江苏省沭阳县2020-2021学年高二下学期期中调研测试数学试题
江苏省沭阳县2020_2021学年高二数学上学期期中调研测试试题
1 江苏省沭阳县2020-2021学年高二数学上学期期中调研测试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数2()ln(28)f x x x =--的定义域为（ ） A ．(42)-，B ．(,2)(4,)-∞-+∞C ．(24)-，D ．(,4)(2,)-∞-+∞ 2．椭圆2299x y +=的焦距等于（ ）A ．2B ．6 C． D．3．已知数列{}n a 的前n 项和2()n n S N n *=∈,则{}n a 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．2121,,n n n n a ≥=⎧=⎨⎩ 4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为6，离心率为13，则此椭圆的标准方程为（ ） A ．2213632x y += B ．221364x y += C ．22194x y += D ．22198x y += 5．《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过n 天，该木锤剩余的长度为n a (尺) ()n N *∈，则n a 与n 的关系为（ ）A ．12n n a =B ．112n n a =-C ．1n a n =D ．11n a n =- 6．已知“x k >”是“22e 1x x -->”的充分条件,则k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞7．设4()42xx f x =+，则1232021212121f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的值为（ ） A ．11 B ．8C ．10D ．20 8．已知0x >，0y >，若228+8y x y m m x y +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．19m -<<B ．91m -<<C ．9m ≥或1m ≤-D ．1m ≥或9m ≤- 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m 的值可能为（ ）。
江苏省宿迁市沭阳县修远中学2020-2021学年高二下学期(实验班)4月月考数学试题
江苏省宿迁市沭阳县修远中学2020-2021学年高二下学期（实验班）4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则A ∪B ＝（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4 2．函数()ln(1)f x x =-的定义域为（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞ 3．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ） A ．43 B ．34 C ．34A D ．34C 4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，x ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 的值为（ ）A ．2B ．8C ．6D ．4 5．在()*(2)n x n N -∈的展开式中，第3项与第4项的二项式系数相等，则2x的系数等于（ ） A ．672B ．672-C ．80D ．80- 6．函数1221,0,(){,0,x x f x x x --≤=>满足()1f x =的x 值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或2-D ．1或1- 7．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A ．100B ．110C ．120D ．1808．已知命题p ：－1<x －a <1，命题q ：(x －4)(8－x )>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(5,7)B ．(5,7]C ．[5,7]D ．[5,7) 9．函数()f x 是在R 上的周期为3的奇函数，当02x <<时，()2x f x =，则(7)f -=（ ） A ．2 B ．4- C ．2- D ．410．设U 是全集，A ，B 均是非空集合，则“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”是“A B ＝∅”成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（ ） A ．54B ．50C ．60D ．58 12．已知()1n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，()20121n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a +++=，则()0121n n a a a a -+-+-的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-二、填空题 13．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2＞0”的否定为________________________．14．已知函数()22x x f x -=-，若不等式()()230f x ax a f -++>对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .15．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是__________．16．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是______．三、解答题17．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ （1）甲、乙两人必须排在两端；（2）男女相间．18．已知命题p ：指数函数()()26xf x a =-在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程223210x ax a -++=有实根，（1）若p 为真，求a 的范围（2）若q 为真，求a 的范围（3）若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围.19．某中学有4位学生申请A 、B 、C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望()E X ．20．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员(0)x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为92(),(0)50x a a ->万元． （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值．21．已知2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++（1）求122018a a a +++的值；（2）求201801k ka =∑的值． 22．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()f x x x m =-（0m >）. （1）当0x <时，求()f x 的表达式：（2）求()f x 在区间[]0,2的最大值()g m 的表达式；（3）当2m =时，若关于x 的方程()()20fx af x b ++=（a ，b R ∈）恰有10个不同实数解，求a 的取值范围.参考答案1．D【分析】由集合并集的概念直接求解即可.【详解】由题意{}{}{}2,1,2,341,2,3,4AB ==. 故选：D.【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2．A【分析】由对数式真数大于0直接求解即可.【详解】由对数式真数大于0可得：10x ->即1x >.故选：A.【点睛】本题考查了对数式复合函数定义域的求解，属于基础题.3．A【分析】根据分步乘法计数原理，即可得答案.【详解】每一个文件都有三种不同的发法，共有34种不同方法.故选：A .【点睛】本题考查分步乘法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题.4．B【分析】 由平均数的概念可得1210119105x ++++=，解方程即可得解. 【详解】由平均数的概念得1210119105x ++++=，解得8x =. 故选：B .【点睛】 本题考查了平均数的相关问题，属于基础题.5．D【分析】根据二项式系数的性质得出n ，再由二项式展开式通项公式得出2x 的项数，即得系数．【详解】由二项展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，得5n =，所以515(2)r r r r T C x -+=-，令52r，3r =，∴所求系数为335(2)80C -=-． 故选：C.【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质与二项展开式通项公式，掌握二项式系数的性质是解题关键．6．D【解析】当0x ≤时，()211x f x -=-=，1x =-，当0x >时，121x =，1x =，综上，1x =或1-． 7．B【解析】试题分析：10人中任选3人的组队方案有310120C =， 没有女生的方案有3510C =，所以符合要求的组队方案数为110种考点：排列、组合的实际应用8．C【分析】求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的概念建立不等关系后即可得解.【详解】对于:1111p x a a x a <<⇔-<<+--，对于()(:408)84q x x x >⇔<<--， 由p 是q 的充分不必要条件可得{}11x a x a -<<+ {}48x x <<， 则1418a a -≥⎧⎨+≤⎩且两个等号不能同时成立，解得57a ≤≤. 故选：C .【点睛】本题考查了利用充分条件和必要条件求参数的范围，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.9．C【分析】由函数奇偶性和周期性的概念可得()(7)1f f -=-即可得解.【详解】函数()f x 是在R 上的周期为3的奇函数，∴()()()(7)723112f f f f -=-+⨯=-=-=-.故选：C.【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性的综合应用，属于基础题.10．C【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】当“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”时，如{}{}{}{}{}U U 1,2,3,1,2,1,2,2,3,U A C B C B C =====⊆，但{}2A B ⋂=，所以不能推出“A B ＝∅”.当“A B ＝∅”时，则A 的非空子集C 的补集U C ，必包含B ，也即“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”.故“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”是“A B ＝∅”成立的必要不充分条件.故选：C【点睛】 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查集合子集、补集等知识的运用，属于基础题. 11．A【分析】利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况，即可得答案.【详解】利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况：（1）无重复数字：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，（2）有重复数字：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，424，244，550，505，共14个.故选：A.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不重不漏. 12．B【分析】由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解.【详解】()1n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，∴23n n C C =，∴5n =，令0x =，则051a =，令1x =，则()0155212422431a a a a λ+=++=+=++，∴2λ=，令1x =-，则()05251112a a a a -=+--+=-.故选：B.【点睛】 本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.13．∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2≤0【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2＞0”的否定为：命题“∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2≤0”．故答案为∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2≤0．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．14．26a -<<【解析】试题分析：()22x xf x -=-为奇函数且为R 上增函数，所以()()()()()()222230333f x ax a f f x ax a f f x ax a f x ax a -++>⇒-+>-⇒-+>-⇒-+>-对任意实数x 恒成立，即24(3)026a a a ∆=-+<⇒-<< 考点：利用函数性质解不等式恒成立【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系15．47【解析】7个车位都排好车辆，共有77A 种方法，满足题意的排法等价于7辆车排列，满足其中三辆中恰有两辆车停放在相邻车位， 则首先排列余下的四辆车，有44A 种方法，然后从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑，3辆车看作2个元素插入4辆车的5个空位中，共有2235A A 种方法， 由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：4224357747A A A p A ==. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.16．1(,2e【分析】 转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】 由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点, 设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图， 由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点； 当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时， 设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a=，∴1ln 12a a a+=，解得a =∴k =()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k >∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,2k e∈.故答案为：1(,2e.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题. 17．（1）10080种（2）2880种 【分析】（1）先排甲、乙，再排其余7人，利用分步计数原理即可得解； （2）先排4名男生，再将5名女生插空，利用分步计数原理即可得解. 【详解】（1）先排甲、乙，再排其余7人，共有272710800A A ⋅=种排法．（2）先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有55A 种方法，故共有45452880A A ⋅=种排法． 【点睛】本题考查了分步计数原理的应用，考查了插空法和元素分析法的应用，属于基础题. 18．（1）732a <<；（2）2a ≤-或2a ≥；（3）2a ≤-或72a ≥ 【分析】（1）根据指数函数的单调性，即可求出命题p 为真时a 的取值范围；（2）利用判别式，求出命题q 为真时a 的取值范围；（3）根据题意知，p 、q 一真一假，求出p 真q 假和p 假q 真时a 的取值范围，再取并集． 【详解】解：（1）命题p ：指数函数()()26xf x a =-在R 上是单调减函数；若p 为真，则0261a <-<，解得732a <<， ∴a 的取值范围是：732a <<； （2）命题q ：关于x 的方程223210x ax a -++=有实根， 若q 为真，则()2294210aa ∆=-+≥，解得：2a ≤-或2a ≥，∴a 的取值范围是2a ≤-或2a ≥；（3）若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假；当p 真q 假时，73222a a ⎧<<⎪⎨⎪-<<⎩，解得：a ∈∅；当p 假q 真时，73222a a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤-≥⎩或或，解得：2a ≤-或72a ≥；综上，实数a 的取值范围是：2a ≤-或72a ≥. 【点睛】本题考查了复合命题的真假性判断与应用问题，还考查了指数函数的单调性以及一元二次方程的根的判别式，是中档题．19．（1）827；（2）分布列见解析，()6527E X =． 【分析】（1）所有可能的方式有43种，利用组合计数原理计算出恰有2人申请A 大学的种数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有1、2、3，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可； 【详解】（1）所有可能的方式有43种，恰有2人申请A 大学的申请方式有2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 大学的概率为224428327C ⋅=； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，则()4311327P X ===，()2232434341422327C A C A P X ⋅+===，()234344339C A P X ===. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查运用概率、离散型随机变量的期望知识及解决实际问题，考查计算能力，属于中档题．20．（1）0＜50x ≤（2）最大值为9 【分析】（1）由题意写出不等关系，解不等式即可得解； （2）由题意写出不等关系，分离参数得4100125a x x≤++，利用基本不等式求出4100125x x++的最小值即可得解.【详解】（1）由题意(100)2(12%)2100x x -⨯⨯+≥⨯21050x x -≥得050x ≤≤， 由0x >可得050x <≤. 答：x 的取值范围为050x <≤. （2）由题意得92()(100)2(12%)50xa x x x -⋅≤-⨯⨯+， 所以4100125a x x≤++在(]0,50x ∈上恒成立，又410011925x x ++≥=，（当且仅当25x =时取“=”）， 所以9a ≤. 答：a 的最大值为9. 【点睛】本题考查了不等式应用题，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题. 21．（1）1-；（2）20191010【分析】（1）利用赋值法可求解，令0x =，可得0a ，令1x =，可求得0122018a a a a ++++.（2）利用二项式定理可得()20181,0,1,2,2018,kk k a C k =-=再结合裂项求和法即可求解.【详解】 （1）由2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++令0x =，得01a =， 令1x =，得01220180a a a a ++++=，所以1220181a a a +++=-.（2）由二项式定理可得()20181,0,1,2,2018,kkk a C k =-=所以()()20182018201820120080181111k k k kk kkk C Ca===--==∑∑∑()2018123201820182018201820182018111111C C C C C =-+-++-，因为()()()2018!2018!!2018!20182120192018!20202019!k k k k k C --⨯+==⨯()()()120192019!2019!1!2018!201911120202019!2019!2k k k k k k n n C C +-+-⎡⎤⎛⎫+=⨯+=⨯+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦， 所以20181k k a =∑()2018011220182019201920192019201920192019111201920201111C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦ 0201920192019210191201910102020C C ⎛⎫+= ⎝⎭=⨯⎪ 【点睛】本题考查二项式定理中的赋值法求值问题，这是解决与二项式定理展开式中系数求和的常用方法，属于基础题.22．（1）()f x x x m =-+；（2）()244442,0424,4m m g m m m m m ⎧≤≤⎪⎪=⎨-<<⎪⎪->⎩；（3）()2,1--【分析】（1）根据偶函数的特点，可知()()f x f x -=，可得结果.（2）采用分类讨论方法，2m >与02m <≤，去掉绝对值研究函数()f x x x m =-在区间[]0,2上的单调性，可得结果.（3）画出函数()f x 图像，利用换元法()t f x =，得出()01t ∈，与1t =，可转化为()2g t t at b =++两个根为()101t t =∈，，，可得()()01000012g g a ∆>⎧⎪=⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩，最后计算可得结果.【详解】（1）令0x <，则0x -> 由当0x ≥时，()f x x x m =- 所以()f x x x m x x m -=---=-+ 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 即()()f x f x -= 所以()f x x x m =-+所以当0x <时，()f x x x m =-+ （2）当02m <≤时，()()(),2,0x x m m x f x x x m x m ⎧-≤≤⎪=⎨--≤<⎪⎩如图可知函数()f x 的最大值在2m或2处取得， 所以224m m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()222f m =-()222424m m f f m ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭()((124424m f f m m ⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=--+--- ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭①若04m <<，此时()42g m m =-②若42m ≤≤，此时()224m mg m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当2m >时，()()f x x x m =--，对称轴为2m x =③若22m ≤，即24m <≤时，则()224m m g m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，④若22m>，即4m >时，则()()224g m f m ==- 综上，得()244442,0424,4m m g m m m m m ⎧≤≤⎪⎪=⎨-<<⎪⎪->⎩（3）当2m =时，()()()()()2,22,202,022,2x x x x x x f x x x x x x x ⎧+≤-⎪-+-<<⎪=⎨--≤≤⎪⎪->⎩如图令()t f x =由()f x 的图象可知，当1t >时，方程()f x t =有两解； 当1t =时，方程()f x t =有四解； 当01t <<时，方程()f x t =有六解； 当0t =时，方程()f x t =有三解； 当0t <时，方程()f x t =无解.要使方程()()20fx af x b ++=（a ，b R ∈）恰有10个不同实数解，则关于t 的方程20t at b ++=的一个根为1， 另一个根()0,1t ∈，设()2g t t at b =++，则有()()24011000012a b g a b g b a ⎧∆=->⎪=++=⎪⎪⎨=>⎪⎪<-<⎪⎩则()21102141020b a a a a a a =--⎧⎪-->⎪⇒-<<-⎨--->⎪⎪-<<⎩ 所以a 的取值范围为()2,1--. 【点睛】本题考查分段函数的综合应用，第（2）问中，难点是分类讨论的使用，2m >与02m <≤情况；第（3）问中，难点是使用换元法以及数形结合，考验分析能力，属难题。
2020-2021学年高二年级第二学期期中数学试卷
2020-2021学年度高二第二学期期中数学试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题（共10小题；每题4分，共40分） 1. 设 ， 是两个集合，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 函数 的定义域为A. C.3. 若复数 满足 ，则复数 的虚部是B.C.4. 已知过点(1,0)P 且与曲线3y x 相切的直线的条数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35. 若，则A. B. C. D.6. 已知(a −x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，若a 2=80，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 5=( )A. 32B. 1C. −243D. 1或−2437. 记 为等差数列的前 项和．已知 ，，则A.B.C.D.8. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有A.种B.种C.种D.种9. 已知2x >，1a x =-，22x b x =-，ln c x =，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<10. 函数的图象大致为A. B.C. D.二、填空题（共5小题；每题5分，共25分） 11. 若复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数为 ．12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．13. 已知函数 ，则 ．14. 位教师和名学生站成一排合影，要求位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为（结果用数字表示）．15. 设函数．当时，；如果对于任意的，都有，那么实数的取值范围是．三、解答题（共6小题；共85分）16. （14分）实数取什么值时，复数是：（1）实数?（2）虚数?（3）纯虚数?（4）表示复数的点在第一象限?17. （14分）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围．18.（14分）如图，三棱锥中，，底面为正三角形．（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．19. （14分）已知函数的图象过点，且在点处的切线斜率为．（1）求，的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最大值与最小值．20. （14分）已知(1+2x)n，．(1)若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项．21.（15分）已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上的最小值为的取值范围．。
江苏省宿迁市沭阳县2020-2021学年高二下学期期中数学试题
江苏省宿迁市沭阳县2020-2021学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知虚数2(1)(1)i z a a =++-（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2或-1C ．2-D ．1-2．对于函数()ln f x x x =，若()2f a '=，则实数a 的值为（ ） A ．2eB ．eC ．2ln 2D ．ln 23．已知1(23i)iz --=（i 是虚数单位），那么复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．四B ．三C ．二D ．一4．2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1500m 处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1500m/s 降为零．12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v ，相对月球纵向速度的平均变化率为a ，则（ ） A ．22525m /s m /s 1212v a ==， B ．22525m /s m /s 1212v a =-=-， C ．22525m /s m /s 1212v a =-=， D ．22525m /s m /s 1212v a ==-， 5．函数31212y x x =-+的极大值为（ ） A ．18B ．21C ．26D ．286．若函数2()()x f x x k e =+在区间(32)-，上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k B ．1k > C ．3k ≥ D ．8k ≥7．若复数z 满足112i z z +=--，则使||z 取到最小值的复数z 为（ ） A ．1i2+ B ．1i2- C ．1 D ．i8．已知函数21()xx f x e x e=++．则使不等式(21)()f m f m -<成立的实数m 的范围为（ ）A ．1m <B ．1mC ．113m <<D ．13m <二、多选题9．下列给出的四个命题中，是假命题的为（ ） A ．任意两个复数都不能比较大小 B ．对任意z C ∈，z z R ⋅∈C ．若12z z C ∈，，且22120z z +=，则120z z == D ．若i 1i()x y x y C +=+∈，，则1x y == 10．设()f x '是函数()y f x =的导函数，则以下求导运算中，正确的有（ ） A ．若()sin 2f x x =，则()2cos2f x x '= B ．若()ln 2xf x xe=-，则()()112x f x x e '=+-C ．若()tan f x x =，则()21cos f x x'=D ．若()21f x x '=-，则()2f x x x =-11．已知函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．函数()f x 在1x =-处取得极小值B ．2x =-是函数()f x 的极值点C ．()f x 在区间(23)-，上单调递减 D ．()f x 的图象在0x =处的切线斜率小于零12．设123z z z ，，为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（ ） A ．若23z z =，则2223z z = B ．若210z <，则1z 是纯虚数 C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若22120z z ->，则2212z z >三、填空题13．复数101i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭的值是_____________14．函数2()ln f x x x=+的单调递减区间为_________ 15．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．四、双空题16．已知函数()()()f x g x h x ，，．且()2()()f x h xg x +=，若(5)5(5)3f f '==，，(5)4g =，(5)1g '=，则(5)h 和(5)h '的值分别为_________，_________.五、解答题17．已知复数22(+2)(6)i (,z m m m m m R =+--∈，i 是虚数单位）．（1）若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围； （2）若z 为纯虚数，求8z +的模． 18．已知函数()ln f x x ax a =-+． （1）若1a =，求函数()f x 的极值； （2）求函数()f x 的单调区间．19．已知12z z ，为虚数，且满足1=5z ，234z i =+（i 是虚数单位）．（1）若12z z 是纯虚数，求1z ； （2）求1z i -的最大值．20．如图一边长为a （a 为大于0的常数）的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积V 是关于截去的小正方形的边长x 的函数．（1）写出体积V 关于x 的函数表达式()f x ；（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？21．在平面直角坐标系xOy 中，过1(10)A ，作x 轴的垂线，与函数1()1f x x =+的图象交于点1B ，过点1B 作函数()f x 的图象的切线，与x 轴交于2A ，再过2A 作x 轴的垂线，与函数()f x 的图象交于点2B ，再过点2B 作函数()f x 的图象的切线，与x 轴交于3A ，……，如此进行下去，在x 轴上得到一个点列123n A A A A ⋯⋯，，，，记123n A A A A ⋯⋯，，，的横坐标构成的数列为{}n a ．（1）求234a a a ，，； （2）求数列{}n a 的通项公式．22．已知函数2()cos f x x a x =+，且曲线()y f x =在6x π=处的切线方程为6y x b π=-+.（1）求实数a ，b 的值；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，都有2()0f x m -恒成立，求m 的取值范围.参考答案1．A 【分析】根据题意，结合复数实部与虚部的定义列出方程，从而可得答案. 【详解】解：因为虚数2(1)(1)i z a a =++-（i 是虚数单位）的实部与虚部相等， 所以22(1)(1)10a a a ⎧+=-⎨-≠⎩，解得2a =.故选：A. 2．B 【分析】根据导数的运算性质，结合代入法进行求解即可. 【详解】'()ln ()ln 1f x x x f x x =⇒=+，因为()2f a '=，所以ln 12ln 1a a a e +=⇒=⇒=， 故选：B 3．D 【分析】先通过复数的四则运算求出z ，再算出z ，进而利用复数的几何意义即可得到答案. 【详解】(23i)i 24i z z --=-⇒=-,所以24i z =+，所以z 在复平面内对应的点在第一象限.故选：D. 4．B 【分析】平均变化率等于最终值减去初始值，除以时间，代入数值计算即可 【详解】距离和速度均为矢量，由题意可得，距离和速度均减小，则变化率为负数，12min 1260s =⨯，所以与月球表面距离的平均变化率()0150025/126012m v m s s -==-⨯相对月球纵向速度的平均变化率()201500/25/126012m s a m s s -==-⨯故选：B5．D 【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，确定在哪个点取得极值，进而得到答案. 【详解】函数的定义域为R ，求导2312y x '=-，令0y '=，解得：12x =-，22x =所以当2x =-时，函数有极大值()()()3221221228f -=--⨯-+= 故选：D. 6．A 【分析】根据导数的性质，构造函数，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】'22(()()2))(x x f x f x x k e x x k e =+++⇒=，因为函数2()()x f x x k e =+在区间(32)-，上单调递增， 所以'()0f x ≥在(32)-，上恒成立， 由'()0f x ≥可得：22022x x k k x x ≥⇒≥--++设22()2(1)1g x x x x =--=-++，当1x =-时，该二次函数有最大值，最大值为1， 所以要想'()0f x ≥在(32)-，上恒成立，只需1k ，故选：A 7．A 【分析】根据第一个条件，可以知道复数z 对应复平面上的点的轨迹，为求模的最小值，即求轨迹上到原点距离的最小的点即可.因为112i z z +=--，则复数z 对应复平面上的点到(1,0)-，(1,2)两点距离相等， 轨迹即在(1,0)-，(1,2)两点连线的中垂线上，中垂线的方程为1y x =-+，如图所示：为使||z 取到最小值，即需找中垂线上到原点距离最小的点，过原点作OZ 垂直于中垂线，垂足为Z ，于是Z 对应的复数即为所求，可得1i2z +=. 故选：A. 8．C 【分析】根据函数表达式可得，函数为偶函数，当0x >时，可通过求导判断函数的单调性，从而确定整个函数的单调性，根据单调性求解参数的取值范围 【详解】因为21()xx f x e x e =++，()21()x x f x e x ef x -=+=+，所以()f x 为R 上的偶函数，且'1()2x x f x e x e=+-，易得'()f x 单调递增且'(0)0f =，所以，当0x >时，'()0f x >恒成立，()f x 单调递增，根据偶函数的对称性得，0x <时，()f x 单调递减，若(21)()f m f m -<，则有21m m -<，两边同时平方得：()2221m m -<，解得：113m <<故选：C 【点睛】题目考察函数单调性和奇偶性的结合，两个性质缺一不可，需要我们对常规函数足够熟悉和敏感，确定单调性和奇偶性之后，可以结合图像求解不等式【分析】根据复数的性质、运算公式、复数相等的性质逐一判断即可. 【详解】A ：当两个复数为实数时，可以比较大小，故本命题是假命题，符合题意；B ：设i()z x y x y R =+∈，，所以i z x y =-，因此22z z x y ⋅=+，显然z z R ⋅∈， 故本命题是真命题，不符合题意；C ：当121,i z z ==时，显然符合12z z C ∈，，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故本命题是假命题，符合题意；D ：当1i,0x y =+=时，显然符合i 1i()x y x y C +=+∈，，但是1x y ==不成立，故本命题是假命题，符合题意， 故选：ACD 10．AC 【分析】利用复合函数的求导法则判断A ；利用导数乘法的运算判断B ；利用导数的除法运算判断C ；利用导数的加减运算判断D ； 【详解】因为()sin 2f x x =，所以()'cos2?(2)2cos2f x x x x =='，A 对；因为()ln 2x f x xe =-，所以()0(1)x x x f x e xe x e '=+-=+，B 错； 因为sin ()tan cos xf x x x==， 所以22222(sin )cos sin (cos )cos sin 1()cos cos cos x x x x x x f x x x x''-+'===，C 正确； 若()21f x x '=-，则2()f x x x c =-+（c 为任意常数），D 错； 故选：AC. 11．BCD 【分析】根据导数的知识对选项逐一分析，由此确定选项. 【详解】对于A 选项，由图可知，1x =-左右两侧导数都为负数，故1x =-不是()f x 的极值点，A 选项错误；对于B 选项，结合图象，(,2)x ∈-∞-时，'()0f x >，(2,)x ∈-+∞时，'()0f x <， ∴()f x 在(,2)-∞-递增，在(2,)-+∞上递减，故2x =-是函数的极大值点，B 选项正确； 对于C 选项，由图可知，(2,3)x ∈-时()0f x <，()f x 递减，所以C 选项正确；对于D 选项，由图象可知'(0)0f <，所以根据导数的几何意义可知，()f x 的图象在0x =处的切线斜率小于零，所以D 选项正确； 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用导数的知识，利用数形结合对选项进行分析，属于简单题 12．BC 【分析】根据复数的分类、模的定义及运算法则，举出反例可判断AD ；设()1i,,z a b a b R =+∈，()2i,,z c d c d R =+∈，通过运算可判断BC ；即可得解.【详解】对于A ，若321,i z z ==，满足23z z =，但222311z z =≠=-，故A 错误； 对于B ，设()1i,,z a b a b R =+∈，则222102i z a b ab =-+<，所以22020a b ab -=<⎧⎨⎩，则00a b =≠⎧⎨⎩，所以1z 是纯虚数，故B 正确；对于C ，设()2i,,z c d c d R =+∈，则()3i,,z c d c d R =-∈，所以()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++=()()()()31i i i z z a b c d ac bd ad bc =+-=++-+=所以1213z z z z =，故C 正确；对于D ，若12i z =+，212i z =+，则()()221234i 34i 60z z -=+--+=>，但是221234i,34i z z +=-+=无法比较大小，故D 错误.故选：BC.13．-1 【详解】由题意可得：21i (1i)2i i 1i (1i)(1-i)2---===-++ ，则：()10101i i 11i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭. 故答案为：-1.14．()02，【分析】对函数求导，求出()0f x '<的解集即可得解. 【详解】 函数2()ln f x x x=+的定义域为0,，且22212()x f x x x x'-=-+=， 令22()0x f x x -'=<，则02x <<， 所以函数()f x 的单调递减区间为()02，. 故答案为:()02，. 15．6π【分析】根据题意列出修建成本与θ的函数表达式，通过函数关系式求出修建成本的最小值 【详解】设翻新道路CP 的单位成本为a ，则新建道路PQ 的单位成本为2a 。
2019-2020学年江苏省沭阳县高二下学期期中调研测试数学试题(含答案)
多项是符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分．
9、AB 10、 BCD 11、 BC 12、AD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13、13
14、2、
15、 [2，+)
16、（0,1]
四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤．
江苏省沭阳县2019～2020 学年度第二学期期中调研测试
高二数学试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答
题卡． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡 上．写在本试卷上无效．
所以
f
(1)
1 ，即
3a 4
1 ，解得 a
1
………………………………4 分
（2）因为 f (x) 在 x 2 处取得极值，所以 f (2) 0 ，
即 4 4 a 0 ，解得 a 8 ，
…………………………………6 分
f
( x)
x2 2x 8 (x 1)2
（
x
1 ），
令
f
( x)
0
，即
A． e2
B． e
ln 2 C． 2
D． ln 2
7．已知函数 f x x x c2 在 x 1 处有极大值，则常数 c 的值为（ ）．
A．1 或 3
B．3
C．1
D．-1
8．已知函数 f (x) aex ln x 1，若 f (x) 0 恒成立，则实数 a 的取值范围（ ）．
江苏省沭阳县高二数学下学期期中调研测试试题
解：（1）当 时， .…………………2分
由 …………………4分
所以 .…………………7分
（2）由 得 .…………………10分
所以 .…………………14分
16．（本小题满分14分）
已知复数 ，其中 是虚数单位，且 为纯虚数．
（1）求实数 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
15．（本小题满分14分）
设全集 ，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
16．（本小题满分14分）
已知复数 ，其中 是虚数单位，且 为纯虚数．
（1）求实数 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
17．（本小题满分14分）
（1）已知 ，求证： ．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合 ，若 ，则实数a的值为▲．
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的模为▲．
3．已知幂函数 的图象过点 ，则实数 的值为▲．
4．已知 ，若 ，则实数 的取值范围为▲．
5．已知函数 那么 ▲．
答案：5. 已Βιβλιοθήκη 函数 那么 ▲．答案：25
6． 为虚数单位， ▲．
答案：0
7．若函数 在区间 上是单调减函数，则实数 的取值范围为
▲．
答案：
8．已知 ，则 ▲．
答案：47
9.设 ，集合 ，则 的值为▲．
答案： 2
10. 有下面四个不等式：① ；② ；③ ；
④ ．其中恒成立的有▲个．
答案：2
江苏省沭阳县2020学年高二数学下学期期中调研测试试题(含解析)
2020～2020学年度第二学期期中调研测试高二数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合，若，则实数a的值为______．【答案】0【解析】【分析】由并集概念求出实数a．【详解】解：∵集合A＝{2}，B＝{1，a}，A∪B＝{0，1，2}，∴a＝0，解得实数a＝0．【点睛】考查并集定义，是基础题．2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为______．【答案】【解析】【分析】由已知求得z，再由复数模的计算公式求解.【详解】解：∵∴z＝1+i，∴【点睛】本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知幂函数的图象过点，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】把点的坐标代入幂函数解析式中求得m的值．【详解】解：幂函数的图象过点，则2m，m．故答案为：．【点睛】本题考查了幂函数的图象的应用问题，是基础题．4.已知集合，若，则实数a的取值范围是。
【答案】【解析】因为，所以由数轴知：实数a的取值范围是.5.已知函数那么______．【答案】25【解析】【分析】按照分段函数中自变量的范围代入相应的解析式.【详解】由已知得f（-3）＝2﹣（-3）＝5，从而f（f（-3））＝f（5）＝52＝25．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题．6.为虚数单位，______．【答案】0【解析】分析】直接利用虚数单位i的性质运算．【详解】解：由i2＝﹣1可知，i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0．【点睛】本题考查复数的基本概念及运算，是基础题．7.若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可．【详解】解：f（x）＝x2﹣2mx-1的对称轴为x，函数f（x）在（﹣∞，]上单调递减，∴函数f（x）＝x2﹣mx+2在区间（﹣∞，2）上是单调减函数，则对称轴．即m的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从而得到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键．8.已知，则______．【答案】47【解析】【分析】根据完全平方式进行变形即可.【详解】【点睛】考查完全平方式的应用，基础题.9.设，集合，则的值为______．【答案】2【解析】显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.10.有下面四个不等式：① ；②；③；④．其中恒成立的有______个．【答案】2【分析】①使用作差法证明．②利用二次函数的性质．③使用基本不等式证明．④ab＜0时，即可判断出正误.【详解】解：①因为2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，所以a2+b2+c2≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正确．②因为，所以②正确．③当a，b 同号时有，当a，b 异号时，，所以③错误．④ab＜0时，不成立.其中恒成立的个数是2个．【点睛】本题考查了基本不等式的性质、不等式的性质及证明，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.若函数是上的奇函数，当时，，则____．【答案】【解析】【分析】利用奇函数的性质，求出f（﹣2）【详解】解：因为f（x）是奇函数，所以所以所以【点睛】本题考查奇函数的概念与性质，基础题.12.已知的三边长为，内切圆半径为，则的面积．类比这一结论有：若三棱锥的四个面的面积分别为，内切球半径为，则三棱锥的体积______．【答案】【解析】【分析】通过面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球．【详解】解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积．即三棱锥体积V A﹣BCD R （S1+S2+S3+S4）．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．【点睛】类比推理是一种非常重要的推理方式，可以以这种推理方式发现证明的方向，但此类推理的结果不一定是正确的，需要证明．13.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出|h（x）|的函数图象，根据零点个数判断a的范围．【详解】解：（1）若a＜0，|h（x）|≥0，显然|f（x）|＝a无解，不符合题意；（2）若a＝0，则|h（x）|＝0的解为x＝1，不符合题意；（3）若a＞0，作出y＝|h（x）|的函数图象如图所示：∵|f（x）|＝a有三个解，∴a＞3，【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．14.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，…，如图所示，在宝塔形数表中位于第行、第列的数记为，比如，，．若，则______．【答案】65【解析】【分析】奇数数列b n＝2n﹣1＝2020，从而2020为第1010个奇数．每行的项数记为c m，则c m＝m，其前i项和为个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1035个奇数，从而2020位于第45行，从右到左第20个，由此能求出i+j．【详解】解：∵将正奇数按如图所示的规律排列，在数表中位于第i行，第j列的数记为a i，，a i，j＝2020，∴奇数数列b n＝2n﹣1＝2020，解得n＝1010，即2020为第1010个奇数．j每行的项数记为c m，则c m＝m，其前i项和为：1+2+3+…+i个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1035个奇数，则2020位于第45行，而第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，∴2020位于第45行，从左到右第20个，∴i＝45，j＝20，∴i+j＝45+20＝65．【点睛】本题考查数列的归纳推等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，15~17题每题14分，18~20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设全集，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时确定集合，根据交集的定义求解. （2）由得，画数轴得出的取值范围. 【详解】解：（1）当时，.由所以. （2）由得.所以. 【点睛】本题考查并集、交集的求法，指数不等式的解法,是基础题．16.已知复数，其中是虚数单位，且为纯虚数．（1）求实数的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．【答案】（1）-2；（2）. 【解析】【分析】（1）利用纯虚数的定义，由，，解出即可得出．（2）利用复数的几何意义，由题意得，解出即可得出．【详解】解：(1)．因为为纯虚数，所以，所以．(2)，由已知，解得，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.（1）已知，求证：．（2）已知成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）利用不等式的性质，即可证明结论．（2）本题考查等差数列的证明、反证法的证题方法，由“不可能成等差数列”自然想到反证法，先假设数列成等差数列，在此基础上进行推理，由推理结果矛盾使问题得证．【详解】（1）证明：因为，所以从而，即．所以．（2）证明：假设成等差数列，则．又成等差数列，所以．则，即．故，即有：，所以．从而．这与公差矛盾．从而假设不成立，所以不可能成等差数列．【点睛】本题考查不等式证明，考查综合法，反证法。
2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中数学试题一、单选题1．若向量(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =--，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．0 B ．2π C ．23π D ．π【答案】D【分析】利用向量数量积的定义，直接计算即可. 【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，且0θπ≤≤， 所以，2cos 1a b a bθ⋅==⋅+18136-==-⨯， 所以，θπ= 故选：D2．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A ．43种B ．34种C ．321⨯⨯种D ．432⨯⨯种【答案】A【分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解. 【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有43333=3⨯⨯⨯种方法. 故选：A.3．在四面体OABC 中，E 为OA 中点，13CF CB =，若OA a =，OB b =，OC c =，则EF =（ ）A ．112233a b c --B ．114233a b c --+C ．121233a b c -++D ．112233a b c -++【答案】D【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算即可求解. 【详解】12EF EO OF OA OC CF =+=-++1123OA OC CB =-++()1123OA OC OB OC =-++-112233a b c =-++.故选：D4．191919+被9除所得的余数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】由于19191919(181)19+=++，所以将其展开后可求出结果 【详解】19191919(181)19+=++01911821718191919191919C 18C 18C 18C 18C 19=+++⋅⋅⋅+++,因为0191182171819191919C 18C 18C 18C 18+++⋅⋅⋅+能被9整除，所以191919+被9除所得的余数等于1919C 19+被9除的余数， 因为1919C 1920+=除以9余2， 所以191919+被9除所得的余数是2， 故选：C5．三棱锥A-BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB CD ⋅等于( )A ．－2B ．2C ．23-D ．23【答案】A【详解】试题分析：()····022cos602CD AD AC AB CD AB AD AC AB AD AB AC =-∴=-=-=-⨯⨯=-【解析】平面向量数量积的运算6．疫情期间学校采用线上教学，上午有4节课，一个教师要上3个班的网课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个老师的课有（ ）种排法. A ．3 B ．6 C ．12 D ．18【答案】C【分析】使用插空法，先排3个班的网课，然后在两个空位中插入一节课.【详解】将该教师的3节课排成一列，共有33A 种排法，再在3节课产生的两个空位中插入一节课有2种方法，所以该老师的课共有33212A =种排法.故选：C7．已知P 是ABC 所在平面外一点，M 是PC 中点，且BM x AB y AC z AP =++，则x y z ++=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可. 【详解】因为M 是PC 中点，()()()1122BM PM PB PC AB AP AC AP AB AP ∴=-=--=--- 1122AB AC AP =-++，又BM x AB y AC z AP =++， 111,,22x y z ∴=-==，∴0x y z ++=. 故选：A.8．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2OA OB OP ===，点Q 在直线OP 上，那么当·QA QB 取得最小值时，点Q 的坐标是（ ） A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．131,,223⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 二、多选题9．给定下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅=B ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则12//0n n αβ⇔⋅=C ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则1212//n n n n αβ⇔⋅=⋅D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 【答案】ACD【分析】A 选项，由线面垂直的定义可判断正确； B 选项，两平面平行，则它们的法向量平行； C 选项，两平面平行，则它们的法向量平行； D 选项，两平面垂直，则它们的法向量垂直.【详解】对于A 选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面垂直，所以a n ⊥，∴0a n ⋅=，A 正确； 对于B 选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以B 错误；对于C 选项，两平面平行，则它们的法向量平行，∴12,0n n =或π∴1212n n n n ⋅=⋅，C 正确；对于D 选项，两平面垂直⇔它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，D 正确. 故选：ACD.10．若x 5＝a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+⋅⋅⋅+a 5（1+x ）5，其中a 0，a 1，a 2，⋅⋅⋅，a 5为实数，则（ ） A ．01a =B ．a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 5＝1C ．a 1+a 3+a 5＝-16D ．01234523451a a a a a a +++++=-【答案】BD【分析】运用赋值法，结合导数的运算逐一判断即可. 【详解】在x 5＝a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+⋅⋅⋅+a 5（1+x ）5中， 令1x =-，得01a =-，故选项A 不正确； 令0x =，得01250a a a a ++++=，而01a =-，所以1251(1)a a a +++=，所以选项B 正确；令2x =-，得012345123453231(2)a a a a a a a a a a a -+-+-=-⇒-+-+-=-， (1)(2)-，得1351352()3216a a a a a a ++=⇒++=，因此选项C 不正确；对x 5＝a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+⋅⋅⋅+a 5（1+x ）5左右两边求导，得 42341234552(1)3(1)4(1)5(1)x a a x a x a x a x =++++++++，令0x =，得1234502345a a a a a =++++，而01a =-， 所以01234523451a a a a a a +++++=-，因此选项D 正确， 故选：BD11．现有6个志愿者排队进入社区服务，下列说法正确的是（ ）A ．若甲乙丙顺序固定，共有6633A A 种站法B ．若甲乙必须站在一起，共有2525A A 种站法C ．若甲乙不站在一起，共有4245A A 种站法D ．若6个人平均分成A 、B 、C 三组分别进入社区，共有22236423C C C A 种分法 【答案】ABC【分析】根据选项当中的情况，逐个选项采用合理的排列方法进行求解即可.【详解】对于A ，对于某些元素顺序固定的排列问题，可将所有元素全排列，然后除以顺序固定的几个元素的全排列，甲乙丙顺序固定，即先对6个志愿者全排列，再除以顺序固定的甲乙丙3个志愿者，所以，共有6633A A 种站法，所以，A 正确；对于B ，某些元素要求必须相邻时，可将这些元素看成一个，然后与其他元素排列；所以，若甲乙必须站在一起，共有2525A A 种站法，所以，B 正确；对于C ，某些元素要求必须相离时，可将其他元素全排列，再将相离元素排入已排好的元素的左右空隙中；若甲乙不站在一起，共有4245A A 种站法，所以，C 正确；对于D ，若6个人平均分成A 、B 、C 三组分别进入社区，共有222642C C C 种分法，所以，D 错误. 故选：ABC12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,P Q R 分别在111,,AB CC D A 上，并满足111(01)1D R AP CQ aa PB QC RA a===<<-，设1,,AB i AD j AA k ===，设PQR ∆的重心为G ，下列说法正确的是（ ）A ．向量,,i j i j k +-可以构成一组基底B ．当12a =时，111j+333DG i k =-C ．当13a =时，PQ 在平面1AD 13D ．对任意实数a ，总有0RG DG ⋅= 【答案】AD【分析】根据基底向量的要求不共体可以判断A 正确，B 、C 、D 通过建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算进行运算判断正误．【详解】1,,i j AC i j DB k AA +=-==，显然1,,AC DB AA 不共面，∴向量,,i j i j k +-可以构成一组基底，A 正确；如图建立空间直角坐标系，则()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1AB i AD j AA k ======， 当12a =时，()1110,1,0,,0,0,1,1,,0,,1222D P Q R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则111,,444G ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴131131,,444444DG i j k ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，Ｂ不正确；,当13a =时，11,0,0,1,1,33P Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,21,1,33PQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭在平面1AD 上的投影向量为10,1,3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，103a =，Ｃ不正确； 对任意实数a ，()()()()0,1,0,,0,0,1,1,,0,1,1D P a Q a R a -，则121,,333a a a G +-+⎛⎫⎪⎝⎭， 1212,,333a a a RG +--⎛⎫= ⎪⎝⎭，111,,333a a a DG +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭,0RG DG •=，D 正确．故选：AD ．三、填空题13．若单位向量e 与向量()0,1,0a =，()0,0,1b =都垂直，则向量e 的坐标为______． 【答案】()1,0,0±【分析】设(),,e x y z =，由条件1e =，0,0e a e b ⋅=⋅=，可得答案. 【详解】设单位向量(),,e x y z =，由条件,e a e b ⊥⊥，则0,0e a e b ⋅=⋅=，所以0,0e a y e b z ⋅==⋅== 又22221e x y z x =++=，解得1x =±所以()1,0,0e =± 故答案为：()1,0,0±14．现将6个相同的小球放在3个不同的盒子里，每个盒子至少一个，共有______种放法.（用数字作答） 【答案】10【分析】利用隔板法求解，问题相当于6个球排成一列形成5个空隙，5个空隙中插入2个挡板，分成3部分即可【详解】由题意可得，6个球排成一列形成5个空隙，5个空隙中插入2个挡板，分成3部分，则共有25C 10=种放法，故答案为：1015．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________． 【答案】1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k =设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=-当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5. 取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1. 故答案为：1. 四、双空题 16．已知**()(1)(1)(,)mn f x x x mN nN ，()f x 的展开式中含x 项的系数为13，则当m =________，含2x 项的系数取得最小值，最小值为_________． 【答案】 6或77或6 36【分析】先由二项式的展开式的通项公式可得出13m n +=，分当,m n 中有一个为1和当,m n 都大于或等于2进行讨论，从而得出答案.【详解】()1mx +展开式中通项公式为：1r r r m T C x +=，则含x 项的系数为1m C m =，()1nx +展开式中通项公式为：1k k k n T C x +=，则含x 项的系数为1n C n =，由题意可得13m n +=，当,m n 中有一个为1时，不妨设1n =，则12m =，则()f x 的展开式中含2x 的项的系数为221266==m C C ，当,m n 都大于或等于2时，则()f x 的展开式中含2x 的项的系数为22m n C C +，22mnC C +=()()1122m m n n --+()222m n m n +-+=()()2216913222+--+--==m n mn m n mn 2213143137824⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭m m m ， 由于m Z ∈，当7m =或6m =时，此时含2x 的项的系数取最小值36， 综上，当7,6m n ==或6,7m n ==时，含2x 的项的系数取最小值为36. 五、解答题 17．计算：(1)求3333410C C C +++的值；(2)若75589n nnA A A -=，求n 的值． 【答案】(1)330 (2)15【分析】（1） 由组合数的运算公式11C C C m m mn n n -++=连锁运算即得；（2） 根据排列数的计算公式!()!A m n n n m =-可得.【详解】(1)（1）原式4334410C C C =+++4335510C C C =+++4334346610101011=+++=⋅⋅⋅=+==C C C C C C 330；(2)（2）因为75589nnnA A A -=，所以75!(5)!(7)!111!(7)!(5)!n nn A n n n A n n ---=-=-=--(5)(6)189n n ---=， 则n 2﹣11n ﹣60＝0，解得n ＝﹣4（舍）或n ＝15，所以n ＝15． 18．已知(3,2,1),a =-(2,1,2)b =. (1)求()()2a b a b +⋅-； (2)求a 与b 夹角的余弦值；(3)当()()ka b a kb +⊥-时，求实数k 的值. 【答案】(1)-10(3)32k或23- 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解. （2）根据空间向量的夹角公式,代入求解. （3）由()()ka b a kb +⊥-,转化为数量积为0即可.【详解】(1)()()2a b a b +⋅-()()5,3,11,0,510=⋅--=-； (2)614cos ,7||||149a b a b a b ⋅<>===⋅⨯；(3)当()()ka b a kb +⊥-时，()()0ka b a kb +⋅-=，得(32,21,2)(32,2,12)k k k k k k ++-+⋅----=0， (32)(32)(21)(2)(2)(12)0k k k k k k +-++-+-+⋅--=，32k或23-. 19．某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生． (1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？ (2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？ 【答案】(1)64； (2)128； (3)51.【分析】（1）利用分步原理即得； （2）利用先选后排可求； （3）先分类再分步即得【详解】(1)利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有1188C C =64种不同的的选法；(2)先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有112882C C A 128=种不同的的选法；(3)先分类再分步：第一类：甲组1男生：112532C C C =15，第二类：乙组1男生：211362C C C =36， 则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形ABCD 的中心，M 是1CC 的中点.(1)求证：OM 是平面1A BD 的法向量；(2)求11A C 与平面1A BD 所成角的余弦值； (3)求二面角1A A B D --的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)33(3)63【分析】（1）（2）（3）设正方体棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】(1)解：设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系D xyz -.(1,1,0),(0,2,1)O M (1,1,1)OM ∴=-，又1(2,2,0),(0,0,0),(2,0,2)B D A ，1(0,2,2)A B ∴=-，(2,2,0)=--BD所以()11012120OM A B =-⨯+⨯+⋅=⨯-，()()0121210OM BD =-⨯-+⨯-+⨯⋅= 即1OM A B ⊥，OM BD ⊥，又1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂面1A BD ，OM ∴⊥面1A BD ，所以OM 是平面1A BD 的法向量.(2)解：1(2,0,2)A ，1(0,2,2)C ，11(2,2,0)A C ∴=-，又由（1）知平面1A BD 的法向量(1,1,1)OM =- ，设11A C 与1A BD 所成的角为θ， 所以11112+2sin =836AC OM AC OMθ⋅=⋅，因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，则23cos 1sin θθ- 即11A C 与平面1A BD 3(3)解：在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥面1AA B ，AD ∴是面1AA B 的法向量，又()=2,0,0AD ，cos ,3AD OM AD OM AD OM⋅-∴<>===，由图可知二面角1A A B D --为锐二面角，设为α， 所以6sin ,3AD OM α==，所以二面角1A AB D --21．在n的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)证明见解析(2)第二项11473x 和第三项273x【分析】①根据二项式展开式的二项式系数，根据成等差数列列出方程，进而解出7n =，然后求出展开式中通项，假设有常数项，进而得到矛盾.②假设第r +1项系数最大，根据117711()()33r r r r C C ++≥和-1-17711()()33r r r r C C ≥，解出r 的范围，进而可求解.【详解】(1)证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为123,,n n n C C C 依次成等差数列，2132n n n C C C ∴=+，(1)(1)(2)22321n n n n n n ---∴⨯=+⨯⨯， 29140,(2)(7)0,2n n nn n ∴-+=∴--=∴=（舍）或7n =.二项展开式中第1r +项737241771()3r r rrr r r T C C x --+==，令73=024r -，143r N =∉， 所以展开式中没有常数项得证.(2)由（1）知二项展开式中第1r +项的系数为71()3r r C ，设第1r +项系数最大，则117711()()33r r r r C C ++≥且-1-17711()()33r r r r C C ≥，化简得111731121138r r r r r⎧≥⋅⎪⎪-+⇒≤≤⎨⎪≥⎪-⎩， 又1r N r ∈∴=或2，则展开式中系数最大的项是第二项11473x和第三项273x .22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA AD ⊥，PB =2AB =，4PA BC ，60ABC ∠=︒，点E 是线段BC 上的动点．(1)当E 为BC 中点时，求证：平面PAE ⊥平面PED ； (2)求点B 到面PCD 的距离；(3)若点M 是线段P A 上的动点，当点E 和点M 满足什么条件时，直线//ME 面PCD ． 【答案】(1)证明见解析 421(3)4AM BE =≠【分析】（1）先在平面ABCD 内证明AE ED ⊥，在证明PA ⊥平面ABCD ，得到DE PA ⊥，从而得到DE ⊥平面PAE ，使问题得证.（2）由//AB 平面PCD ，则点B 到面PCD 的距离等于A 到面PCD 的距离等. 过点A 作AH PC ⊥交PC 于点H ，则AH ⊥平面PCD ，即AH 为A 到面PCD 的距离等，由等面积法可求得答案.（3）过点A 作AG BC ⊥交BC 于点G ，以AG 为x 轴，AD 为y 轴,AP 为z 轴建立坐标系, 利用向量法求解即可.【详解】(1)当E 为BC 中点时，2,2,60BE AB ABC ==∠=︒，则ABE △为等边三角形,则2AE =在CDE 中，2,2,120CE CD ECD ==∠=︒ 所以222cos12023DE CE CD CD CE +-⋅︒ 则(222222316AE DE AD +=+==,则AE ED ⊥又222224220PA AB PB +=+==，则PA AB ⊥ PA AD ⊥，又AD AB A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCDDE ⊂平面ABCD ，所以DE PA ⊥ 又PAAE A =，则DE ⊥平面PAE ，且DE ⊂平面PDE所以平面PDE ⊥平面PAE(2)由//AB CD ， CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD 则点B 到面PCD 的距离等于A 到面PCD 的距离等. 在ABC 中，当E 为BC 中点时，由（1）可知12AE BC =,则ABC 为直角三角形.即90BAC ∠=︒，则90ACD ∠=︒,即CD AC ⊥，则2216423AC BC AB =-=-= 由（1）有PA CD ⊥,且AP AC A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC 由CD ⊂平面PCD ，则平面PAC ⊥平面PCD 过点A 作AH PC ⊥交PC 于点H ，则AH ⊥平面PCD即AH 为A 到面PCD 的距离等，由22161227PC AP AC =+=+= 所以423421727AP AC AH PC ⨯⨯===所以点B 到面PCD 的距离为4217(3)过点A 作AG BC ⊥交BC 于点G ，以AG 为x 轴，AD 为y 轴,AP 为z 轴建立如图坐标系, 则()3,0,0G，)3,1,0B-，)3,3,0C，()(),0,4,0,0,0,4D P设()0,0,M m ，则04m ≤≤，()3,,0E t ，13t -≤≤则()3,,ME t m =-，()()3,1,0,0,4,4CD DP =-=-设面PCD 的法向量(,,)n x y z =,则00n CD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即30440x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取(3,3,3)n =则当直线//ME 面PCD ，时ME n ⊥，可得0ME n ⋅=， 即3330t m +-=，所以1m t =+又1BE t =+，又当3,4t m ==时，ME 就为PC ，此时ME ⊂平面PCD 所以4AM BE =≠时，直线//ME 面PCD .。
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4．已知集合 ，若 ，则实数a的取值范围是。
5．已知函数 那么 ______．
6． 为虚数单位， ______．
7．若函数 在区间 上是单调减函数，则实数 的取值范围为______．
8．已知 ，则 ______．
9．设 、 ，集合 ，则 __________．
16．已知复数 ，其中 是虚数单位，且 为纯虚数．
（1）求实数 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
17．（1）已知 ，求证： ．
（2）已知 成等差数列，且公差 ，求证： 不可能成等差数列．
18．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2021年，2021年，2021年大气中的CO2浓度分别比2021年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数 (其中 为常数)或函数 (其中a，b，c为常数)，又知2021年大气中的CO2浓度比2021年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
参考答案
1．0
【解析】
【分析】
由并集概念求出实数a．
【详解】
解：∵集合A＝{2}，B＝{1，a}，A∪B＝{0，1，2}，
∴a＝0，解得实数a＝0．
【点睛】
考查并集定义，是基础题．
2．
【分析】
由已知求得z，再由复数模的计算公式求解.
【详解】
解：∵ ∴z＝1+i，
∴
【点睛】
本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数模的求法，是基础题．
19．函数 ．
（1）求函数 的定义域；
（2）若 ，函数 ，是否存在实数 使得 的最小值为 ，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
20．已知函数 ， ．
（1）若 ，判断函数 的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围；
（3）若存在实数 ，使得关于 的方程 有三个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
③当a，b同号时有 ，当a，b异号时， ，所以③错误．
④ab＜0时， 不成立.
其中恒成立的个数是2个．
【点睛】
本题考查了基本不等式的性质、不等式的性质及证明，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质，求出f（﹣2）
【详解】
解：因为f（x）是奇函数，所以 所以 所以
10．2
【分析】
①使用作差法证明．②利用二次函数的性质．③使用基本不等式证明．④ab＜0时，即可判断出正误.
【详解】
解：①因为2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，所以a2+b2+c2≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正确．
②因为 ，所以②正确．
【点睛】
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题．
6．0
【分析】
直接利用虚数单位i的性质运算．
【详解】
解：由i2＝﹣1可知，i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0．
【点睛】
本题考查复数的基本概念及运算，是基础题．
7．
【分析】
利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可．
14．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，…，如图所示，在宝塔形数表中位于第 行、第 列的数记为 ，比如 ， ， ．若 ，则 ______．
二、解答题
15．设全集 ，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
3．
【分析】
把点的坐标代入幂函数解析式中求得m的值．
【详解】
解：幂函数 的图象过点 ，
则2m ，m ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了幂函数的图象的应用问题，是基础题．
4．
【解析】
因为 ，所以由数轴知：实数a的取值范围是 .
5．25
【解析】
【分析】
按照分段函数中自变量的范围代入相应的解析式.
【详解】
由已知得f（-3）＝2﹣（-3）＝5，从而f（f（-3））＝f（5）＝52＝25．
【点睛】
本题考查奇函数的概念与析】
通过面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球．
【详解】
解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积．即三棱锥体积VA﹣BCD R（S1+S2+S3+S4）．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．
【详解】
解：f（x）＝x2﹣2mx-1的对称轴为x ，
函数f（x）在（﹣∞， ]上单调递减，
∴函数f（x）＝x2﹣mx+2在区间（﹣∞，2）上是单调减函数，
则对称轴 ．即m的取值范围是[2，+∞）．
故答案为[2，+∞）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从而得到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键．
8．47
【分析】
根据完全平方式进行变形即可.
【详解】
【点睛】
考查完全平方式的应用，基础题.
9．
【分析】
根据题意得出 ，则 ，则有 ，可得出 ，由此得出 ，然后求出实数 、 的值，于是可得出 的值.
【详解】
，由于 有意义，则 ，则有 ，所以， .
根据题意有 ，解得 ，因此， .
故答案为 .
【点睛】
本题考查利用集合相等求参数的值，解题的关键就是根据题意列出方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.
10．有下面四个不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中恒成立的有______个．
11．若函数 是 上的奇函数，当 时， ，则 ____．
12．已知 的三边长为 ，内切圆半径为 ，则 的面积 ．类比这一结论有：若三棱锥 的四个面的面积分别为 ，内切球半径为 ，则三棱锥 的体积 ______．
13．已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是______．
【校级联考】江苏省沭阳县2020-2021学年高二下学期期中调研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ，若 ，则实数a的值为______．
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的模为______．