北邮版概率论答案
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222
??=
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324
C 35= 32
4
C 35= 322
4
C 35= 11322
4
C C 12C 35=132
4
C 2C 35
= 21322
4
C C 6C 35
= 2324
C 3
C 35
=
3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=?????≤
≤≤≤.,
020,20,sin sin 其他ππy x y x
求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域?
??
?
??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ
{0,}(3.2)463
P X Y <≤
<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636
F F F F --+
ππππππ
sin sin sin sin sin0sin sin0sin
434636
2
(31).
4
=--+
=-
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
?
?
?>
>
+
-
.
,0
,0
,0
,)4
3(
其他
y
x
A y
x
e
求：（1）常数A；
（2）随机变量（X，Y）的分布函数；
（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1）由-(34)
00
(,)d d e d d1
12
x y
A
f x y x y A x y
+∞+∞+∞+∞
+
-∞-∞
===
????
得A=12
（2）由定义，有
(,)(,)d d
y x
F x y f u v u v
-∞-∞
=??
(34)34
00
12e d d(1e)(1e)0,0,
0,
0,
y y u v
x y
u v y x
-+--
??-->>
?
==
??
?
??
??
其他
(3) {01,02}
P X Y
≤<≤<
12
(34)38
00
{01,02}
12e d d(1e)(1e)0.9499.
x y
P X Y
x y
-+--
=<≤<≤
==--≈
??
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
?
?
?<
<
<
<
-
-
.
,0
,4
2,2
),
6(
其他
y
x
y
x
k
（1）确定常数k；
（2）求P{X＜1，Y＜3}；
（3）求P{X<1.5}；
（4）求P{X+Y≤4}.
【解】（1）由性质有
2
4
2
(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞
-∞
-∞
=--==??
?
?
故 18
R =
（2） 13
{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞
<<=??
1
3
0213
(6)d d 88
k x y y x =
--=?? (3) 1
1.5
{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=
??
??如图
1.5
4
2127d (6)d .832
x x y y =
--=?
?
(4) 2
4
{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=??
??如图b
2
40
2
12d (6)d .83
x
x x y y -=
--=?
?
题5图
6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为
f Y （y ）=?
??>-.,0,
0,55其他y y e
求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.
题6图
【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为
1
,00.2,
()0.2
0,
.X x f x ?<
55e ,0,
()0,
.y Y y f y -?>=?
?其他 所以
(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立
5515e
25e ,00.20,0.20,0,y
y x y --???<<>?==??
???
且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x
D
P Y X f x y x y x y -≤≤=
??
??如图
0.2
0.2
-5500
-1
d 25
e d (5e 5)d =e 0.3679.
x
y
x x y x -==-+≈???
7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=???>>----.,
0,
0,0),1)(1(24其他y x y x e e
求（X ，Y ）的联合分布密度.
【解】(42)28e ,0,0,
(,)(,)0,
x y x y F x y f x y x y -+?>>?==?
???其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,
0,.y x x y x -≤≤≤≤??
?
其他
求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
x
204.8(2)d 2.4(2),01,
=0,.0,
y x y x x x ??--≤≤?=??
????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞
-∞
=
?
12y 4.8(2)d 2.4(34),01,
=0,.0,
y x x y y y y ?-?-+≤≤?
=??????其他
题8图题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
e,0,
0,.
y x y
-
?<<
?
?其他求边缘概率密度.
【解】()(,)d
X
f x f x y y
+∞
-∞
=?
e d e,0,
=
0,.
0,
y x
x
y x
+∞-
-
??>
?
=
??
?
??
?
其他
()(,)d
Y
f y f x y x
+∞
-∞
=?
e d e,0,
=
0,.
0,
y y
x
x y y
--
??>
?
=
??
?
??
?
其他
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
22
,1,
0,.
cx y x y
?≤≤
?
?其他（1）试确定常数c；
（2）求边缘概率密度.
【解】（1）(,)d d(,)d d
D
f x y x y f x y x y
+∞+∞
-∞-∞
????
如图
2
11
2
-1
4
=d d 1.
21
x
x cx y y c
==
??
得
21
4
c=.
(2) ()(,)d
X
f x f x y y
+∞
-∞
=?
2
124
2
21
21
(1),11,
d
8
4
0,0,.
x
x x x
x y y
?
?
--≤≤
??
==
??
??
??
?
其他
()(,)d
Y
f y f x y x
+∞
-∞
=?
5
22
217
d,01,
42
0,0,.
y
y
x y x y y
-
?
?
≤≤
??
==
??
??
??
?
其他
11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
1,,01,
0,.
y x x
?<<<
?
?其他求条件概率密度f Y｜X（y｜x），f X｜Y（x｜y）.
题11图
【解】()(,)d
X
f x f x y y
+∞
-∞
=?
1d2,01,
0,.
x
x
y x x
-
?=<<
?
=?
??
?
其他
1
1
1d1,10,
()(,)d1d1,01,
0,.
y
Y y
x y y
f y f x y x x y y
-
+∞
-∞
?=+-<<
?
??
===-≤<
?
?
?
??
?
??
其他
所以
|
1
,||1,
(,)
(|)2
()
0,.
Y X
X
y x
f x y
f y x x
f x
?
<<
?
==?
??其他
|1
, 1,1(,)1
(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y
?<
?=
=-<
其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大
的号码为Y .
（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表
3 4 5
{}i P X x =
1
3
511C 10
= 3
522C 10= 3
533C 10
= 610 2
35
11C 10= 3522
C 10= 310 3 0
2511C 10
= 110
{}i P Y y =
1
10 310 610
(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010
P X P Y P X Y ===
?=≠=== 故X 与Y 不独立
2 5 8
0.4 0.8
0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03
（2） X 与Y 是否相互独立？ 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8
0.05 0.12 0.03 0.2
{}i P X x =
0.2
0.42
0.38
Y
X
X
Y
X
Y
(2) 因{2}{0.4}0.20.8
P X P Y
===?0.160.15(2,0.4),
P X Y
=≠===
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
f Y（y）=
??
?
?
?
>
-
.
,0
,0
,
2
12/
其他
y
y
e
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】（1）因
1,01,
()
0,
X
x
f x
<<
?
==?
?其他;
2
1
e,1,
()2
0,
y
Y
y
f y
-
?
>
?
==?
?
?其他.
故
/2
1
e01,0,
(,),()()2
0,.
y
X Y
x y
f x y X Y f x f y
-
?
<<>
?
=?
??
独立
其他
题14图
(2) 方程220
a Xa Y
++=有实根的条件是
2
(2)40
X Y
?=-≥
故X2≥Y，
从而方程有实根的概率为：
2
2
{}(,)d d
x y
P X Y f x y x y
≥
≥=??
2
1
/2
00
1
d e d
2
12[(1)(0)]
0.1445.
x
y
x y
π
-
=
=-Φ-Φ
=
??
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服
从同一分布，其概率密度为
f（x）=
??
?
?
?
>
.
,0
,
1000
,
1000
2
其他
x
x