数学 中考 第一轮 单元讲义(含中考真题)第02章 整式的加减

2012年中考数学一轮复习精品讲义第二章整式的加减本章小结小结1 本章内容概览本章的主要内容是整式和整式的加减．学习本章知识，要了解单项式、多项式和整式的概念，会确定单项式的系数和次数，会确定多项式的项数和次数．理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法以及去括号时符号的变化规律．能够熟练地进行整式的加减运算，正确地进行分析实际问题中的数量关系，并会列出整式表示，从而体会用字母表示数，由算术到代数的进步．小结2 本章重点、难点：本章的重点是同类项、整式的加减，难点是去括号与求值运算．小结3 本章学法点津1.学习本章知识时，要注意把数字和字母联系起来，从具体情境中探索数量关系和变化规律，注意知识的内在联系．2.要注意对整式加减运算法则探索过程的理解，体会“数式的通性”．3.要注意归纳、类比、转化等数学思想方法的运用，通过观察、实验、探究、发现，进而归纳总结规律，提高利用规律解决实际问题的能力，培养创新精神和自学意识．知识网络结构图重点题型总结及应用题型一 整式的加减运算例1 已知3313a x y --与533b y x -是同类项，则a b 的值为 . 解析：由同类项的定义可得a －3＝3，5－b ＝3，所以a ＝6，b ＝2．因而a b ＝62＝36． 答案：36点拨 所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，这是两个单项式成为同类项必须具备的条件，即⎧⎨⎩字母相同，相同字母的指数也分别相同⇔同类项.例2 计算：（7x 2＋5x －3）－（5x 2－3x ＋2）．解：原式＝7x 2＋5x －3－5x 2＋3x －2＝2x 2＋8x －5．方法 本题考查整式的加减及去括号法则．合并同类项时注意字母和字母的指数不变，只把系数相加减．题型二 整式的求值例3 已知（a ＋2）2＋|b ＋5|＝0，求3a 2b 一[2a 2b －（2ab －a 2b ）－4a 2]－ab 的值． 分析：由平方与绝对值的非负性，得a ＝－2，b ＝－5．先化简，再代入求值． 解：因为（a ＋2）2≥0，|b ＋5|≥0，且（a ＋2）2＋|b ＋5|＝0，所以a ＋2＝0，且b ＋5＝0．所以a ＝－2，b ＝－5．3a 2b －[2a 2b －（2ab －a 2b ）－4a 2]－ab＝3a 2b －2a 2b ＋2ab －a 2b ＋4a 2－ab＝4a 2＋ab .把a ＝－2，b ＝－5代入4a 2＋ab ，得原式＝4×（－2）2＋（－2）×（－5）＝16＋10＝26．例4 已知2a 2－3ab ＝23，4ab ＋b 2＝9，求整式8a 2＋3b 2的值．解：因为2a 2－3ab ＝23，所以8a 2－12ab ＝92，所以12ab ＝8a 2－92．因为4ab ＋b 2＝9，所以12ab ＋3b 2＝27，所以12ab ＝27－3b 2．由此得8a 2－92＝27－3b 2，即8a 2＋3b 2＝119．题型三 整式的应用例5 图2－3－1是一个长方形试管架，在a cm 长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2 cm ，则x 等于（ ）A. 85a +cmB. 165a - cmC. 45a - cmD. 85a - cm 解析：由题意得5x ＋2×4＝a ，所以x ＝85a -（cm ）． 答案：D 点拨 本题要注重结合图形来分析问题，以提高综合解决问题的能力．例6 用正三角形和正六边形按如图2－3－2所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为 （用含”的代数式表示）．解析：第一个图案中正三角形的个数为： 4＝2×1＋2；第二个图案中正三角形的个数为：6＝2×2＋2；第三个图案中正三角形的个数为：8＝2×3＋2；．．，；第n 个图案中正三角形的个数为：2n ＋2．答案：2n ＋2思想方法归纳1. 整体思想整体思想就是在考虑问题时，将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特点，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题的解答简捷、明快，往往能化繁为简，由难变易，获得解决问题的捷径，从而促进问题的解决．例1 计算当a ＝1，b ＝－2时，代数式11()()2436a b a b a b a b +--+++-的值． 分析：因为a ＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－1，a －b ＝3．解：原式＝1111()()()()2634a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤---++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 17()()312a b a b =-++． 当a ＝l ，b ＝－2时，原式17753(1)13121212=⨯+⨯-=-=. 点拨 把（a －b ），（a ＋b ）分别看做一个整体，直接合并同类项，而不是去括号再合并同类项．例2 若a 2＋ab ＝20，ab －b 2＝－13，求a 2＋b 2及a 2＋2ab －b 2的值．分析：把a 2＋ab ，ab － b 2分别看做一个整体．解：∵a 2＋ab －（ab － b 2）＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＝20－（－13）=33．又∵（a 2＋ab ）＋（ab － b 2）＝a 2＋2ab －b 2，∴a 2＋2ab － b 2＝20－13＝7．点拨 通过对已知条件相减或相加，得出待求的多项式，从而求出多项式的值．考查了学生的洞察能力．2 数形结合思想例3 如图2－3－3所示，已知四边形ABCD 是长方形，分别用整式表示出图中S l ，S 2，S 3，S 4的面积，并表示出长方形ABCD 的面积．解：S 1＝m （2m －n ）＝2m 2－mn ，S 2＝n （2m －n ）＝2mn － n 2，S 3＝ n 2，S 4＝mn ．S 长方形ABCD ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝（2m 2－mn ）＋（2mn － n 2）＋n 2＋mn＝2m2－mn＋2mn－n2＋n2＋mn＝2 m2＋2mn．中考热点聚焦考点1 单项式考点突破：单项式是整式中的基础知识，在中考中的考查一般难度不大，多以选择题或填空题的形式出现．解决此类问题要理解单项式的定义及单项式次数的含义．例1 （2011•柳州）单项式3x2y3的系数是3．考点：单项式。

专题：计算题。

分析：把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．解答：解：3x2y3=3•x2y3，其中数字因式为3，则单项式的系数为3．故答案为：3．点评：确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．找出单项式的系数的规律也是解决此类问题的关键．写出含有字母x，y的五次单项式（只要求写出一个）.解析：写出的单项式应满足x的指数与y的指数和为5．答案不唯一，例如x3 y2，12x4y等. 答案：x3 y2，12x4 y等.例2 若单项式3x2 y n与－2x m y3是同类项，则m＋n＝．解析：由同类项的定义可知，x，y的指数分别相同，即m＝2，n＝3．所以m＋n＝5．答案：5考点2 列整式表示数量关系考点突破：一些问题中的数量关系，可列整式表示，列式时要明确要表示的量与已知量之间的关系．中考中对此知识点的考查常以填空题为主．例3 （2011•湘西州）若一个正方形的边长为a，则这个正方形的周长是4a．考点：列代数式。

分析：正方形的边长a，正方形的周长为：4×正方形的边长．解答：解：正方形的边长：4a．故答案为：4a．点评：本题考查列代数式，根据正方形的周长公式可求解．三个连续整数中，n是最小的一个，这三个数的和为 .解析：若n为最小的一个整数，则另两个整数可表示为n＋1，n＋2，所以这三个数的和为n＋（n＋1）＋（n＋2）＝3n＋3．答案：3n＋3例4 （2011浙江金华，11，4分）“x与y的差”用代数式可以表示为. 考点：列代数式。

专题：和差倍关系问题。

分析：用减号连接x与y即可．解答：解：由题意得x为被减数，y为减数，∴可得代数式x﹣y．故答案为：x﹣y．点评：考查列代数式；根据关键词得到运算关系是解决本题的关键．用代数式表示“a ，b 两数的平方和”，结果为答案：a 2＋b 2考点3 找图形的变化规律考点突破：此类问题是近几年中考的热点，做题时要根据前几个图形的个数找出 规律，并用整式表示出第n 个图形的结果．重在考查思维的灵活性和概括能力．例5 观察下列图形（图2－3－4）及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n （n 是正整数）的结果为（ ）A ．（2n ＋1）2B ．（2n －1）2C ．（n ＋2）2D ．n 2解析：∵1＋8＝9＝32，1＋8＋16＝25＝52，1＋8＋16＋24＝49＝72，…，∴1＋8＋16＋24＋…＋8n ＝（2n ＋1）2． 答案：A综合验收评估测试题一、选择题l. 在代数式－2x 2，3xy ，b a ，3xy -，0，mx －ny 中，整式的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D. 52. 二下列语句正确的是（ ）A ．x 的次数是0B ．x 的系数是0 C. －1是一次单项式 D ．－1是单项式3. 下列不属于同类项的是（ ）A ．－1和2B ．x 2y 和4×105x 2y C.45b a 和245b a D ．3x 2y 和－3x 2y 4. 下列去括号正确的是（ ）A ．2222(2)2a a b b a a b b --+=--+B ．2222(2)()2x y x y x y x y -+--+=-++-C ．2223(5)235x x x x --=-+D ．3232[4(13)]413a a a a a a ---+-=-+-+5. 现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．146. 若式子2326x x -+的值为8，则式子2342x x -+的值为（ ） A ．1 B ．5 C ．3 D ．47. 三个连续奇数，中间的一个是2n ＋1（n 是整数），则这三个连续奇数的和为（ ）A ．2n －1B ．2n ＋3C ．6n ＋3D ．6n －38. 如果2－（m ＋1）a ＋a n －3是关于a 的二次三项式，那么m ，n 应满足的条件是（ ）A ．m ＝1，n ＝5B ．m ≠1，n ＞3C ．m ≠－1，n 为大于3的整数D ．m ≠－1，n ＝5二、填空题9. －mx n y 是关于x ，y 的一个单项式，且系数是3，次数是4，则m ＝ ，n ＝10. 多项式ab 3－3a 2b 2－a 3b －3按字母a 的降幂排列是 ．按字母b 的升幂排列是 ．11. 当b ＝ 时，式子2a ＋ab －5的值与a 无关．12. 若－7xy n ＋1 3x m y 4是同类项，则m ＋n13．多项式2ab －5a 2＋7b 2加上 等于a 2－5ab ．三、解答题14．先化简，再求值：22222212(52)3(2)2m n mn m n mn mn m n ⎛⎫+---- ⎪⎝⎭，其中m ＝－l ，n ＝13.15．如图2－3－5所示的是某居民小区的一块长为b 米，宽为2a 米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空 地的四个顶点各修建一个半径为a 米的扇形花台，然后在花台内种花，其余空地种草．如果建筑花台及种花每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元?答案1．D 解析：b a不是整式，故选D ． 2．D 解析：x 的次数是1，系数是1；－1是单项式．故选D ．3．C 解析：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．故选C ：4．D 解析：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．故选D ．5．C 解析：按规定的运算得3*5＝3×5＋3—5＝13．故选C ．6．B 解析：由3x 2－2x ＋6＝8变形得3x 2－2x ＝2，所以32x 2－x ＋4＝12(3x 2－2x)＋4＝12×2＋4＝5．故选B ． 7．C 解析：已知三个连续奇数中的中间一个为2n ＋1（n 为整数），那么，较小一个为2n －1，较大一个为2n ＋3，所以这三个奇数的和为（2n －1）＋（2n ＋1）＋（2n ＋3）＝6n ＋3．故选C ．8．D 解析：由题意得n －3＝2，且m ＋1≠0，所以n ＝5且，m ≠－1．故选D ．9．－3，3 解析：由系数是3，得－m ＝3，所以m ＝－3．由次数是4，得n ＋1＝4，所以n ＝3．10．－a 3b －3a 2b 2＋ab 3－3，－3－a 3b －3a 2b 2＋ab 3 解析：在排列时，一定要明确针对哪个字母排列，排列时只看这个字母的指数和该项符号，利用加法交换律交换位置即可．11．－2 解析：2a ＋ab －5＝（2＋b ）a －5．因为式子的值与a 无关，故2＋b ＝0，所以b ＝－2．12．4 解析：由同类项的定义可得m ＝l ，n ＋1＝4，即n ＝3，所以m ＋n ＝1＋3；4． 13．6a 2－7ab －7b 2 解析：加数等于和减另一个加数，即（a 2－5ab ）－（2ab －5a 2＋7b 2）＝6a 2－7ab －7b 2．14． 解：原式＝2m 2n ＋mn 2－5m 2n ＋2mn 2－3mn 2＋6m 2n ＝3m 2n ．当m ＝－1，n ＝13时，原式＝3×（－1）2×13＝1． 点拨：运用去括号和合并同类项法则进行化简，考查对法则灵活运用的能力．15．解：根据题意，得2222114π10024π50100π10050π44a ab a a ab a ⎛⎫⨯⨯+-⨯⨯=+-= ⎪⎝⎭50πa 2＋100ab ．答：美化这块空地共需资金（50πa 2＋100ab ）元．点拨：根据题意，可以先求出建造花台及种花所需费用，再求出种草的费用，两者相加即为美化这块空地共需的资金．。