九年级数学学科素养大赛试卷含解析
部编数学九年级上册20232024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷(04)(解析版)含
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷十套（解析版）2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷（04）（满分100分，答题时间90分钟）一、选择题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，即可求解．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形．A 、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形关于对称轴折叠后可完全重合；中心对图形是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180° 后与自身重合是解题的关键．2. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ）A. 14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】B【解析】根据概率公式直接求概率即可；一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果，选中书是物理书的结果有1种，∴从中任取1本书是物理书的概率=13．【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．3．已知关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）的A ．a ≥﹣4B ．a ＞﹣4C ．a ≥﹣4且a ≠0D ．a ＞﹣4且a ≠0【答案】D 【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a ≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a ×（﹣1）＞0，然后求出a 的范围后对各选项进行判断．根据题意得a ≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a ×（﹣1）＞0，解得a ＞﹣4且a ≠0．4.如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）A ．32123212300x x ´--=B ．()()23212300x x x --+=C ．()()3212300x x --=D ．()23212300x x -+-=【答案】C 【解析】解：根据题意得：()()3212300x x --=；故答案为：()()3212300x x --=．故选C ．5. 如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ^于点E ，OF BC ^于点F ，65BOF Ð=°，则AOD Ð为（ ）A. 70°B. 65°C. 50°D. 45°【答案】C 【解析】根据邻补角得出∠AOF =180°-65°=115°，利用四边形内角和得出∠DCB =65°，结合圆周角定理及邻补角进行求解即可．【详解】∵∠BOF =65°，∴∠AOF =180°-65°=115°，∵CD ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠DCB =360°-90°-90°-115°=65°，∴∠DOB =2×65°=130°，∴∠AOD =180°-130°=50°，故选：C ．【点睛】题目主要考查邻补角的计算及圆周角定理，四边形内角和等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6. 二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，与y 轴交于(0,1)-，对称轴为直线1x =．以下结论：①0abc >；②13a >；③对于任意实数m ，都有()m am b a b +>+成立；④若()12,y -，21,2y æöç÷èø，()32,y 在该函数图象上，则321y y y <<；⑤方程2ax bx c k ++=（0k …，k 为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】根据图象可判断0,1,0a c b >=-<，即可判断①正确；令2210y ax ax =--=，解得1x ==±根据图得，110-<-<，再由顶点坐标的纵坐标的范围即可求出a 的范围，即可判断②错误；由2b a =-代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误；分类讨论当20ax bx c ++>时，当20ax bx c ++<时，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可判断⑤正确．【详解】Q 二次函数2y ax bx c =++的部分图象与y 轴交于(0,1)-，对称轴为直线1x =，抛物线开头向上，0,1,12b a c a\>=--=，20b a \=-<，0abc \>，故①正确；令2210y ax ax =--=，解得1x ==±，由图得，110-<-<，解得13a >，Q 抛物线的顶点坐标为(1,1)a --，由图得，211a -<--<-，解得01a <<，113a \<<，故②错误；2b a =-Q ，()m am b a b +>+\可化为(2)2m am a a a ->-，即(2)1m m ->-，2(1)0m \->，若()m am b a b +>+成立，则1m ¹，故③错误；当1x <时，y 随x 的增大而减小，122-<Q ，12y y \>，Q 对称轴为直线1x =，2x \=时与0x =时所对应的y 值相等，231y y y \<<，故④错误；2ax bx c k ++=，当20ax bx c ++>时，20ax bx c k ++-=，1222b a x x a a-\+=-=-=，当20ax bx c ++<时，20ax bx c k +++=，3422b a x x a a -\+=-=-=，12344x x x x \+++=，故⑤正确；综上，正确的个数为2，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键．二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1. 若1x =是方程220x x a -+=的根，则=a ________．【答案】1【解析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x =1代入方程得到a 的值．把x =1代入方程220x x a -+=，得1−2+a =0，解得a =1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．2.下列图形:①等腰梯形;②菱形;③函数y=x 2的图象;④函数y=kx+b(k ≠0)的图象.其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 .(填序号)【答案】②④【解析】①等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形;②菱形既是轴对称图形又是中心对称图形;③函数y=x 2的图象是轴对称图形,不是中心对称图形;④函数y=kx+b(k ≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.所以,既是轴对称图形又是中心对称图形的为②④.3. 一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为14，则这个箱子中黄球的个数为______个．【答案】15【解析】设黄球的个数为x 个，根据概率计算公式列出方程，解出x 即可．【详解】解：设：黄球的个数为x 个，5154x =+解得：15x =，检验：将15x =代入520x +=，值不为零，∴15x =是方程的解，∴黄球的个数为15个．【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．4.如图,矩形ABCD 和矩形A'B'C'D 关于点D 成中心对称,已知AB=3,BC=4,则阴影部分的周长和是 .【答案】48【解析】∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=90°.∵AB=3,BC=4,∴∴△ABC 的周长=3+4+5=12.∵矩形ABCD 和矩形A'B'C'D 关于点D 成中心对称,∴阴影部分的四个直角三角形全等,∴阴影部分的周长和=4×12=48.5. （2023重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，请列出方程________．【答案】2301(1)500x +=【解析】根据变化前数量2(1)x ´+=变化后数量，即可列出方程．Q 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ．\第二个月新建了301(1)x +个充电桩，\第三个月新建了2301(1)x +个充电桩，Q 第三个月新建了500个充电桩，于是有2301(1)500x +=，故答案为2301(1)500x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为x ，则有(1)na xb +=，其中a 表示变化前数量，b 表示变化后数量，n 表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．6．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA=45°，则弦CD 的长为 ．【答案】．【解析】连接OD ，作OE ⊥CD 于E ，由垂径定理得出CE=DE ，证明△OEM 是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE=OM=，在Rt △ODE 中，由勾股定理求出DE=，得出CD=2DE=即可．【解答】连接OD ，作OE ⊥CD 于E ，如图所示：则CE=DE ，∵AB 是⊙O 的直径，AB=4，点M 是OA 的中点，∴OD=OA=2，OM=1，∵∠OME=∠CMA=45°，∴△OEM 是等腰直角三角形，∴OE=OM=，在Rt △ODE 中，由勾股定理得：DE==，∴CD=2DE=；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出DE 是解决问题的关键．7. 如图，⊙O 的半径为2，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若30B Ð=°．则»AC 的长为_____（结果用含有π的式子表示）【答案】23p 【解析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到60AOC Ð=°，再利用弧长公式求解即可．【详解】2AOC B Ð=ÐQ ，30B Ð=°，60AOC \Ð=°，Q ⊙O 的半径为2，»60221803AC p p ´\==【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，即180n r l p =，熟练掌握知识点是解题的关键．8.在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第_____象限。
【数学竞赛】2021年广东省佛山市南海区九年级潜能学生学科核心素养监测数学试题（含答案）
【数学竞赛】2021年广东省佛山市南海区九年级潜能学生学科核心素养监测数学试题（含答案）2021年九年级潜能学生学科核心素养检测数学试题一、单选题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）1．若a与b互为相反数，且a<0，则|3a+b|可简化为（）A．3a+bB．2aC．-2aD．-4a2．在平面直角坐标系中，由A（一1，0）、B（3，0）、C（0，1）、D四点构成平行四边形，则点D不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．每年的4月23日是“世界读书日”，某班级开展“共读一本好书”读书活动，统计了3月份该班同学阅读课外书的数量，并进行整理后绘制统计表（如图所示），下列说法错误的是（）A．该班总人数是50人B．该班阅读课外书不少于6本的人数超过了70%C．该班同学阅读课外书的数量的中位数落在组别C中D．组别E人数所占百分比是10%4．在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“好点”，要使函数y=（a-1）x2+3x+1的图象中存在“好点”，则a的取值范围是（）A．a≤2B．a<2C．a≤2且2≠1D．a<2且a≠15．如图，已知线段AB，按照以下步骤作图：（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P、Q两点；（2）作直线PQ交AB于点O；（3）用圆规在PQ上截取OC=OD．连接AC、BC、AD、BD,过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点O作OF⊥BE于点E交BC于点G．下列结论：①CE=2GF；②AC2=CE2+BE2；③S△AOD=2S△OBC；④若BE=12，OF+OB=18，则四边形ADBC的面积为150．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）6．运用公式：cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny，可得cos75°=（求值）．7．如图7，已知一块圆心角为60°的扇形铁皮面积为6π，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），则圆锥的底面圆的半径为．8．已知m、n是方程x2+2x-1=0的两个实数根，则m2-2n+2021的值是．9．如图9，⊙O为Rt△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，连接CD，若∠A=40°，则∠ACD=．10．如图10，在等腰直角三角形ABC中，BC=8，D、E分别是ACB C的中点，以AC为斜边作Rt△AFC，且∠CAF=15°，连接DE、DF、EF,则△DEF的面积是．11．如图，函数的图象记为C1，它与x轴交于点O和点A1，将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2，……，以此类推，若点P（2021，m）在图象上，则m=．三、解答题（本大题共3个小题，依次是15分、17分、17分，共49分）12．在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区驻村干部组织村民依托电商平台组建了土特产专卖店，专门将从本地各家各户进货的甲、乙两种商品销售到全国各地．2021年3月份，该专卖店购进甲、乙两种商品，每个乙种商品的价格比每个甲种商品的价格2倍少20元，用900元购进甲种商品的数量与用1200元购进乙种商品的数量相同．（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）若专卖店购进甲、乙两种商品共100个，且甲种商品的数量不多于乙种商品的数量，设购进甲x个，总成本是），元，求y与x的函数关系式，并求出最少成本的方案和最少成本．（3）若专卖店用1000元同时购进甲、乙两种商品，且这两种商品的购进数量之差小于10，在钱全部用尽的情况下，求购进甲、乙两种商品各多少个？13．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，交Rt△ACB的外接圆⊙O于点E，AF平分∠BAE交CE于点G，交⊙O于点F ，过点F作FH⊥AE于点H，交AB的延长线于点M．（1）求证：FH为⊙O的切线．（2）若，BM=4，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求FH和DG的长度．14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）经过点A、点B 和点C（4，0），并与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式．（2）直线AB与直线CD相交于点E，点F为线段AC上的动点，过点F作x轴的垂线，交直线AB于点G，交抛物线于点H，交直线CD与点M．①连结HE,是否存在，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．②当△MHE为等腰直角三角形时，求m的值．2021年九年级潜能学生学科核心素养检测数学答案一、单选题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）1-5CCBAD二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）6．7.18.20269.25°10.11.—2三、解答题（本大题共3个小题，依次是15分、17分、17分，共49分）12.在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区驻村干部组织村民依托电商平台组建了土特产专卖店，专门将从本地各家各户进货的甲、乙两种商品销售到全国各地．2021年3月份，该专卖店购进甲、乙两种商品，每个乙种商品的价格比每个甲种商品的价格2倍少20元，用900元购进甲种商品的数量与用1200元购进乙种商品的数量相同．(1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？(2)若专卖店购进甲、乙两种商品共100个，且甲种商品的数量不多于乙种商品的数量，设购进甲x个，总成本是），元，求y与x的函数关系式，并求出最少成本的方案和最少成本．(3)若专卖店用1000元同时购进甲、乙两种商品，且这两种商品的购进数量之差小于10，在钱全部用尽的情况下，求购进甲、乙两种商品各多少个答案解：(1)设每个甲种商品的进价为x元，由题意可得：……………………2分解得：x=30……………………3分经检验：x=3 0是原方程的解……………………4分∴每个甲、乙两种商品的进价分别是30元和40元……………………5分(2)∵购进甲x个，则购进乙(100-x)个，………6分则x≤100—x，∴x≤50，………7分则y=30x+40（100-x）=—10x+4000，………9分∵—10<0，∴x=50时，y最小，………10分即成本最少的方案为：购进甲种商品50个，乙种商品50个，最少成本为3 500元………11分(3)设分别购进甲、乙两种商品a，b个依题意得30a+40b=1000，且|a-b|<10………………13分………………14分∴购买甲12个，乙16个或购买甲16个，乙13个符合题意………………15分13.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，交Rt△ACB 的外接圆⊙O于点E，AF平分∠BAE交CE于点G，交⊙O于点F，过点F作FH⊥AE于点H，交AB的延长线于点M.(1)求证：FH为⊙O的切线．(2)若，BM=4，求⊙O的半径．(3)在(2) 的条件下，求FH和DG的长度．答案：(1)连接OF∵OA=OF，∴∠6=∠7………………2分∵AF平分∠BAF，∴∠6=∠8，∴∠7=∠8………………3分∴AH//OF，∴∠6=∠H=90°∴OF⊥MH，∴FH为⊙O的切线………………4分（2）∵OF//AH，∴∠10=∠BAE，………………5分∵AB⊥CE，∴，∴∠BAE=∠3，∴∠10=∠3………………6分∴tan∠10=tan∠3=设OF=OB=3a，则FM=4a，………………7分∴在Rt△OFM中，………………8分∴3a+4=5a，∴a=2，∴半径为6………………9分(3)由(2)得:MO=6+4=10，AM=16,AO=6，FM=8………………10分∴OF//AH，∴，∴………………12分∵∠6=∠8，∠11=∠H∴△ADG∽△AHF，()………………13分在直角△AHF中，由(2)知∴………………14分又∵在直角△ABC中，，∴………………16分由（）式有，∴………………17分14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x 轴交于点A，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）经过点A、点B 和点C(4，0)，并与y轴交于点D.(1)求抛物线的表达式．(2)直线AB与直线CD相交于点E，点F为线段AC上的动点，过点F 作x轴的垂线，交直线AB于点G，交抛物线于点H，交直线CD 与点M.①连结HE,是否存在，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．②当△MHE为等腰直角三角形时，求m的值．答案：解：（1）当y=0时，由得：x=-3，∴A为（-3，0）………………1分∵A、C在y=ax2+bx+4上，∴y=a（x+3）（x-4）∵当x=0时，y=4，∴4=a×3×（-4），∴a=）………………3分∴………………4分（2）①设CD为y=kx+b’，则………………5分由………………6分设F为（m，0），则G为，H为∵F为线段AC上的动点∴≤m≤4∴……8分，∴………………9分②由①有：∵M在直线上，∴当△MHE为等腰直角三角形时，有以下三种可能（一）∵OC=OD=4，MH//y轴，∴∠EMH=∠CDO=45°，∴∠EMH不可能为90°………11分（二）当∠EMH=90°时，yH=yE=3，由解得………………13分（三）当∠MEH=90°时，过点E做EK⊥CD交于x轴于点K，交抛物线于点H1和H2，在直角△KEC中，∵∠KEC=90°∠ECK=45°，∴EK=EC，∴K（-2，0）∴直线EK为y=x+2由解得（舍去）且在直角△MEH中，∠EMH=∠KCM=45°综上所述，m的值为或或………………17分·。
2023年浙江省第四届初中生学科素养测评(竞赛选拔)数学试卷
一、选择题
数学试卷
1.如果m+n+p=0，且|m|＞|n|＞|p|．则下列说法中可能成立的是( C
)
A.m,n为正数，p为负数
B.m,p为正数，n为负数
C.n,p为正数，m为负数
D.m,p为负数，n为正数
【解析】解：∵m+n+p=0，
∴m、n、p至少有一个为正数，至少有一个为负数，
=(49-1)÷2
=48÷2
=24，
故答案为：(7×7-1)÷2(答案不唯一)．
12.2 ，3 ，5 ，6 这四个数中最小的数是
55
44
33
55
．
22
5 11
11
44
4 11
11
33
3 11
11
【解析】解：2 =(2 ) =32 ，3 =(3 ) =81 ，5 =(5 ) =125 ，
22
2 11
故选：D．
7.已知m1，m2，m3，……m100均为整数，则|m1+m2|，|m2+m3|，
|m3+m4|，……|m99+m100|，|m100+m1|D中必有(
)
A.奇数个奇数，奇数个偶数
B.偶数个奇数，奇数个偶数
C.奇数个奇数，偶数个偶数
D.偶数个奇数，偶数个偶数
【解析】解：由
m1+m2+m2+m3+m3+m4+……+m99+m100+m100+m1=2(m1+m2+m3+……+m99
如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度1秒
第24章 解直角三角形 华东师大版数学九年级上册素养检测卷(含解析)
第24章 素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题4分,共32分)1.(2023陕西咸阳泾阳期末)计算1-2sin 245°的结果是( )A.-1B.0C.12 D.12.(2023吉林长春二道月考)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =6,下列四个选项,正确的是( )A.tan B =43 B.tan A =34C.sin B =35 D.cos A =453.(2023山西太原小店月考)数学小组探究这样一道题:已知,tan α=2,tan β=13,求α-β的度数.该组的同学经过思考后,画出如图所示的5×3的小正方形网格,把α和β放在网格中,使∠BAC =α,∠DAC =β,连结BD ,得到△ABD ,此时,根据网格可知AD =BD ,∠ADB =90°.由此可知,α-β=45°.该小组的这种求解体现的数学思想是( )A.数形结合思想B.分类思想C.统计思想D.方程思想4.(2023吉林大学附中期末)如图,某地修建高速公路,要从B 地向C 地修一条隧道(B ,C 在同一水平面上),为了测量B ,C 两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C 地出发,垂直上升300米到达A 处,在A 处观察B 地的俯角为α,则B ,C 两地之间的距离为( )A.300sin α米B.300cos α米C.300tan α米D.300sin α米5.(2022吉林长春十一高中北湖学校模拟)如图,一座厂房屋顶人字架的跨度AC =12 m,AB =BC ,∠BAC =25°.若用科学计算器求AB 的长,则下列按键顺序正确的是( )A.6×sin25 °'″ =B.6÷cos25 °'″ =C.6÷tan25 °'″ =D.12÷cos25 °'″ =6.【新定义试题】(2023山西临汾曲沃期末)定义一种公式如下:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,已知32sin θ+12cos θ=22,则锐角θ的值为( )A.75°B.60°C.30°D.15°7.【新独家原创】四边形的不稳定性,使其在生活中得到广泛的应用. 如图所示的图形为一个伸缩门的一部分,四边形ABCD 是边长为2的正方形,通过拉伸改变内角度数,使其变为菱形ABC'D',若∠D'AB =45°,则阴影部分的面积是( )A.5+22B.5-2C.5+222 D.5-228.【跨学科·物理】(2022海南海口模拟)如图所示的是一块光学直角棱镜,其截面为直角三角形ABC,AB所在的面为不透光的磨砂面,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=8 cm.现将一束单色光从AC边上的O点入射,折射后到达AB边上的D点,恰有CD⊥AB,再经过反射后(即∠CDE=∠ODC),从E点垂直于BC射出,则光线在棱镜内部经过的路径OD+DE 的总长度为( )A.12 cmB.63cmcmC.(43+4)cmD.212二、填空题(每小题4分,共16分)9.【教材变式·P104T3】(2023河南鹤壁淇滨期末)如图,∠AOB=30°,点C在射线OB上,若OC=6,则点C到OA的距离等于 .10.(2022湖北荆州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,通过尺规作图得到的直线MNAE=1,则CD= .分别交AB,AC于D,E,连结CD.若CE=1311.(2023海南海口实验中学期中)如图,已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A,灯光下,小明在点C处时,测得他的影长CD=3米,他沿BC方向行走到点E处时,CE=2米,测得他的影长EF=4米,如果小明的身高为1.6米,那么电线杆AB的高度等于 米.12.【新考法】【实践探究题】(2023吉林长春四十五中期末)已知直线l1∥l2∥l3,且相邻的两条平行直线间的距离均等,将一个含45°角的直角三角板按图示放置,使其三个顶点分别在三条平行线上,则sin α的值是 .三、解答题(共52分)13.【教材变式·P111T3】(2023河南周口实验中学期末)(8分)计算:;(1)cos30°―tan60°―cos45°cos30°tan230°-sin 30°.(2)cos 60°-2sin245°+3214.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线AD交BC于点D,E为AB的中点.若BC=12,AD=8,求DE的长.15.(2023河南新乡十中期末)(10分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A ,在他们所在的岸边选择了点B ,使得AB 与河岸垂直,并在点B 竖起标杆BC ,再在AB 的延长线上选择点D ,竖起标杆DE ,使得点E 、C 、A 共线.CB ⊥AD ,ED ⊥AD ,测得BC =1 m,DE =1.5 m,BD =9 m .测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.16.【代数推理】(2022福建泉州模拟)(12分)小明在某次作业中得到如下结果:sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.994 5,sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.001 8,sin 229°+sin 261°≈0.482+0.872=0.987 3,sin 237°+sin 253°≈0.602+0.802=1.000 0,sin 245°+sin 245°=1.据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin 2α+sin 2(90°-α)=1.(1)当α=30°时,验证sin 2α+sin 2(90°-α)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.17.(2022山西晋城模拟)(14分)如图①,AB 、CD 是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔.小明和小丽为了测量两座铁塔的高度,从地面上的点E 处测得铁塔顶端A 的仰角为39°,铁塔顶端C 的仰角为27°,沿着EB 向前走20米到达点F 处,测得铁塔顶端A 的仰角为53°.已知∠ABE =∠CDE =90°,点E 、B 、D 构成的△EBD 中,∠EBD =90°.(1)图②是图①中的一部分,求铁塔AB 的高度;(2)小明说,在点E 处只要再测量一个角,通过计算即可求出铁塔CD 的高度,那么可以测量的角为 ,若将这个角记为α,则铁塔CD 的高度是 米;(用含α的式子表示)(3)小丽说,除了在点E 处测量角的度数外,还可以在点F 处再测量一条线段的长度,通过计算也可求出铁塔CD 的高度,那么可以测量的线段是 .(请写出两个不同的答案,可用文字描述) （结果精确到1米,参考数据:sin 39°≈35,cos 39°≈34,tan 39°≈45,sin27°≈920,cos 27°≈910,tan 27°≈12,sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43）答案全解全析1.B 原式=1-2×12=1-1=0.2.C 如图,根据勾股定理得BC =102―62=8,∴tan B =AC BC =34,tan A =BC AC =43,sin B =AC AB =35,cos A =AC AB =35.3.A 本题结合几何图形探究角度间的关系,体现了数形结合的思想.4.C ∵∠ACB =90°,AC =300米,∠DAB =α,AD ∥BC ,∴∠ABC =∠DAB =α,在Rt △ABC 中,BC =ACtan α=300tan α(米).5.B 如图,过B 点作BD ⊥AC 于D ,∵AB =BC ,BD ⊥AC ,AC =12米,∴AD =CD =6米,在Rt △ADB中,∠BAC =25°,∴AB =AD cos25°=6cos25°米,即按键顺序正确的是6÷cos25 °'″ =.6.D ∵32sin θ+12cos θ=22,∴sin 60°sin θ+cos 60°cos θ=22. ∵cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,∴cos(60°-θ)=cos 45°,即60°-θ=45°,∴θ=15°.7.D 设BC 与C'D'的交点为E ,则BE ⊥C'D',∴C'E =BC'·cos C'. ∵四边形ABC'D'为菱形,∴∠C'=∠D'AB =45°,∴C'E =BC'·cos C'=2×22=2.∴BE =C'E =2,∴D'E =2-2,∴梯形D'EBA 的面积=12(D'E +AB )·BE =22-1,∴阴影部分的面积=2×2-(22-1)=5-22.8.B ∵∠ACB =90°,∠A =30°,∴∠B =60°,∵CD ⊥AB ,∴∠CDB =∠CDA =90°,∴∠DCB =30°,∠DCA =60°,在Rt △BCD 中,BD =12BC =4 cm,∴CD =3BD =43 cm,∵DE ⊥BC ,∴∠BDE =30°,∴BE =12BD =2 cm,∠CDE =60°,∴DE =3BE =23 cm,∵∠CDE =∠ODC ,∴∠ODC =60°=∠DCA ,∴△OCD 是等边三角形,∴OD =CD =43 cm,∴OD +DE =43+23=63(cm).9.3解析 如图,作CD ⊥OA 于点D ,∵∠AOB =30°,∴CD =12OC =3.10.6解析 如图,连结BE ,∵CE =13AE =1,∴AE =3,AC =4,根据作图可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线,∴AE =BE =3,在Rt △ECB 中,BC =BE 2―CE 2=22,∴AB =AC 2+BC 2=26,∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线,∴CD =12AB =6.11.4.8解析 ∵CC'∥AB ,∴△DC'C ∽△DAB ,∴C′C AB =DCDB ,即1.6AB =3BC +3①,∵EE'∥AB ,∴△FE'E ∽△FAB ,∴EE′AB =EFBF ,即1.6AB =4BC +2+4②.由①②得3BC +3=4BC +2+4,解得BC =6米,∴1.6AB =36+3,∴AB =4.8米,即电线杆AB 的高度等于4.8米.12.55解析 本题在平行线中探究三角函数值,命题新颖. 如图,过点A 作AD ⊥l 3于D ,过点B 作BE ⊥l 3于E ,设l 1,l 2,l 3相邻两条直线之间的距离d =1,∵AD ⊥l 3,BE ⊥l 3,∴∠ADC =∠BEC =90°,∵∠CAD +∠ACD =90°,∠BCE +∠ACD =90°,∴∠CAD =∠BCE ,在等腰直角△ABC 中,AC =BC ,∴在△ACD 和△CBE 中,∠ADC =∠CEB ,∠CAD =∠BCE ,AC =CB ,∴△ACD ≌△CBE ,∴CE =AD =2,在Rt △BCE 中,BC =BE 2+CE 2=12+22=5,∴sin α=BE BC =15=55.13.解析 (1)原式=32―3―2232=―32―2232=-1-63=-3+63.(2)原式=12-2×+32×-12=12-1+12-12=-12.14.解析 ∵AB =AC ,∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ,∴AD ⊥BC ,BD =CD =12BC =6,由勾股定理得AB =AD 2+BD 2=82+62=10,∵E 为AB 的中点,∴DE =12AB =5.15.解析 ∵CB ⊥AD ,ED ⊥AD ,∴BC ∥DE ,∴△ABC ∽△ADE ,∴BC DE =ABAD .∵BC =1 m,DE =1.5 m,BD =9 m,∴11.5=AB AB +9,解得AB =18 m,∴河宽AB 为18 m .16.解析 (1)证明:当α=30°时,sin 2α+sin 2(90°-α)=sin 230°+sin 260°=14+34=1.所以,当α=30°时,sin 2α+sin 2(90°-α)=1成立.(2)小明的猜想成立,证明如下:如图,在△ABC 中,∠C =90°,设∠A =α,则∠B=90°-α,∴sin2α+sin 2(90°-α=BC 2+AC 2AB 2=AB 2AB 2=1.17.解析 (1)在Rt △ABE 中,∠ABE =90°,∴tan 39°=AB BE ,即BE =ABtan39°,在Rt △ABF 中,∠ABF =90°,∴tan 53°=AB BF ,即BF =AB tan53°,∵EF =20米,∴BE -BF =AB tan39°-ABtan53°=20,∴AB =20tan53°·tan39°tan53°―tan39°≈40(米),故铁塔AB 的高度约为40米.(2)答案不唯一,如:可以测量的角是∠BED ,在Rt △ABE 中,BE =ABtan39°≈50米,在Rt △BED中,DE =BEcos α=50cos α米,在Rt △CED 中,CD =DE ·tan 27°=12×50cos α=25cos α米.(3)在点F 处测量FD 的长度或点F 到DE 的距离,通过计算也可求出铁塔CD 的高度.①连结FD ,测得FD =m ,在Rt △BDF 中,利用勾股定理求得BD ,在Rt △BED 中,利用勾股定理求得DE ,在Rt △CED 中,利用CD =DE ·tan 27°求得结果;②作FM ⊥DE ,测得F 到DE 的距离为n ,在Rt △EFM 中,利用勾股定理求得EM ,通过三角形相似求得BD ,然后在Rt △BED 中,利用勾股定理求得DE ,在Rt △CED 中,根据CD =DE ·tan 27°求得结果.。
山东省潍坊市2023-2024学年九年级12月学科素养测试数学试题(含答案)
2023年初中学生核心素养与综合能力测试九年级数学试题2023.12注意事项：1.本试题共个大题，计100分.考试时间为70分钟.2.答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.所有答案都必须写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效.3.解答题（共8题，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.1.（本题满分12分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y的图象经过点M，N。
（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标。
2. （本题满分12分）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器。
小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察。
如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）。
点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O交于点E，与BC交于点B，连接AC，OC，CE，BD＝CD＝3dm，OA⊥AC。
（1）求证：∠B＝∠ACO；（2）求CE的长。
3. （本题满分12分）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，。
材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值。
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0两个根为x1，x2，则：x1+x2＝，x1x2＝；（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值；（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1＝0，t2+7t+7＝0，且st≠1．求的值。
2024年浙江省嘉兴市九年级学科素养测试与调研数学试卷
2024年嘉兴市初中毕业生学科素养测试与调研数学试题卷考生须知：1. 全卷满分120分，考试时间120分钟.试题卷共6页，有三大题，共24小题.2. 全卷答案必须做在答题纸卷I 、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效.卷I ( 选 择 题 )一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分 . 请选出各题中唯 一 的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)1. 如图，已知四条线段a,b,c,d 中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是(▲) A.a B.b C.c D.d 2. 如图，比数轴上点A 表 示 的 数 小 3 的 数 是 ( ▲ )A.1B.0C.-1D.-2 3. 如图是底面为正方形的直四棱柱，下面有关它的三个视图的说法正确的 是 ( ▲ )A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同C. 左视图与俯视图相同D. 三个视图都相同(第3题)4. 化 简 的 结 果 是 ( ▲ )A.aB.a+1C.0D.15. 四边形ABCD 的边长如图所示，对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化. 当△ABC 是等腰三角形时，对角线AC 的 长 为 ( ▲ )(第5题)A.2B.3C.4D.5 6. 如 图 ，OO 的切线PC 交直径AB 的延长线于点 P,C 为切点，连结 AC. 若∠P=40°, 则∠A 的 度 数 为 ( ▲ )A.25°B.30°C.35°D.40°(第6题)(第1题)(第2题)7. 学校组织研学活动，安排给九年级三辆车，小明与小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小明与小慧同车的概率是(▲)A. B. C. D.8. 已知点A(-1,-a),B(1,a),C(3,a-2) 在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(▲ )B.9. 用两对全等的直角三角形 (Rt△ADE≌Rt△CBG,Rt△ABF≌ Rt △CDH) 和一个矩形 EFGH 拼成如图所示的□ABCD (无缝 隙且不重叠), Rt△ADE 和 Rt△ABF 的面积相等，连结 DF,若AD ⊥DF,则 tan ∠BAF 的 值 是 ( ▲ )A. B.C. D.10.已知直线y=-x-3 与抛物线y=(x -m)²-4 对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m 的取值范围是(▲) A.B.或C.m≤1D.m≤1或卷Ⅱ(非选择题)二、 填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11. 不等式2x+1>3 的解是 ▲ .12. 学校计划给每个年级配发m 套劳动工具，则3个年级共需配发 ▲ 套劳动工具. 13. 工厂生产了10000只灯泡.为了解这10000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了100只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命(单位：小时),数据整理如下：使用寿命(小时) x<1000 1000≤x<16001600≤x<22002200≤x<2800x≥2800灯泡数量 (只)1020243412根据以上数据，估计这10000只灯泡中使用寿命不小于1600小时的灯泡的数量为A 只.D.A14. 清代数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对宋代数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如 图 ，AD 是锐角三角形ABC 的高，则当AB=15,BC =14,AC=13 时，线段BD 的长为 A 15. 如图，在平面直角坐标系中， O 为原点，已知点A(2,4),B(2,0), 把△OAB 向上平移m 个单位长度，对应得到△O'A'B',(k>0,x>0) 的图象经过△O'A'B '的重心若反比例函数和点B', 则k 的值为 ▲16. 如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O,OD ⊥BC 于点D, 连结AO 并延长交线段BD 于点E ( 点E 不与点B,D 重 合 ) , 设∠ABC=m ∠DOE,∠ACB=n ∠DOE(m,n 为正数), 则m 关于n 的函数表达式为 A三、解答题(本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分)17. (1)分解因式： x²y-y. (2)解方程组18.将飞镖投向如图所示的靶盘.计分规则如下：每次投中A 区得5分，投中B 区得3分，脱靶扣2分.小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A 区 2次 ，B 区4次，脱靶4次.(1)求小曹第一局的得分，(2)第二局，小曹投中A 区k 次 ，B 区5次，其余全部脱靶.若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求 k 的值，(第18题)友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图(包括添加辅助线)最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑，(第16题) (第15题)(第14题)19. 如图，在矩形ABCD 中 ，AB=4,BC=2, 连结AC.(1)尺规作图：作菱形AECF , 使得点E,F 分别在边AB,CD 上(保留作图痕迹，不写作法).(2)求(1)中所作的菱形AECF 的边长.(第19题)20. 某校篮球俱乐部共招收20名学员.为了解学员的罚球情况，教练进行了第一次罚球测试(每位学员在罚球线各自罚球5个，其中命中4个及以上为优秀),经过两周 训练，进行第二次罚球测试，将这两次罚球命中球数进行整理、分析，并制作成如 下统计图表：训练前后两次罚球测试命中球数条形统计图 训练前后两次罚球测试命中球数统计表根据以上信息回答问题：( 1 ) 求a,b,c 的值 .(2)你认为学员的罚球训练是否有效?请用相关统计量说明理由.21. 规定： n 个实数依次排列 (n≥2, 且 n 为整数),对于任意相邻的两个数，都用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数之间，得到新的一列数，这样的操作称为 “繁衍操作”.例如：依次排列的两个数5,3.第一次“繁衍操作”后得到新的一列 数5,2,3;第二次“繁衍操作”后得到新的一列数5,3,2,- 1,3;依次类推. (1)已知依次排列的两个数2,-1.写出这组数第一次“繁衍操作”后得到的新的一列数.(2)已知依次排列的两个数x,y, 且 x-y=3, 将这组数进行第一次“繁衍操作”,所得到新的一列数的各数之和为K, 再进行第二次“繁衍操作”,所得到新的 一列数的各数之和为T, 求 K-T 的值.平均数 中位数众数 优秀率 第一次罚球 测试(个) 2.5a315%第二次罚球 测试(个)33C22. 综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度?素材1:如图1,一种路灯由灯杆AB 和灯管支架BC 两部分构成，已知灯杆AB 与地面垂直，灯管支架 BC 与灯杆AB 的夹角∠ABC=127° . 素材2:如图2,在路灯正前方的点D 处测得∠ADB=37°,∠ADC=45°,AD=400cm.根据以上素材解决问题： (1)求灯杆AB 的长度. (2)求灯管支架BC 的长度.(结果精确到1cm. 参考数据： sin37≈0.60,cos37~0.80,tan37°~0.75)图 1(第22题)23.已知二次函数y=x²-2ax-3(a 为常数).(1)若该二次函数的图象经过点(2,-3)①求a 的值.②自变量x 在什么范围内时， y 随 x 的增大而增大?(2)若点A(m,0),B(n,0),C(m+1,p),D(n+1,q)数的图象上，求证：p+q=2.均在该二次函24. 【操作思考】如图1,将正方形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在正方形ABCD 的内部，点A 的对应点为点G,折痕为BE, 再将该纸片沿过点B 的直线折叠，使BC 与BG 重合，折痕为BF.(1)求∠EBF 的度数.【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平.如图2,连结EF, 作BF 的中垂线分别交BE,BC 于点P,H, 连结PF,PA.(2)求证：2PE²+BF²=2EF².( 3 ) 若AE·BH=10, 求△EPF 的面积.图2图1(第24题)。
2023-2024学年广东省佛山市南海区大沥镇九年级(上)素养监测数学试卷(含解析)
2023-2024学年广东省佛山市南海区大沥镇九年级（上）素养监测数学试卷一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.△ABC的三边长a，b，c满足(a−b)2+2a−b−3+|c−32|=0，则△ABC是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形2.如图，△ABC中，∠BAC=60°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D的直线分别于边AB、AC相交于点M、N，若AM=AN，BM=1，CN=2，则MN的长为( )A. 3B. 22C. 23D. 523.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=−12x的图象分别为直线l1、l2，过点A1(1,−12)作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5…依次进行下去，则点A2023的横坐标为( )A. 21012B. −21012C. −21011D. 210114.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1,3)，B(−2,−6)，C(0,0)等都是“三倍点”.在−3<x<1的范围内，若二次函数y=−x2−x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是( )A. −14≤c<1 B. −4≤c<−3 C. −14≤x<6 D. −4≤c<55.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M .P 是线段AG上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC ，垂足为N ，连接PM .有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为3 2；③CF 2=GE ⋅AE ；④S △ADM =6 2．其中正确的是( )A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①③二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。
陕西省西安市部分学校2024届九年级上学期第一次学科素养考试数学试卷(含解析)
2023-2024学年陕西省西安市部分学校九年级（上）第一次学科素养数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列属于一元二次方程的是( )A. B. C. D.2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A. 对角相等B. 对角线相等C. 对边相等D. 对角线互相平分3. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为( )A. ，B. ，C. ，D. ，4. 根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足( )A. B. C. D.5. 已知在菱形中，，，则菱形的面积为( )A. B. C. D.6. 关于的一元二次方程无实数根，则可能是( )A. B. C. D.7. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是( )A.B.C.D.8. 如图，、、、分别是四边形边、、、的中点，若中点四边形是矩形，则需要满足的条件正确的是( )A.B.C. 与互相平分D. 四边形是矩形9. 关于代数式的判断，下列正确的是( )A. 有最小值B. 有最大值C. 有最小值D. 有最大值10. 如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，平分，下列结论：，平分，，，正确的有( )A. 个B. 个C. 个D. 个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 一元二次方程的解是：．12. 若关于的方程是一元二次方程，则______ ．13. 若为方程的一个根，则代数式的值为______ ．14. 现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的宽度应是，列方程得：______ ．15. 如图，在矩形中，是边上一点，，，是边的中点，，则______ ．16. 如图，在矩形中，，，点在上且点为的中点，点为边上的一个动点，为的中点，则的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。
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2017年山东省临沂市临沭县青云中学九年级学科素养大赛数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．62．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=3．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=﹣1 B．b=2 C．b=﹣2 D．b=04．如图⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，若⊙O的半径为2，则下列结论错误的是（）A．AD=BD B．AE=BE C．AB=D．OD=15．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．136．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A．44° B．54° C．72° D．53°7．已知点P（a，a+3）在抛物线y=x2﹣7x+19图象上，则点P关于原点O的对称点P′的坐标是（）A．（4，7）B．（﹣4，﹣7）C．（4，﹣7）D．（﹣4，7）8．若A（﹣，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y29．下列图形中阴影部分面积相等的是（）A．①② B．②③ C．①④ D．③④10．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），②函数的最大值为6，③抛物线的对称轴是直线x=，④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论①abc＞0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜﹣B．C．﹣2＜m＜D．﹣3＜m＜﹣2二、填空题（每小题4分，共24分）13．如果关于x的方程mx2﹣2x+1=0有两个实数根，那么m的取值范围是．14．已知圆的一条弦AB把圆分成1：4的两部分，则此弦所对的圆周角等于．15．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．16．已知f（x）=1+，其中f（a）表示当x=a时代数式的值，如f（1）=1+，f（2）=1+，f（3）=1+，f（a）=1+，则f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•…•f=．17．对于实数a，b，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2= ．18．如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF 上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是．三、解答题（本题共3个小题，满分40分）19．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．20．阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，则x4=y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12=0，解得y1=3，y2=4，当y=3时，x2=3，x=±，当y=4时，x2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x1=，x2=﹣，x3=2，x4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4=0；（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10=0，试求a2+b2的值．21．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．2017年山东省临沂市临沭县青云中学九年级学科素养大赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6【考点】二次函数的最值．【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．【解答】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+m，∵函数的最小值是﹣3，∴﹣9+m=﹣3，m=6．故选：D．2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．【解答】解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A 选项正确．B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D选项正确．故选：B．3．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=﹣1 B．b=2 C．b=﹣2 D．b=0【考点】命题与定理；根的判别式．【分析】先根据判别式得到△=b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b=﹣1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．【解答】解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．故选：A．4．如图⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，若⊙O的半径为2，则下列结论错误的是（）A．AD=BD B．AE=BE C．AB=D．OD=1【考点】三角形的外接圆与外心；垂径定理．【分析】根据由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AE=BE，AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．利用三角函数可求得AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1，AB=2，从而判断出D是错误的．【解答】解：∵OD⊥AB，∴AE=BE，AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．∴AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．∴AB=2．∴A，B，D均正确，C错误．故选D．5．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选：C．6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A．44° B．54° C．72° D．53°【考点】圆周角定理；平行四边形的性质．【分析】首先根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAE=90°，然后利用四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，得到∠BEA=∠DAE=36°，从而得到∠BAD=126°，求得到∠ADC=54°．【解答】解：∵BE是直径，∴∠BAE=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，∴∠BEA=∠DAE=36°，∴∠BAD=126°，∴∠ADC=54°，故选：B．7．已知点P（a，a+3）在抛物线y=x2﹣7x+19图象上，则点P关于原点O的对称点P′的坐标是（）A．（4，7）B．（﹣4，﹣7）C．（4，﹣7）D．（﹣4，7）【考点】二次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标．【分析】将点P（a，a+3）代入函数y=x2﹣7x+19，先求出点P的坐标，再求出它关于原点的对称点的坐标．【解答】解：把点P（a，a+3）代入函数y=x2﹣7x+19得：a+3=a2﹣7a+19，解得：a=4，∴点P的坐标是（4，7），∴点A关于原点的对称点A′的坐标为（﹣4，﹣7）．故选B．8．若A（﹣，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．【解答】解：∵y=x2+4x﹣5=（x+2）2﹣9，∴对称轴是x=﹣2，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，比较可知，B（，y2）离对称轴最近，C（，y3）离对称轴最远，即y2＜y1＜y3．故选：B．9．下列图形中阴影部分面积相等的是（）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【考点】一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，求出4个阴影部分的面积，然后进行比较即可得出结论．【解答】解：①中直线y=x+2与坐标轴的交点为（0，2）、（2，0）．∴三角形的底边长和高都为2则三角形的面积为×2×2=2；②中三角形的底边长为1，当x=1时，y=3∴三角形的高为3则面积为×1×3=；③中三角形的高为1，底边长正好为抛物线与x轴两交点之间的距离∴底边长=|x1﹣x2|==2则面积为×2×1=1；④设A的坐标是（x，y），代入解析式得：xy=2，则面积为×2=1∴阴影部分面积相等的是③④．故选D．10．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），②函数的最大值为6，③抛物线的对称轴是直线x=，④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质．【分析】根据表中数据和抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向下，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；因此可得抛物线的对称轴是直线x=，再根据抛物线的性质即可进行判断．【解答】解：根据图表，当x=﹣2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；∴抛物线的对称轴是直线x==，根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大．所以①③④正确，②错．故选：C．11．y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论①abc＞0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，b2﹣4ac=8a＞0，据此解答即可．③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=8a，确定出a的取值范围即可．④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴左边，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴结论①正确；∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，∴△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，∴b2﹣4ac=8a＞0，∴结论②不正确；∵对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a，∵b2﹣4ac=8a，∴4a2﹣4ac=8a，∴a=c+2，∵c＞0，∴a＞2，∴结论③正确；∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，∴x=﹣2时，y＞2，∴4a﹣2b+c+2＞2，∴4a﹣2b+c＞0．∴结论④正确．综上，可得正确结论的个数是3个：①③④．故选C．12．如图，抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜﹣B．C．﹣2＜m＜D．﹣3＜m＜﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．【解答】解：令y=﹣2x2﹣8x﹣6=0，即x2+4x+3=0，解得x=﹣1或﹣3，则点A（﹣1，0），B（﹣3，0），由于将C1向左平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y=﹣2（x+4）2+2（﹣5≤x≤﹣3），当y=﹣x+m1与C2相切时，令y=﹣x+m1=y=﹣2（x+4）2+2，即2x2+15x+30+m1=0，△=﹣8m1﹣15=0，解得m1=﹣，当y=﹣x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y=﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：A．二、填空题（每小题4分，共24分）13．如果关于x的方程mx2﹣2x+1=0有两个实数根，那么m的取值范围是m≤1且m≠0 ．【考点】根的判别式．【分析】若m=0，方程化为一元一次方程，只有一个解，不合题意；故m不为0，方程即为一元二次方程，根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集，即可得到m的范围．【解答】解：mx2﹣2x+1=0有两个实数根，当m=0时，方程化为﹣2x+1=0，解得：x=，不合题意；故m≠0，则有b2﹣4ac=4﹣4m≥0，解得：m≤1，则m的取值范围是m≤1且m≠0．故答案为：m≤1且m≠014．已知圆的一条弦AB把圆分成1：4的两部分，则此弦所对的圆周角等于36°或144°．【考点】圆周角定理．【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1：4两部分，求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得∠ADB的度数，继而可求得答案．【解答】解：∵弦AB把⊙O分成1：4两部分，∴∠AOB=×360°=72°，∴∠ACB=∠AOB=36°，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=144°．∴这条弦所对的圆周角的度数是：36°或144°，故答案为：36°或144°．15．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．【考点】垂径定理；轴对称的性质．【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC 的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值【解答】解：连接OA，OB，OC，作CH垂直AB于H．根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为．故答案为：16．已知f（x）=1+，其中f（a）表示当x=a时代数式的值，如f（1）=1+，f（2）=1+，f（3）=1+，f（a）=1+，则f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•…•f=2017 ．【考点】分式的化简求值．【分析】f（x）解析式通分并利用同分母分式的加法法则变形，将原式变形后约分即可得到结果．【解答】解：f（x）=，则原式=×××…××=2017，故答案为：201717．对于实数a，b，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2= ±4 ．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】先解方程，求出方程的解，分为两种情况，当x1=2，x2=4时，当x1=4，x2=2时，根据题意求出即可．【解答】解：x2﹣6x+8=0，解得：x=4或2，当x1=2，x2=4时，x1⊗x2=22﹣2×4=﹣4；当x1=4，x2=2时，x1⊗x2=4×2﹣22=4；故答案为：±4．18．如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF 上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是①②④．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴和不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故答案为①②④．三、解答题（本题共3个小题，满分40分）19．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．【考点】切线的判定；菱形的判定．【分析】（1）连接AC，由题意得==，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，从而得出∠OCE=90°，即可证得结论；（2）四边形AOCD为菱形．由=，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；【解答】解：（1）连接AC，∵点CD是半圆O的三等分点，∴==，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠OCE+∠E=180°，∵CE⊥AD，∴∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵=，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形．20．阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，则x4=y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12=0，解得y1=3，y2=4，当y=3时，x2=3，x=±，当y=4时，x2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x1=，x2=﹣，x3=2，x4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4=0；（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10=0，试求a2+b2的值．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】（1）设y=x2+x，则由已知方程得到：y2﹣5y+4=0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程；（2）设x=a2+b2，则由已知方程得到：x2﹣3x﹣10=0，利用因式分解法求得该方程的解即可．【解答】解：（1）设y=x2+x，则y2﹣5y+4=0，整理，得（y﹣1）（y﹣4）=0，解得y1=1，y2=4，当x2+x=1即x2+x﹣1=0时，解得：x=；当当x2+x=4即x2+x﹣4=0时，解得：x=；综上所述，原方程的解为x1，2=，x3，4=；（2）设x=a2+b2，则x2﹣3x﹣10=0，整理，得（x﹣5）（x+2）=0，解得y1=5，y2=﹣2（舍去），故a2+b2=5．21．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为y p﹣y E，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；（3）存在四个这样的点．①连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；②AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G 点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+7．因此直线GF与x轴的交点F 的坐标为（4+，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）；综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．【解答】解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3∴A（﹣1，0）B（3，0）将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3∴C（2，﹣3）∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1；（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1）E（x，x2﹣2x﹣3）∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴当时，PE的最大值=；（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）．综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．。