材料力学第2章-杆件的内力与内力图
杆件的内力图课件
ห้องสมุดไป่ตู้2
杆件内力图的绘制方法
截面法
定义截面
在杆件上选择一个截面， 该截面可以是垂直于杆件 轴线的平面，也可以是与
杆件轴线平行的平面。
计算截面内力
通过计算或实验得到截面 上的内力，包括轴力、剪
力、弯矩等。
绘制内力图
将截面内力按照一定的比 例尺绘制成图，通常采用 直角坐标系或极坐标系。
积分法
01
02
03
04
杆件内力图的实际应用案例
桥梁结构中的内力图分析
桥梁是内力图分析的重要对象之一，通 过对桥梁结构进行内力图分析，可以确 定桥梁的承载能力、刚度和稳定性等性
能指标。
在进行桥梁内力图分析时，通常需要考 虑多种荷载工况，例如车辆荷载、风荷 载和地震荷载等，以便全面评估桥梁的
安全性和可靠性。
内力图分析在桥梁结构优化设计和维护 保养方面也具有重要意义，可以通过对 桥梁结构进行内力图分析，发现潜在的 结构缺陷和安全隐患，及时采取相应的
内力图与外力图的关系
总结词
内力图和外力图是相互关联的，它们共 同反映了杆件的受力情况。
VS
详细描述
外力图表示杆件所受到的外力的大小和方 向，而内力图则表示杆件内部受力分布情 况。两者之间存在一定的关系，通常情况 下，外力图和内力图是相互匹配的，以确 保杆件在给定边界条件下达到平衡状态。 在分析过程中，需要综合考虑外力、约束 和惯性等影响因素。
定义积分域
选择杆件上的一段或多段 作为积分域，该积分域可 以是直线段、圆弧段或复 杂曲线段。
计算应力分布
根据材料力学和弹性力学 知识，计算出积分域内各 点的应力分布情况。
积分得到内力
将积分域内的应力分布乘 以面积元，并对整个积分 域进行积分，得到整个杆 件的内力。
杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
材料力学基本第二章 内力与内力图
CB段： BA段：
FN x1 0
FQ x1 F
M x1 Fx1
FN x2 F
FQ x2 0
M x2 F a
0 x1 a
0 x1 a
0 x1 a 0 x2 l
0 x2 l
0 x2 l
2.绘制剪力图和弯矩图
五、平面曲杆的内力图
平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力的符号规定为：弯矩以使曲杆轴线曲率增加者为正，轴力和剪力的符 号规定与前面的相同。
2.6 结论与讨论
结
结论
论 与
• 一个重要概念
讨 论
• 三个微分方程
结
• 一套方法
论
讨论
结
论
与
比较前面三个梁的受力、剪力
讨 论
和弯矩图的相同 之处和不同
之处，从中能得到什么重要结
讨
论？
论
FQ
结
论
与
讨
FQ
论
讨
FQ
论
确定控
结 论 与 讨
制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎
论 样确定弯矩
图上极值点
讨 处的弯矩数
4. 在梁的某一截面上剪力为零，则在这一截面上弯矩有极值。
5. 在梁的某一截面上若作用有集中力，则此处剪力图有突变，突变的值 恰好等于集中力的数值。
6. 在梁的某一截面上若作用有集中力偶，则剪力图不发生变化，但此处 弯矩图会发生突变，突变的值恰好等于集中力偶的数值。
二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系
AD段 MeD T3 0
C
d) T3
D
T /Nm
T3 MeD 1018.6 N m e)
1018.6 (+)
材料力学--第2章杆件的内力与内力图
轴力图的画法
画轴力图的步骤：求约束反力、求控制截面上的轴 力、画轴力图。 求任一横截面轴力的简便方法：任一横截面上的轴 力等于该截面一侧杆件上所有外力（包括反力）的代数和； 外力背离截面产生拉力，外力指向截面产生压力。 在分布轴向外力作用下，轴力图为斜直线或曲线。 没有分布轴向外力作用时，整个杆件轴力图为平行于杆件
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力──扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩，称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me Me
Me
Mx
n
－ 右手螺旋定则
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线 方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在 轴上的外力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴
D
E
2
FA
40kN
FN2
F
x
0， FN2 FA 40 0， FN2 50kN(拉)
第2章 杆件的内力和内力图
求CD段内的轴力
◎ 轴力与轴力图
FA
A
40kN B
55kN
25kN
20kN
C
3
D
E
FN3
25kN
20kN
F
x
0， FN3 25 20 0， FN3 5kN(压)
第2章 杆件的内力和内力图
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： FN2 B FB FN3 C FC C FC FN4 FN 2F 5F
◎ 轴力与轴力图
杆件的内力与内力图轴向拉压杆的内力轴力图轴向拉压杆的内力轴
Fθθ34轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力为轴力，用F N 表示轴力的大小：由平衡方程求解PN ,0F F F x ==∑轴力的正负：拉力为正；压力为负轴力的单位：N ；kN6轴向拉压杆的内力轴力图解：应用截面法，在F N1，由∑F x ＝0kN5.21P 1N ==F F kN5.13P 2P 1P 2N -=-=-=F F F F 在2－2截面截开，画出正向的F N2，由∑F x ＝089= 6 kN = -4 kN轴力图画在受力图正下方；10轴向拉压杆的内力轴力图例2 图示一砖柱，柱高3.5m ，截面尺寸370×370mm 2，柱顶承受轴向力F P ＝60 kN ，砖砌体容重ρ.g ＝18 kN/m 3。
试绘柱的轴力图。
11轴力图应用截面法，由平衡方程求得：kN46.260P y y A g F --=⋅⋅⋅-ρ,kN 6.68)5.3(,kN 60)0N -=-=F ㈠F N /kNy68.66012轴向拉压杆的内力轴力图等截面直杆在上端A 处固定，其受力如图试绘制杆件的轴力图。
kN,10kN,5P2=F l(a)Cl（b）机械传动轴杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动ϕ1720扭矩沿轴线的变化规律e21221. 外力偶矩的计算m N ⋅=1146AmN ⋅=3509549n PB m N ⋅=446n D23扭矩的计算m N 350e ⋅-=-=B M m N 700e e ⋅-=--B C M M mN 446e ⋅=D M 扭矩图问题：如将轮A 与轮C 互换，扭矩图如何？哪种布置受力更合理？mN 700max ⋅=轴力图剪力图和弯矩图组合变形杆件的内力与内力图25梁的外力和内力均可仅由静力平衡方程求解27纵向对称面内时，梁的轴线由位于纵向对称面内的直28单跨静定梁的三种基本形式由静力平衡方程无法全部确定梁所有外力和内力29平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图：剪力F S 和弯矩M 求内力的方法：截面法A F R =M MaF A R =30平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图单位；kNN ·m ；kN ·m31截面，并取右段研究221qa -33平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图剪力方程剪力沿梁轴线的变化规律，即F S =F S (x )弯矩方程弯矩沿梁轴线的变化规律，即M=M (x )按比例绘出F S (x )的图线按比例绘出M (x )的图线剪力图和弯矩图受力分析，画受力图，由平衡方程求支座约束力分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量x 的取值根据剪力方程，求各控制面的剪力值，按比例绘剪力图。
材料力学M2
内力图
q(x) q(x) q(x)
q(x) q(x) q(x)
FQ FQ FQ QQ F
qa/2 qa/2
x x x
例 题 一
M
内力图
q(x) q(x) q(x) q(x) q(x) q(x)
FQ FQ FQ FQ
qa
qa2/2
qa2 x x
例 题 二
x x
M M
内力图
q(x)
q(x)
q(x)
q(x)
FQ
q(x) q(x)
比较三种情形下梁的 受力、剪力和弯矩图的 相同 之处和不同之处
q(x)
FQ
q(x)
FQ
从中能得到什么 重要结论？
结论与讨论
q(x)
确定控 制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎 样确定弯矩 图上极值点 处的弯矩数 值？
q(x)
FQ
结论与讨论
确定控制面上剪力和弯矩有几种 方法？怎样确定弯矩图上极值点处的 弯矩数值？
结论与讨论
力系简化方法应用于确定控制面上剪力和弯矩 FP
a FP FP
a FQ= FP
FP a
FQ= FP
M= FP a M= FP a
结论与讨论
通过平衡微分方程的积分确定弯矩图上 极值点处的弯矩数值。
q(x) q(x)
dM FQ dM FQ dx dx
a e a
dM
FP2
FQ
FQ y
M
x
FQ
z
FN
Mx
z
平衡微分方程
总体平衡与局部平衡的概 念
平衡微分方程
总体平衡与局部平衡的概念
第二章 杆件的内力分析
3 3
B 6 kN
2 2
C 3 kN 1
解： 1.分段求轴力
D
6 kN
FN 1
3 kN 3 kN
1
10 kN 10 kN 10 kN
1 、CD段
F
x
0, 10 FN1 0
FN 2
FN 1 10(kN) 2、BC 段
6 kN
3 kN 3 kN
F
x
0, 10 2 3 FN 2 0
若有单位需写上单位。
9
试作图示杆在均布荷载q作用下的轴力图。
B
x
ql
●
q
l
x
A
●
FN
FN ( x) qx
10
2、T及T图
(轴：发生扭转变形的杆件）
功率：P
单位：kW, PS
转速：n
外力偶矩：
单位：rpm
r/min
P kW m N m 9549 n rpm
P (PS) m (N m) 7024 n (rpm)
FN FN
FN为正
FN为负
扭矩T ：外法线方向为正，内法线方向为负
T T
T为正
T为负
4
剪力（FS）：顺时针为正，逆时针为负
FS FS
FS为正
FS为负
弯矩（M）：下凸上凹为正,上凸下凹为负
M为正
M为负
5
2. 内力分量的确定 利用研究对象的静力平衡条件：
F M
x
0 0
F
y
0
y
F
z
0
z
FN 3
6 kN
3 kN
10 kN
(参考资料)材料力学72-必做题
第二章杆件内力与内力图２－２（b）、（d）、（g）试作图示各杆的轴力图，并确定最大轴力| F N |max 。
２－３（b）试求图示桁架各指定杆件的轴力。
２－4（c）试作图示各杆的扭矩图，并确定最大扭矩| T |max 。
２－5图示一传动轴，转速n ＝200 r/min ，轮C为主动轮，输入功率P＝60 kW ，轮A、B、D均为从动轮，输出功率为20 kW，15 kW，25 kW。
（1）试绘该轴的扭矩图。
（2）若将轮C与轮D对调，试分析对轴的受力是否有利。
2－8（a）、（c）、（e）、（g）、（h）试列出图示各梁的剪力方程和弯矩方程。
作剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值。
2－9（a）、（c）、（d）、（f）、（g）、（i）、（k）、（l）、（m）试用简易法作图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值，并用微分关系对图形进行校核。
2－10设梁的剪力图如图（a）(d)所示(见教材p39)。
试作弯矩图和荷载图。
已知梁上无集中力偶。
2－11（b）试用叠加法绘出图示梁的弯矩图。
2－6一钻探机的功率为10 kW，转速n =180 r/min。
钻杆钻入土层的深度l= 40m。
若土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m，并作钻杆的扭矩图。
2－14图示起重机横梁AB承受的最大吊重F P＝12kN，试绘出横梁AB的内力图。
第三章轴向拉压杆件的强度与变形计算3－1图示圆截面阶梯杆，承受轴向荷载F1＝50kN与F2的作用，AB与BC段的直径分别为d1＝20mm与d2＝30mm，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求荷载F2之值。
3－5变截面直杆如图所示。
已知A1＝8cm2，A2＝4cm2，E＝200GPa 。
求杆的总伸长量。
3－7图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，其弹性模量E＝210GPa ，已知l ＝1m，A1＝A2＝100mm2，A3＝150mm2，F P＝20kN 。
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第3章 最简单的 材料力学
问题
第4章 弹性杆件 横截面上的 正应力分析
第5章 弹性杆件 横截面上的 切应力分析
第6章 应力状态分析
第7章 一般应力状态下的 强度失效分析与设计准则
第9章 弹性杆件 的位移分析 与刚度设计
第10章 压杆的弹性 稳定性分析 与稳定性
材料力学
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ =0
ΣMC=0: -M+(M+dM)- FQ dx-q dx ·dx /2=0
略去高阶项，得到
dFQ q dx
dM dx FQ
d2M q dx 2
此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。
根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ 、M 的变化规律。
解方程得：FRA＝-0.89 kN , FRB＝-1.11 kN
材料力学
例题2-3
1kN.m
A
C
FRA
1.5m
1.5m
D
2kN
1.5m
B FRB
简支梁受力的大小和方向如图示。试画 出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯 矩绝对值的最大值。
解：1、求支反力
列平衡方程： M A 0, FRB 4.5 2 3 1 0 M B 0, FRA 4.5 1 21.5 0
试画出：杆件的轴力图。
解：1 求约束反力 FRA F2 F1 5kN
2 求AB段轴力
FAB FRA 5kN 3 求BC段轴力
FBC FRA F1 5 5 10kN
l
l
FRA A
B F1
C F2
FRA
FRA
FAB F1 FBC
材料力学 4 画轴力图
l
FRA A
B F1
C F2
FRA
材料力学
剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图大体相似，但略有差 异。主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。 建立FQ——x和M——x坐标系，并将控制面上的剪力 和弯矩值标在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩 图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
材料力学
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必 然是平衡的。
材料力学
C
截面法
用假想截面从所要 求的截面处将杆截为 两部分 考察其中任意一部 分的平衡 由平衡方程求得横 截面的内力分量
Fx＝0， Fy＝0， M C＝0，
材料力学
例题2-4（P32)
例题2-5(P34)
q
材料力学
梁(杆件)弯曲变形时 外力与内力之间的关系
材料力学
平衡微分方程
y
O
x
x
dx
考察 dx 微段的受力与平衡
q(x)
M
M+d M
FQ
FQ+ dFQ
材料力学
考察 dx 微段的受力与平衡
y
q(x)
M
M+d M
O
C
x
FQ
FQ+ dFQ
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ =0
ΣMC=0: -M+(M+dM)- FQ dx-q dx ·dx /2=0
向上凹的变形
⊕ Mz Mz
⊕ Mx
Mx
材料力学
杆件拉压变形时的内力图
材料力学
轴力图
当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面 上只有轴力FN一种内力分量。表示轴力沿杆轴线方 向变化的图形，称为轴力图（diagram of normal forces）。
材料力学
例题2-1
直杆，A端固定，在B、C两处 作 用 有 集 中 载 荷 F1 和 F2 ， 其 中 F1＝5 kN，F2＝10 kN。
F1
分布内力
F
F1
3
FR
内力主矢与主矩
F3
M
材料力学
内力分量
FQ
FR
FN
Mx
MB
M
FN——轴力：产生轴向的伸长或缩短变形； FQ——剪力：产生剪切变形； Mx——扭矩：产生扭转变形； MB（ My或Mz)——弯矩:产生弯曲变形。
材料力学
内力分量的正负号规则
左上右下的剪切变形
⊕ FNx FNx ⊕ FQy FQy
变截面传动轴受外加扭力矩作用，如下图所示。试画出扭矩图。
2M e
5M e
3M e
解： 2M e
l
l
M x 2M e
Mx
M x 3M e
Mx
Mx
3M e
＋
－
2Me
3M e x
材料力学
梁(杆件)弯曲变形时的内力
材料力学
弹性体的平衡原理
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必 然是平衡的。
q
A
B
C
C
q
A
B
D
qa
FRA
FRB
4a
a
l
FRA l
FRB
FQ 9qa/4
＋
M
81qa2/32
x
－
qa 7qa/4
＋
qa2
x
FQ
ql
＋
x
－
ql
ql2/2
M
＋
x
材料力学
杆件内力变化的一般规律
在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变 化（函数连续）。
材料力学
控制面
外力规律发生变化截面——集中力、集中力偶作用 点、分布荷载的起点和终点处的横截面。
材料力学
杆件扭转变形时的内力图
材料力学
扭矩图
{M e}Nm
9549
{P}kW {n}r / min
{M e}Nm
7024
{P}马力 {n}r / min
当所有外力均沿杆的轴线方向作用的力偶时，杆的 横截面上只有扭矩Mx一种内力分量。表示扭矩沿杆 轴线方向变化的图形，称为扭矩图。
材料力学
例题2-2
FRA
FAB F1 FBC
l
FN/kN
＋5
＋ 10
x
材料力学
根据以上分析，绘制轴力图的方法
确定约束力； 根据杆件上作用的载荷以及约束力的作用点，将杆分成 若干段； 应用截面法，用假想截面从每段的某处将杆件截开， 在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开 的部分杆件建立平衡方程，确定轴力大小； 建立FN—x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中， 画出轴力图。
设计
第8章 复杂情况下的强度设计
材料力学
内力与内力分量
材料力学
弹性体在外力作用下产生的附加内力
F1
F2
F3 F1
假想截面
F
3
Fn
F
2
Fn
材料力学
弹性体内力的特征:
F1 F
2
F Fn
3
(1)连续分布力系 (2)与外力组成平衡力系(特殊情形下内力本身形成自 相平衡力系)
材料力学
内力主矢与内力主矩
材料力学
梁(杆件)弯曲变形时的内力图
材料力学
剪力图与弯矩图
作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时梁 的横截面上只有剪力FQ和弯矩M两种内力分量。表 示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称为 剪力图（diagram of shearing forces）和弯矩图 （diagram of bending moment）。