1.1集合区间邻域
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微积分复习
第一章1.1区间与邻域1.1.1区间开区间，闭区间，半开半闭区间，无穷区间，这四类统称为区间，还分为有限区间（a，b）[a,b]，无限区间(−∞，b)(a,+∞)（a,b成为区间的端点）。
全体实数的集合R也可表示为无限区间(−∞,+∞)1.1.2邻域定义，设δ为某个正数，称开区间(x0−σ,x0+σ)为点x0的δ的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x0,σ)即U(x0,σ)={x0|x0−σ<x0<x0+σ}={x||x−x0|}1.2函数的概念1.2.1函数的定义设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A 或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}其中x叫做自变量，y叫做x的函数，集合 A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域。
1.2.2函数的表示法函数的表示法通常有三种：表格法、图像法和解析法。
1.2.3函数关系的建立为了建立函数关系，需要明确问题中的因变量和自变量，得出函数关系，并根据实际背景确定函数的定义域。
1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义，x1及x2为区间I上任意两点，且x1<x2。
如果恒有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上是单调减少的。
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
1.3.2函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称。
如果在D上有f(x)= f(−x)，则称f(x)为偶函数；如果在D上有f(x)=−f(−x)，则称f(x)为奇函数。
1.3.3函数的周期性设函数y=f(x)的定义域为D。
如果存在一个非零数l，使得对于任一x∈D有(x±I)∈D,且f(x±I)=f(x)，则f(x)称为周期函数，l 称为f(x)的周期，如果在函数f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期。
高等数学函数的概念及性质
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
19
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2, )
取整函数 当
y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
y
1
o
x
1
2 1o 1 2 3 4 x
22
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x2 , 1 x 0
例2. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2 ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2 ( 0, 1] ,
ex ex
ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
13
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练习 1.1 题5. 51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
Q f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
20
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1.1.5. 初等函数
大学微积分1.1 区间与邻域
点 a 称为这邻域的中心， 称为这邻域的半径，如下图
2
a
a
a
例1
点5的3邻域 { x | | x -5 | < 3} = (2, 8).
7
点 a 的去心邻域. 即
U (a， ) { x 0 x a } (a , a) (a, a )
5abxaxb???abxaxb????ab?baxxa???????aaxxa????????aabxaxb???ab??6axax????????aaxax???????a
第一章
函数
§1.1 区间与领域
§1.2 函数
§1.3 反函数与复合函数 §1.4 基本初等函数与初等函数 §1.5 经济学中常用的函数
2 ° a a
点 a的左邻域, 即
a
{ x 0 a x } (a , a )
{ x 0 x a } (a , a )
点 a 的右邻域, 即
8
1
函数是微积分的一个重要概念, 也是现代数学研究的一个
基本对象. 有关函数概念, 在中学数学中我们有了初步的了
解, 在这一章中, 将介绍函数、函数特性、基本初等函数、初
等函数等概念.
2
§1.1 区间与邻域
一. 区间
二. 邻域
3
一. 区间
设a, b都是实数, 且a < b, 数集{ x | a < x < b }称为开区间. 记作(a, b), 即
( a , b ) { x a x b}
其中 a 和 b 称为开区间的端点, 如下图
° a
° b
类似还有闭区间, 半开半闭区间以及无限区间. 其中数b−a 称为有限区间的长度.
2
a
a
a
例1
点5的3邻域 { x | | x -5 | < 3} = (2, 8).
7
点 a 的去心邻域. 即
U (a， ) { x 0 x a } (a , a) (a, a )
5abxaxb???abxaxb????ab?baxxa???????aaxxa????????aabxaxb???ab??6axax????????aaxax???????a
第一章
函数
§1.1 区间与领域
§1.2 函数
§1.3 反函数与复合函数 §1.4 基本初等函数与初等函数 §1.5 经济学中常用的函数
2 ° a a
点 a的左邻域, 即
a
{ x 0 a x } (a , a )
{ x 0 x a } (a , a )
点 a 的右邻域, 即
8
1
函数是微积分的一个重要概念, 也是现代数学研究的一个
基本对象. 有关函数概念, 在中学数学中我们有了初步的了
解, 在这一章中, 将介绍函数、函数特性、基本初等函数、初
等函数等概念.
2
§1.1 区间与邻域
一. 区间
二. 邻域
3
一. 区间
设a, b都是实数, 且a < b, 数集{ x | a < x < b }称为开区间. 记作(a, b), 即
( a , b ) { x a x b}
其中 a 和 b 称为开区间的端点, 如下图
° a
° b
类似还有闭区间, 半开半闭区间以及无限区间. 其中数b−a 称为有限区间的长度.
《集合区间邻域》课件
02 区间的基本概念
区间的定义
01
02
03
闭区间
表示为[a, b]，包括端点a 和b。
开区间
表示为(a, b)，不包括端点 a和b。
半开半闭区间
表示为[a, b)或(a, b]，包 括端点a或b，但不包括另 一个端点。
区间的表示方法
01
区间可以用数轴上的阴影线段表 示，端点用实心点表示，中间部 分用空心或阴影表示。
集合的运算性质
总结词
集合的运算性质包括并集、交集、差集等。
详细描述
集合的运算性质是数学中重要的概念，它们包括并集、交集、差集等。并集是指两个集合中所有元素的集合，交 集是指两个集合中共有的元素组成的集合，差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的 集合。这些运算性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
03 邻域的基本概念
邻域的定义
邻域
在数轴上，对于任意一点$x$，存在一个区间$(a, b)$，使得该点$x$属于这个 区间，则称这个区间为点$x$的邻域。
邻域的大小
邻域的大小由区间的长度决定，长度越小，邻域越小。
邻域的表示方法
左邻域
点$x$的左邻域表示为$( infty, x)$，表示所有小于 $x$的实数。
离散概率分布
离散概率分布的研究中，集合区间和邻域用于定义离散概 率分布的概念，以及研究离散概率分布的性质和计算方法 。
离散随机过程
离散随机过程中，集合区间和邻域用于定义随机变量的取 值范围和概率分布，以及研究随机过程的性质和行为。
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导数与微分
导数的研究中，通过集合区间和邻域来定义导数的概念，并进一步 研究函数的可微性和可导性。
《高等数学(上册)》 第一章
o
作U (a ， ) ，即
o
U (a ， ) {x | 0 | x a | } ． 点 a 将整个邻域分为两部分，左边的称为左邻域，用区间 (a ，a) 表示，右边的称为 右邻域，用区间 (a ，a ) 表示．
1.1.2 函数的概念
在研究各种实际问题时，经常会遇到两种不同类型的量：一种 在所研究问题的过程中可取不同的数值；另一种在所研究问题的过 程中保持不变，只取一个固定值．前者为变量，后者为常量．在同 一个过程中，往往有几个变量同时变化，但是它们的变化不是孤立 的，而是按照一定的规律互相联系着．变量之间互相依赖的关系， 就是下面我们要介绍的函数关系．
1.1.3 函数的几种特性
2．单调性 一般地，设函数 y f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义，如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内单调增加；如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内 单调减少． 单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数，若函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是单 调函数，则称 (a ，b) 是该函数的单调区间．
一般地，设 y 是 u 的函数 y f (u) ，u 是 x 的函数 u (x) ．如果 u (x) 的值
域或其部分包含在 y f (u) 的定义域中，则 y 通过 u 构成 x 的函数，称为 x 的复合
函数，记作 y f [ (x)] ．其中，x 是自变量，u 称为中间变量．
1.1.4 反函数与复合函数
y f 1(x) 在各自的定义域内具有相同的单调性，在同一直角 坐标系中，它们的图像关于直线 y x 对称，如图所示．
作U (a ， ) ，即
o
U (a ， ) {x | 0 | x a | } ． 点 a 将整个邻域分为两部分，左边的称为左邻域，用区间 (a ，a) 表示，右边的称为 右邻域，用区间 (a ，a ) 表示．
1.1.2 函数的概念
在研究各种实际问题时，经常会遇到两种不同类型的量：一种 在所研究问题的过程中可取不同的数值；另一种在所研究问题的过 程中保持不变，只取一个固定值．前者为变量，后者为常量．在同 一个过程中，往往有几个变量同时变化，但是它们的变化不是孤立 的，而是按照一定的规律互相联系着．变量之间互相依赖的关系， 就是下面我们要介绍的函数关系．
1.1.3 函数的几种特性
2．单调性 一般地，设函数 y f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义，如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内单调增加；如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内 单调减少． 单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数，若函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是单 调函数，则称 (a ，b) 是该函数的单调区间．
一般地，设 y 是 u 的函数 y f (u) ，u 是 x 的函数 u (x) ．如果 u (x) 的值
域或其部分包含在 y f (u) 的定义域中，则 y 通过 u 构成 x 的函数，称为 x 的复合
函数，记作 y f [ (x)] ．其中，x 是自变量，u 称为中间变量．
1.1.4 反函数与复合函数
y f 1(x) 在各自的定义域内具有相同的单调性，在同一直角 坐标系中，它们的图像关于直线 y x 对称，如图所示．
1.1 集合 绝对值 区间
3. 表示所有在直线 上的点的集合为：
二、子集、交集、并集和补集
※ 子集：如果集合A中的每一个元素都属于集合B，
则称A为B的子集，记为
或 读作“A包含于B”或“B包含于A”。 例如：R表示全体实数的集合，Q表示全体有理数 的集合，显然Q中每个元素都属于R，所有集合Q是集
合R的子集。
※ 真子集：如果A是B的子集，并且集合B中至少 有一个元素不属于A。那么集合A叫做集合B的真子
集，记作
例如，所有有理数的集合Q是所有实数的集合R的 真子集，即 由定义可知，任何一个集合A是它自己的子集,即 注：空集可认为是任何集合的子集。 。
※ 集合相等：设两个集合A,B。如果 ，同时 ,
则称集合A与集合B相等。记作
※ 交集： 既属于集合A又属于集合B的所有元 素的集合叫做集合A与集合B的交集，记作
a a (b 0) b b
这两个公式是显然的。
四、区间
定义1 集合x | a x b 称为开区间，记作（a，b）。 它在数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点 a及端点b（图1.4）；
定义2 集合x | a x b 称为闭区间，记作[a,b]。它在 数轴上表示点a与点b之间的线段，包括其两个端点 （图1.5）。
Q等等.
习惯上集合用大写字母如A，B，C…等表示，而 元素用小写字母如a，b，c…表示。
含有有限个元素的集合称为有限集。含有无限个元
素的集合称为无限集。如果a是集合A的元素，则记
a A 作 a A , 读作“a属于A”。否则记作
“a不属于A”。 不含任何元素的集合叫做空集，记作
,读作
例如，方程 x 2 y 2 1 的实数解是一个空集。
x | x为任何实数 记作 ，称为无穷区间等。 （ ， ）
§2.数集.确界原理.
例4(P8) 设A, B为非空数集 , 满足 : x A和y B有x y.证明 : 数集 A有上确界 , 数集 B有下确界 , 且 sup A inf B.
例5(P8) 设A, B为非空有界数集 , S A B.证明 : (i) sup S maxsup A, sup B; (ii) inf S mininf A, inf B.
U a; : x R x a a , a ;
(2)a的空心 邻域 : 点a的邻域去掉中心 " a" 后所得到的集合 , 记为 U 0 a; , 即
U 0 a; : x R 0 x a a , a a, a .
[思考题 ](P21/1 )设a, b R.证明 : 1 (1) maxa, b a b a b ; 2 1 (2) mina, b a b a b . 2
17
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
例3(P7) 设数集 S有上确界 .证明 :
14
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集 S都存在上 (下)确界;
[问题]如何用正面的语言定义 ( )不是数集 S的上(下)确界 ?
15
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集 S都存在上 (下)确界; (2)(P7)由上(下)确界的定义可知 , 若数集 S存在上 (下)确界, 则必唯一 ; (3)(P7)若数集 S存在上 , 下确界 , 则有 inf S sup S ; (4)(P7)数集S的上(下)确界可能属于 S , 也可能不属于 S;
例5(P8) 设A, B为非空有界数集 , S A B.证明 : (i) sup S maxsup A, sup B; (ii) inf S mininf A, inf B.
U a; : x R x a a , a ;
(2)a的空心 邻域 : 点a的邻域去掉中心 " a" 后所得到的集合 , 记为 U 0 a; , 即
U 0 a; : x R 0 x a a , a a, a .
[思考题 ](P21/1 )设a, b R.证明 : 1 (1) maxa, b a b a b ; 2 1 (2) mina, b a b a b . 2
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§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
例3(P7) 设数集 S有上确界 .证明 :
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§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集 S都存在上 (下)确界;
[问题]如何用正面的语言定义 ( )不是数集 S的上(下)确界 ?
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§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集 S都存在上 (下)确界; (2)(P7)由上(下)确界的定义可知 , 若数集 S存在上 (下)确界, 则必唯一 ; (3)(P7)若数集 S存在上 , 下确界 , 则有 inf S sup S ; (4)(P7)数集S的上(下)确界可能属于 S , 也可能不属于 S;
1-2数集 确界原理
定义3 是实数集R中的一个数集 定义 设S是实数集 中的一个数集， 是实数集 中的一个数集， η 满足： 若数 满足： （1） x ∈ S , 有x ≥ η ，即 η 是S的一 ） 的一 ∀ 个下界， 个下界， （2） a >η, ∃x0 ∈S, 使 x0 < a ，即η ） ∀ 是S的最大下界， 的最大下界， 记作infS. 则称η 是S的下确界 记作 的下确界,记作
有上（ 若S有上（下）界，则一定有无限多个 有上 上（下）界。
任意的数 ， 若对于任意的 若对于任意的数M，都存在一个 x 0∈S,使得 x 0 >M, 则称 是一个无上 则称S是一个无上 使得 界的数集。 界的数集。
如：S1 = { x | x = n!, n ∈ N + } 有下界（可取 ），无上界。 ），无上界 有下界（可取1），无上界。
定义2 是实数集R中的一个数集 定义 设S是实数集 中的一个数集， 是实数集 中的一个数集，
若存在数L，使得对一切的x 若存在数 ，使得对一切的 ∈S, 都有 一切的 x ≥ L,则称 为有下界的数集，称L为S的一个 则称S为有下界的数集 则称 为有下界的数集， 为 的一个 下界。 下界。 若S为既有上界、又有下界的数集，则称S 为 有上界、 有下界的数集，则称 为有界集。 为有界集。 若S没有上界或没有下界，则称S为无界集。 没有上界或没有下界，则称 为无界集。 没有上界 为无界集
1 S2 = { x | x = 1 − n , n ∈ N + } 2
下界可取1/2，上界可取1。 下界可取 ，上界可取 。
S 3 = { x | x = sin t , −
π
≤t≤ } 2 2
π
下界可取-1，上界可取 。 下界可取 ，上界可取1。
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两集合间的直积或笛卡尔 (Descartes) 乘积
设 A, B 是任意两个集合, 任取 x A, y B, 组成 一个有序对 ( x, y), 以这样的有序对的全体组成的 集合称为集合 A与集合B 的直积, 记为
A B {( x, y) | x A且 y B}. 如 R R {( x, y) | x R, y R} 即为 xOy 面上全 体点的集合, R R 常记作 R2 .
集合表示方法
1. 例举法: 即在 { } 中按任意顺序、不遗漏、不
重复地列出集合的所有元素. 例如
(1) 若 A仅由有限个元素 a1,a2 ,,an 组成,
集合的概念
1. 例举法: 即在 { } 中按任意顺序、不遗漏、不
重复地列出集合的所有元素. 例如
(1) 若 A仅由有限个元素 a1,a2 ,,an 组成,
集合的概念
若 A B, 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等, 记为 A B. 例如, A {1,2}, M { x | x2 3x 2 0}
A M. 若 A B 且 A B, 则称集合 A 是 B 的真子集,
记为A B. 空集 不包含任何元素的集合, 记为 .
例如, { x | x R, x2 1 0} .
集合的基本运算规律
设 A, B,C 为任意三个集合, 则有下列法则成立: (1) 交换律 A U B B U A, A I B B I A; (2) 结合律 ( A U B) U C A U (B U C ),
(AI B) I C AI (B I C); (3) 分配律 ( A U B) I C ( A I C ) U (B I C ),
(1) A 与 B 的并集(简称并) A U B { x | x A 与 x B};
A
B
(2) A 与 B 的交集(简称交) A I B { x | x A 且 x B};
A
B
(3) A 与 B 的差集(简称差) A B { x | x A 且 x B}; A
B AB
(4) 当所研究的问题限定在一个大的集合S 中进行,
规定: 空集为任何集合的子集.
数集的概念 规定: 空集为任何集合的子集. 数集 元素都是数的集合称为数集.
数集分类:
N 自然数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 数集间的关系: N Z Q R.
注: 如无特别说明, 本课程中提到的数都是实数.
集合的运算
设 A, B是两个集合, 定义
所研究的其他集合A 都是 S 的子集. 定义 A 的余集
集合的运算
(4) 当所研究的问题限定在一个大的集合S 中进行,
所研究的其他集合A 都是 S 的子集. 定义 A 的余集
或补集
A R中, 集合 A { x | 0 x 1} 的余
集就是
A {x | x 0或 x 1}.
可记为
A {a1,a2 ,,an }.
(2) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合,
可记为
A {1,2}.
2. 描述法: M { x | x 所具有的特征}
(1) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合,
集合的概念
2. 描述法: M { x | x 所具有的特征}
Oa
x b
(a, b]={ x a x b};
x Ob ( , b ) = { x x b } .
无限区间 特别地
区间
[a,) { x | a x}, (,b) { x | x b};
( A I B) U C ( A U C ) I (B U C ); (4) 对偶律 ( A U B) A I B. ( A I B) A U B.
集合的基本运算规律
证 (4) x ( A U B)
x AU B
xA 且xB x A且xB (A U B) A I B,
x AI B
注 以上证明中,符号“ ”表示“等价”, 另一个 常用符号是“ ”, 表示“推出”(或“蕴含”). 符号“ ”, 表示“任意的”(或“任何的”). 符号“ ”, 表示“存在”.
(1) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合, 可记为 M { x | x2 3x 2 0}.
(2) 全体奇数的集合, 可记为
M { x | x 2n 1,n Z }.
集合之间的关系
若 xA
x B, 则称 A 是 B 的子集,
记为 A B. 若 A B, 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等,
第一章 函数、极限与连续
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节
函数
第一章
一、邻域 二、常用的几个不等式 三、函数及其性质 四、初等函数
首先回顾一下中学所学过的有关 集合、数集、函数的概念。
集合的概念 集合 具有某种特定性质的事物的总体. 元素 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
集合与元素的关系:
aM, aM
由无限个元素组成的集合称为无限集. 由有限个元素组成的集合称为有限集. 集合举例
(1) 2012年在福建地区出生的人.
集合的概念 集合举例
(1) 2012 年在福建地区出生的人.
(2) 方程 x2 3x 2 0 的根. (3) 全体奇数. (4) 抛物线 y x2上的所有点.
区间
定义 介于某两个实数之间的全体实数称为区间, 这两个实数叫做区间的端点.
设 a,b R, 且 a b, 定义 开区间 (a,b) { x | a x b}; 闭区间 [a,b] { x | a x b}; 半开区间 [a,b) { x | a x b},
(a,b] { x | a x b}; 无限区间 [a,) { x | a x},
(,b) { x | x b}; 特别地 (,) R.
区间演示图
Oa
x b
(a , b) = {x a x b };
Oa
x b
[a , b) = { x a x b } ;
x Oa [ a , ) = { x a x } ;
x O
( , ) = R ;
Oa
x b
[a , b] = {x a x b } ;