极限四则运算

§1.5 极限的运算法则
极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一 无穷小的运算定理
设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0
lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面
来叙述有关无穷小的运算定理。

定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；
2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；
2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。

二 极限的四则运算法则
利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。

定理2 如果()0
lim x x f x A →=， ()0
lim x x g x B →= 则()()
()(),()(),
0()
f x f x
g x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且
（1） ()()()()0
lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±⎡⎤⎣⎦
（2） ()()()()0
lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==⎡⎤⎣⎦
（3） ()()()()000
lim lim
(0).lim x x
x x x x f x f x A B g x g x B
→→→==≠ 证 1因为()0
lim x x f x A →=， ()0
lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>∃>∀δε，
当100δ<-<x x 时，有2
)(ε
<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，
有2
)(ε
<
-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有
ε
ε
ε
=+
<-+-≤-+-=+-+2
2
)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。

2）因为0
lim (),lim ()x x x x f x A g x B →→==，由极限与无穷小的关系可以得出
,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）
于是有()()()()()f x g x A
B AB A B αββααβ=++=+++，记αβαβγ++=B A ，
γ则为无穷小，因此 0
lim ()()x x f x g x AB →=。

3）证 设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：
)
()()(ββ
αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明
)
(1
β+B B 有
界（详细过程见书上）)(ββα+-⇒
B B A B 为无穷小，记为γ，所以
γ+=B
A
x g x f )()(， B
A
x g x f =⇒)()(lim。

由该定理可以得到如下推论： 推论： 若0
lim ()x x f x →存在，C 为常数，则
1）0
lim ()lim ();x x x x Cf x C f x →→=
2）[]00lim ()lim ().n
n
x x x x f x f x →→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
由于数列是函数的一直特殊情形，因此上述定理和推论对数列极限也成立。

例1 证明：0
0lim .n n
x x x x →=
证 因为00lim .x x x x →=由推论000
lim lim .n
n
n
x x x x x x x →→⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
例2 求22
lim(342)x x x →+-。

()()22
22
2
2
22
2
2
2lim(342)
lim 3lim 4lim 2
3lim 4lim lim 2
32422
18.
x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→ +- =+- =+- =⨯+⨯- =解
例3 求极限224
lim
.2
x x x →--+ 解 当2x →-时，分母2x +的极限是0，所以不能用极限的四则运算法则，但注意到其分子中也含有2x +，且在2x →-的过程中2x ≠-，即20x +≠，于
是可以约去不为零的公因子2x +，因此
22224(2)(2)lim lim lim (2) 4.22
x x x x x x x x x →-→-→--+-==-=-++ 例4 求极限22
134
lim .2
x x x x x →+-+- 解 当1x →时，分子、分母的极限均为零，但该分式的分子、分母中含有一个公因子1x -，且在1x →的过程中1x ≠，即10x -≠，于是可以约去不为零的公因子2x -，因此
2211134(1)(4)45lim lim lim .2(1)(2)23
x x x x x x x x x x x x x →→→+--++ ===+--++ 例5 求极限23
1
lim
.9
x x x →+- 解 因为2
3
lim(9)0x x →-=，商的极限运算法则不能用，但由于239
lim
0,1x x x →-=+由无穷小和无穷大的关系，有23
1
lim
.9
x x x →+=∞- 例6 求极限434
2672
lim .261
x x x x x →∞-++- 解 当x →∞时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，所以无法使用极限的四则运算法则，注意到分式的分子和分母的最高次幂都是4，可将分子分母同时除以4x ，则有
4
3
4
42247266726lim lim 3.61
2612
2x x x x x x x x x x
→∞→∞-+-+===+-+- 练习 求极限24
2232
lim .52
x x x x x →∞--+- 一般地，若000,0,a b ≠≠有
1011010110
0(),...lim (),...().
n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b x b x b x b b n m ---→∞-⎧<⎪
++++⎪==⎨++++⎪⎪∞>⎩ 例7
求极限lim x →+∞
解 当x →+∞都没有极限，不能直接应用极限的四则运算法则，为求此极限，可先将分子有理化，得
lim lim
lim 0.
x x x →+∞
===
例8 求极限sin lim
.x x
x
→∞
解 当x →∞时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，但当x →∞时，1
x
为无穷小，又sin x 为有界函数，由于有界函数与无穷小的乘积为无穷小，所以sin 1lim lim sin 0.x x x x x
x →∞→∞== 三 复合函数求极限的法则
定理3（复合函数的极限运算法则）设函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦是由()y f u =与()u x ϕ=复合而成，()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 的某去心邻域内有定义，若0
0lim ()x x x u ϕ→=，0
lim ()u u f u A →=， 且00δ∃>，当000x x δ<-<时，有0()x u ϕ≠， 则
[]0
lim ()lim ()x x u u f x f u A ϕ→→==。

证 任给0ε>，由于lim ()u a
f u A →=，根据函数极限定义，存在相应的0η>，
当0u a η<-<时，有
() f u A ε-<
又由于0
lim ()x x x a φ→=，故对上述0η>，存在相应的10δ>，当010 x x δ<-<时，有
() x a φη-<，
取{}01min ,δδδ=，则当00 x x δ<-<时， () x a φη-<与 () 0x a φ-≠同时成立，即0 () x a φη<-<成立，从而有
[] () () f x A f u A φε-=-<，
所以
[]0
lim ()lim ()x x u a
f x f u A φ→→==．
例8 求极限sin
2lim
x x x
π
→。

解 2x u =
，则2x u =，当x π→时，2
u π
→，于是 2
sin
sin 12lim
lim .2x u x
u x u πππ→→
== 练习 求极限(
)
2
lim 1x x e →+。