江苏省苏州市吴中区2020届高三高考模拟数学试卷含附加题
江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷
江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知，为虚数单位，且，则=________.2.已知集合，，则________．3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为________．4.执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________.5.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为________.6.函数的定义域为________.7.已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.8.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为________．9.公比为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________．10.在平面直角坐标系中，已知圆，圆．直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为________11.将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为________．12.己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是________.13.如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为________.14.记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是________.二、解答题（共11题；共100分）15.已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，，求．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD ，E ，F分别是棱AB，PC的中点.求证：（1）EF //平面PAD；（2）平面PCE⊥平面PCD ．17.如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程.（2）当时，求的面积.18.如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设．（1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？19.已知函数，.（1）当时，①求函数在点处的切线方程；②比较与的大小;（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．20.若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．（1）若数列的前项和，，试判断数列是否为“ 数列”？说明理由；（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．21.已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为．（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值．22.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．23.已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.24.如图，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱与所成的角的大小；（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.25.设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．答案解析部分一、填空题1.【答案】42.【答案】{1}3.【答案】854.【答案】85.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】9.【答案】5610.【答案】11.【答案】12.【答案】[-4,0]13.【答案】814.【答案】二、解答题15.【答案】解：（I）∵，，，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，又，即，∴，故16.【答案】（1）解：如图，取的中点，连接，，是棱的中点，底面是矩形，，且，又，分别是棱，的中点，，且，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面（2）解：，点是棱的中点，，又，，平面，平面，，底面是矩形，，平面，平面，且，平面，又平面，，，，又平面，平面，且，平面，又平面，平面平面17.【答案】（1）解：因为直线过点，且斜率.所以直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为，圆的半径为，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示椭圆的方程为（2）解：由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，则点到右准线的距离为，所以，即，把代入椭圆方程得，，因为直线的斜率，所以，因为直线经过和，所以直线的方程为，联立方程组得，解得或，所以，所以的面积18.【答案】（1）解：以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系．设，则，，．因为，所以直线的方程为，即，因为圆与相切，所以，即，从而得，在直线的方程中，令，得，所以，所以当时，，设锐角满足，则，所以关于的函数是，定义域是（2）解：要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小．令，得，设锐角，满足，得．列表：减极小值增所以时，，所以建造此通道的最少费用至少为百万元．19.【答案】（1）解：①当时，，，，又，切线方程为，即；②令，则，在上单调递减．又，当时，，即；当时，，即；当时，，即（2）证明：由题意，，而，令，解得．，，在上有唯一零点．当时，，在上单调递减，当，时，，在，上单调递增．．在恒成立，且有唯一解，，即，消去，得，即．令，则，在上恒成立，在上单调递减，又，，．在上单调递增，20.【答案】（1）解：当时，又，所以．所以当时，，而，所以时，不是数列中的项，故数列不是为“ 数列”（2）解：因为数列是公差为的等差数列，所以．因为数列为“ 数列”所以任意，存在，使得，即有．①若，则只需，使得，从而得是数列中的项．②若，则．此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．综上，（3）解：由题意，所以，又因为，且数列为“ 数列”，所以，即，所以数列为等差数列．设数列的公差为，则有，由，得，整理得，①．②若，取正整数，则当时，，与①式对应任意恒成立相矛盾，因此．同样根据②式可得，所以．又，所以．经检验当时，①②两式对应任意恒成立，所以数列的通项公式为21.【答案】（1）解：设，则，，即，解得，则（2）解：设矩阵的特征多项式为，可得，令，可得或22.【答案】解：把直线方程化为普通方程为．将圆化为普通方程为，即．圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.23.【答案】解：存在实数使成立，等价于的最大值大于，因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“ ”，故常数的取值范围是24.【答案】（1）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，.，故与棱所成的角是（2）解：为棱中点，设，则.设平面的法向量为，，则，故而平面的法向量是，则，解得，即为棱中点，其坐标为25.【答案】（1）解：当时，，又，所以.（2）解：即，由累乘可得，又，所以．即恒为定值1．。
2020年江苏高中高考数学模拟考试
2020江苏高考数学模拟考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的地址上．．．．．．．．．．1．若函数y cos( x )( 0)的最小正周期是，则▲．32．若复数(1 2i)(1 ai)是纯虚数，则实数 a的值是▲．3．已知平面向量a(1,1)，b(x2,1)，且a b，则实数x 4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是▲．▲．2个，现从袋中有放回地取球，每．．．开始5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为▲．6．给出以下四个命题：（1）若是平面与平面订交，那么平面内所有的直线都与平面订交（2）若是平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面（3）若是平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直（4）若是平面不垂直于平面，那么平面内必然不存在直线垂S0k1k是2011否SS1k(k1)输出S k k1结束直于平面真命题的序号是▲．（写出所有真命题的序号）（第5题）．．．x2y21(a0,b0)的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离7．已知双曲线2b2a心率为▲．8．已知二次函数f(x)ax24x c1的值域是[1,)，则19的最小值是▲．a c9．设函数f(x)x33x2，若不等式f(32sin)m23m对任意R恒成立，则实数m的取值范围为▲．2x y4n m的取10．若动点P(m,n)在不等式组x0表示的平面地域内部及其界线上运动，则ty0m1值范围是▲．11．在ABC中，AB边上的中线CO2，若动点P满足AP 1sin2ABcos2AC(R)，2则(PAPB)PC的最小值是▲．12．设D是函数y f(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在次不动点．若函数f(x)ax23x a5在区间2[1,4]上存在次不点，数a的取范是▲．13．将所有的奇数排列如右表，其中第i行第j个数表示a ij，比方a3291．若5a ij445，ij▲3．791114．若数a,b,c成等差数列，点P(1,0)在直axby c0上的射影⋯⋯M，点N(3,3)，段MN度的最大是▲．（第12）二、解答：本大共6小，共90分，在答卡指定地域．．．．．．．内作答，解答写出文字明、明或演算步．15．（本小分14分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C（1）求角B的大小；的分a,b,c，且2acosB ccosB bcosC．（2）向量m(cosA,cos2A)，n(12, 5)，求当mn取最大，tan(A)的．416．（本小分14分）如，直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD，CD AD．（1）求：B1CB是二面角B1AC B的平面角；（2）在A1B1上可否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？明你的．A1B1D1C1ABD C17．（本小分14分）某匀速行在相距300海里的甲、乙两地，运成本由燃料用和其他用成，已知每小的燃料用与其航行速度的平方成正比（比率系数），其他用每小m元，依照市研，得知m的波区是[1000,1600]，且的最大航行速度50海里/小．（1）将从甲地到乙地的运成本y（元）表示航行速度x（海里/小）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运成本最少，以多大的航行速度行？18．（本小分16分）已知中心在原点O、焦点在x上的C点M(2,1)，离心率3．如，平行于OM的2直l 交C于不相同的两点A,B．（1）当直线l经过椭圆C的左焦点时，求直线l的方程；（2）证明：直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形．19．（本小题满分16分）已知函数f(x)1ax2(2a1)x2lnx，其中常数a0．2（1）求f(x)的单调区间；（2）若是函数f(x),H(x),g(x)在公共定义域D上，满足f(x)H(x)g(x)，那么就称H(x)为f(x)与g(x)的“友善函数”．设g(x)x24x，求证：当2a5时，在区间(0,2]上，2函数f(x)与g(x)的“友善函数”有无量多个．20．（本小题满分16分）已知无量数列{a n}的各项均为正整数，S n为数列{a n}的前n项和．（1）若数列{a n}是等差数列，且对任意正整数n都有S3S n3成立，求数列{a n}的通项公式；n（2）对任意正整数n，从会集{a1,a2,,a n}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1,a2,,a n一起恰好是1至S n全体正整数组成的会集．（i）求a1,a2的值；（ii）求数列{a n}的通项公式．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．．．．．．．定地域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．A．选修41：几何证明选讲如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，且PCPD，求证：PB均分∠ABD．B ．选修4 2：矩阵与变换1 2已知矩阵 A的一个特色值为1，求另一个特色值及其对应的一个特色向量．2xC ．选修44：坐标系与参数方程x t R ）与圆x cos [0,2)，a 为常数）相切，求a若直线（参数ty （参数y 22tsina的值．D ．选修4 5：不等式选讲若关于一的确数 x ，不等式|2x1| |1 x||x||2a1|恒成立，求实数 a 的取值范围．【必做题】第 22题、第23题，每题 10分，共计出文字说明、证明过程或演算步骤．20分．请在答题卡指定地域 内作答，解答时应写．．．．．．．22．（本小题满分 10分）一个口袋装有 5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完好相同，某人一次从中摸出中绿球的个数记为 X ．3个球，其（ 1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率； （ 2）X 的分布列及X 的数学希望．23．（本小题满分10分）已知数列{a n}中，1a 12，a n11 a n1a n22(n N*)． 1）求证：a 3(11,3)；82（2）求证：当n3时，|a n 2|1．2n2012江苏高考最后一卷 试题答案与评分标准数学Ⅰ一、填空题：本大题共 14小题，每题 5分，共计 70分．1．【解析】本题主要观察三角函数的周期性．【答案】22．【解析】本题主要观察复数的看法和运算．【答案】1 2 3．【解析】本题主要观察平面向量的垂直．【答案】34．【解析】本题主要观察古典概型．【答案】4 9 5．【解析】本题主要观察流程图．【答案】201120126．【解析】本题主要观察立体几何中的平行与垂直关系．【答案】（3）（4）7．【解析】本题主要观察圆锥曲线中离心率的计算．【答案】 58．【解析】本题主要观察基本不等式．【答案】39．【解析】本题主要观察函数的性质．【答案】(,4)(1,)10．【解析】本题主要观察线性规划．y【答案】[2,4]43解答以下：画出可行域（以下列图阴影部分） n m n 1，，而t1 m 1 其中n1表示P(m,n)与点(1,m1 11)连线的斜率k ，由图可知O 1m 11 k1[2k[,5]，故t,4]3311．【解析】本题主要观察平面向量的看法与数量积．【答案】 2 解答以下：因为AP1sin 2ABcos 2ACsin 2AOcos 2AC 且sin 2,cos 22在 线 段 OC 上， 故 (P A P)B P2C ，PO 设 |PPOC| t(t(P A P)B P2C(2t)2t(，1当)t 1t2时取最t 小4值 22x[0,1]，因此点P[ 0,，则12．【解析】本主要考函数的看法和最．【答案】(,1]2解答以下：由意，存在x[1,4] ，使g(x) f(x) x ax22x a50．当x1，使g(1) 10；22当x1，解得a4x 5 ． 4x 5 ，由h'(x) 2x 2 5x 2 0，得 x 2或x12(x 21) h(x)2(x 2 1)(x 2 1)2 2（舍去），且h(x)在(1,2) 上增，在 (2,4) 上减．因此当x 2，g(x)最大 4x 51，所2(x 21) 2以a 的取范是(,1]．213．【解析】本主要考数列的通．【答案】34解答以下：可以求得通aiji 2 i 2j1，因此i 2i 2j1 445且1j i ，从而i 2 i 444，解得i 2i 446i21，于是j13，故i j 3414．【解析】本主要考直与的方程及地址关系．【答案】5 2解答以下：由可知直 axby c 0定点A(1,2)．点M(x,y)，由MPMA 可求得点M 的迹方程Q:x 2(y 1)2 2，故段MN 度的最大QN r52二、解答：本大共6小，共90分．15．本主要考平面向量的数量、角关系的互化，考运算求解能力．解：（1）由意，2sinAcosBsinCcosBcosCsinB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因此2sinAcosBsin(B C)sin(A) sinA .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分因0<A<p ，因此sinA10 .因此cosB1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2因0<B<p ，因此B3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）因mn12cosA 5cos2A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因此mn10cos 2 A 12cosA510(cosA 3)243⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分55因此当cosA3，mn 取最大5此sinA4（0<A<p ），于是tanA4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分53因此tan(A) tanA 1 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分tanA 17416．本主要考直与平面、平面与平面的地址关系，考想象象能力、推理能力．明：（1）直棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，BB 1⊥AC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又 ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB2AD2CD ，∴ CABABC 45，∴BC ⊥AC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分∴AC平面B 1BC ，∴AC B 1CB 1CB 是二面角B 1 AC B 的平面角．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（2）存在点P ，PA 1B 1的中点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分由PA 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝1AB ．2又∵DC ‖AB ，DC ＝1AB ，DC ∥PB 1，且DC ＝PB 1，2∴DCPB 1平行四形，从而 CB 1∥DP ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分又CB 1面ACB 1，DP面ACB 1，DP ‖面ACB 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分同理，DP ‖面BCB 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分17．本主要考，考数学建模能力、抽象概括能力和解决的能力．解：（1）由意，每小的燃料用2(0x 50)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分从甲地到乙地所用的300小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分x从甲地到乙地的运成本y2300m 300，(0x50)xx即y 150(x2m x 50)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分x )，(0（2）y'150(12m2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分x令y' 0，得x 2m （舍去）当x (0, 2m)，y 关于x 减当x (2m, )，y 关于x 增⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此，当2m50即1250 m 1600，x50y 取最小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分当 2m 50 即1000 m 1250，x2my 取最小 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分上所述，若1000 m 1250，当航行速度2m 海里/小，运成本最少；若1250 m 1600，当航行速度50海里/小，运成本最少．⋯⋯ 14分18．本主要考直的方程及的准方程，考数学运算求解能力、合解析的能力．解：（1）依照e c3，可方程x2y21，a24b2b2将M(2,1)代入可得b22，因此Cx2y21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分的方程28因此左焦点(6,0)，斜率k l kOM12因此直l的方程y1(x6)，即y1x6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分222（2）直MA,MB的斜率分k1,k2，k1y11，k2y21x12x22k1k2y11y21(y11)(x22)(y21)(x12) x12x22(x12)(x22)(1x1m1)(x22)(1x2m1)(x12)22(x12)(x22)x1x2l:y1x2 y1x由2y2x282(m2)(x1x2)4(m1)10分(x12)(x2（*）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2)m，A(x1,y1),B(x2,y2)m，得x22mx 2m24 01因此，x1x22m，x1x22m24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分代入（*）式，得2m24(m2)(2m)4(m1)k1k2(x12)(x22)2m242m24m4m4(x12)(x22)因此直MA,MB与x成等腰三角形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分19．本主要考数的运算及其在研究函数性、不等式与方程中的运用，考研究、解析及求能力．解：（1）f'(x)ax(2a1)x2ax2(2a1)x2(x2)(ax1)(x0，常数a0）x x x令f'(x)0，x 12，x 21 2分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a①当0a112，，2a在区(0,2)和(1,)上，f (x)0；在区(2,1)上f(x)0，a(0,2)和(1, a(2,1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯故f(x)的增区是)，减区是4分2)2 aa②当a1，f(x) (x ，故f(x)的增区是(0,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分212x ③当a1，02，a2在区(0,1)和(2,)上，f (x) 0；在区(1,2)上f(x)0，a(0,1)和(2,a(1,2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯故f(x)的增区是)，减区是7分aa（2）令h(x)g(x)f(x)(11 a)x2 (2a 3)x2lnx ，x (0,2]2h'(x)(2a)x 2a2 (2 a)x 2 (2a 3)x2(x2)[(2a)x1]3xxx令h'(x)0 ，x 12，x 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分a 25因2a2 a 0，因此x 2x 1，且2从而在区(0,2] 上，h'(x)0 ，即h(x)在(0,2]上减⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因此h(x)minh(2)2a2 2ln2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分5又2a ，因此2a22ln222ln20，即h(x)min 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分2H(x)f(x)(22ln2)（01)，f(x)H(x)g(x)因此在区(0,2]上，函数f(x)与g(x)的“和函数”有无多个⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分。
江苏省2020届高考数学模拟试题(二)(解析版)
【答案】3
【解析】设 ， ，
则
，
故 .
13．已知直线l：x＋my﹣2﹣m＝0(m R)恒过定点A，点B，C为圆O： 上的两动点，满足∠BAC＝90°，则弦BC长度的最大值为．
【答案】
【解析】直线l：x＋my﹣2﹣m＝0(m R)恒过定点A，可得A(2，1)，取BC中点D，
（2）求随机变量X的数学期望E(X)．
【解析】由于批量较大，可以认为随机变量 ,
（1）恰好有2件不合格的概率 ，
恰好有3件不合格的概率 ，
∵ ，
∴ ，即恰好有2件不合格的概率大；
（2）∵ ， .
随机变量 的概率分布为：
0
1
2
10
故 ．
23.已知 ， ，其中 ， ．
（1）求 ， ， ， 的值；
（2）记 ，求证：对任意的m ，m≥2，总有 ．
【答案】0.2
【解析】高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，
现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，
则高一学生抽取：5 2，
高二学生抽取：5 2，
高三学生抽取：5 1，
再从5位同学中选出2名一等奖，
基本事件个数n 10，
记 “两名一等奖来自同一年级”，
【答案】
【解析】将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度，可得
的图象.
根据图象与 的图象关于 轴对称，可得 ，
， ，即 时， 的最小值为 .
7．在长方体 中， ， ， ， 为 的中点，则点 到平面 的距离是______.
【答案】
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)
2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。
【2020年数学高考】江苏省苏州市2020届高三第一次模拟考试 数学.doc
2020届高三年级第一次模拟考试(五)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知i 为虚数单位，复数z ＝32－32i 的模为________． 2. 已知集合A ＝{1，2a}，B ＝{－1，1，4}，且A ⊆B ，则正整数a ＝________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2＝－8x 的焦点坐标为________．4. 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为________．5. 已知4a ＝2，logax ＝2a ，则正实数x ＝________．6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．下面的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为________．(第6题) (第9题) 7. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ＋y≥0，x －y ＋3≤0，则z ＝2x －3y 的最大值为________．8. 已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，且S6S3＝－198，a4－a2＝－158，则a3的值为________． 9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)10. 如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD ＝________m.(第10题) (第13题)11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________．12. 已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c＝1，则c 的取值范围是________． 13. 如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，P 是劣弧EF ︵上的一点，则PB →·PC →的取值范围是________．14. 已知直线y ＝a 分别与直线y ＝2x －2，曲线y ＝2ex ＋x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝(3cosx ＋sinx)2－23sin2x.(1) 求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x 的取值集合；(2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，求函数f(x)的单调增区间．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E ，F ，G ，H 分别是A1D1，B1C1，D1D ，C1C 的中点．求证：(1) EF ∥平面ABHG ；(2) 平面ABHG ⊥平面CFED.17. (本小题满分14分)如图，B ，C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方向50 km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角(α<θ≤π2，其中锐角α的正切值为12)航行到海滨公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C.已知船速为25 km/h ，车速为75 km/h.(1) 试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式；(2) 试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．已知各项是正数的数列{an}的前n 项和为Sn.(1) 若Sn ＋Sn －1＝a2n ＋23(n ∈N*，n ≥2)，且a1＝2. ①求数列{an}的通项公式；②若Sn ≤λ·2n ＋1对任意n ∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；(2) 数列{an}是公比为q(q>0，q ≠1)的等比数列，且{an}的前n 项积为10Tn.若存在正整数k ，对任意n ∈N*，使得T （k ＋1）n Tkn为定值，求首项a1的值．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ， x ≥0. (1) 当a ＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若方程f(－x)＋f(x)＝ex －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；(3) 若存在实数m ，n ∈[0，2]，且|m －n|≥1，使得f(m)＝f(n)，求证：1≤a e －1≤e.2020届高三年级第一次模拟考试(三)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ⊥AC ，垂足为E ，PF ⊥BC ，垂足为F.求证：PF2＝PD·PE.B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，求M4β.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin2θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ，b ，c ∈R ，a2＋b2＋c2＝1，若|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c)2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，其交线为AB ，且AB ＝BP ＝2，AD ＝AE ＝1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP.(1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值；(2) 线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．23. (本小题满分10分)在正整数集上定义函数y ＝f(n)，满足f(n)[f(n ＋1)＋1]＝2[2－f(n ＋1)]，且f(1)＝2.(1) 求证：f(3)－f(2)＝910； (2) 是否存在实数a ，b ，使f(n)＝1a ⎝⎛⎭⎫－32n －b ＋1，对任意正整数n 恒成立，并证明你的结论．2020届苏州高三年级第一次模拟考试数学参考答案 1. 3 2. 2 3. (－2，0) 4. 110 5. 12 6. 48 7. －9 8. 949. 30π 10. 18 11. (x －1)2＋(y ＋2)2＝2 12. ⎝⎛⎦⎤1，4313. [－11，－9] 14. 3＋ln2215. 解析：(1) f(x)＝(3cosx ＋sinx)2－23sin2x＝3cos2x ＋23sinxcosx ＋sin2x －23sin2x＝3（1＋cos2x ）2＋1－cos2x 2－3sin2x(2分) ＝cos2x －3sin2x ＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2.(4分) 当2x ＋π3＝2k π＋π，即x ＝k π＋π3(k ∈Z)时，f(x)取得最小值0, 此时自变量x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(7分) (2) 由(1)知f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2. 令π＋2k π≤2x ＋π3≤2π＋2k π(k ∈Z)，(8分) 解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z)，(10分) 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，令k ＝－1，x ∈[－π2，－π6]，令k ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2， 所以函数f(x)在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，－π6和⎣⎡⎦⎤π3，π2.(14分) 16. 解析：(1) 因为E ，F 是A1D1，B1C1的中点，所以EF ∥A1B1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥AB ，所以EF ∥AB.(3分)又EF ⊄平面ABHG ，AB ⊂平面ABHG ，所以EF ∥平面ABHG.(6分)(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD ⊥平面BB1C1C ，又BH ⊂平面BB1C1C ，所以BH ⊥CD.(8分)设BH∩CF ＝P ，易知△BCH ≌△CC1F ，所以∠HBC ＝∠FCC1.因为∠HBC ＋∠PHC ＝90°，所以∠FCC1＋∠PHC ＝90°.所以∠HPC ＝90°，即BH ⊥CF.(11分)又DC∩CF ＝C ，DC ，CF ⊂平面CFED ，所以BH ⊥平面CFED.又BH ⊂平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED.(14分)17. 解析：(1) 由题意，轮船航行的方位角为θ，所以∠BAP ＝90°－θ，AB ＝50，则AP ＝50cos （90°－θ）＝50sin θ，BP ＝50tan(90°－θ)＝50sin （90°－θ）cos （90°－θ）＝50cos θsin θ， 所以PC ＝100－BP ＝100－50cos θsin θ.(4分) 由A 到P 所用的时间为t1＝AP 25＝2sin θ， 由P 到C 所用的时间为t2＝100－50cos θsin θ75＝43－2cos θ3sin θ，(6分) 所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为f (θ)＝t1＋t2＝2sin θ＋43－2cos θ3sin θ＝6－2cos θ3sin θ＋43，(8分) 函数f(θ)的定义域为⎝⎛⎦⎤α，π2，其中锐角α的正切值为12. (2) 由(1)知f(θ)＝6－2cos θ3sin θ＋43，θ∈⎝⎛⎦⎤α，π2， 所以f′(θ)＝6（1－3cos θ）9sin2θ. 令f′(θ)＝0，解得cos θ＝13.(10分) 设θ0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使cos θ0＝13. 当θ变化时，f ′(θ)，f (θ)的变化情况如下表：(12分)所以当θ＝θ0时函数f(θ)取得最小值，此时BP ＝50cos θ0sin θ0＝2522≈17.68(km)． 故在BC 上选择距离B 为17.68km 处为登陆点，所用时间最少．(14分)18. 解析：(1) 由题意知c a ＝22，所以a ＝2c.(1分) 又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)，所以a －c ＝32－3，(2分) 解得c ＝3，a ＝32，所以b2＝a2－c2＝9，(4分)所以椭圆C 的标准方程为x218＋y29＝1.(6分) (2) 当直线l 的斜率为0时，令y ＝－1，则x ＝±4，此时以AB 为直径的圆的方程为x2＋(y ＋1)2＝16；(7分)当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x2＋y2＝9.(8分)联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋（y ＋1）2＝16，x2＋y2＝9，解得x ＝0，y ＝3，即两圆过点T(0，3)．猜想：以AB 为直径的圆恒过定点T(0，3)．(9分) 对一般情况证明如下：设过点M(0，－1)的直线l 的方程为y ＝kx －1，与椭圆C 交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x2＋2y2＝18， 消去y ，整理得(1＋2k2)x2－4kx －16＝0， 所以x1＋x2＝4k 1＋2k2，x1x2＝－161＋2k2.(12分) 因为TA →·TB →＝(x1，y1－3)·(x2，y2－3)＝x1x2＋y1y2－3(y1＋y2)＋9＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)－3(kx1－1＋kx2－1)＋9＝(k2＋1)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝－16（k2＋1）1＋2k2－16k21＋2k2＋16＝－16（1＋2k2）1＋2k2＋16＝0，所以TA ⊥TB.所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0，3)．(16分) 19. 解析：(1) ①当n≥2时，Sn ＋Sn －1＝a2n ＋23，所以Sn ＋1＋Sn ＝a2n ＋1＋23，两式相减得an ＋1＋an ＝13(a2n ＋1－a2n )，即an ＋1－an ＝3，n ≥2；(2分)当n ＝2时，S2＋S1＝a22＋23，即a22－3a2－10＝0，解得a2＝5或a2＝－2(舍)，所以a2－a1＝3，即数列{}an 为等差数列，且首项a1＝2， 所以数列{}an 的通项公式为an ＝3n －1.(5分) ②由①知an ＝3n －1，所以Sn ＝n （3n －1＋2）2＝3n2＋n2.由题意可得λ≥Sn2n ＋1＝3n2＋n 2n ＋2对一切n ∈N*恒成立，记cn ＝3n2＋n 2n ＋2，则cn －1＝3（n －1）2＋（n －1）2n ＋1，n ≥2，所以cn －cn －1＝－3n2＋11n －42n ＋2，n ≥2.(8分)当n>4时，cn<cn －1；当n ＝4时，c4＝1316，且c3＝1516，c2＝78，c1＝12，所以当n ＝3时，cn ＝3n2＋n 2n ＋2取得最大值1516，所以实数λ的取值范围为⎣⎡⎭⎫1516，＋∞.(11分)(2) 由题意，设an ＝a1qn －1(q>0，q ≠1)，a1·a2·…·an ＝10Tn ，两边取常用对数，得 Tn ＝lga1＋lga2＋…＋lgan.令bn ＝lgan ＝nlgq ＋lga1－lgq ，则数列{}bn 是以lga1为首项，lgq 为公差的等差数列．(13分)若T （k ＋1）n Tkn 为定值，令T （k ＋1）nTkn ＝μ，则（k ＋1）nlga1＋（k ＋1）n[（k ＋1）n －1]2lgqknlga1＋kn （kn －1）2lgq＝μ，即{[(k ＋1)2－μk 2]lgq}n ＋[(k ＋1)－μk]·⎝⎛⎭⎫lg a21q ＝0对n ∈N*恒成立， 因为q>0，q ≠1，所以问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）2－μk 2＝0，（k ＋1）－μk ＝0或a21＝q.将k ＋1k＝μ代入(k ＋1)－μk ＝0，解得μ＝0或μ＝1. 因为k ∈N*，所以μ>0，μ≠1，所以a21＝q. 又an>0，所以a1＝q.(16分)20. 解析：(1) 当a ＝－2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ， x ≥0，当x<0时，f(x)＝－x3＋x2，f ′(x)＝－3x2＋2x ＝－x(3x －2)， 令f′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝23(舍)，所以当x<0时，f ′(x)<0,所以函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数；(2分) 当x≥0时，f(x)＝ex －2x ，f ′(x)＝ex －2， 令f′(x)＝0，解得x ＝ln2，所以当0<x<ln2时，f ′(x)<0；当x>ln2时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0，ln2)上为减函数，在区间(ln2，＋∞)上为增函数，且f(0)＝1>0.(4分) 综上，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，ln2)，单调增区间为(ln2，＋∞)．(5分) (2) 设x>0，则－x<0，所以f(－x)＋f(x)＝x3＋x2＋ex －ax.由题意，x3＋x2＋ex －ax ＝ex －3在区间(0，＋∞)上有解，等价于a ＝x2＋x ＋3x 在区间(0，＋∞)上有解．(6分)记g(x)＝x2＋x ＋3x(x>0)，则g′(x)＝2x ＋1－3x2＝2x3＋x2－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2，(7分)令g′(x)＝0，因为x>0，所以2x2＋3x ＋3>0，故解得x ＝1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，所以函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增， 故函数g(x)在x ＝1处取得最小值g(1)＝5.(9分)要使方程a ＝g(x)在区间(0，＋∞)上有解，当且仅当a≥g(x)min ＝g(1)＝5， 综上，满足题意的实数a 的取值范围为[5，＋∞)．(10分) (3) 由题意知f′(x)＝ex －a.当a≤0时，f ′(x)>0，此时函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(m)＝f(n)，可得m ＝n ，与条件|m －n|≥1矛盾，所以a>0.(11分) 令f′(x)＝0，解得x ＝lna.当x ∈(0，lna)时，f ′(x)<0；当x ∈(lna ，＋∞)时，f ′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna ，＋∞)上单调递增． 若存在m ，n ∈[0，2]，f(m)＝f(n)，则lna 介于m ，n 之间，(12分) 不妨设0≤m<lna<n ≤2.因为f(x)在(m ，lna)上单调递减，在(lna ，n)上单调递增，且f(m)＝f(n)， 所以当m≤x≤n 时，f (x)≤f(m)＝f(n)，由0≤m<n≤2，|m －n|≥1，可得1∈[m ，n]， 所以f(1)≤f(m)＝f(n)．又f(x)在(m ，lna)上单调递减，且0≤m<lna ，所以f(m)≤f(0)， 所以f(1)≤f(0)．同理f(1)≤f(2)，(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧e －a≤1，e －a≤e2－2a ，解得e －1≤a≤e2－e ， 所以1≤a e －1≤e.(16分)21. A ．解析：连结PB ，PC.因为∠PCF ，∠PBD 分别为同弧BP 上的圆周角和弦切角， 所以∠PCF ＝∠PBD.(2分) 因为PD ⊥BD ，PF ⊥FC ， 所以△PDB ∽△PFC ，所以PD PF ＝PBPC.(5分) 同理∠PBF ＝∠PCE. 又PE ⊥EC ，PF ⊥FB ，所以△PFB ∽△PEC ，所以PF PE ＝PBPC .(8分)所以PD PF ＝PFPE ，即PF2＝PD·PE.(10分)B. 解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.(2分)令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，所以属于λ1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于λ2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(5分)令β＝mα1＋nα2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤17＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，m －n ＝7，解得m ＝4，n ＝－3.(7分)所以M4β＝M4(4α1－3α2)＝4(M4α1)－3(M4α2)＝4(λ41α1)－3(λ42α2)＝4×34⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤321327.(10分)C. 解析：由题意知曲线C 的直角坐标方程是y2＝2x ，(2分) 直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝x －4，解得A(2，－2)，B(8，4)，所以AB ＝62，(7分)因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝22，所以S △AOB ＝12×62×22＝12.(10分)D. 解析：因为a ，b ，c ∈R ，a2＋b2＋c2＝1， 所以由柯西不等式得(a －b ＋c)2≤(a2＋b2＋c2)·(1＋1＋1)＝3.(4分)因为|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c)2对一切实数a ，b ，c 恒成立，所以|x －1|＋|x ＋1|≥3.当x<－1时，－2x≥3，即x≤－32；当－1≤x≤1时，2≥3不成立；当x>1时，2x ≥3，即x≥32.综上所述，实数x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(10分) 22. 解析：(1) 因为平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD∩平面ABEP ＝AB ，BP ⊥AB ，所以BP ⊥平面ABCD.又AB ⊥BC ，所以直线BA ，BP ，BC 两两垂直， 以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P(0，2，0)，B(0，0，0)，D(2，0，1)，E(2，1，0)，C(0，0，1)．因为BC ⊥平面ABPE ，所以BC →＝(0，0，1)为平面ABPE 的一个法向量．(2分) PD →＝(2，－2，1)，CD →＝(2，0，0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n·CD →＝0，n·PD →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，2x －2y ＋z ＝0，令y ＝1，则z ＝2，故n ＝(0，1，2)．(4分)设平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角为θ，则cos θ＝n·BC →|n|·|BC →|＝21×5＝255，显然0<θ<π2，所以平面PCD 与平面ABPE 所成二面角的余弦值为255.(6分)(2) 设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25.设PN →＝λPD →＝(2λ，－2λ，λ)(0≤λ≤1)，BN →＝BP →＋PN →＝(2λ，2－2λ，λ)．(7分) 由(1)知平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，2)， 所以cos 〈BN →，n 〉＝BN →·n |BN →|·|n|＝25×9λ2－8λ＋4＝25，即9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－19(舍去)．(9分)当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25.(10分)23. 解析：(1) 因为f(n)[f(n ＋1)＋1]＝2[2－f(n ＋1)]，所以f(n ＋1)＝4－f （n ）f （n ）＋2.由f(1)＝2，代入得f(2)＝4－22＋2＝12，f(3)＝4－1212＋2＝75，所以f(3)－f(2)＝75－12＝910.(2分)(2) 由f(1)＝2，f(2)＝12，可得a ＝－45，b ＝15.(3分)以下用数学归纳法证明： 存在实数a ＝－45，b ＝15，使f(n)＝1－45⎝⎛⎭⎫－32n －15＋1成立．①当n ＝1时，显然成立；(4分)②当n ＝k 时，假设存在a ＝－45，b ＝15，使得f(k)＝1－45⎝⎛⎭⎫－32k －15＋1成立，(5分)那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝4－f（k）f（k）＋2＝4－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－45⎝⎛⎭⎫－32k－15＋11－45⎝⎛⎭⎫－32k－15＋1＋2＝125⎝⎛⎭⎫－32k＋85125⎝⎛⎭⎫－32k－25＝1＋165⎝⎛⎭⎫－32k－15＝1－45⎝⎛⎭⎫－32k＋1－15＋1，即当n＝k＋1时，存在a＝－45，b＝15，使得f(k＋1)＝1－45⎝⎛⎭⎫－32k＋1－15＋1成立．(9分)由①②可知，存在实数a＝－45，b＝15，使f(n)＝1a⎝⎛⎭⎫－32n－b＋1对任意正整数n恒成立．(10分)。
2020年江苏省苏州市高考数学模拟试卷(3月份)(有答案解析)
2020年江苏省苏州市高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知3，，4，，则______．2.若复数z满足是虚数单位，则______．3.执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是______．4.若数据2，x，2，2的方差为0，则x______．5.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是______ ．6.先把一个半径为5，弧长为的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗，正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为______．7.若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则p的值为______．8.在所在的平面上有一点P，满足，则______．9.已知直线与曲线相切，则实数k的值为_________．10.已知椭圆C：，直线与椭圆C交于A，B两点，若，则椭圆离心率的值等于______．11.已知正项数列的前n项和为，，且当时，为和的等差中项，则的值为______12.设，为锐角，，若的最大值为，则实数a的值为______．13.在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：上两个动点，且若直线l：上存在点P，使得，则实数a的取值范围为______．14.已知函数，若函数有6个零点，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求sin A cos B的值；若，求sin A的值．16.如图，在直三棱柱中，，，M，N分别是AC，的中点．求证：平面；B.17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为，并且点在椭圆上．求椭圆C的方程；设斜率为为常数的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点，Q为直线上的任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为，，若，求m的值．18.如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足，记道路CA、CB长之和为L．设，求出L关于的函数关系式；设米，求出L关于x的函数关系式．若新建道路每米造价一定，请选择中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．19.设，为与自变量x无关的正实数．证明：函数与的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；是否存在实数k，使得对任意的恒成立，若存在，求出k的取值范围，否则说明理由．20.定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前k项和与剩下项的和相等若仅为1项，则和为该项本身，我们称该数列是“等和数列”例如：因为，所以数列3，2，1是“等和数列”请解答以下问题：判断数列2，，6，是否是“等和数列”，请说明理由；已知等差数列共有r项，且r为奇数，，的前n项和满足判断是不是“等和数列”，并证明你的结论．是公比为q项数为的等比数列，其中判断是不是“等和数列”，并证明你的结论．21.在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线仍为，求矩阵A．22.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为为参数求直线l与曲线C交点P 的直角坐标．23.已知x，y，z均为正数，且，求证：．24.如图，在三棱锥中，平面ABC，，且，，E为BD的中点．求异面直线AE与BC所成角的余弦值；求二面角的余弦值．25.在自然数列1，2，3，，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为．求；求；证明，并求出的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：解析：解：3，，4，，．故答案为：由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：解析：解：因为复数z满足是虚数单位，；；故答案为：．先利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z到最简形式，再利用复数的模的定义求出．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数模的定义，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．3.答案：7解析：解：时，时，时，因为时停止循环．故．故答案为：7这是一个递推问题，因为只需算到，所以可以逐项列举计算．本题是一道程序框图与递推数列的综合题，要搞清初始项和停止项．属于基础题．4.答案：解析：解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到，解得；故答案为：2．由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题5.答案：解析：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件：1，2；1，5；2，4，共有3种结果，根据古典概型概率公式得到，故答案为：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件共有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．本题考查古典概型，考查数字问题，是古典概型中比较典型的问题，可以列举出所有的事件，本题是一个送分题目．6.答案：解析：解：由题意可知，圆锥的底面周长，，所以，，所以圆锥的体积，设球的半径r，则，所以．故答案为：由已知先求出圆锥的底面半径及高，求出圆锥的体积即为球的体积，然后根据球体积公式即可求解．本题主要考查了球的体积及圆锥的体积的求解，解题的关键是寻求等量关系．7.答案：6解析：解：由双曲线，得，，则，则双曲线的左焦点为，抛物线的准线方程为，则，．故答案为：6．由双曲线方程求得左焦点坐标，代入抛物线的准线方程求解p．本题考查双曲线与抛物线的简单性质，是基础题．8.答案：解析：解：由可得，则．，则．故答案为：．由可得，则．即可求解．本题考查了向量的数量积运算，向量的线性运算，属于中档题．9.答案：解析：【分析】本题给出直线是曲线的切线，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题设切点为，对求导数得，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为，对照已知直线列出关于、k的方程组，解之即可得到实数k的值．【解答】解：设切点为，对求导数，得，切线的斜率，故切线方程为，整理得，与直线比较，得：，故，故答案为：．．10.答案：解析：解：联立方程组可得，所以，所以，，因为，所以，所以，可得，所以离心率故答案为：直线与椭圆的方程联立求出A，B的坐标，由可得，求出a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出离心率．本题考查直线与椭圆的综合，及直线的垂直和数量积为0的关系，属于基础题．11.答案：8解析：解：正项数列的前n项和为，，且当时，为和的等差中项，可得，即为，可得是首项、公差均为2的等差数列，即有，由题意可得，，则，故答案为：8．运用等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得，进而得到，即可得到所求值．本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列的定义和通项公式，考查化简运算能力，属于中档题．12.答案：解析：解：，因为，为锐角，所以当且仅当时，取等号，因为，所以，所以最大值为，又因为的最大值为，所以，即，解得，故答案为：．由题意利用两角和差的的三角公式本题主要考查两角和差的的三角公式的应用及不等式，属于基础题．13.答案：解析：解：设，，AB的中点，圆C：的圆心，半径，圆心到AB的距离，直线l：上存在点P，使得，设，则，，得，即，，整理，得，直线l：上存在点P，使得，，解得．故答案为：．设，，圆C：的圆心，半径，求出圆心C到AB的距离为1，设，由向量等式可得AB的中点M的坐标，再由列关于x的方程，由直线l上存在点P，使得，利用判别式大于等于0求得实数a的取值范围．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识，考查数学转化思想方法与运用求解能力，属难题．14.答案：解析：解：对于，令，有两个正根，．做出的图象如右图：时，；时，；时，．该函数在递增，在上递减，在递增，且恒成立．且当与各有三个交点时，满足题意，据图可知方程在上有两个不等实根时即可，令，，解得．故答案为：．可以先对整体换元，转化为一元二次方程首先有两个正根，，然后令，转化为与各有三个交点的问题．本题考查了利用图象法研究函数的零点问题，进行换元将问题进行转化是本题的关键．同时本题考查了学生利用数形结合思想、函数思想、分类讨论思想解题的能力．有一定难度．15.答案：解：中，，，；中，，，，或，或；或，或不合题意，舍去．综上，．解析：利用三角形内角和定理与两角和与差的正弦公式，即可求出sin A cos B的值；利用正弦定理把化为，再利用的结论求出B的值，从而求出sin A的值．本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了正弦定理的应用问题，是综合性题目．16.答案：证明：取AB的中点P，连结PM、，因为M、P分别是AC，AB的中点，所以且，在直三棱柱中，，，又因为N是的中点，所以，且所以四边形是平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面．因为三棱柱为直三棱柱，所以面，又因为面，所以面面，又因为，所以，面面，平面，所以面，又因为面，所以，即，连结，因为在平行四边形中，，所以，又因为，且，面，所以面，而面，所以．解析：本题考查线面平行、线线垂直的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．取AB的中点P，连结PM、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．由题推导出面，从而面面，由推导出，利用线面垂直的判定证明面，进而，即，连结，推导出，结合线面垂直的判定可证面，再根据线面垂直的性质证明．17.答案：解：因为椭圆C的两个焦点为和，点在此椭圆上．所以，所以，所以椭圆方程为；由已知直线l：，设，，，由得．所以．因为且，所以，整理得，因为点不在直线l上，所以，所以，整理得，将，代入上式解得，所以．解析：根据焦点坐标可得，利用椭圆定义可得，结合，解出b即可；设直线l：，，，，与椭圆方程联立，结合Q不在直线l上，可整理得到，利用根与系数关系，带入即可计算出m的值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆相交，属于中档偏难题．18.答案：解：在中，，所以，所以，在中，，所以，其中，设，则在中，，由和相似可得，即，即，即即，即，化简可得，其中；选择中的第一个函数关系式，以，其中，在，，，令，解得，令，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，取得最小值，新建道路造价最少解析：根据正弦定理和解直角三角形即可求出L关于的函数关系式；利用三角形相似，即可得到，整理化简即可，选择中的第一个函数关系式，以，其中，利用导数求出函数的最小值即可．本题考查了函数在实际生活的应用，以及导数在最值中的应用，考查了转化能力和数学建模能力，属于中档题19.答案：解：证明：因为，，所以，的图象存在一个公共的定点．因为，，所以，，所以在定点处有一条公切线，为直线．假设存在实数k，使得对任意的恒成立，即存在实数k使得对任意的恒成立．令则令，则因为，，且，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以存在唯一实数，使得，即，且，所以在处取得最小值，所以在上单调递增，所以，因为对任意的恒成立，所以，所以存在使得对任意的恒成立．解析：由，及，即可得证；先假设存在，则对任意的恒成立，构造函数，接下来只需要利用导数判断函数在上是否存在最小值即可．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究不等式的恒成立问题，考查转化思想及构造函数思想，锻炼了学生的计算能力以及逻辑推理能力，属于中档题目．20.答案：解：，数列2，，6，是“等和数列”．由，两边除以，得，即，所以，数列为等差数列且，，所以，，假设存在k使得数列的前k项和与剩下项的和相等，即，所以在中，因为r为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边一定是偶数，所以不可能有解，从而假设错误，不是“等和数列”．设为的前n项和，假设是“等和数列”，则存在且，使得成立，即于是成立，即因为，所以，又，即，所以，所以，与产生矛盾．所以假设不成立，即不是“等和数列”．解析：四项数列举例即可．由构造数列，进而求出，再由“等和数列”的定义检验即可．由等比数列与等和数列的公式和定义找出成立，即再由q，k，m的范围和大小关系判断即可．本题既有等差数列与等比数列公式性质的考查，又有递推数列构造法求通项公式的类型，更有新定义”等和数列”与整数奇偶性的研究，本题是综合性较强的难题．21.答案：解：设是直线上任意一点，其在矩阵对应的变换下得到，对应的点为仍在直线上，所以得，与比较得，解得，故A．解析：设直线上任意一点，算出其在变换下对应的点，代入直线方程，与直线对应，求出参数，可得．本题考查直线的矩阵对称，属于基础题．22.答案：解：直线l的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．曲线C的参数方程为为参数，整理得，转换为直角坐标方程为．所以，整理得，解得或，当时，，当时，，所以直线与曲线的交点的坐标为和．解析：首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系式的应用，建立方程组，进一步求出交点的坐标．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：因为x，y，z均为正数，所以，，均为正数，由柯西不等式得，当且仅当时，等式成立．因为，所以，所以．解析：由x，y，z均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．24.答案：解：如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，E为BD的中点，0，，2，，0，，1，，，，，异面直线AE与BC所成角的余弦值为；，．设平面AEC与平面BEC的一个法向量分别为，．由，取，可得；由，取，可得．．由图可知，二面角为钝二面角，二面角的余弦值为．解析：以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线AE与BC所成角的余弦值；分别求出平面AEC与平面BEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．25.答案：解：数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，；解：；证明：把数列1，2，，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余个元素重新排列，并且使其余个元素都要改变位置，则有，故，又，．令，则，且．于是，左右同除以，得．解析：数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；类比即可得出；把数列1，2，，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余个元素重新排列，并且使其余个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．本题考查了排列与组合的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。
2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。
13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。
1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。
16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。
证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。
17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。
1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。
若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。
18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。
现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(二)附答案解析
2020 年江苏高考数学全真模拟试卷二数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题 ~第 20 题 ,共 20 题 ).本卷满分为160 分 , 考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米色水的署名笔填写在答题卡的规定地点.A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合.4.作答试题一定用0.5 毫米色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答，在其余地点作答律无效 .5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题 :本大题共14 小题 ,每题 5 分 ,合计 70 分 .请把答案填写在答题卡相应地点上1.已知会合 U={ x｜ x＞ 1}, A ={ x ｜ x ＞ 2}, 则 ?U A =▲．2.已知复数 z知足 (1+ i ) z= i 2020 (i 为虚数单位 ),则 z在复平面内对应的点位于第▲象限.3.已知一组数据 4,6,5,8,7,6, 那么这组数据的方差为▲．i ← 14.已知向量 a=(1,2), b=(2, － 1) 则 a? (a－ b)的值为▲．S ← 25.履行如下图的伪代码 ,则输出的 S 的值为▲．While S＜ 20 S ← S＋ i6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都同样的红球和黄球共 5 个 , i ← i＋ 22 End While 从中随机拿出 1 个球 ,该球是红球的概率是5 . 现从中一次随机拿出 2 Print S个球 ,则这 2 个球的颜色同样的概率为▲．（第 3 题图）x＋ y≥2，7.已知 x, y 知足拘束条件y≥x -2，,则 z= y -3的最大值为▲．xy≤1，π8.将函数 f ( x) = sinωx(ω>0)的图象向右平移6个单位长度 ,获得函数 y=g(x)的图像，若 y=g( x)是偶函数 ,则ω的最小值为▲．9. 已知一个圆柱的高为3cm, 体积为12π cm3 , 则该圆柱的外接球的表面积为▲cm 2．10.已知函数f( x) = 2x 1 ｜x - 2 ｜．若对随意 x1∈[1, + ∞ )，都存在 x2∈ [1, + ∞ )，2 , g(x) = ( ) + ax + 4 2使得 f(x 1 ) = g( x2 ), 则实数 a 的取值范围是▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C:x2 y2a 2－b 2 =1 ( a>0，b>0)的左焦点F作倾斜角为30°的直线 ,与圆 C′ : x2 +y 2 =b 2交于点 A,B.若∠ AOB=60 °,则双曲线 C 的离心率为▲．12.设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n ,若 1, a n , S n成等差数列 ,则 a 1 + a 2 + + a n的值为▲．13.如图 ,在等腰三角形ABC 中 ,AB =2, AC =BC = 5 .若 D是△ABC所→→→→→ C Dμ的最大值在平面内一点 ,且DB ? DC =0.设AD =λAB +μAC ,则λ+为▲．－x3＋ 3x2＋ t， x≤0，14.已知函数 f( x) = 若函数 y = f( f( x)) 恰3 x－ 1 ， x﹥ 0 ， A（第 13 B好有 4 个不一样的零点，则实数t 的取值范围是▲．题）二、解答题 :本大题共 6 小题 ,合计明、证明过程或演算步骤.90 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说15.(本小题满分14 分 )如图 ,在四棱锥P-ABCD 中,BA ⊥ AD ,CD ⊥ AD ,E 是棱 PD 上一点 ,AE ⊥ PD ,AE ⊥ AB .(1) 求证 : AB ∥平面 PCD ;P(2) 求证 : 平面 ADP⊥平面 PCD.EDCAB（第 15 题）在△ ABC 中 ,角 A ,B, C 的对边分别为 a,b,c 若 cos2 A +1=2 sin2A2.(1) 求角 A 的大小;π(2) 若 b =4, c=5, 求 sin(B+3 )的值.17.(本小题满分 14 分 )某企业准备设计一个精巧的心形巧克力盒子 ,它是由半圆 O 1、半圆 O 2 和正方形 ABCD 组成的 ,且 AB =8cm. 设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH , 标签的此中两个极点 E ,F 在 AM 上 ,此外两个极点 G ,H 在 CN 上(M,N 分别是 AB ,CB 的中点 )设 EF 的中点 为 P , ∠ FO 1 P = θ,矩形 EFGH 的面积为 Scm 2.M BNF · ·(1) 写出 S 对于 θ的函数关系式 S(θ);GP··(2) 当 θ为什么值时 ,矩形 EFGH 的面积最大 ?O 1O 2E AHCD（第 17 题）18.(本小题满分 16 分 )如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,已知椭圆 E: x 2 y2 2,离心率为 2a 2 +b 2 =1 ( a> b>0) 的短轴长为2.(1) 求椭圆 E 的标准方程 ;(2) 若直线 l 与椭圆 E 相切于点 P (点 P 在第一象限内 ), 与圆 x 2 + y 2=12 订交于点 A ,B, → →y且 AP =2 PB ,求直线 l 的方程 .APOxB（第 17 题）已知各项均为正数的两个数列 { a nna n+ 1+1a nn2 n2 n +1+ 1},{ b } 知足 a n +2 =a n + 1 － 1 ,2a =logb + log b且 a 1 = b 1 =1 .(1) 求证 : 数列 { a n } 为等差数列 ;(2) 求数列 { b n } 的通项公式 ;(3) 设数列 { a },{ b } 的前 n 项和分别为S ,T , 求使得等式 2S m + a m -36=T i 建立的有序nnnn数对 ( m,i )( m,i ∈ N ※) .20.(本小题满分 16 分 )已知函数 f( x)=( x -1)e x,g ( x)= a +ln x ,此中 e 是自然对数的底数 .(1) 若曲线 y= f( x )在 x=1 处的切线与曲线 y= g (x )也相切 . ①务实数 a 的值 ;②求函数 φ( x)= f( x )+e | g( x) | 的单一区间 ;1(2) 设 h( x)= bf ( x) － g( x )+ a, 求证 : 当 0< b< e 时 ,h( x) 恰巧有2个零点.数学Ⅱ附带题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 21 题 ~第 23 题 ).本卷满分为考试结束后 ,请将本试卷和答题卡一并交回40 分,考试时间为30 分钟,2.答题前 ,请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在答题卡的规定地点A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合4.作答试题一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答,在其余地点作答一律无效5.如需作图 ,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.21【选做題】此题包含 A 、 B 、C 三小题 ,请选定此中两小题,并在相应的答题地区内作答，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做 ,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A. [ 选修 4-2:矩阵与变换 ] (本小题满分10 分)x x′ a x, 试写出变换 T 对应的矩阵 A,并求出其逆矩阵A-1. 已知变换 T:→=2x +2yy y′B.[ 选修 4:坐标系与参数方程 ] (本小题满分 10 分 )在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知直线 l 的参数方程x=1+ t(t 为参数 ), 曲线 C 的参数方程y=3t为x=2 m2(m 为参数 ). 若直线 l 与曲线 C 订交于点 A ,B , 求△ OAB 的面积 . y=2 mC.[ 选修 45:不等式选讲 ] (本小题满分10 分 )已知 a、 b、 c∈ R，且 a+ b+ c =3, a 2 + b2 +2 c 2 =6, 务实数 a 的取值范围 .【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分 ,合计 20 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图 ,在直三校柱ABC－ A1B1C1中 , △ABC 是等直角三角形 ,∠ ACB=90 °,AB=4 2 ,M是 AB 的中点 ,且 A1M⊥ B1C．(1)求 A1A的长;(2)已知点 N 在棱 CC1上,若平面 B1AN 与平面 BCC1B1所成锐二面角的平面角的余弦值为10 ，试确立点 N 的地点．1C110 AB1NA CM（第 22 B 题）23.(本小题满分 10 分 )已知正整数 n ≥ 2, 会合 P ={ x|1 ≤ x≤ n, x∈ N }, A ,B , C 是会合 P 的 3 个非空子集，记a n , 为全部知足 A B, AU BU C=P 的有序会合对 (A ,B,C) 的个数 .(1) 2求 a ；(2) 求 a n。
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吴中区2020年高考模拟试卷
第一卷
考试时间120分钟满分160分
一、填空题:
1.已知x,y ∈R,i 为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则x+y=___
2.己知集合A 2
{1,2,4},{|20},B x x x ==-<则A∩B=___
3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和-一个最低分后，所剩数据的平均分为___
4.执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是___
5.甲、乙、丙、丁4名志愿者参加两个小区防控值班，每个小区去两人，则“甲、乙两人恰好在同一个小区”的概率为____
6.函数()f x =的定义域为____7，已知双曲线221412
x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22.y px =上,则实数p 的值为___
8.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60°，侧面积为则该棱锥的体积为___
9.公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为,n s 2422,50,a S S =-=则63S S -的值为___
10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1,C x y +-=22
:(6,C x y '++=直线l:y =kx+3与圆C 相切，且与圆C'相交于A,B 两点、,则弦AB 的长为___
11.将函数f(x)=sin 2x 的图像向右平移
6π个单位，得到函数g(x)的图像，则函数y=f(x)-g(x)在区间[0,]2
π上的值域为___12.己知函数||
()(21),x f x x =-若关于x 的不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-≤对任意的x ∈[1,3]恒
成立,则实数a 的取值范围是___13.如图，己知半圆O 的直径AB =8,点P 是弦AC:(包含端点A,C)上的动点,点Q 在弧 BC
上.若△OAC 是等边三角形,且满足0,OQ OP ⋅= 则OP BQ ⋅ 的最小值为___
14.记实数123,,,,n x x x x 中的最大数为12max{,,,},n x x x 最小数为12min{,,,},n x x x 已知实数x,y 满足1≤x≤y,且x,y,1这三数能成为三角形的三边长,若11(max{,
,})(min{,,})x x t y y x y x y =⨯,则t 的取值范围是___
二、解答题:
15.已知△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知向量2(cos ,2c 2
os
1)C B =-m ,n =(c,b-2a),且m ·n =0.
(1)求角C 的大小:
(2)若△ABC 的面积为,a+b=6,求c.16.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ABCD ⊥,且,PA AD =E,F 分别是棱AB,PC 的中点.
求证：(1)EF//平面PAD;
(2)平面PCE 上平面PCD.
17.如图，已知椭圆E:22221(x y a b a b
+=>>+0)和圆222:(),C x a y a -+=2(1,0)F 为椭圆E 的右焦点,过2F 且斜率为k(k>0)的直线l 交圆C 于A,B 两点,交椭圆E 于点P,Q 两点.已知当3k = 6.AB =(1)求椭圆E 的方程;
(2)当2103
PF =时，求△PQC 的面积.
18.如图为某大江的一段支流，岸线1l 与2l 近似满足12//,l l 宽度为7km.圆O 为江中的一个半径为2km 的小岛,小镇A 位于岸线11上，且满足岸线l 1⊥OA,OA=3km.现计划建造一条自小镇A 经小岛O 至对岸2l 的水上通道ABC(图中粗线部分折线段,B 在A 右侧),为保护小岛，BC 段设计成与圆O 相切.设(0)2
ABC ππθθ∠=-<<.(1)试将通道ABC 的长L 表示成θ的函数,并指出定义域;
(2)若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元?
19.已知函数2()ln 2(),()12()
f x x ax a R
g x x f x =+∈=+-(l)当a=-1时,
①求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程;
②比较f(m)与1()(0)f m m
>的大小;(2)当a>0时,若对∀x ∈(1,+∞)时,g(x)≥0,且g(x)有唯一零点，证明:3.4a <
20.若数列{}n a 满足:对于任意*12|,
|n n n n N a a a ++∈+-均为数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数
列”.(1)若数列{}n a 的前n 项和242,n S n n n =-∈N*,试判断数列{a n }是否为“T 数列”？说明理由;
(2)若公差为d 的等差数列{a n }为“T 数列”，求d 的取值范围;
(3)若数列{an}为"T 数列”，a=1,且对于任意*,n N ∈均有22
11,n n n n a a a a ++<-<求数列{}n a 的通项公式.
第二卷
时间:30分钟总分:40分
21A.[选修4-2:矩阵与变换]
已知变换T 将平面上的点11,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1)分别变换为点93,2,,442⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设变换T 对应的矩阵为M.(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M 的特征值.21B.[选修4-4:坐标系与参数方程]
以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系，判断直线1:1212k t y t
=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与圆C 2:2cos 2sin 0p p ρθθ+-=的位置关系.21C.[选修4-5:不等式选讲]
已知函数()()f x g x ==x 使f(x)+g(x)>a 成立,求实数a 的取值范围.22如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ⊥平面ABC,AB ⊥AC,且1 2.
AB AC A B ===(1)求棱1AA 与BC 所成的角的大小;
(2)在棱11B C 上确定一点P,使二面角P-AB-A 1的平面角的余弦值为.5
23.设(,)(1)C ,(,)C k k n n m n P n m Q n m m k
m +=-=+，其中m,*.n N ∈(1)当m=1时,求((,1)1),P n n Q ⋅)的值;
(2)*
m ∀∈N ,证明;P(n,m)·Q(n,m)恒为定值.。