安徽省马鞍山二中2020-2021学年高一(上)十月阶段检测 数学卷
2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一(创新实验班)上阶段检测数学(解析版)
2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一（创新实验班）上学期阶段检测数学试题一、单选题1．设集合{}1,0A =-，{,B t t y x x A ==-∈且}∈y A ，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0-【答案】D【分析】根据集合元素的性质确定集合{}1,0,1B =-，接着运算交集即可. 【详解】由于：()()101,011,11000--=---=---=-=，故由题意可知：{}1,0,1B =-，结合交集的定义可知：{}1,0A B ⋂=-. 故选：D【点睛】本题考查集合元素的性质，交集的运算，属于基础题. 2．不等式(1)20x x -+≥的解集是( ) A ．{|1}x x >B ．{|1}x x ≥C ．{|21}x x x ≥-≠且D ．{|21}x x x =-≥或【答案】D 【解析】本题考查不等式的解法由算术平方根的定义知20x +≥，所以2x ≥-；①② 又20x +≥，所以由有1020x x -≥⎧⎨+≥⎩解得1≥x ② 由①②得1≥x 又当2x =-时也满足条件，故正确答案为D 3．已知命题11:4p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax ++>，则p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】分别由命题p,q 求得a 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解不等式114a >可得04a <<， 对于命题q ，当0a =时，命题明显成立；当0a ≠时，有：240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04a <<， 即命题q 为真时04a ≤<， 故p 成立是q 成立的充分不必要条件. 故选A.【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}25x x <<，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．1125x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B ．1152xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}52x x -<<- D ．1125x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】根据一元二次不等式20ax bx c ++>的解集求出a 、b 、c 的关系，代入不等式20cx bx a ++>化简求解即可．【详解】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|25}x x <<， 所以0a <，且2，5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根， 所以257b a -=+=，2510ca=⨯=， 所以7b a =-，10c a =，且0a <；所以不等式20cx bx a ++>化为21070ax ax a -+>，即210710x x -+<，解得1152x <<． 因此不等式的解集为11{|}52x x <<．故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系应用问题，5．已知正数x ，y 满足2340xy y +-=，则35x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【分析】将2340xy y +-=，变形为43=+x y y，再代入35x y +，利用基本不等式求解.【详解】因为正数x ，y 满足2340xy y +-=，所以43=+x y y，所以4353448+=++=+≥=x y x y y y y ， 当且仅当44=y y，即1y =时，取等号，所以35x y +的最小值为8 故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 6．已知函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，且在[]3,0-上单调递减，则满足22(23)()5tf x x f x -+-<+的x 的取值范围（ ）A ．(1,)+∞B ．(]0,1C ．(D ．⎡⎣【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性可得.【详解】因为函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，所以320t -+-=，5t =， 所以函数()f x 是定义在[]3,3-上的偶函数，()()f x f x ∴=，又在[]3,0-上单调递减，则()f x 在[]0,3上单调递增所以22(23)()5tf x x f x -+-<+等价于22(23)(1)f x x f x -+<+， 即2202313x x x ∴≤++<≤-，12x <.故选: C.【点睛】本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题. 7．设0x >，0y >，且不等式11()9ax y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．4a ≥ B ．02a <≤ C ．04a <≤ D ．2a ≥【答案】A【分析】利用题设条件和基本不等式求得11()()ax y x y++的最小值，即可得到21)9，解出a 的取值范围即可．【详解】0x ，0y >，0a >，211()()1121)y ax ax y a a x y x y ∴++=+++++（当且仅当y ax x y=时取等号)，又11()()9ax y x y ++恒成立，21)9∴+，解得：4a ，故选：A ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（ ）A ．M 没有最大元素, N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素, N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素, N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素, N 没有最小元素 【答案】C【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．二、多选题9．已知集合{}23100A x Z x x =∈+-<，{}22240B x x ax a =++-=.若A B 中恰有2个元素，则实数a 值可以为（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】BD【分析】化简集合,A B ，根据AB 中恰有2个元素，列式可解得结果.【详解】{}23100A x Z x x =∈+-<{|52}x Z x =∈-<<{4,3,2,1,0,1}=----，{}22240B x x ax a =++-={2,2}a a =---+，因为2(2)4a a -+---=，且AB 中恰有2个元素，所以2024a a --=⎧⎨-+=⎩或2321a a --=-⎧⎨-+=⎩，解得2a =-或1a =.故选：B D【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了根据集合的交集中元素个数求参数，属于中档题.10．（多选题）已知集合{}|4A x Z x =∈<，B N ⊆，则（ ） A ．集合B N N ⋃= B ．集合AB 可能是{}1,2,3C ．集合AB 可能是{}1,1-D ．0可能属于B【答案】ABD【分析】根据集合Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可． 【详解】∵B N ⊆，∴B N N ⋃=，故A 正确．∵集合{}4A x Z x =∈<，∴集合A 中一定包含元素1，2，3， ∵B N ⊆，∴集合AB 可能是{}1,2,3，故B 正确；∵1-不是自然数，∴集合AB 不可能是{}1,1-，故C 错误；∵0是最小的自然数，∴0可能属于集合B ，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了集合Z ，N 的概念及集合元素的特点，属于基础题．11．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，【答案】AB【分析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件. 【详解】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题， 可得(,0)M ⊆-∞， 所以(,0)M ⊆-∞， 故选：AB【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.12．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC【分析】逐项分析判断即可. 【详解】当x -为有理数时，x 也为有理数∴()1f x -=当x -为无理数时，x 也为无理数∴()0f x -= ∴1()()0()x f x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x -=()f x ∴是偶函数，A 对；易知B 对；1x =时，()((1))11f f f ==∴C 对(())()f f x f x =的解为全体有理数∴D 错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.三、填空题13．若定义在R 上的奇函数()f x 单调递减，则不等式()2(21)40f x f x ++->的解集为________． 【答案】(3,1)-【分析】根据()f x 为R 上的奇函数原不等式化为2(21)(4)f x f x +>-，再根据()f x 在R 单调递减，便有2214x x +<-，解该不等式即可得出原不等式的解集．【详解】()f x 是R 上的奇函数，且单调递减；∴由2(21)(4)0f x f x ++->得：2(21)(4)f x f x +>-；2214x x ∴+<-；解得31x -<<；∴原不等式的解集为(3,1)-．故答案为：(3,1)-．14．已知集合2{|5140}A x x x =--≤，集合{|121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(],4-∞【分析】求得集合{|27}A x x =-≤≤，根据B A ⊆，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合2{|5140}{|27}A x x x x x =--≤=-≤≤ 当B φ=时，则121m m +≥-，解得2m ≤；当B φ≠时，若B A ⊆，如图所示：则满足12217121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩，解得24m <≤．综上，m 的取值范围为(],4-∞.【点睛】本题主要考查了集合间的关系及其应用，其中解答中根据集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，同时忽视B φ=是解答本题的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知条件2:340p x x --；条件22:690q x x m -+-≤，若q ￢是p ￢的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】4m ≥或4m ≤-【分析】分别计算条件,p q ，再计算q ￢和p ￢，根据范围大小得到答案.【详解】∵条件2:340p x x --；∴:14p x -≤，∴:4p x ⌝>或1x <-，∵条件22:690q x x m-+-，，∴:3q x m ⌝>+或x 3m <-， 若q ￢是p ￢的充分不必要条件，则31434m m m ⎧--⎪⇒≥⎨+⎪⎩，解得：4m ≥或4m ≤-故答案为4m ≥或4m ≤-【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力. 16．已知3a b +=，且,0a b ∀>，都有240424042320192020x x a b +≥+++恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】[]4,1-【分析】根据,0a b ∀>，都有240424042320192020x x a b +≥+++恒成立，先利用基本不等式求得4042404220192020a b +++的最小值，再利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为,0a b ∀>，3a b +=， 所以201920204042a b +++=， 所以4042404220192020201920202019202020192020a b a b a b a b +++++++=+++++，2020201922420192020b a a b ++=++≥+=++当且仅当2020201920192020b a a b ++=++，即2,1a b ==时，取等号，又,0a b ∀>，都有240424042320192020x x a b +≥+++恒成立， 所以234x x +≤， 所以2340x x +-≤， 即()()410x x +-≤， 解得41x -≤≤， 故答案为：[]4,1-【点睛】本题主要考查基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题 17．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 【答案】(1) a ＝6，b ＝9，c ＝－8;(2) {－2，－1,0,1}【分析】（1）因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0即得c ＝－8. 因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，从而求出a,b 的值.(2)先求出P ＝－≤x ≤1}，再求集合P ∩Z. 【详解】(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8. (2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0， 所以－≤x ≤1， 所以P ＝－≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝－≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1,0,1}．【点睛】（1）本题主要考查集合的运算关系，考查二次方程的根，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是根据A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}分析得到A ＝{3}.18．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 与命题q 一真一假，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）13m ≤≤；（2）1m <或23m <≤..【分析】（1）p 为真命题时，任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）先求出命题q 为真时，m 的范围.根据p ，q 一真一假，结合（1），即可求出m 的取值范围.【详解】（1）对于命题p ：()2min 234x m m -≥-成立，而[]0,1x ∈，有()min 233x -=-， 所以234m m -≥-，∴13m ≤≤.（2）对于命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，只需()2min 210x x m -+-≤， 而()2min 212x x m m -+-=-+，∴20m -+≤，∴2m ≤；若q 为假命题，p 为真命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤； 若p 为假命题，q 为真命题， p 为假命题，则1m <或3m >，q 为真命题，则2m ≤所以1m <.综上：1m <或23m <≤.【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.19．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()4f x x x =-+． （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若函数()y f x =在区间(,1)t t +上是单调函数，求t 的取值范围．【答案】（1）224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩；（2）3-t 或2t 或21t -. 【分析】（1）利用已知，任取(,0)x ∈-∞，可得(0,)x -∈+∞，则2()()4f x f x x x =--=+，从而可得答案．（2）由（1）知：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩；画出图象，由图象求解函数的单调区间，再根据包含关系列不等式求解即可．【详解】（1）当[0x ∈，)+∞时，2()4f x x x =-+，又因为()y f x =为奇函数，则任取(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，2()()4f x f x x x =--=+， 所以224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩； （2）由（1）知：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩；由图可知，()y f x =在(,2)-∞-，(2,)+∞上递减， 在()2,2-上递增，因为函数()y f x =在区间(,1)t t +上是单调函数，当12t +-，即3-t 时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递减；当2t -，且12t +，即21t -时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递增； 当2t 时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递减．综上， 3-t 或2t 时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递减；当21t -时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递增.即t 的取值范围是：3-t 或2t 或21t -.【点睛】本题考查函数的解析式的求解以及单调性的应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，是中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．20．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为y （米）.⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.【答案】（1）1832,(26)2xy BC x xx=+=+≤<；（2）[3,4]；（3）外周长的最小值为.【解析】试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用x或y表示，根据梯形面积的计算得到x和y的等式，从而解出y，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得18310.52xyx=+≤，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.试题解析：⑴1()2AD BC h=+，其中22xAD BC BC x=+⋅=+，=h x，∴1(22BC x x=+，得182xBCx=-，由{182h xxBCx=≥=->，得26x≤<∴1832,(26)2xy BC x xx=+=+≤<；6分⑵18310.52xyx=+≤得34x≤≤∵[3,4][2,6)⊂∴腰长x的范围是[3,4]10分⑶1832xyx=+≥=1832xx=，即[2,6)x=时等号成立．∴外周长的最小值为16分【考点】函数的应用、基本不等式、函数的最值.21．关于x的不等式22(1)ax x-<恰有2个整数解，求实数a的取值范围是？【答案】4332a<，或3423a-<-【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围．【详解】由题22(1)ax x-<恰有2个整数解，即22(1)0[(1)1][(1)1]0ax x a x a x--<⇔+---<恰有两个解，(1)(1)0a a ∴+->，即1a >，或1a <-．当1a >时，不等式解为1111x a a <<+-， 11(0,)12a ∈+，恰有两个整数解即：1，2， 1231a ∴<-，22133a a -<-，解得：4332a <； 当1a <-时，不等式解为1111x a a <<+-， 11(12a ∈--，0)，恰有两个整数解即：1-，2-， 1321a ∴-<-+，2(1)13(1)a a -+<-+，解得：3423a -<-， 综上所述：4332a <，或3423a -<-． 【点睛】此题主要考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论．分类讨论思想的常见类型 ：⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.22．设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。
2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．若集合201x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，1242x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．[)2,2-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．()1,2-【答案】C【分析】分别解分式不等式和指数不等式化简集合A 和B ，利用交集的定义求解即可． 【详解】集合{}20|211x A xx x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{}124|122x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭则AB =()1,1-故选：C2．若集合A ⊆{1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有 ( ) A ．3个 B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D【解析】集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个． 故选D点睛：本题考查了子集的定义，注意题中限制A 中至少有一个奇数，所以用列举法就可以写出符合条件的集合A.3．函数3()1f x x =++的定义域是（ ） A ．(),1-∞- B ．(]1,3-C ．()(],11,3-∞--D ．()(),11,3-∞--【答案】C【分析】令3010x x -≥⎧⎨+≠⎩，解不等式可得函数的定义域．【详解】令3010x x -≥⎧⎨+≠⎩，解得3x ≤且1x ≠-故选：C4．设命题:p x R ∃∈，22x x > ，则p ⌝为（ ） A ．x R ∀∈， 22x x > B ．x R ∃∈，22x x < C ．x R ∀∈，22x x ≤ D ．x R ∃∈，22x x ≤【答案】C【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 即x R ∀∈，22x x ≤. 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，属于基础题．5．“5x =”是“2450x x --=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】利用充分不必要条件的定义进行判断即可．【详解】2450x x --=即()()510x x -+=，解得5x =或1x =- 则5x =可以推出2450x x --=，而2450x x --=不能推出5x = 即“5x =”是“2450x x --=”的充分不必要条件 故选：A6．设实数a 、b 满足0b >，且2a b +=.则18a a b+的最小值是（ ） A ．98B ．916 C ．716D ．14【答案】C【分析】由已知，分别讨论0a >，0a <两种情况，结合基本不等式分别进行求解后比较可得18a a b+的最小值. 【详解】由题意可知，0a ≠.当0a >时，111981616161616a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+=， 当且仅当16b a a b=且2a b +=，即25a =，85b =时取等号，当0a <时，111781616161616a ab a b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=--=-+-+-≥-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当16b aa b=且2a b +=时取等号， 综上可得，18a a b +的最小值716. 故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解答的关键就是对a 的符号进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.7．三个数()020.30.3,0.3,2a b c =-==,则,,a b c 的关系是 （ ） A ．a b c << ； B ．a c b << ；C ．b a c <<；D ．b c a <<【答案】C【分析】由指数函数的单调性分别求出()020.30.3,0.3,2a b c =-==的取值范围，从而可得结果.【详解】因为()00.31a =-=，2000.30.31b <=<=，0.30221c =>=，三个数,,a b c 的关系是 b a c <<，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、多选题9．已知集合 A = {x | ax ≤2},B 2} , 若 B ⊆ A ，则实数 a 的值可能是（ ） A ．−1 B ．1C ．−2D ．2【答案】ABC【分析】由B A ⊆得到2满足2ax ≤,列出不等式组即可求得a 的取值范围. 【详解】因为B ⊆ A ,所以22A A ∈,2222a a ≤⎧⎪≤,解得1a ≤. 故选:ABC【点睛】本题考查子集的概念,属于基础题.10．设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．11a b> C ．2a b > D ．22a b >【答案】CD【分析】举出反例可判断A 、B ；由不等式的性质可判断C 、D.【详解】对于A ，若2a =，12b =-，此时满足11a b >>>-，但11a b>，故A 错误； 对于B ，若2a =，12b =，此时满足11a b >>>-，但11a b <，故B 错误；对于C ，由11a b >>>-可得21a b >>，故C 正确； 对于D ，由11a b >>>-可得221a b >>，故D 正确. 故选：CD.11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数 【答案】ABD【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称， 又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到， 故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+， 即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确. 故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,C 为线段AB 上的点,且AC a =,BC b =,O 为AB 的中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ,连结OD ,AD ,BD ,过点C 作OD 的垂线,垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A ．2a bab +≥(0a >,0b >) B ．222a b ab +≥(0a >,0b >)C 211ab a b≥+(0a >,0b >) D ．2222a b a b ++≥(0a ≥,0b >) 【答案】AC【分析】由线段长度关系OD CD ≥，CD DE ≥可以求解。
2020-2021学年高一数学上学期10月月考试题
2020-2021学年高一数学上学期10月月考试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}5,3,0,3,5A =--,集合{}5,2,2,5B =--,则AB = ( ){}.5,3,0,3,5,5,2,2,5A ---- {}.5,5B -{}.5,3,2,0,2,3,5C --- {}.5,3,2,2,3,5D ---2．如果集合{}1->=x x P ，那么( )A ．P ⊆0B ．P ∈}0{C ．P ∈∅D ．P ⊆}0{ 3.函数432x y x +=-的定义域是 ( )A ．3(,]2-∞ B ． 3(,)2-∞ C ． 3[,)2+∞ D ． 3(,)2+∞4.已知函数1(1)()3(1)x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩ 则5[()]2f f 等于 （ ）A ．21-B ．25C ．29D ．235．下列函数中,在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x = 6．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．211x y x -=-与1y x =+ B ．0y x =与l y =C ．y x =与33y x = D ．2y x =与y x =7.如果1()1xf x x=-，则当0,1x ≠时，()f x =（ ） A ．1xB ．11x - C ．11x - D ．11x -8．若二次函数221y x ax =-+在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥0 B ．a ≤O C.a ≥2 D ．a ≤2 9．函数||y x x =的图像大致是( )A B C D10.某社区要召开群众代表大会，规定各小区每10人推选一名代表，当各小区人数除以10的余数不小于5时再增选一名代表．那么，各小区可推选代表人数y 与该小区人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 ( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510]11.已知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c< a<bB ．a< b<cC ．a< c<bD ．c<b<a12.已知函数)(x f 为奇函数，0>x 时为增函数且0)2(=f ，则{}(2)0x f x ->=（ ） A.}{420><<x x x 或 B.{}04x x x <>或C.{}06x x x <>或 D.{}22x x x <->或二、填空题：（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置） 13．已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[a-l ，2a]，则f(0)=___________. 14．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈)(x f 的图象如右图,则不等式()f x ≤0解集是 .15.已知函数221()1x f x x -=+，则111973()()()(0)(1)(3)(7)(9)f f f f f f f f +++++++= ．16.给定集合A ，若对于任意,a b A ∈，都有a b A +∈且a b A -∈，则称集合A 为完美集合，给出下列四个论断：①集合{}4,2,0,2,4A =--是完美集合；②完美集合不能为单元素集；③集合{}3,A n n k k Z ==∈为完美集合；④若集合,A B 为完美集合，则集合A B 为完美集合．其中正确论断的序号是 ．三、解答题：（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知集合{|36}A x x =-<≤，{|37}B x b x b =-<<+，{|45}M x x =-≤<，全集U =R ．（1）求A M ；（2）若()UB M =R ，求实数b 的取值范围．18.（本小题满分12分）若函数()f x 为奇函数，当0x ≥时，2()24f x x x =-（如图）． （1）求函数()f x 的表达式，并补齐函数()f x 的图象； （2）写出函数)(x f 单调区间和值域.19.（本小题满分12分）已知函数()af x x x=+，且(1)3f =． （1）求a 的值，并确定函数()f x 的定义域； （2）用定义研究函数()f x 在),2[+∞的单调性； （3）当]2,4[--时，求出函数()f x 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f ． （1）求)(x f 的解析式；（2）在区间]1,1[-上，m x x f +>2)(，试确定实数m 的取值范围．21. （本小题满分12分）定义在R 上的函数),(x f y =当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,有)()()(b f a f b a f =+。
安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高一上学期10月份月考数学试卷(含答案)
安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高一上学期10月份月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．设集合,,则( )A. B. C. D.2．已知集合,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．已知集合,若集合A 有且仅有2个子集,则a 的取值是( )4．一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,而且窗户面积与地板面积的比值越大,采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为a ,地板面积为b ,若同时增加t 的窗户面积和地板面积,则这所公寓的采光效果变化是( )A.变好了 B.变差了C.不变D.变化不确定5．设,若当时,关于x 的不等式恒成立,则( )A. B. C.6．已知实数x ,y 满足,,则的取值范围是( )A. B. C. D.7．已知函数的定义域为,则函数A. B. C. D.8．已知,不等式对于一切实数x 恒成立,且,使得{|20}A x x =-≤{1,2,4}B =A B = }{1,2}{1,2,4}{|2x x ≤}{|12x x ≤≤{|41,}A x x t t ==+∈N {|81,}B x x t t ==+∈N x A ∈x B ∈2{|0,}A x ax x a a =++=∈R 122m 2m 2m a ∈R 12x ≤≤210x ax -+≥2a ≤2a ≥a ≤52≥41x y -≤-≤-145x y -≤-≤9x y -[7,26]-[1,20]-[]4,15[]1,15()2f x +()3,4-()g x =1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭a b >220ax x b ++≥0x ∃∈R 2002ax x b ++=二、多项选择题9．下列关系中正确的是( )A. B. C. D.10．“关于x 的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是( )A. B. C.D.11．下列说法正确的有( )A.若,则B.若正数x,y 为实数,若,则的最大值为3C.若x ,且,则xy 的最大值为2D.设x,y 为实数,若,则的解集为_______.13．设a ,,记,则函数的最小值为_______.14．设恒成立,则m 的取值范围是__________.四、解答题15．（1）已知二次函数满足,且,求函数的解析式.（2）已知,求函数的解析式.16．已知集合,集合.（1）若,求实数m 的取值范围;（2）若,,p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围17．某个体户计划经销A ,B 两种商品,据调查统计,当投资额为万元时,经销A ,B 商品中所获得的收益分别为万元与万元,其中,1{1}∈{0,1}{(0,1)}={(,)}{(,)}a b b a ={1}∅⊆2(1)10x m x +-+=13m -≤≤24m -≤≤4m <12m -≤<4x >-x 223x y xy +=2x y +0y >26x y xy ++=2291x y xy ++=3x y +2≥b ∈R {},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩()max{3,62}f x x x =--a b >>1mb c a c≥--()f x (0)0f =(2)()2f x f x x +=+()f x 2(1)31f x x x +=+-()f x {|24}A x x =<<{|21}B x m x m =<<-A B =∅ :p x A ∈:q x B ∈(0)t t ≥()f t ()g t ()1f t t =+如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品,请你帮他制订一个资金投入方案,使他能获得最大收益,并求出其最大收益.18．已知函数.（1）若不等式恒成立,求m 的取值范围;（2）解不等式;（3）对任意的,不等式恒成立,求m 的取值范围.19．排序不等式:设,为两组实数,,,…,是,,…,的任一排列,那么,即“反序和≤乱序和≤顺序和”.当且仅当或时,反序和等于顺序和.（1）设,,,,,,,是,,,的任一排列,则乘积的值不会超过_______.（2）设,,…,是n 个互不相同的正整数,求证:（3）有10人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满第个人的水桶需要分钟,假定这些各不相同.问只有一个水龙头时,应如何安排10人的顺序,使他们等候的总时间最少?这个最少的总时间等于多少?2101(03()),1912(35).g t t t t t t t +⎧≤≤⎪+⎨⎪-+-<≤⎩=()()2(1)2f x mx m x m m =--+-∈R ()0f x ≥()1f x m ≥-[]1,1x ∈-()2f x x ≥12n a a a ≤≤≤ 12n b b b ≤≤≤ 1c 2c n c 1b 2b n b 121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++L L L 12n a a a === 12n b b b ===L 11a =22a =33a =44a =1b 2b 3b 4b 1a 2a 3a 4a 11223344a b a b a b a b +++1a 2a n a 32122211112323n a a a a n n++++≥++++ (1,2,,10)i i = i t i t参考答案1．答案：A解析：集合,,则.故选:A.2．答案：B解析：,注意到真包含于,则B 是A 的真子集.则,得不到,即“”是“”的必要不充分条件.故选:B 3．答案：D解析：由集合A 有且仅有2个子集,得集合A 有且只有1个元素,即方程有唯一解,当时,方程有唯一解,符合题意,则,当时,一元二次方程有相等实根,,解得;故选:D 4．答案：A解析：窗户面积为,地板面积为同时增加,{|20}{|2}A x x x x =-≤=≤{1,2,4}B =A B = }{1,2{|81,}{|421,}B x x t t x x t t ==+∈==⋅+∈N N {}2,x x t t =∈N {},x x t t =∈N x B x A ∈⇒∈x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈20ax x a ++=0a =20ax x a ++=0x =0a =0a ≠20ax x a ++=2140a ∆=-=a =a =1a ==2m a 2m b m t ()()()a t a b a t a b t b t b b b t ++-+-==++0,0b a t >>>故这所公寓的采光效果变好了.故选:A.5．答案：A解析：因为,关于x 的不等式恒成立,所以恒成立,故令即可,而,当且仅当,故,即,故A 正确.故选:A 6．答案：B解析：设,则所以,又,,所以,故选:7．答案：C解析：因为函数的定义域为,所以的定义域为.又因为0a t a b t b +∴->+>12x ≤≤210x ax -+≥10x a x -+≥a x ≤()f x x =+min ()f x ≤12x x +≥=x =1=min ()2f x =2a ≤9()(4)x y m x y n x y -=-+-(4)()m n x m n y =+-+49183m m n m n n ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩589()(4)33x y x y x y -=--+-41x y -≤-≤-145x y -≤-≤520(),33x y ≤--≤88(4)33x y -≤-≤5819()(4)2033x y x y x y -≤-=--+-≤B.()2f x +()3,4-()f x ()1,6-,即的定义域为.故选:C.8．答案：D解析：因为不等式对于一切实数x 恒成立,所以,又因为,使得成立,所以,所以,即,,,当且仅当故选:D.9．答案：AD解析：对于A,由元素和集合的关系,有,A 选项正确;对于B,集合是数集,集合是点集,两个集合不相等,B 选项错误;对于C,两个集合都是点集,但集合中点的坐标不同,两个集合不相等,C 选项错误;对于D,空集是任意集合的子集,D 选项正确.故选:AD.10．答案：BC解析：因为方程至多有一个实数根,所以方程的判别式,即:,解得,利用必要条件的定义,结合选项可知,成立的必要条件可以是选项B 和选项C,故选:BC.11．答案：ACD解析：对于选项A,因为,则,310x ->x >()g x 1,63⎛⎫⎪⎝⎭220ax x b ++≥0440a ab >⎧⎨-≤⎩0x ∃∈R 20020ax x b ++=440ab -≥440ab -=0a >0b >1ab =2()22a b ab a b a b a b-+==-+≥--a b -=1{1}∈{0,1}{(0,1)}()2110x m x +-+=()2110x m x +-+=0∆≤2(1)40m --≤13m -≤≤13m -≤≤4x >-11444244x x x x +=++-≥-=-++当且仅当时取等号,所以选项A 正确,对于选项B,因为正数x,y 满足,则则时等号成立,所以的最小值为3,故选项B 错误,对于选项C,由,得到,当且仅当时取等号,,得到,即,解得,所以,当且仅当,时取等号,故选项C 正确,对于选项D,,所以时取等号,所以,得到当且仅当故选:ACD.12．答案：化为:,则,解得,的解集为.故答案为:13．答案：0解析：当时,解得,当时,解得,则,4x +=3x =-23x y xy +=223x y xy x +==+()121122122553333x y x y x y x y y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=1x y ==2x y +26x y xy ++=62xy x y -=+≥2x y =0m =>2622m m -≥24120m m +-≤02m <≤02xy <≤2x =1y =222319xy x y x y +≥=⋅-⋅xy ≤3x y =()()222112395151577x y x y xy xy xy +=+++=+≤+⨯=3x y +≤x =y =x +[5,1)--2≥321x x --≤+0≤(5)(1)010x x x ++≤⎧⎨+≠⎩51x -≤<-2≥[5,1)--[5,1)--362x x -≥-3x ≥362x x -<-3x <()62,33,3x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩因为在上单调递减,在上单调递增,所以时,有最小值,且.故答案为:014．答案：解析：因为,所以,,.所以恒成立,又,时等号成立.所以.故答案为:.15．答案：（1）;（2）解析：（1）设二次函数,因为,所以,故此时函数解析式为,因为,令,所以,令,所以,因,所以,因为,所以,将两个式子联立,解得,故二次函数解析式为,（2）因为,且令,所以,故,化简得,即函数的解析式为.16．答案：（1）（2）为的62y x =-(),3-∞3y x =-[)3,+∞3x =()f x ()3330f =-=(,4]-∞a b c >>0a b ->0b c ->0a c ->11()m a c a b b c ⎛⎫≤-+ ⎪--⎝⎭1111()[()()]24b c a b a c a b b c a b b c a b b c a b b c --⎛⎫⎛⎫-+=-+-+=++≥ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭=b ac =+4m ≤(,4]-∞21()2f x x x =-2()3f x x x =+-2()f x ax bx c =++(0)0f =0c =2()f x ax bx =+(2)()2f x f x x +=+0x =(2)(0)0f f ==2x =(4)(2)224f f =+⨯=(2)0f =420a b +=(4)4f =1644a b +=a =1=-()f x 21()2f x x x =-2(1)31f x x x +=+-1x t +=1x t =-2()(1)3(1)1f t t t =-+--2()3f t t t =+-()f x 2()3f x x x =+-{}1m m ≥-∣{}3m m ≤-∣解析：（1）由,得①若,即,符合题意;②若,即或,解得综上,实数m 的取值范围为.（2）p 是q 的充分不必要条件,,A 是B 的真子集.则不同时取等号,解得.实数m 的取值范围为.17．答案：该个体户可对A 商品投入3万元,对B 商品投入2万元,这样可以获得11万元的最大收益.解析：（1）当时,,当且仅当时取“=”;（2）当时,,,当时,取“=”.,最大收益为11万元.该个体户可对A 商品投入3万元,对B 商品投入2万元,这样可以获得11万元的最大收益18．答案：（1）（2）答案见解析（3）解析：（1）由函数,A B =∅ 21m m ≥-m ≥=∅21m m <-m <1312m m <-≤1324m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩1m -≤<{}1m m ≥-∣ x A x B ∴∈⇒∈∴122214m mm m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩3m ≤-{}3m m ≤-∣03x ≤≤()6f x x =-()g x =1019()617(1)1761111x S x x x x x +⎡⎤=-+=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦1x +=2x =35x <≤()6f x x =-2()912g x x x =-+-22()6912(4)1010S x x x x x =--+-=--+≤4x =1011< ∴∴⎫+∞⎪⎪⎭7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭()()2(1)2f x mx m x m m =--+-∈R因为不等式恒成立,即不等式恒成立,当时,不等式即为,显然不成立,舍去;当时,要使得恒成立,则满足,即,解得.（2）由不等式,可得,即,若时,不等式即为,解得,不等式的解集为;若时,不等式可化为,①当时,不等式等价于,解得,不等式的解集为;②当时,不等式等价于,当时,即时,解得;当时,即时,解得,不等式的解集为;当时,即时,解得,不等式的解集为,综上可得:当时,不等式的解集为;当时,不等式解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.的()0f x ≥2(1)20mx m x m --+-≥0m =20x -≥0m ≠()0f x ≥()()201420m m m m >⎧⎪⎨----≤⎡⎤⎪⎣⎦⎩203610m m m >⎧⎨--≥⎩m ≥⎫+∞⎪⎪⎭()1f x m ≥-2(1)21mx m x m m --+-≥-2(1)10mx m x ---≥0m =10x -≥1x ≥[1,)+∞0m ≠1(1)(1)(1)0x mx m x x m ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭0m >1(1)0x x m ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭x ≤1x ≥1,[1,)m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 0m <1(1)0x x m ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭11m ->10m -<<1x ≤≤11,m ⎤-⎥⎦11m-=1m =-1x ={}111m -<1m <-11x m -≤≤1,1m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1m <-1,1m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1m =-{}110m -<<11,m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0m =[1,)+∞0m >1,[1,)m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦（3）由不等式在上恒成立,即在上恒成立,即在上恒成立,因为,则可转化为不等式上恒成立,设,,所以所以实数m 的取值范围为19．答案：（1）30（2）证明见解析（3）各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水.等候的总时间最少为,其中,,,…,为,,…,从小到大的一个顺序排列.解析：（1）由题意,,,是,,,的任一排列,则可看作,,,与,,,两组实数的“乱序和”;则由排序不等式:乱序和顺序和,得.故空格处填:30.（2）设两组数:,,…,由,,…,是n 个互不相同的正整数,设,,…,是,,…,的一个排列,且满足,即,,…,是这n 个互不相同的正整数从小到大的排列,因此,,…,.又因为()2f x x ≥[]1,1x ∈-2(1)(1)20m x m x m ---+-≥[]1,1x ∈-2(1)(1)1m x x --+≥[]1,1x ∈-22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭(1)m -≥[]1,1∈-()22112g x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭[1,1∈-()3g x ≤≤1m -≥≥7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1210109h h h +++ 1h 2h 3h 10h 1t 2t 10t 1b 2b 3b 4b 1a 2a 3a 4a 11223344a b a b a b a b +++1a 2a 3a 4a 1b 2b 3b 4b ≤222211223344123430a b a b a b a b a a a a +++≤+++=1a 2a n a 1a 2a n a 1b 2b n b 1a 2a n a 12n b b b <<<L 1b 2b n b 11b ≥22b ≥n b n ≥2211123>>>>L故由排序不等式:乱序和反序和,得故（2）由题意可知,水龙头注满第个人的水桶需要分钟,则第个人打水时,即个人都在等,需要等候总时间为,故所有人打完水,他们等候的总时间为.设两组数:,,…,与10,9,8,…,1.由假定,这些各不相同,设,,,…,为,,…,的一个排列,且,又因为,由排序不等式:乱序和反序和,得.所以只有一个水龙头时,要使他们等候的总时间最少,应安排需要时间最少的人总是先打水,即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水.等候的总时间最少为,其中,,,…,为,,…,从小到大的一个顺序排列.≥123222111123n a a a a n ⋅+⋅+⋅++⋅ 123222111123n b b b b n ≥⋅+⋅+⋅++⋅ 22211111112312323n n ≥⋅+⋅+⋅++⋅=++++3212221112323n a a a a n ++++≥++++ (1,2,,10)i i = i t i 10(1)i --11i -(1,2,,10)i = ()11i i t -()10129101111092ii i tt t t t =-=++++∑ 1t 2t 10t i t 1h 2h 3h 10h 1t 2t 10t 12310h h h h <<<< 10981>>>> ≥1291120101092109t t h t h h t ≥+++++++ 1210109h h h +++ 1h 2h 3h 10h 1t 2t 10t。
2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一上学期阶段性检测数学试题(解析版)
2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一上学期阶段性检测数学试题一、单选题1．已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤< D ．{|14}<<x x【答案】B【分析】根据集合交集定义求解. 【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知三个集合U ，A ，B 之间的关系如图所示，则()UB A ⋃等于（ ）A ．{}3B ．{}0,1,2,3,4,7,8C ．{}1,2D ．{}1,2,3【答案】B【分析】利用韦恩图可得出UB 和A ，进而可求得集合()U A B .【详解】由韦恩图可知，{}0,1,2,4,7,8UB =，{}1,2,3A =，因此，(){}0,1,2,3,4,7,8UB A =.故选：B3．盐水溶液的浓度公式为()b p a b a =>盐的量克盐水的量克，向盐水中再加入m 克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ） A ． b b ma a m+<+ B ． b b ma a m+>+ C ． b b ma a+<D ． b b ma a+>【答案】A【分析】向盐水溶液中加入m 克盐，得出加入后的盐水浓度为b ma m++，根据盐水更咸，说明盐的浓度更大，由此得出不等关系，可得出正确选项. 【详解】向盐水溶液中加入m 克盐，盐水的浓度变为b ma m++，此时浓度变大，盐水更咸，即b m ba m a+>+， 故选A.【点睛】本题考查不等关系的确定，解题时要将题中的文字信息转化为数学语言，考查转化思想，属于基础题.4．函数20()(31)f x x =+-的定义域是（ ） A ．1(,)3-∞B ．1(,1)3C ．11(,)33-D ．11(,)(,1)33-∞⋃【答案】D【分析】由分式分母不为0，0的0次幂无意义，求解即可. 【详解】由题意得，10310x x ->⎧⎨-≠⎩解得x <1且13x ≠.故选：D【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意不要将0(31)x -化简，属基础题.5．下列四个命题中的真命题为（ ）． A ．210x x ∀∈-=R ， B ． 310x x ∃∈-=Z ， C ．210x x ∀∈+>R ， D ． 143x x ∃∈<<Z ，【答案】C【详解】对A ．当2x =时，210x -≠，故A 错误；对B ．当13x =时， 310x -=，此时x Z ∉，故错误； 对C ．210x x ∀∈+>R ，，正确； 对D ．当143x <<时，1344x <<，故错误． 故选：C ．6．已知函数(21)43(R)f x x x -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】令21x a -=，则12a x +=，再由1()43152+=⨯+=a f a 求解. 【详解】令21x a -=，则12a x +=，所以1()43252a f a a +=⨯+=+， 由2515a +=， 解得5a =. 故选：D ．【点睛】本题主要考查已知函数值求参数问题，属于基础题. 7．若40x y >>，则4y xx y y+-的最小值为（ ）A ．54 B ．1C ．34D ．12【答案】A【分析】对式子变形后利用基本不等式求出结果即可. 【详解】因为40x y >>，所以40x y ->所以4111514444444y x y x y x y y x y y -+=++≥=+=--当且仅当444y x yx y y-=-，即43x y =时等号成立故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查了学生的变形能力，属于中档题. 8．不等式2210ax x -+>对1,2⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．0,B ．1,C ．0,1D ．[1,)+∞【答案】B【分析】不等式2210ax x -+>对1,2⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x 恒成立，等价于221a x x >-恒成立，然后构造函数,求函数的最大值即可得答案 【详解】由题意，不等式2210ax x -+>对1,2⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 恒成立，即221a x x >-恒成立，设22211()11f x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，由1,2⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 可得1(0,2)x ∈， 所以max ()(1)1f x f ==，只需1a >，即a 的取值范围为1,.故选：B.【点睛】此题考查一元二次不等式恒成立问题,利用了分离参数法求解,属于基础题. 9．若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A ． (0,4] B ． 254,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】运用配方法求出函数的最小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域进行求解即可. 【详解】223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，当32x =时，254y =-；当0x =或3时，4y =-. 因此当332m ≤≤时，函数234y x x =--在区间[]0,m 上的最小值为254-，最大值为4-，所以，实数m 的取值范围是3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.【点睛】本题考查了已知二次函数的定义域和值域求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.10．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4AB =，A B =∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对(,)A B 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．6【答案】B【分析】分集合A ，集合B 中元素的个数，即可得到结论. 【详解】若集合A 中有1个元素，则集合B 中有3个元素， 则1,3A B ∉∉，即3,1A B ∈∈，此时有1对；若集合A 中有3个元素，则集合B 中有1个元素，3,1A B ∉∉，1,3A B ∈∈，此时有1对；若集合A 中有2个元素，则集合B 中有2个元素，则2,2A B ∉∉，不符合题意，所以满足条件的有序集合对(,)A B 的个数为112+=， 故选：B【点睛】本题主要考查了集合新定义，考查了集合的并集和交集运算，属于中档题.二、多选题11．已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是( ) A ．1(,4)3a b ∈ B ．2(21,78)a b +∈ C ．(12,45)a b -∈- D ．7(,5)6a b b +∈ 【答案】AC【分析】直接利用不等式的基本性质的应用求出结果． 【详解】由于660a <<，1518b <<， 所以：1111518b >>，故143ab<<，故选项A 正确． 30236b <<，所以2(36,96)a b +∈，故选项B 错误．对于选项:1518C b ->->-，所以(12,45)a b -∈-，故选项C 正确． 对于选项1:1413a b D b ++<<+，即4(,5)3a b b +∈故选项D 错误． 故选：AC ．【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（ ） A ．∅ B ．()1,a - C ．(),1a -D ．()(),1,a -∞-+∞【答案】ABCD【分析】首先讨论0,0,0a a a =><，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，讨论不等式的解集.【详解】对于一元二次不等式()()10a x a x -+>，则0a ≠当0a >时，函数()()1y a x a x =-+开口向上，与x 轴的交点为,1a - ， 故不等式的解集为()(),1,x a ∈-∞-+∞；当0a <时，函数()()1y a x a x =-+开口向下， 若1a =-，不等式解集为∅ ；若10a -<<，不等式的解集为()1,a - ， 若1a <-，不等式的解集为(),1a -， 综上，ABCD 都成立， 故选：ABCD【点睛】本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于中档题型，本题的关键是讨论a 的取值范围时，要讨论全面.三、填空题13．命题“x R ∀∈，221x x ≥-”的否定为________．【答案】0x R ∃∈，20021x x <-【分析】将全称命题的量词改变，结论否定可得出全称命题的否定. 【详解】由题意可知，命题“x R ∀∈，221x x ≥-”的否定为“0x R ∃∈，20021x x <-”.故答案为：0x R ∃∈，20021x x <-.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.14．（1）“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的________条件；（2）“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的________条件.【答案】充要 充分不必要【分析】（1）根据充分、必要条件的概念进行判断，即可得到结果；（2）根据充分、必要条件的概念进行判断，在判断不必要条件时，可举例说明，即可得到结果.【详解】（1）根据不等式性质可得“1>0x 且20x >”⇒“120x x +>且120x x >”， 所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充分条件；“120x x +>且120x x >”⇒“1>0x 且20x >”，所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的必要条件. 所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充要条件.（2）根据不等式性质可得“12x >且22x >” ⇒“124x x +>且124x x >”， 所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分条件；例如：121,5x x ==满足“124x x +>且124x x >”，但是不满足“12x >且22x >”. “124x x +>且124x x >”不能推出“12x >且22x >”.所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的不必要条件. 所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分不必要条件. 故答案为：充要；充分不必要.【点睛】本题主要考查了充分、必要条件的判断，属于基础题. 15．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则+a b 的值是________ 【答案】14-【分析】根据一元二次不等式的解集以及一元二次方程根与系数的关系列方程组，解方程组求得,a b ，由此求得+a b 的值.【详解】根据题意，一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭， 则方程220ax bx ++=的两根为12-和13，则有112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯=⎪⎪⎝⎭⎩，解可得12a =-，2b =-，则14a b +=-. 故答案为：14-【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.16．对于实数A 和正数B ，称满足不等式||x A B -<(,0)A B ∈>R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a b t +-的+a b 领域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为__________【答案】22t【分析】先根据条件求出()2t x a b t -<<+-；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a b t +=，最后结合不等式的知识可求出22a b +的最小值． 【详解】∵A 的B 邻域在数轴上表示以A 为中心，B 为半径的区域， ∴()x a b t a b -+-<+， ∴()a b x a b t a b --<-+-<+， 解得()2t x a b t -<<+-． ∵邻域是一个关于原点对称的区间， ∴()220a b t +-=， ∴a b t +=． ∵222a b ab +≥， ∴()()22222222a ba b ab a b t +≥++=+=，∴2222t a b +≥，当且仅当a b =时等号成立，∴22a b +的最小值为22t ．故答案为22t ．【点睛】本题以新概念为载体考查重要不等式的应用，考查变换能力和阅读理解能力．解题的关键是根据题意得到a b t +=这一结论，然后再通过变形得到所求的最小值．四、解答题17．解下列两个关于x 的不等式： （1）23210x x --≥； （2）111x x +≥-【答案】（1）1{|3x x ≤-或1}x ≥；（2）{|1}x x >．【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）原不等式移项通分后变形为201x -≥，即可求解. 【详解】（1）23210x x --≥，∴(1)(31)0x x -+≥，解得13x ≤-或1≥x ， 故不等式的解集为1{|3x x ≤-或1}x ≥．（2）易得1101x x +-≥⇒-201x -≥，解得1x >， 故不等式的解集为{|1}x x >．【点睛】本题考查一元二次不等式、分式不等式的解法，属于基础题.18．设集合{}2320A xx x =++=∣，{}2(1)0B x x m x m =+++=∣； （1）用列举法表示集合A ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数m 的值. 【答案】（1）{1,2}--；（2）1或2. 【分析】（1）解方程求集合A ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要条件，则B A ⊆ ，然后求解集合B ，根据子集关系求参数.【详解】（1）2320(1)(2)0x x x x ++=⇒++=， 即1x =-或2x =-，{1,2}A =--；（2）若x A ∈是x B ∈的必要条件，则B A ⊆，2(1)0(1)()0x m x m x x m +++=⇒++=，解得1x =-或x m =-，当1m =时，{1}B =-，满足B A ⊆， 当2m =时，{1,2}B =--，同样满足B A ⊆， 所以1m =或2m =.19．已知,0p R a b ∈>>,比较下列各题中两个代数式值的大小： （1）(2 +1)(3)p p -与(6)(+3)+10p p -；（2）2222a b a b -+与a b a b -+．【答案】（1）(2 +1)(3)p p ->(6)(+3)+10p p -；（2）2222a b a b->+a ba b -+． 【分析】(1)利用作差法，由配方法判断其符号即可；（2）利用作差法，分解因式判断其符号即可；【详解】(1) 因为2(21)(3){(6)(3)10}25p p p p p p +---++=-+2(1)40,21)(3(6)(3)10p p p p p =-+>+->-++∴.(2)()()(){()()222222222222222()()()()}()()a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b -+--+-+-+---==++++++()222()()ab a b a b a b -=++0a b >>2220,0,0,0ab a b a b a b ∴>->+>+>得()222()0()ab a b a b a b ->++， 所以2222a b a ba b a b-->++. 【点睛】本题主要考查“作差法”比较两个数的大小，属于简单题. 比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.20．已知集合{121}A xa x a =-<<+∣，{}03B x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ；()U A B ⋂. （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1|32x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，1|02x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）{1|2a a ≤-或}4a ≥. 【分析】（1）化简集合，利用集合的交并补运算求解即可；（2）讨论A =∅，A ≠∅两种情况，列出相应的不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）若12a =时，12,{03}2A xx B x x ⎧⎫=-<<=<≤⎨⎬⎩⎭∣∣∴1|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U B x x =≤或3}x > 所以()1|02U A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由A B =∅知当A =∅时，121,2a a a -≥+∴≤-当A ≠∅时，21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩4a ∴≥或122a -<≤- 综上：a 的取值范围是{1|2a a ≤-或}4a ≥. 【点睛】本题主要考查了集合的交并补混合运算以及根据交集的结果求参数的范围，属于中档题.21．已知函数2()(2)4()f x x a x a R =-++∈（1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；（2）若对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）4a ≤【分析】（Ⅰ）将原不等式化为()20x a x （）--≤，分类讨论可得不等式的解.（Ⅱ）若1x =则a R ∈；若(]1,4x ∈，则参变分离后可得411a x x ≤-+-在(]1,4恒成立，利用基本不等式可求411x x -+-的最小值，从而可得a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ） ()24f x a ≤-+ 即()2220x a x a -++≤，∴ ()20x a x （）--≤，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2x x =；（ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；（ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2；（ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤ .（Ⅱ）对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立. ①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--， 14x <≤，∴ 013x <-≤ ，∴ ()44121411x x x x -+≥-⋅=--， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=”,4a ∴≤ . 综上4a ≤ .【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.22．如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地（图中ABCD ）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，EFDC 为正方形，设AB x =米，已知围墙（包括EF ）的修建费用均为每米800元，设围墙（包括EF ）的修建总费用为y 元．（1）求出y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围；（2）当x 为何值时，围墙（包括EF ）的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值．【答案】（1）4002400()y x x=+(0106)x <<；（2）当为20米时，最小．的最小值为96000元．【详解】试题分析：（1）由题意,已知了整个矩形场地的面积,又设了宽AB 为x 米，所以其长就应为米，从而围墙的长度就为：（）米，从而修建总费用元，只是注意求函数的解析式一定要指出函数的定义域，此题中不仅要而且还要注意题目中的隐含条件：“中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，为正方形”从而可知矩形ABCD 的长应当要大于其宽x,所以x 还应满足：；（2）由（1）知所以可用基本不等式来求y 的最小值，及对应的x的值；最后应用问题一定要注意将数学解得的结果还原成实际问题的结果． 试题解析：（1）设AD t =米，则由题意得600xt =，且t x > 故600t x x =>，可得0106x << 则600400800(32)800(32)2400()y x t x x x x=+=+⨯=+， 所以关于的函数解析式为4002400()y x x =+(0106)x <<． （2）4004002400()2400296000y x x x x =+≥⨯⋅=， 当且仅当400x x =，即20x 时等号成立．故当为20米时，最小．的最小值为96000元．【解析】１．函数解析式；２．基本不等式．。
2021学年安徽省某校高一(上)10月月考数学试卷(有答案)
2021学年安徽省某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 设集合A={1，2，3}，B={x|−1<x<2，x∈Z}，则A∪B=( )A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{−1，0，1，2，3}2. 已知全集U=R，设集合A={x|x≥1}，集合B={x|x≥2}，则A∩(∁U B)=( )A.{x|1≤x≤2}B.{x|1<x<2}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x<2}3. 已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，则实数m 的取值范围为( )A.m≥3B.2≤m≤3C.m≤3D.m≥24. 已知集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|0<x<6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B 的集合C的个数为( )A.4B.8C.7D.165. 2019年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )A.7B.8C.10D.126. 设A，B是两个非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A={x|0≤x≤2}，B={y|y>1}，则A×B=( )A.⌀B.{x|0≤x≤1}∪{x|x>2}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0≤x≤2}7. 若集合A={x|ax2+ax−1=0}只有一个元素，则a=( )A.−4B.0C.4D.0或−4}={0,a2,a+b}，则a2019+b2019的值为( )8. 若{1,a,baA.0B.−1C.1D.1或−1二、多选题下列命题正确的是( )A.存在x<0，x2−2x−3=0B.对于一切实数x<0，都有|x|>xC.∀x∈R，√x2=xD.x=1是x2−3x+2=0充要条件命题“∀1≤x≤3，x2−a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥9B.a≥11C.a≥10D.a≤10已知A⊆B，A⊆C，B={2,0,1,8}，C={1,9,3,8}，则A可以是( )A.{1,8}B.{2,3}C.{1}D.{2}如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项成立的是( )A.ab>acB.cb2<ab2C.c(b−a)>0D.ac(a−c)<0三、填空题，则x(1−2x)的最大值为________.若0<x<12四、解答题设全集U=R，集合A={x∣−2<x<3}，B={x∣−3<x≤3}.(1)求∁U A，A∪B；(2)∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<−6或x>1}．(1)若A∩B=⌀，求a的取值范围；(2)若A∪B=B，求a的取值范围．设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|ax=1}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．设全集U=R，集合A={x|1≤x<4}，B={x|2a≤x<3−a}．(2)若a=−2，求B∩A，B∩∁U A；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．已知a>0，b>0，且a+b=2．(1)求ab的最大值；(2)求2a +8b的最小值．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．参考答案与试题解析2021学年安徽省某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】利用集合表达式，写出集合，利用并集运算，即可得到答案.【解答】解：由题意得A={1，2，3}，B={0，1}，所以A∪B={0，1，2，3}.故选C.2.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】无【解答】解：由题意知，B={x|x≥2}，∴∁U B={x|x<2}．又A={x|x≥1}，∴A∩(∁U B)={x|1≤x<2}．故选D．3.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：①当B≠⌀时，{m+1≤2m−1, m+1≥−2, 2m−1≤5,解得：2≤m≤3，符合题意；②当B=⌀时，m+1>2m−1，解得：m<2，符合题意.综上，实数m的范围为m≤3．故选C.【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：结合题意可得A={1,2}，B={1,2,3,4,5}.∴满足A⊆C⊆B的集合C有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共八个.故选B．5.【答案】B【考点】集合中元素的个数Venn图表达集合的关系及运算【解析】此题暂无解析【解答】解：设参加田赛的学生为集合A，参加径赛的学生为集合B，全集为U，由题可得参加比赛的学生共有31人，由A∩B=A+B−A∪B，可得田赛和径赛都参加的学生人数为16+23−31=8．故选B．6.【答案】B【考点】集合新定义问题交、并、补集的混合运算【解析】求出A∪B和A∩B，再根据A×B的定义写出运算结果．【解答】解：∵ A={x|0≤x≤2}，B={y|y>1}，∴A∪B={x|x≥0}，又A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，∴A×B={x|0≤x≤1或x>2}．故选B.7.【答案】A【考点】集合中元素的个数【解析】由集合A只有一个元素，可知方程ax2+ax−1=0只有一个实数根，若a=0，则−1=0，不符题意；若a≠0，则△=a2+4a=0，解之得a=−4；所以a=−4.【解答】解：由题意，集合A只有一个元素，则方程ax2+ax−1=0只有一个实数根，若a=0，则−1=0，不符题意；若a≠0，则Δ=a2+4a=0，解得a=−4；所以a=−4.故选A.8.【答案】B【考点】集合的相等集合的确定性、互异性、无序性【解析】由集合相等，确定元素相等，再由互异性排除，即可得到答案.【解答】}={0,a2,a+b}，解：由题意，{1,a,ba则由a≠0，可知b=0，从而有{1,a,0}={0,a2,a}，而由集合中元素的互异性可知a≠1，于是有a2=1，解得a=−1，所以a2019+b2019=−1+0=−1.故选B.二、多选题【答案】A,B【考点】全称命题与特称命题必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用【解析】利用命题的真假判断各选项即可.【解答】解：A，令x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1<0，故A正确；B，因为|x|≥0，又x<0，所以|x|>x恒成立，故B正确；C，因为√x2=|x|={x，x≥0，−x，x<0.故C错误；D，令x2−3x+2=0，解得x1=1，x2=2，故“x=1”是“x1=1或x2=2”的充分不必要条件，故D错误.故选AB.【答案】B,C【考点】复合命题及其真假判断必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先求命题“∀x∈[1, 3]，x2−a≤0”为真命题的一个充要条件即可【解答】解：命题“∀1≤x≤3，x2−a≤0”⇔“∀1≤x≤3，x2≤a”⇔a≥9，所以a≥10，a≥11都是命题“∀1≤x≤3，x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选BC.【答案】A,C【考点】集合的包含关系判断及应用子集与真子集【解析】直接逐个判断是否满足条件即可.【解答】解：A，若A={1,8}，满足A⊆B，A⊆C，故A正确；B，若A={2,3}，3∉B，2∉C，故B错误；C，若A={1}，满足A⊆B，A⊆C，故C正确；D，若A={2}，2∉C，故D错误.故选AC.【答案】A,C,D【考点】不等式性质的应用不等式比较两数大小【解析】本题根据c<b<a，可以得到b−a与a−c的符号，当a>0时，则A成立，c<0时，B成立，又根据ac<0，得到D成立，当b=0时，C不一定成立．【解答】解：对于A，∵c<b<a且ac<0，必有ab>ac，故A一定成立;对于B，当b=0时，cb2<ab2不成立，当b≠0时，cb2<ab2成立，故B不一定成立;对于C，∵c<b<a且ac<0，∴b−a<0，又由c<0，则有c(b−a)>0，故C一定成立;对于D，∵c<b<a且ac<0，∴a−c>0，∴ac(a−c)<0，故D一定成立.故选ACD．三、填空题【答案】18【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】构造基本不等式，和为定值的模型，即可求出最值. 【解答】解：∵0<x<12，则1−2x>0，∴x(1−2x)=12×2x(1−2x)≤12×(2x+1−2x2)2=18，当且仅当“2x=1−2x”，即x=14时，取等号，故x(1−2x)的最大值为18.故答案为：18.四、解答题【答案】解：(1)∵U=R，A={x∣−2<x<3}，∴∁U A={x∣x≤−2或x≥3}，又B={x∣−3<x≤3}，∴A∪B={x∣−3<x≤3}.(2)∵A∩B={x∣−2<x<3}，∴∁U(A∩B)={x∣x≤−2或x≥3}；由(1)知：∁U A={x∣x≤−2或x≥3}∴(∁U A)∩B={x∣−3<x≤−2或x=3}.【考点】交、并、补集的混合运算【解析】(1)直接求补集，并集即可；(2)直接求交集，再求补集；后面是先求补集，再求交集.解：(1)∵U=R，A={x∣−2<x<3}，∴∁U A={x∣x≤−2或x≥3}，又B={x∣−3<x≤3}，∴A∪B={x∣−3<x≤3}.(2)∵A∩B={x∣−2<x<3}，∴∁U(A∩B)={x∣x≤−2或x≥3}；由(1)知：∁U A={x∣x≤−2或x≥3}∴(∁U A)∩B={x∣−3<x≤−2或x=3}.【答案】解：(1)∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<−6或x>1}．若A∩B=⌀，则{a≥−6，a+3≤1，解得−6≤a≤−2，即a的取值范围为−6≤a≤−2.(2)∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<−6或x>1}，若A∪B=B，则A⊆B，则a+3<−6或a>1，解得a<−9或a>1，即a的取值范围为a<−9或a>1.【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】（1）根据A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x>1, 或x<−6}．A∩B=⌀，可知两个集合无公共元素，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得a的取值范围；（2）根据A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x>1, 或x<−6}．A∪B=B，可知A的元素都是B的元素，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得a的取值范围；【解答】解：(1)∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<−6或x>1}．若A∩B=⌀，则{a≥−6，a+3≤1，解得−6≤a≤−2，即a的取值范围为−6≤a≤−2.(2)∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<−6或x>1}，若A∪B=B，则A⊆B，则a+3<−6或a>1，解得a<−9或a>1，即a的取值范围为a<−9或a>1.【答案】解：∵ A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，∴ B ⫋A ，当B =⌀时，得a =0；当B ≠⌀时，由题意得B ={1}或B ={2}，当B ={1}时，得a =1；当B ={2}时，得a =12. 综上所述，实数a 组成的集合是{0,1,12}. 【考点】根据充分必要条件求参数取值问题集合的包含关系判断及应用【解析】本题先通过充分必要条件得出B 集合与A 的关系，然后对B 集合是否为空集进行分类讨论求值即可.【解答】解：∵ A ={x|x 2−3x +2=0}={1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴ B ⫋A ，当B =⌀时，得a =0；当B ≠⌀时，由题意得B ={1}或B ={2}，当B ={1}时，得a =1；当B ={2}时，得a =12.综上所述，实数a 组成的集合是{0,1,12}.【答案】解：(1)集合A ={x|1≤x <4}，∁U A ={x|x <1或x ≥4}，a =−2时，B ={x|−4≤x <5}，所以B ∩A ={x|1≤x <4}，B ∩∁U A ={x|−4≤x <1或4≤x <5}.(2)若A ∪B =A 则B ⊆A ，分以下两种情形：①B =⌀时，则有2a ≥3−a ，∴ a ≥1；②B ≠⌀时，则有{2a <3−a ，2a ≥1，3−a ≤4，∴ 12≤a <1.综上所述，所求a 的取值范围为a ≥12.【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算补集及其运算试卷第11页，总13页【解析】（1）利用已知条件求出A 的补集，然后直接求解即可．（2）分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可．【解答】解：(1)集合A ={x|1≤x <4}，∁U A ={x|x <1或x ≥4}，a =−2时，B ={x|−4≤x <5}，所以B ∩A ={x|1≤x <4}，B ∩∁U A ={x|−4≤x <1或4≤x <5}.(2)若A ∪B =A 则B ⊆A ，分以下两种情形：①B =⌀时，则有2a ≥3−a ，∴ a ≥1；②B ≠⌀时，则有{2a <3−a ，2a ≥1，3−a ≤4，∴ 12≤a <1.综上所述，所求a 的取值范围为a ≥12.【答案】解：(1)∵ a >0，b >0，且a +b =2．∴ ab ≤(a+b 2)2=(22)2=1， 当且仅当a =b =1时，取等号，所以ab 的最大值为1.(2)2a +8b =2(1a +4b )=(a +b)(1a +4b) =1+4+b a +4a b =5+(b a +4a b )≥5+2√b a ⋅4a b =9． 当且仅当{b a =4a b ，a +b =2，即a =23，b =43时取“=”， 所以2a +8b最小值为9． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）直接利用基本不等式求ab 的最大值；（2）把要求最小值的式子提取2，用a +b 替换2，然后用多项式乘多项式展开，然后再利用基本不等式求最小值．【解答】解：(1)∵ a >0，b >0，且a +b =2．∴ ab ≤(a+b 2)2=(22)2=1， 当且仅当a =b =1时，取等号，所以ab 的最大值为1.试卷第12页，总13页 (2)2a +8b =2(1a +4b )=(a +b)(1a +4b) =1+4+b a+4a b =5+(b a +4a b )≥5+2√b a ⋅4a b =9． 当且仅当{b a =4a b ，a +b =2，即a =23，b =43时取“=”， 所以2a +8b 最小值为9．【答案】解：(1)设矩形的另一边长为am ，则y =45x +180(x −2)+180⋅2a=225x +360a −360．由已知ax =360，得a =360x ， 所以y =225x +3602x −360(x >2)． (2)因为x >2，所以225x +3602x ≥2√225×3602=10800，所以y =225x +3602x−360≥10440， 当且仅当225x =3602x 时，等号成立．即当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数模型的选择与应用函数最值的应用【解析】(1)设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得a =360x ，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；(2)根据(1)中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值．【解答】解：(1)设矩形的另一边长为am ，则y =45x +180(x −2)+180⋅2a=225x +360a −360．由已知ax =360，得a =360x ， 所以y =225x +3602x −360(x >2)．(2)因为x >2，试卷第13页，总13页 所以225x +3602x ≥2√225×3602=10800，所以y =225x +3602x−360≥10440， 当且仅当225x =3602x 时，等号成立．即当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．。
安徽省马鞍山第二高级中学2021届高三上学期期中考试文科数学试题及答案【完整版】
马鞍山二中2020-2021学年第一学期高三年级期中综合测试文科数学试卷1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.3.请将答案正确填写在答题卡上.第I 卷 （选择题 共60分）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1.设集合{}02M x x =∈≤≤R ，{}13N x x =∈-<<N ，则M N ⋂=（ ） A.{}02x x ≤≤ B.{}13x x -<< C.{}1D.{}0,1,22.已知a ∈R ，若复数()2i z a a a =-+（i 是虚数单位是纯虚数，则a =（ ） A.0 B.1 C.-1 D.23.已知()f x 是定义在R 上的函数，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知数列{}n a 中，12a =，()112n n a n a -=-≥，则2020a 等于（ ） A.12-B.12C.2D.2-5.已知向量(),2a t =，()2,1b =，若向量a b -与b 垂直，则a =（ ）A.9B.3C.52D.26.已知数列{}n a 的通项公式为2nn a n =+，前n 项和为n S ，则6S 等于（ ） A.282B.147C.45 D .707.若曲线()x f x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A.12e + B.12e - C.12D.2e8.函数()2ln 12x f x x x-=-的图象大致是（ ）A. B.C. D.9.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（ ）A.5B.5C.5-D.5-10.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则()*283n n S n N a +∈+的最小值为（ ） A.52B.83C.2 D.3 11.如图，在ABC △中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（ ）A.19B.13C .1 D.312.已知函数()223,1ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()12f x kx =-恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A.12⎛⎝ B.12⎡⎢⎣ C.12⎛ ⎝⎦ D.12⎛ ⎝⎭第II 卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若复数131iz i +=-（i 为虚数单位），则z =______. 14.在数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +-=+，则数列的通项n a =______.15.已知()1,1A 、()1,1B -，点P 在圆221x y +=上运动，若(),OP mOA nOB m R n R =+∈∈，则mn 的最小值为______.16.函数32()32f x x a x a =-+的图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是______. 三、解答题（共70分）17.（本题12分）如图，在四边形ABCD 中，3DAB π∠=，:2:3AD AB =，BD =AB BC ⊥，（1）求sin ABD ∠的值； （2）若23BCD π∠=，求CD 的长. 18.（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，0n a >，且2211230n n n n a a a a ++-⋅-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()3log 1n n b S =+，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19.（本题12分）已知向量()sin 2,cos2a x x =，31,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）在ABC △中，()12f A =，AB =2BC =，求ABC △的面积S . 20.（本题12分）已知函数()()214x mf x x x+=≤≤，且()15f =.（1）求实数m 的值，并求函数()f x 的值域；（2）函数()(12)2g x ax x =--≤≤，若对任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立，求实数a 的取值范围.21.（本题12分）已知函数()()22ln f x x ax a x a R =--+∈，()22ln g x x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）求证:当1a =时，对于任意,()0x ∈+∞，都有()()f x g x <.请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题(含答案解析)
试卷第 3页，共 3页
参考答案：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 D
C
B
D
A
D
A
B
BCD BD
题号 11
答案 ACD
1．D 【分析】先求出集合 A 的补集，再求交集运算即可. 【详解】因为 A {x | 0 x 3} ，所以 ðR A {x | x 0或 x 3}，
所以 ðR A B {x | 3 x 6} .
m 1 2 所以 2m 1 5 解得： 1 m 2
2m 1 m 1
故选：D 7．A
【分析】正实数
x，y
满足
xy
5x
5
y
11
，利用基本不等式的性质可得
x
2
y
2
5x
5y
11
，
设 x y t,t 0 ，即可求出 x y 的最小值．
【详解】∵正实数
x，y
满足
xy
5x
5y
11，
x
2
P 是一个数域，例如实数集 R 是一个数域，则下列结论正确的是（ ）
A．数域中必含有 0，1 两个数
B．集合 M x∣x 2k 1, k Z 是一个数域
C．有理数集 Q 是一个数域
D．数域中必含有
1 2025
三、填空题
12．已知集合 A 0, a2, 2a ， B 0, a2 a 2 .若 B A ，则实数 a
(2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围.
18．（1）当 x 1 时，求 x2 4x 7 的最小值； x 1
（2）已知