2019年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷(文科)

2019年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x≤2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知复数z满足，则z＝（）A．1﹣i B．1﹣2i C．1+i D．1+2i3．（5分）已知命题p：∀x∈（0，π），tan x＞sin x；命题q：∃x＞0，x2＞2x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢（p∨q）C．p∨（￢q）D．（￢p）∧q 4．（5分）已知角θ的终边经过点（2，﹣3），将角θ的终边顺时针旋转后得到角β，则tanβ＝（）A．B．5C．D．﹣55．（5分）已知向量＝（，||＝，且⊥（﹣），则（+）•（﹣3）＝（）A．15B．19C．﹣15D．﹣196．（5分）已知，，c＝0.3lg1，则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A．B．C．20π﹣12D．28π﹣248．（5分）函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．9．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆C：与y轴相切，抛物线E：y2＝2px（p＞0）过圆心C，其焦点为F，则直线CF被抛物线所截得的弦长等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且图象过点，要得到函数的图象，只需将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度12．（5分）若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）＝g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）＝x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知双曲线经过点M（2，2），则其离心率e＝．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛．如数式是一个确定值x（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式＝x，则，即x2﹣2x﹣1＝0，解得，取正数得．用类似的方法可得＝．16．（5分）在△ABC中，AC＝2，，△ABC的面积为，点P在△ABC内，且，则△PBC的面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，点P n（n，S n）（n∈N*）是曲线上的点．数列{b n}是等比数列，且满足b1＝a1+1，b2＝a3﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，多面体ABCDPQ中，平面APD⊥平面ABCD，且P A＝PD，BC∥AD，CD⊥AD，E为AD的中点，且，PQ∥BE，且PQ＝BE，QB＝3．（Ⅰ）求证：EC⊥平面QBD；（Ⅱ）求该多面体ABCDPQ的体积．19．（12分）2018年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有的决心和力度加强生态环境保护．某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额（单位：万元）的柱状图．（Ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；（结果保留整数）（Ⅱ）园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金额不超过200万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金额超过200万元，不超过300万元，则该年奖励20万元；若企业一年的环保投入金额超过300万元，则该年奖励50万元．（ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和；（ⅱ）现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率．20．（12分）在平面直角坐标系中，直线n过点且与直线m：x+2y＝0垂直，直线n与x轴交于点M，点M与点N关于y轴对称，动点P满足|PM|+|PN|＝4．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点D（1，0）的直线l与轨迹C相交于A，B两点，设点E（4，1），直线AE，BE的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a≥0时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣2时，证明：．（e为自然对数的底数）考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin （θ﹣）．（1）求直线l的普通方程以及圆C的直角坐标方程；（2）若点P在直线l上，过点P作圆C的切线PQ，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣3|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≥t2﹣2t恒成立，求实数t的取值范围．2019年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x≤2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4x＜0}＝{x|0＜x＜4}，B＝{x∈Z|﹣2＜x≤2}＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知复数z满足，则z＝（）A．1﹣i B．1﹣2i C．1+i D．1+2i【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由，得（a+bi）（2+i）＝a﹣bi+4i，即（2a﹣b）+（a+2b）i＝a+（4﹣b）i，∴，即a＝b＝1．∴z＝1+i．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3．（5分）已知命题p：∀x∈（0，π），tan x＞sin x；命题q：∃x＞0，x2＞2x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢（p∨q）C．p∨（￢q）D．（￢p）∧q【考点】2E：复合命题及其真假．【专题】35：转化思想；5L：简易逻辑．【分析】直接利用命题的应用，真值表的应用求出结果．【解答】解：命题p：∀x∈（0，π），tan x＞sin x；当x＝时，命题不成立．故命题p为假命题．命题q：∃x＞0，x2＞2x，当x＝3时，命题为真命题．故￢p∧q为真命题．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：命题的应用，真值表的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．（5分）已知角θ的终边经过点（2，﹣3），将角θ的终边顺时针旋转后得到角β，则tanβ＝（）A．B．5C．D．﹣5【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】33：函数思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再由tanβ＝tan（），展开两角差的正切求解．【解答】解：根据角θ的终边经过点（2，﹣3），可得tanα＝﹣．∵θ的终边按顺时针方向旋转后，与角β的终边重合，∴tanβ＝tan（）＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义及两角差的正切，属于基础题．5．（5分）已知向量＝（，||＝，且⊥（﹣），则（+）•（﹣3）＝（）A．15B．19C．﹣15D．﹣19【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的垂直以及向量的模，数量积化简求解即可．【解答】解：向量＝（，||＝，且⊥（﹣），可得，，（+）•（﹣3）＝＝﹣＝﹣4﹣15＝﹣19．故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的模，考查转化思想以及计算能力．6．（5分）已知，，c＝0.3lg1，则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可以看出log23＞1，0＜log32＜1，lg1＝0，从而得出，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log23＞1，0＜log32＜1，lg1＝0；∴，，0.3lg1＝0.30＝1；∴b＜c＜a．故选：B．【点评】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A．B．C．20π﹣12D．28π﹣24【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图知该几何体是圆柱挖去一个正四棱柱，上部是半球，结合图中数据求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图还原出几何体知，该几何体是圆柱挖去一个正四棱柱，上部是半球，且长方体的底面棱长为2，高为3，圆柱底面半径2，高为3，半球的半径为2，则此几何体的体积为V＝＝．故选：A．【点评】本题考查了根据几何体三视图求体积的应用问题，是基础题．8．（5分）函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】利用特殊值对应点的坐标排除选项，判断即可．【解答】解：函数f（x）＝，当x＝0时，y＝﹣3，排除选项A，B，D．即可判断选项C正确，故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．9．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝1﹣﹣﹣﹣的值，可得程序运行后输出的结果为：S＝1﹣﹣﹣﹣＝．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．（5分）已知圆C：与y轴相切，抛物线E：y2＝2px（p＞0）过圆心C，其焦点为F，则直线CF被抛物线所截得的弦长等于（）A．B．C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得圆的圆心和半径，由条件可得m＝4，抛物线的方程和焦点坐标、准线方程，直线CF的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．【解答】解：圆C：与y轴相切，可得圆心C（，2），半径r＝2，且m＝±4，抛物线E：y2＝2px（p＞0）过圆心C，其焦点为F，4＝4p，解得p＝1，即C（2，2），F（，0），准线方程为x＝﹣，直线CF：y＝（x﹣），代入抛物线y2＝2x可得8x2﹣17x+2＝0，可得x1+x2＝，由抛物线的定义可得弦长为x1+x2+p＝+1＝，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件，以及联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理、弦长公式，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且图象过点，要得到函数的图象，只需将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω，根据图象过点，求得φ，可得f（x）的解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ）．∵图象过点，∴sin（﹣+φ）＝1，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（2x﹣）．要得到函数＝sin（2x+）的图象，只需将函数f（x）的图象向左平移个单位长度即可，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12．（5分）若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）＝g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）＝x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】38：对应思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，问题转化为方程k＝xlnx++1有解，记p（x）＝xlnx++1，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解答】解：g′（x）＝kx﹣1，由题意g（x）为函数f（x）的“友导”函数，即方程x2lnx+x＝kx﹣1有解，故k＝xlnx++1，记p（x）＝xlnx++1，则p′（x）＝1+lnx﹣＝+lnx，当x＞1时，＞0，lnx＞0，故p′（x）＞0，故p（x）递增，当0＜x＜1时，＜0，lnx＜0，故p′（x）＜0，故p（x）递减，故p（x）≥p（1）＝2，故由方程k＝xlnx++1有解，得：k≥2，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知双曲线经过点M（2，2），则其离心率e＝．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线经过点M（2，2），代入可得＝1，解得m．利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线经过点M（2，2），∴＝1，解得m＝4．∴e＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其离心率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为12．【考点】7C：简单线性规划．【专题】38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，4），化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为12．故答案为：12．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛．如数式是一个确定值x（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式＝x，则，即x2﹣2x﹣1＝0，解得，取正数得．用类似的方法可得＝3．【考点】F3：类比推理．【专题】29：规律型；4G：演绎法；5M：推理和证明．【分析】本题可按照已列出的例子的思路进行同样道理的解题，即可得出结果．【解答】解：由题意，可令，则，两边平方，得：6+x＝x2，即x2﹣x﹣6＝0．解得：x＝3，或x＝﹣2．取正数得x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要根据题目中给出的解题思路类比算出另一个题目的结果，属基础题．16．（5分）在△ABC中，AC＝2，，△ABC的面积为，点P在△ABC内，且，则△PBC的面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形．【分析】由已知利用三角形面积公式可求AB＝4，在△ABC中，由余弦定理可得BC的值，在△BPC中，由余弦定理，基本不等式可求BP•CP≤4，进而根据三角形的面积公式可求△PBC的面积的最大值．【解答】解：∵AC＝2，，△ABC的面积为＝AB•AC•sin∠BAC＝，∴可得：AB＝4，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC＝＝12，∵，∴在△BPC中，由余弦定理可得：BC2＝BP2+CP2﹣2BP•CP•cos∠BPC，可得：12＝BP2+CP2+BP•CP≥2BP•CP+BP•CP＝3BP•CP，即：BP•CP≤4，当且仅当BP＝CP时等号成立，∴S△BPC＝BP•CP•sin∠BPC≤＝，当且仅当BP＝CP时等号成立，即△PBC的面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，点P n（n，S n）（n∈N*）是曲线上的点．数列{b n}是等比数列，且满足b1＝a1+1，b2＝a3﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用分组法求出数列的和．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，点P n（n，S n）（n∈N*）是曲线上的点．，故：，当n＝1时，，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝3n﹣2，所以数列的首项符合通项，故：a n＝3n﹣2．数列{b n}是等比数列，且满足b1＝a1+1，b2＝a3﹣1．所以：b1＝a1+1＝1+1＝2，b2＝a3﹣1＝（3×3﹣2）﹣1＝6，所以公比q＝3．．（Ⅱ）由于，所以：．数列{（﹣1）n a n}的前n项和记作A n，所以：①当n为奇数时A n＝﹣a1+a2﹣a3+…+a n﹣1﹣a n，＝（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+…+（﹣a n﹣2+a n﹣1）﹣a n，），＝．②当n为偶数时A n＝A n﹣1+a n＝，所以：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）如图，多面体ABCDPQ中，平面APD⊥平面ABCD，且P A＝PD，BC∥AD，CD⊥AD，E为AD的中点，且，PQ∥BE，且PQ＝BE，QB＝3．（Ⅰ）求证：EC⊥平面QBD；（Ⅱ）求该多面体ABCDPQ的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接PE，在△P AD中，由已知可得PE⊥AD，再由平面APD⊥平面ABCD，利用面面垂直的性质可得PE⊥平面ABCD，证明PE∥QB，得到QB⊥平面ABCD，则QB⊥EC．再证明四边形BCDE为正方形，得到BD⊥CE，由线面垂直的判定可得EC⊥平面QBD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，四边形BCDE为正方形，得到BE⊥AD，进一步证明AD⊥平面BEPQ，分别求出四棱锥A﹣PQBE和直三棱柱QBC﹣PED的体积，作和可得多面体ABCDPQ的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接PE，在△P AD中，∵P A＝PD，AE＝ED，∴PE⊥AD，∵平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵PQ∥BE，且PQ＝BE，∴四边形PQBE为平行四边形，则PE∥QB．故QB⊥平面ABCD，则QB⊥EC．在四边形ABCD中，可知BC∥DE，且BC＝DE，∴四边形BCDE为平行四边形，又∵CD⊥AD，BC＝CD，∴四边形BCDE为正方形，故BD⊥CE，又QB∩BD＝B，∴EC⊥平面QBD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，四边形BCDE为正方形，∴BE⊥AD，又PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面BEPQ，如图多面体ABCDPQ是由四棱锥A﹣PQBE和直三棱柱QBC﹣PED构成，又矩形PQBE的面积S＝BE•QB＝2×3＝6；∴四棱锥A﹣PQBE的体积；直三棱柱QBC﹣PED的体积．∴多面体ABCDPQ的体积V＝V1+V2＝4+6＝10．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．（12分）2018年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有的决心和力度加强生态环境保护．某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额（单位：万元）的柱状图．（Ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；（结果保留整数）（Ⅱ）园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金额不超过200万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金额超过200万元，不超过300万元，则该年奖励20万元；若企业一年的环保投入金额超过300万元，则该年奖励50万元．（ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和；（ⅱ）现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率．【考点】B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由柱状图求出甲企业这六年在环保方面的投入金额，由此能求出其平均数．（Ⅱ）（i）推导出企业每年所获得的环保奖励t（x）（单位：万元）是关于该年环保投入x（单位：万元）的分段函数，由此能求出甲企业这六年获得奖励之和和乙企业这六年获得的奖励之和．（ii）由（i）知甲企业这六年获得的奖金数列表，得到奖励共分三个等级，其中奖励0万元的只有2012年，记为A i，奖励20万元的有2013年，2016年，记为B1，B2，奖励50万元的有2014年，2015年和2017年，记为C1，C2，C3，从这六年中任意选取两年，利用列举法能求出这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由柱状图知：甲企业这六年在环保方面的投入金额分别为150，290，350，400，300，400，其平均数为：（150+290+350+400+300+400）＝272（万元）．（Ⅱ）（i）根据题意可知，企业每年所获得的环保奖励t（x）（单位：万元）是关于该年环保投入x（单位：万元）的分段函数，即t（x）＝，∴甲企业这六年获得奖励之和为：0+20+50+50+20+50＝190（万元）．乙企业这六年获得的奖励之和为：0+0+20+20+50+20＝110（万元）．（ii）由（i）知甲企业这六年获得的奖金数如下表：年份2012年2013年2014年2015年2016年2017年奖励（单020********位：万元）奖励共分三个等级，其中奖励0万元的只有2012年，记为A i，奖励20万元的有2013年，2016年，记为B1，B2，奖励50万元的有2014年，2015年和2017年，记为C1，C2，C3，故从这六年中任意选取两年，所有的情况有15种，分别为：{A，B1}，{A，B2}，{A，C1}，{A，C2}，{A，C3}，{B1，B2}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B1，C3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B2，C3}，{C1，C2}，{C1，C3}，{C2，C3}，其中奖励之和不低于70万元的取法有9种，分别为：B1，C1，B1，C2，{B1，C3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B2，C3}，{C1，C2}，{C1，C3}，{C2，C3}，∴这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率P＝．【点评】本题考查概率、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（12分）在平面直角坐标系中，直线n过点且与直线m：x+2y＝0垂直，直线n与x轴交于点M，点M与点N关于y轴对称，动点P满足|PM|+|PN|＝4．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点D（1，0）的直线l与轨迹C相交于A，B两点，设点E（4，1），直线AE，BE的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出直线n的方程，进而得到M，N两点坐标，再根据椭圆的定义，即可得到点P的轨迹C的方程．（2）分直线l斜率是否存在讨论，当l斜率不存在时，能得到，当l斜率存在时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理得到则x1+x2＝，x1x2＝．以及又y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1）．所以k1+k2＝＝＝．【解答】解：（1）由已知设直线n的方程为2x﹣y+t＝0，因为点Q（，4）在直线n上，所以2×﹣+t＝0，解得t＝．所以直线n的方程为2x﹣y+2＝0．另y＝0．解得x＝﹣，所以M（﹣，0），故N（，0）．∵|PM|+|PN|＝4＞|MN|．由椭圆的定义可得，动点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，长轴长为4．所以a＝2，c＝，b＝，所以轨迹C的方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时，由解得x＝1，y＝不妨设A（1，），B（1，），则k1+k2＝．②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y＝k（x﹣1），由，消去y得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0依题意，直线l与轨迹C必相较于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝．又y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1）．所以k1+k2＝＝＝．综上可得，k1+k2为定值．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a≥0时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣2时，证明：．（e为自然对数的底数）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；32：分类讨论；4M：构造法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求得f′（x），对a分类讨论；（Ⅱ）对不等式变形，构造函数g（x）＝2e x﹣（），通过求导研究其单调性和极值，得到g（x）＞0，得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，①当a＝0时，，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；②当0＜a＜1时，，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x时，f′（x）＞0，f（x）递增；③当a＝1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）递增；④当a＞1时，，当时，f′（x）＞0，f（x）递增；当时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增．综上，当a＝0时，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减；当0＜a＜1时，，；当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上递增；当a＞1时，，在；（Ⅱ）证明：当a＝﹣2时，不等式化为，令，则，显然，g′（x）在（0，+∞）上递增，且＜0，＝2e2（1﹣）＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上有唯一的零点t，且t∈（1，2），∴当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）递减，当x∈（t，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增．由g′（t）＝0，得2e t＝e（），∴g（x）≥g（t）＝2e t﹣e（lnt﹣）＝e（）﹣e（lnt﹣）＝e（）易知y＝在（1，2）上递减，∴＞0，∴（）＞0，∴g（x）＞0，即2e x＞e[f（x）+2x]．【点评】此题考查了导数的综合应用，分类讨论，构造法等，综合性强，难度大．考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin （θ﹣）．（1）求直线l的普通方程以及圆C的直角坐标方程；（2）若点P在直线l上，过点P作圆C的切线PQ，求|PQ|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）由直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方；圆C的极坐标方程转化为ρ2＝2ρsinθ﹣2ρcosθ，由此能求出圆C的直角坐标方程．（2）圆C的圆心为C（1，1），半径r＝，从而|PQ|＝＝，而|PC|的最小值为圆心C到直线l的距离d＝＝2．由此能求出|PQ|的最小值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴由直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为3x﹣4y﹣3＝0．圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin（θ﹣），即ρ2＝2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣2y＝0，即（x+1）2+（y﹣1）2＝2．…（5分）（2）由（1）可知圆C的圆心为C（1，1），半径r＝，所以|PQ|＝＝，而|PC|的最小值为圆心C到直线l的距离d＝＝2．所以|PQ|的最小值为＝．…（10分）【点评】本题考查直线的普通方程、圆的直角坐标方程的求法，考查线段长的最小值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣3|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≥t2﹣2t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32：分类讨论；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的应用，分别进行讨论解不等式即可．（Ⅱ）根据不等式f（x）≥t2﹣2t恒成立，转化为最值恒成立进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）①当x≤0时，不等式可化为﹣2x﹣（x﹣3）＜4，即﹣3x＜1，解得x ＞﹣，故﹣＜x≤0；②当0＜x＜3时，不等式可化为2x﹣（x﹣3）＜4，解得x＜1，故0＜x＜1；③当x≥3时，不等式可化为2x+（x﹣3）＜4，解得x＜．显然与x≥3矛盾，故此时不等式无解．综上，不等式f（x）＜4的解集为（﹣，1）．（Ⅱ）由（1）知，f（x）＝．作出函数f（x）的图象，如图，显然f（x）≥f（0）＝3．故由不等式f（x）≥t2﹣2t恒成立可得3≥t2﹣2t，即t2﹣2t﹣3≤0解得﹣1≤t≤3．所以t的取值范围为[﹣1，3]．【点评】本题主要考查绝对值函数的应用，结合不等式恒成立转化为最值问题是解决本题的关键．。