速率分布函数
麦克斯韦速率分布函数的物理意义
麦克斯韦速率分布函数的物理意义麦克斯韦速率分布曲线指的是麦克斯韦推论出的一种物理曲线。
麦克斯韦速率分布曲线就是麦氏分布函数f(v)与速率v的函数关系曲线。
它反映了在温度为T的平衡态下，给定种类理想气体系统的分子热运动速率的统计分布规律。
以为横轴，以麦克斯韦分布函数为纵轴，画出的图线叫做麦克斯韦速率分布曲线(如图所示)，它能形象地表示出气体分子按速率分布的情况。
图中任一区间内曲线下的窄条面积表示在该区间内的分子数占总分子数的比率，而任一有限范围内曲线下的面积则表示分布在这范围内的分子所占的比率。
由上图可见速率分布曲线从坐标原点出发，经过一极大值后，随速率的增大而渐近于横坐标轴。
这说明，气体分子的速率可以取由0到之间的一切数值，速率很大和很小的分子所占的比率实际上都很小，而具有中等速率的分子所占的比率却很大。
与极大值对应的速率叫做最概然速率，通常用表示。
它的物理意义是，如果把整个速率范围分成许多相等的小区间，则分布在所在的区间的分子比率最大。
于是有由此得即温度越高，越大；分子质量越大，越小。
与对应的值为即温度越高。
即温度越高，值越小。
麦克斯韦分布函数表明，对于给定的气体(即一定)，分布曲线的形状随温度而变。
如右图中画出了和两个温度的分布曲线。
当温度升高时，速率较大的分子加多，最概然速率变大，所以曲线的高峰移向速率大的一方。
但由于曲线下的总面积恒等于1，所以温度升高时曲线变得较为平坦。
在同一温度下，分布曲线因气体不同而异。
因为最概然速率与分子质量的平方根成反比，所以大质量分子的小，曲线高峰移向速率小的一方。
用麦克斯韦速率分布函数可以求出平衡态下理想气体分子的平均速率。
平均速率的定义是。
热学-兰州大学物理学院
热学课程教学大纲一、课程说明课程名称：热学所属专业：物理学专业本科学生课程性质：大类平台课程学分：3分主要先修课程和后续课程：（1）先修课程：高等数学，力学。
（2）后续课程：热力学与统计物理，电磁学，原子物理学，固体物理。
课程简介、目标与任务：“普通物理学”课程是理科物理类专业的重要基础课，由力学、热学电磁学、光学和原子物理学这五个部分组成。
各个部分单独设课，“热学”是其中继“力学”后的第二门课程。
“普通物理学”课程的“目的是使学生系统地了解和掌握物理学的基本概念、基本原理、基本知识、基本思想“和方法，以及它们的实验基础；了解物理学的发展方向及物理学与其它自然科学和社会科学等的关系；培养学生进一步学好物理学的兴趣，提高学生的自学能力、分析和解决问题的能力；逐步帮助学生建立科学的自然观、世界观和方法论。
”“热学”课程在物理类专业一年级第二学期开设。
通过“热学”课程的学习，使学生认识物质热运动形态的特点、规律和研究方法，深刻地理解热运动的本质，较为系统地掌握热力学、气体动理论和物性学的基础知识，能独立解决今后学习中遇到的一般热学问题，为进一步学习电磁学、原子物理学、理论物理热力学和统计物理等后续课程打下良好的基础。
教材：《热学》（第二版），李椿等编，高等教育出版社，2008主要参考书：1. 《热学》（第二版）习题分析与解答，宋峰常树人编，高等教育出版社，20102. 《热学》（第二版）常树人编，南开大学出版社，20092.《热学教程》，包科达编，科学出版社，20073. 《热学》（第二版），张玉民编，科学出版社，20064.《新概念物理教程·热学》（第二版），赵凯华等编，高等教育出版社，20055.《普通物理学教程·热学》（第二版），秦允豪编，高等教育出版社，20046. 《热学》（第二版），李洪芳编，高等教育出版社，2001二、课程内容与安排绪论(1学时)第一节热学研究的对象和方法第二节热学发展简述主要内容:热学研究的对象热现象热运动热力学统计物理学气体动理学理论物性学热学研究的方法宏观量微观量宏观量与微观量的关系热学发展简史热学常用物理量的符号热学常用物理量的单位基本物理常量基本物理常量的国际推荐值物理量的数量级物质世界的层次分子的典型数据热学课程的特点【掌握】：热学研究的对象热运动热学研究的方法宏观量微观量宏观量与微观量的关系热学课程的特点【了解】：热学发展简史热学常用物理量的符号热学常用物理量的单位物理量的数量级分子的典型数据物质世界的层次【难点】：深入理解热学是适用于宏观和微观的普适理论宏观理论和微观理论的本质关系第一章温度（5学时）第一节平衡态状态参量第二节温度第三节气体的物态方程主要内容：平衡态热动平衡对平衡态的描述力学平衡热学平衡化学平衡相变平衡状态参量几何参量力学参量化学参量电磁参量热接触热平衡热动平衡的条件热力学第零定律温度及温标建立温标的要素水的冰点水的汽点水的三相点经验温标华氏温标摄氏温标理想气体温标热力学温标国际实用温标ITS-90 温度计液体温度计定体气体温度计定压气体温度计物态方程气体物态方程玻意耳定律阿伏伽德罗定律理想气体物态方程普适气体常量阿伏伽德罗常量玻尔兹曼常量洛施密特常量道尔顿分压定律混合理想气体的物态方程分体积定律平均摩尔质量体积分数压强分数摩尔质量分数质量分数物质的量分数混合理想气体的密度非理想气体物态方程范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯气体昂内斯方程【重点掌握】：平衡态热动平衡热动平衡的条件热力学第零定律温度及温标的概念理想气体物态方程范德瓦耳斯方程【掌握】：对平衡态的描述力学平衡热学平衡化学平衡相变平衡状态参量几何参量力学参量化学参量热接触热平衡建立温标的要素水的冰点水的汽点水的三相点经验温标理想气体温标热力学温标玻意耳定律阿伏伽德罗定律普适气体常量阿伏伽德罗常量玻尔兹曼常量洛施密特常量道尔顿分压定律混合理想气体的物态方程【了解】：国际实用温标ITS-90华氏温标摄氏温标温度计液体温度计定体气体温度计定压气体温度计各种物态方程平均摩尔质量体积分数压强分数摩尔质量分数质量分数物质的量分数混合理想气体的密度非理想气体物态方程昂内斯方程【难点】：平衡态热动平衡温度及温标概念的建立物态方程的建立第二章气体分子动理论的基本概念（6学时）第一节物质的微观模型第二节理想气体的压强第三节温度的微观解释第四节分子力第五节范德瓦耳斯气体的压强主要内容：气体动理学理论的基本论点分子论点热运动论点分子力论点统计论点布朗运动的微观解释统计规律性与涨落现象偶然性与必然性的关系统计性假设平均值加权平均统计平均理想气体的微观模型理想气体压强公式的推导气体压强的微观解释用不同的简化模型推导理想气体压强公式理想气体分子平均平动动能与热力学温度的关系温度的微观解释对理想气体定律的推证阿伏伽德罗定律道尔顿分压定律分子间力伦纳德－琼斯模型短程力分子间力势能常用分子间力势能模型微观粒子的弹性碰撞模型分子有效直径分子直径与热力学温度的关系分子间力的平衡距离分子间斥力的有效作用距离分子间引力的有效作用距离分子间力的典型数据分子体积引起的修正分子间引力所引起的修正范德瓦耳斯常量b 范德瓦耳斯常量a范德瓦耳斯气体的压强范德瓦耳斯气体的压强与理想气体的压强范德瓦耳斯方程的适用范围范德瓦耳斯气体的摩尔体积【重点掌握】：气体动理学理论的基本论点理想气体的微观模型气体压强的微观解释温度的微观解释【掌握】：理想气体压强公式的推导用不同的简化模型推导理想气体压强公式理想气体分子平均平动动能与热力学温度的关系对理想气体定律的推证常用分子间力势能模型微观粒子的弹性碰撞模型分子有效直径的概念分子体积引起的修正分子间引力所引起的修正范德瓦耳斯气体的压强【了解】：布朗运动的微观解释分子间力来源分子直径与热力学温度的关系分子间力的平衡距离分子间斥力的有效作用距离分子间引力的有效作用距离分子间力的典型数据范德瓦耳斯常量b范德瓦耳斯常量a范德瓦耳斯方程的适用范围【一般了解】：偶然性与必然性的关系统计性假设算术平均几何平均加权平均统计平均范德瓦耳斯气体的压强与理想气体的压强用迭代法计算范德瓦耳斯气体的摩尔体积【难点】：各种简化模型的建立方式物体内分子之间的相互作用和分子的热运动决定其宏观性质理想气体压强公式的推导宏观量的微观本质第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布（11学时）第一节气体分子的速率分布率第二节用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律第三节玻尔兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布第四节能量按自由度均分定理主要内容：分布函数速率分布函数速率分布函数的归一化条件麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布曲线的特征麦克斯韦速率分布律的适用范围随机事件概率概率加法定理概率乘法定理概率分布函数气体分子的最概然速率麦克斯韦速率分布函数的约化形式用麦克斯韦速率分布函数求平均值气体分子的平均速率和方均速率用麦克斯韦速率分布函数求分子数误差函数的计算气体分子速率其他特征速率麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布曲线的特征麦克斯韦速度分布函数的约化形式速度空间麦克斯韦速度分布函数与麦克斯韦速率分布函数的关系麦克斯韦速度分布函数的定义域气体分子速度分量的最概然值、平均值和方均根值分子通量公式泻流分子束泻流存在的条件麦克斯韦发射分布麦克斯韦发射分布的约化形式麦克斯韦速率分布律的实验验证密勒和库士实验葛正权实验等温大气等温气压公式气压计和高度计玻尔兹曼分布律重力场中微拉按高度的分布阿伏伽德罗常量的测定大气标高大气粒子总数大气的温度结构标准大气负绝对温度自由度分子运动的自由度分子的平动自由度分子的转动自由度分子的振动自由度刚性分子和非刚性分子的自由度线形分子和非线形分子的自由度能量均分定理理想气体的内能理想气体热容的经典理论能量均分定理的应用限度量子理论对气体热容量的解释【重点掌握】：麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速度分布律玻尔兹曼分布律能量均分定理【掌握】：麦克斯韦速率分布曲线的特征麦克斯韦速率分布律的适用范围气体分子的最概然速率用麦克斯韦速率分布函数求平均值、气体分子的平均速率和方均速率用麦克斯韦速率分布函数求分子数麦克斯韦速度分布曲线的特征分子通量公式等温大气等温气压公式重力场中微拉按高度的分布分子运动的自由度理想气体的内能理想气体热容的经典理论【了解】：分布函数随机事件概率概率加法定理概率乘法定理气体分子特征速率的量纲分析麦克斯韦速率分布函数的约化形式麦克斯韦发射分布麦克斯韦速率分布律的实验验证密勒和库士实验葛正权实验大气标高能量均分定理的应用限度量子理论对气体热容量的解释【一般了解】：误差函数的计算麦克斯韦发射分布的约化形式阿伏伽德罗常量的测定大气粒子总数大气总质量大气的温度结构大气的均质层标准大气负绝对温度【难点】：速率分布函数及分布函数的统计意义麦克斯韦速率及速度分布律函数的统计意义及应用玻尔兹曼分布律的统计意义及应用第四章气体内的输运过程（5学时）第一节气体分子的平均自由程第二节输运过程的宏观规律第三节输运过程的微观规律主要内容：气体分子的碰撞频率气体分子的碰撞截面气体分子的平均自由程气体分子的平均相对速率与平均速率的关系分子的自由程分布函数穿过指定截面的分子的平均自由程分子穿过指定截面前最后一次受碰处至截面的平均距离黏性现象牛顿黏性定律黏度系数黏性现象的微观解释热传导现象傅里叶定律热导率热传导现象的微观解释热传导与电传导扩散现象菲克定律扩散系数扩散现象的微观解释黏度系数、热导率、扩散系数与压强的关系黏度系数、热导率、扩散系数与温度的关系黏度系数、热导率、扩散系数彼此之间的关系黏度系数、热导率、扩散系数的数量级低压下气体的黏性现象低压下气体的热传导现象容器对其内的低压气体分子的碰撞频率和平均自由程的限定估算分子有效直径的方法的比较分子热运动的典型数据【重点掌握】：气体分子的碰撞频率气体分子的碰撞截面气体分子的平均自由程黏性现象热传导现象扩散现象【掌握】：牛顿黏性定律及其微观解释傅里叶定律及其微观解释菲克定律及其微观解释低压下气体的黏性现象低压下气体的热传导现象容器对其内的低压气体分子的碰撞频率和平均自由程的限定【了解】：黏度系数、热导率、扩散系数与压强、温度的理论和实验比较黏度系数、热导率、扩散系数彼此之间的关系黏度系数、热导率、扩散系数的数量级估算分子有效直径的方法的比较分子热运动的典型数据【一般了解】：穿过指定截面的分子的平均自由程分子穿过指定截面前最后一次受碰处至截面的平均距离的概念【难点】：气体分子的碰撞频率、气体分子的碰撞截面、气体分子的平均自由程的概念的建立分子穿过指定截面前最后一次受碰处至截面的平均距离第五章热力学第一定律（10学时）第一节热力学过程第二节功第三节热量第四节热力学第一定律第五节热容焓第六节气体的内能焦耳-汤姆孙实验第七节热力学第一定律对理想气体的应用第八节循环过程和卡诺循环主要内容：热力学过程准静态过程非静态过程作功体积功作功的计算过程曲线示功图广义坐标广义位移广义力广义功绝热过程绝热功内能热量传热传热的计算热容量比热容摩尔热容焓作功与传热都是过程量作功与传热的等当性热力学第一定律能量守恒定律第一类永动机符号规定焦耳实验绝热自由膨胀过程等内能过程理想气体的内能焦耳－汤姆孙实验绝热节流膨胀过程等焓过程焦耳－汤姆孙效应焦耳－汤姆孙系数理想气体的焓反转温度理想气体的宏观定义迈耶关系热功当量的测定热力学第一定律对理想气体的应用等体过程等压过程等温过程绝热过程多方过程等热容过程直线过程理想气体绝热过程方程泊松公式循环热机的工作原理正循环的效率制冷机与热泵的工作原理逆循环的制冷系数符号规定卡诺热机卡诺循环理想气体卡诺循环的效率理想气体逆向卡诺循环的制冷系数奥托循环狄塞尔循环斯特林循环回热式循环热机与热泵的组合应用【重点掌握】：热力学过程准静态过程作功体积功作功的计算绝热功内能热量热容量比热容摩尔热容焓理想气体的宏观定义迈耶关系热力学第一定律对理想气体的应用循环热机的工作原理正循环的效率逆循环的制冷系数【掌握】：理想气体的内能理想气体绝热过程方程泊松公式【难点】：绝热过程多方过程第六章热力学第二定律（6学时）第一节热力学第二定律第二节热现象过程的不可逆性第三节热力学第二定律的统计意义第四节卡诺定理第五节热力学温标第六节应用卡诺定理的例子主要内容：热力学第二定律开尔文表述克劳修斯表述第二类永动机热力学第二定律的适用范围热力学第二定律两种表述的等效性可逆过程不可逆过程各种不可逆过程互相关联热力学第二定律的实质论证过程的不可逆性的方法不可逆过程的特点孤立系统宏观状态和微观状态气体自由膨胀的不可逆性热力学第二定律的统计意义卡诺定理可逆卡诺循环的效率不可逆卡诺循环的效率对于制冷机类似卡诺定理的结论卡诺定理的推广任意正循环的效率卡诺定理的应用热力学温标的引入热力学温标与理想气体温标和摄氏温标的关系内能随体积的改变与物态方程的关系定压摩尔热容与定体摩尔热容的关系【重点掌握】：热力学第二定律开尔文表述克劳修斯表述热力学第二定律两种表述的等效性可逆过程不可逆过程热力学第二定律的实质卡诺定理【掌握】：孤立系统宏观状态和微观状态气体自由膨胀的不可逆性热力学第二定律的统计意义【难点】：论证过程的不可逆性的方法不可逆过程的特点第七章固体（1学时）第一节晶体第二节晶体中粒子的结合力和结合能第三节晶体中粒子的热运动主要内容：物质的聚集态凝聚体固体液体气体晶体与非晶体单晶体和多晶体长程有序晶体中粒子的结合力晶体弹性的微观解释晶体中粒子的热运动热振动杜隆－珀蒂定律晶体热膨胀的微观解释晶体线膨胀率的计算非晶态固体过冷液体短程有序【重点掌握】：晶体中粒子的热运动热振动杜隆－珀蒂定律【掌握】：晶体与非晶体单晶体和多晶体晶体中粒子的结合力晶体弹性的微观解释晶体热膨胀的微观解释第八章液体（4学时）第一节液体的微观结构液晶第二节液体的彻体性质第三节液体的表面性质主要内容：液体与晶体和气体的比较液体的宏观特征液体的微观结构定居时间液体各向同性液晶外界因素对液晶的影响显示技术液体的表面性质表面张力表面层表面张力的微观解释表面张力系数影响表面张力系数的因素表面活性物质球形液面下的附加压强拉普拉斯公式柱形液面下的附加压强马鞍形液面下的附加压强接触角润湿和不润湿附着层附着力和内聚力润湿和不润湿的微观解释毛细现象毛细管【重点掌握】：液体的表面性质表面张力表面层表面张力的微观解释表面张力系数球形液面下的附加压强接触角毛细现象【掌握】：润湿和不润湿附着层附着力和内聚力润湿和不润湿的微观解释第九章相变（5学时）第一节单元系一级相变的普遍特征第二节气液相变第三节克拉珀龙方程第五节范德瓦耳斯等温线对比物态方程第六节固液相变第七节固气相变三相图主要内容：元单元系二元系多元系相相变一级相变单元系一级相变相变中体积的改变相变潜热内潜热和外潜热汽化蒸发气液等温相变饱和蒸气与液体平衡汽化曲线相平衡曲线饱和蒸气压影响饱和蒸气压的因素饱和蒸气压与液面曲率的关系凝结过冷蒸气亚稳态凝结核云雾的形成云室沸腾沸腾的条件过热液体亚稳态汽化核泡室暴沸临界等温线临界点临界态临界参量临界温度临界压强临界摩尔体积克劳修斯—克拉珀龙方程沸点与压强的关系正常沸点高压锅蒸气压方程由蒸气压方程求潜热沸点与海拔高度的关系兰州市区水的沸点熔点与压强的关系正常熔点范德瓦耳斯等温线亚稳平衡范德瓦耳斯气体的临界参量临界系数由临界参量确定范德瓦耳斯常量对应态对应态定律熔化凝固熔化曲线凝固时体积的改变升华凝华升华曲线升华与蒸发升华热与汽化热和熔化热的关系三相点相图三相图【重点掌握】：单元系一级相变相变中体积的改变相变潜热克劳修斯—克拉珀龙方程【掌握】：气液等温相变饱和蒸气与液体平衡汽化曲线相平衡曲线【难点】：临界等温线临界点临界态临界参量范德瓦耳斯等温线亚稳平衡制定人：蔡让岐毛延哲审定人：批准人：日期：。
麦克斯韦速率分布函数
=21/2N0xexp(x2)xdx2 =21/2N0xxd[exp(x2)] =21/2N[xexp(x2)|0x
+0xexp(x2)dx]
=N[21/2xexp(x2) +21/20xexp(x2)dx]. 定义误差函数erf(x)为
erf(x)=21/20xexp(x2)dx,
器壁的碰撞次数，把nvxf(vx)dvx 在从0到的区间内积分，就能
得到分子通量J.
而从(6)式可以看出：式 中的两个积分内的被积函 数nvxf(vx)dvx和(n/4)vf(v)dv 的地位相当，它们的物理 意义相似，因而在这两者 之间可以进行类比推理。
现在既然(n/4)vf(v)dv在从0 到的区间内积分，也能得到 分子通量 J. 可见 (n/4)vf(v)dv 就表示速率取值在 v到 v+dv间 隔内的气体分子在单位时间内 对单位面积器壁的碰撞次数。 据此处理某些相关问题，有时 往往会比较简捷。
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
类比法是一种在物理学 研究中常用的逻辑推理方 法。使用类比法时，根据 两类对象之间在某些方面 的相似或相同，来推出它 们在其他方面也可能相似 或相同.
为了描述处于平衡态下的气体 的分子数在不同的速率间隔内的 分布情况，可以取分子速率 v 为 横坐标值，画出速率取值在v至v ＋v间隔内的分子数 N 占总分 子数 N 的比率的直方图（条形统 计图）。
因此，如果在热学 中学习速率分布函数 时，类比力学中的速 率－时间函数，就能 够比较容易地认识到 其物理意义。
不仅如此，用 f(v) 类比 f(t)，还利于正确理解为什 么说 “不应该问速率刚 好等于特定值 v 的分子有 多少个？如果非要这样问， 那这种分子其实一个都没 有。”
分子热运动的速度和速率统计分布规律
f (v )
C
o
vo
v
解：
0
f (v)dv Cdv Cvo 1
0
vo
1 C vo
v vf (v)dv
0
vo
0
vo 1 v vo 2 2
2 o
2 vo Cvdv C 2
v v f (v)dv
2 2 0
voΒιβλιοθήκη 01 2 Cv dv vo 3
S1
Ag
例：利用麦克斯韦速率分布求：V
m 3 2 ) e 解： f (V ) 4π( 2πkT m 2 V 2 kT
p
V2 V
V2
kT 1.41 m
1.60 kT m
df (V ) 0 dV
2kT 2 RT Vp m M
8kT 8RT V πm πM
V V 2 f (V )dV
5
P 1.013 10 25 -3 N n 2.7 10 m -23 kT 1.38 10 273.15
M 28 10 kg mol
-3
-3
-1
M 28 10 -26 m 4.65 10 kg 23 N A 6.022 10
2 m N N e 2πkT
2 y
) g (v
2 z
)
2
+ v
2 y
g (v ) e
2 -av x
F (V ,V ,V ) Ae -aV
x y z
2
常数的确定：
---
F(v ,v ,v )dvdv dv 1
x y z x y z
速率分布函数
若用dN表示速率在v－v+dv 区间内的分子数，v 连 续分布时，上式过渡到积分。
N1v1 N 2 v2 N i vi N i vi v N N
v dN v Nf ( v)dv v
0 0
N
N
v f ( v)dv
0
8kT 8 RT RT v 1.60 m0 M M
f (v )
v
从图中可以看出:
v v v
v
1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比N/N 2)所有小面积的和恒等于一。 3）当速率区间 v 0 ，小矩形面积的端点 连成一函数曲线----分子速率分布函数。
2）分布函数
f (v ) 的意义
要搞清函数的意义，先要 弄清纵坐标的意义。
1 （B） 2 kT
表示温度为T的平衡态下，分子在一个自由度上运 动的平均动能； （C）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下 它们的速率满足 v H 2 v O2 ； （D）气体分子的速率等于最概然速率
vp
的概率最大。
v p 表示最概然 6、 某气体分子的速率分布曲线如选7-7图所示， N 速率， N 表示速率分布在 v p v p v 之间的分子数占总分 子数的百分率，当温度减低时，则（ A ）
0
f ( v)dv
vF
0
A 3 Av dv vF 1 3
2
（ 3）
v p vF
0 0
3 A 3 vF
v v f ( v)dv
3 2 v 3 v dv 0.75 v F vF
v
2
麦克斯韦速率分布函数的归一化条件
麦克斯韦速率分布函数的归一化条件
麦克斯韦速率分布函数是描述理想气体中分子速度分布的概率密度函数。
它的归一化条件是指该函数在整个速度空间上的积分等于1，也就是概率的总和为1。
麦克斯韦速率分布函数的表达式是：
f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2 * exp(-mv^2/2kT)
其中，f(v)是速率分布函数，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T 是气体的温度，v是分子的速度。
要满足归一化条件，我们需要对速率分布函数在整个速度空间上进行积分。
∫f(v) dv = 1
在球坐标系下，速度分布函数可以写成：
f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2 * exp(-mv^2/2kT)
进行变量替换，令x = mv^2/2kT，则速率分布函数可以重写为：
f(x) = (m/2πkT)^(3/2) * exp(-x)
通过变量替换，速度范围从0到无穷变为了0到无穷。
进一步进行计算，我们可以得到速率分布函数在整个速度空间上的积分：
∫[0,∞] f(x) dx = (m/2πkT)^(3/2) * ∫[0,∞] exp(-x) dx
对指数函数进行积分，我们可以得到：
∫[0,∞] exp(-x) dx = 1
因此，归一化条件可以表示为：
(m/2πkT)^(3/2) * 1 = 1
通过简化，我们得到：
(m/2πkT)^(3/2) = 1
进一步整理，可以得到麦克斯韦速率分布函数的归一化条件：
(m/2πkT)^(3/2) = 1
这个条件保证了麦克斯韦速率分布函数在整个速度空间上的积分等于1，即概率的总和为1。
经典：第四讲-速度分布函数-麦克斯韦速率
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点：
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv；
3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
8
物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
• dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与
区间大小成正比。
为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 dN ，这样，比
Ndv
值 dN
Ndv
就反映出了分布随速率v的改变而改变。为此我们规定；
7
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的
单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是
(2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
解 (2)
vp
2RT
M
RT 2 103
1000
m/s
RT
f(v)
(v p )H2 103
1.41 103 m/s
( v 2 )H2
3RT M
1.73103 m/s
He H2
1000
v
29
例2 有N 个粒子，其速率分布函数为
f (v )
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内 的分子与总分子数的比率，所以
v v0 的分子数与总分子数的比率为
N
N
v0a
v0
2 3v 0
2 3
N 2 N
3
因此， v>v0 的分子数为 ( 2N/3 ) f (v )
第三章气体分子速率及能量分布ppt课件
麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、 弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统 一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合 之一。
麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电 磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱 着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思想 以清晰准确的数学形式表示出来。他在前人成就的基础上，对整个电磁现象 作了系统、全面的研究，凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了 电磁场理论的三篇论文：《论法拉第的力线》（1855年12 月至1856年2 月）；《论物理的力线》（1861至1862年）；《电磁场的动力学理论》 （1864年12月8日）。对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场 理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典 电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存 在，电磁波只可能是横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出 结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。 1888年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的存在。。
(
m
2 kT
)3/
2
em
(
v
2 x
v 2y
vz2
)
/
2kT
dvx dv y dvz
引用速度空间的概念，可以对这个定律得到更直 观的理解。
速度空间：以vx， vy， vz为轴的直角坐标系（或 以v、θ、φ为坐标的球坐标系）所确定的空间。
速率分布公式：
dN 4 ( m )3/ 2 emv2 / 2kTv2dv
麦克斯韦速率分布函数的物理意义
速率分布函数[1]是一个描述分子运动速率分布状态的函数。
一个符合玻尔兹曼分布的粒子体系，如理想气体，其体系中粒子运动速率的分布可以用如下的速率分布函数来描述：通常速率分布函数也采用依动量和依动能分布的形式，虽然形式上有所不同但因为动量动能和速率的相关关系，这些表达方式本质上和依速率表示的速率分布函数还是一样的在处理某些特殊体系的情况下可能会用到二维和一维的速率分布函数，如固体表面吸附的理想气体就可以看做是在二维平面上运动的一个二维独立粒子体系，当处理这个体系有关分子运动速率的问题的时候就要用到二维速率分布函数在平衡状态下,当分子的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N .dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等.当速率区间足够小时（宏观小,微观大）,dN / N 还应与区间大小成正比：其中f(v)是气体分子的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率.分布函数f(v)满足归一化条件：大量分子的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式：式中T是热力学温度,m为分子质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律.麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布,也是它的最概然分布.大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态,其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分子间的频繁碰撞.上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图,曲线下面宽度为dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N .我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下,温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总面积不变.随着温度的升高,速率较大的分子在分子总数中的比率增大.同一温度下,分子质量m越小,曲线越宽越平坦,在分子总数中速率较大的分子所占比率越高.。
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
v vf v dv
0
v v 2 f v dv
2 0
9
v vf v dv
0
0
m 4 e 2 kT
2
3
mv 2 2 kT
v 3dv
8kT 8RT RT v 1.60 m M M
3.方均根速率 v 2 ●分子速率平方的平均值的平方根
T2 T1
v
6
6.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
f (v )
2 a 5v0
a 0
(v0 v 3v0 ) (v 3v0 )
a
o
2. v vf (v )dv
0
v0
3 v0
v
v0
o
3v0 2 2v 26 v ( 2 )dv vdv v0 v0 5v 5v0 15 0
3. N
2.5v0
1.5v0
Nf (v )dv
o
vP
v
5
5.曲线随温度的变化关系
m f v 4 e 2 kT
2
3
mv 2 2 kT
v
2
☆温度升高，曲线右移。即 T 增大时速率大的分子 增多，速率小的分子减少。 ☆因曲线下的总面积恒等于1，故此时曲线变得较为 平坦。
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m0
M
讨论思考题：试说明下列各式的物理意义
①
f
(v)dv
dN N
② Nf (v)dv dN
③ v2 f (v)dv N
v1
N
速率在 v1 ~ v2区间内的分
子数占总分子数的比率
④ v2 Nf (v)dv v2 dN N
v1
v1
⑤
v2 v1
v
f
(
v)dv
v2 vdN
v1
N
速率在 v1 ~ v2区间内的分
分立： 平均速率
v Ni vi Ni
v
v2 v1
vdN
v2 v1
dN
连续：vi v， Ni dNv=N f (v)dv，
v
0N v d Nv 0N d Nv
0N
v
d
Nv N
0 v f (v )dv
对麦氏速率分布经计算得： v 8kT 8RT
πm πM
任意函数(v)对全体分子按
速率分布的平均值：
0
vf(v)dv
N
0
4 ( b )3/ 2 v3e-bv2 dv 2 1
0
b
v 8kT
m0
速率平方的平均值
f (v) 4 ( b )3 2 v2 ebv2
v2
v2dN
0
v2 f(v)dv
N
0
4 ( b )3/ 2 v4e-bv2 dv 3
0
2b
v2 3kT 3RT
2kT
f (v) 4 (
m0
)3
2
v2
m0 v2
e 2kT
2 kT
则 f (v) 4 ( b )3 2 v2 ebv2
df 4 ( b )3/ 2[2vebv2 v2 2bvebv2 ]
dv
8 ( b )3/ 2 vebv2 (1 bv2 ) 0
vp
2kT m0
v
vdN
vp
vdN
vp
dN
vp
速率在 vp 内的分子的
平均速率
例1、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试
问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对 应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的 是氧气，哪条对应的是氢气？
解：
vp
2kT M
f(v) T1
(1) T1 < T2
子数
速率在 v1 ~ v2的所有分子
速率的总和被总分子数除
并非 v1 ~ v2 之间的分子
的平均速率
⑥ v2 Nv f (v)dv v2 vdN
v1
v1
速率在 v1 ~ v2的所有分子
速率总和
⑦ 1 mv2 f (v)dv 02
分子平动动能的平均值
⑧
v f (v)dv
vp
f (v)dv
全“速度空间”捕捉粒子的概率为1
(
m0
2 kT
3 k
) 2 e kT dvxdvydvz
1
“速率区间 v ~ v + v ” 对应“速度空间”中半径 为 v 、厚度为 d v 的“球壳”，所以粒子在速率区间内 的概率为
（D）气体分子的速率等于最概然速率 v p 的概率最大。
6、 某气体分子的速率分布曲线如选7-7图所示，v p 表示最概然
速子率数，的百NN分p 表率示，速当率温分度布减在低时v，p 则（vp
A
v 之间的分子数占总分 ）
（A）
vp
减小，
N p N
也减小
（B） v p
增大， N p
N
也增大
（C） v p
一步弄清分子按速率和按 能量等的分布情况。
整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。
设总分子数为 N
N —— 表示速率在 v ~ v + v 区间内的分子数。
N 与 v 、 v 有关 。
N —— 表示速率处在 v ~ v + v 区间内的分子数占总
N
分子数的百分率。
N 也与 v 、 v 有关。 N
f (v)
f (v)
0
vp
(a)
v0
vp
v
v
(b)
§4.6 玻耳兹曼分布律 (了解)
1、麦克斯韦速度分布律（1859年导出）
更详细上的述描麦述克应斯指韦出速气率体分分布子律是，如未何考按虑速气度体分分布子的的，速如度以方v向表，
示分子的速度，vx ,vy ,vz 分别表示速度沿x,y,z的分量，则理
大量分子速率的算术平均值叫平均速率v 。
v N1v1 N2v2 Nivi Nivi
N
N
若用dN表示速率在v－v+dv 区间内的分子数，v 连
续分布时，上式过渡到积分。
v
v dN
0
v Nf (v)dv
0
v f (v)dv
N
N
0
v 8kT 8RT 1.60 RT
m0 M
M
平均速率（average speed）
N
—— 分子速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总
Nv
分子数的比率。
下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子 数占总分子的百分比。
v(m / s)
90以下 90-----140 140----190 190----240 240----290 290----340 340----390 390以上
v 4.0%
0 90 140 190 240 290 340 390
f (v)
f (v)
f (v)
v
v v v
v
从图中可以看出:
1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比N/N
2)所有小面积的和恒等于一。
3）当速率区间 v 0 ，小矩形面积的端点
连成一函数曲线----分子速率分布函数。
(2) 绿：氧 白：氢
T2 v
v p1 v p2
例2、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中
自由电子( “电子气”模型 )。设导体中自由电子数为 N ,电
子速率最大值为费米速率 d v 区间的概率为：
vF ，且已知电子速率在
v
—
v
+
dN Av2dv
N
0
( 0 v vF ) A 为常数 ( v vF )
由定义式 f (v ) d Nv 可看出 f (v)的意义是： N dv
“ 在速率v 附近， 单位速率区间内的分子数 占总分子数的比例。”
对于一个分子来说， f (v) 就是分子处于速
率v 附近单位速率区间的概率。
因为
d Nv N ，
即
v 0
v
0
d
N N
v
1
所以
f (v)dv 1
这称为速率分布函数
0
的归一化条件。
思考：
1、若 f (v) 表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义
（1） f (v)dv
（3）
v2 v1
f (v)dv
（5） vf (v)dv 0
（2） Nf (v)dv
（4） v2 Nf (v)dv v1
2、麦克斯韦速率分布函数（1860年从理论上导出）
f (v) 4 (
A
3 vF3
v
v
0
f (v)dv
v
0
3 vF3
v2dv
0.75
vF
v2
v2
0
3 vF3
v2dv
0.6
vF2
v2 0.6 vF 0.77 vF
讨论：
1、 用分子数N，气体分子速率v和速率分布函数 f (v)
表示下列各量
（1）速率大于 v0 的分子数；
（2）速率大于 v0 的那些分子的平均速率；
N
/
N
0 0
6.2
10.32
18.93 22.7
18.3 12.8
6.2
4.0
注意：以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次 重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看， 分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确 定的规律。
f (v)
1）实验数据的图示化
6.2% 12.8%
22.7%
6.2%
（3）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于 v0 的概率。
（4）分子速率倒数的平均值。 （5）分子平均平动动能。
2、设某种气体的分子速率分布函数为f(v),则速率在v1→v2区间 的分子的平均速率为：
( A) v2 v f (v)dv v1
(C) v2 vf (v)dv / v2 f (v)dv
v1
v1
(B)v v2 f (v)dv v1
(D) v2 f (v)dv /
f (v)dv
v1
0
3、若气体分子的速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分
的面积相等，则图中 v0 表示（ D ）
f (v)
（A）最概然速率
（B）平均速率
AB
（C）方均根速率
（D）速率大于和小于 v0的分子各占一半 0
v
v
4、图示的曲线分别是氢气和氦气在同温度下的分子速率分布曲 线，由图可知，氢气分子的最概然速率和氧气分子的最概然速 率分别为（ ）
（A）2000 m/s，1000 m/s
（B）1000 m/s，2000 m/s
（C）1000 m/s， 2 1000 m/s
（D） 2 1000 m/s，1000 m/s
（1）画出电子气的速率分布曲线