解析：利用数轴可得实数a的取值范围是（２，＋∞）．２．已知集合A＝{１，２，３，４，５}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x—y∈A}，则B中元素的个数为________．答案：１0解析：B中所含元素有（２，１），（３，１），（３，２），（４，１），（４，２），（４，３），（５，１），（５，２），（５，３），（５，４）．３．若x∈A，则错误!∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝错误!的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：３解析：具有伙伴关系的元素组是—１；错误!，２，所以具有伙伴关系的集合有３个：{—１}，错误!，错误!.４．已知全集U＝R，集合M＝{x|—２≤x—１≤２}和N＝{x|x＝２k—１，k＝１，２，…}的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．答案：２解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M和N的交集，所以由M＝{x|—１≤x≤３}，得M∩N＝{１，３}，有２个．５．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，２，５}，Q ＝{１，２，6}，则P＋Q中元素的个数为________．答案：8解析：（１）∵ P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0，２，５}，Q＝{１，２，6}，∴当a＝0时，a＋b的值为１，２，6；当a＝２时，a＋b的值为３，４，8；当a＝５时，a＋b的值为6，7，１１，∴P＋Q＝{１，２，３，４，6，7，8，１１}，∴P＋Q中有8个元素．１．已知A＝{x|x２—２x—３≤0}，若实数a∈A，则a的取值范围是________．答案：[—１，３]解析：由条件，a２—２a—３≤0，从而a∈[—１，３]．２．现有含三个元素的集合，既可以表示为错误!，也可表示为{a２，a＋b，0}，则a２0１３＋b２0１３＝________．答案：—１解析：由已知得错误!＝0及a≠0，所以b＝0，于是a２＝１，即a＝１或a＝—１，又根据集合中元素的互异性可知a＝１应舍去，因此a＝—１，故a２0１３＋b２0１３＝（—１）２0１３＝—１．３．已知集合A＝{x|（x—２）[x—（３a＋１）]＜0}，B＝错误!.（１）当a＝２时，求A∩B；（２）求使B真包含于A的实数a的取值范围．解：（１）A∩B＝{x|２＜x＜５}．（２）B＝{x|a＜x＜a２＋１}．１若a＝错误!时，A＝，不存在a使B A；２若a＞错误!时，２≤a≤３；３若a＜错误!时，—１≤a≤—错误!.故a的取值范围是错误!∪[２，３]．４．已知A＝{a＋２，（a＋１）２，a２＋３a＋３}且１∈A，求实数a的值．解：由题意知：a＋２＝１或（a＋１）２＝１或a２＋３a＋３＝１，∴a＝—１或—２或0，根据元素的互异性排除—１，—２，∴a＝0即为所求．１．研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f（x）}、{y|y＝f（x）}、{（x，y）|y＝f（x）}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．２．空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A B，则需考虑A＝和A≠两种可能的情况．３．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．４．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．错误![备课札记]。