极点极线及高中圆锥曲线必备公式
圆锥曲线极点极线定理
圆锥曲线极点极线定理圆锥曲线极点极线定理1. 引言圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念之一，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在研究圆锥曲线的性质时，极点和极线是不可避免的概念。
本文将介绍圆锥曲线的极点极线定理，该定理是描述圆锥曲线中极点和极线之间关系的重要结论。
2. 极点和极线的定义在平面直角坐标系中，设有一条直线L和一个点P(x0,y0)。
若从P到L上每一点所引的直线与L垂直，则称P为L的极点，L为P的极线。
3. 圆锥曲线的定义设有一个平面内固定点F（称为焦点）和一条固定直线d（称为准线）。
对于任意一点P，分别以PF和PD（D为d上任意一点）为半径作两个圆，并将这两个圆相切于P处。
则所有这样的P所构成的集合称为圆锥曲线。
4. 圆锥曲线中极点与极轴间关系对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，P为任意一点，则有以下结论：（1）若P在焦点F上，则其极线为准线d；（2）若P在准线d上，则其极线为过该点且垂直于准线的直线；（3）若P不在焦点F和准线d上，则其极轴为PF的中垂线。
5. 圆锥曲线中极轴与极径间关系对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，O为坐标系原点，则有以下结论：（1）若O在焦点F上，则其极径是任意一条过O的直线；（2）若O在准线d上，则其极径是与准线垂直且经过O的直线；（3）若O不在焦点F和准线d上，则其极径是从O出发经过圆锥曲线上任意一点P的直线。
6. 圆锥曲线中两个互异的定理对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，P(x,y)为任意一点。
则有以下两个互异的定理：（1）以FP和PD分别为半径的两个圆相交于点P，则P在圆锥曲线上；（2）以FP和PD分别为半径的两个圆相切于点P，则P在圆锥曲线上。
7. 结论综上所述，圆锥曲线极点极线定理是描述圆锥曲线中极点和极线之间关系的重要结论。
在研究圆锥曲线的性质时，该定理具有重要意义。
一点一线一世界——高考命题中圆锥曲线的极点与极线
线犾 上任一点作抛物线的两条切线 ， 则直 犕， 犖 为切 点 ， 线 犕犖 恒过定点 ． 解析 ： 因为 抛 物 线 的 准 线 和 焦 点 刚 好 是 一 对 极 点 和极线 ， 由定理第 （ ） 条知直线 犕犖 恒过焦点 犉（ ） ４ １， ０ ．
， 动 直 线犾 与 椭 圆 犫＞０） 只有一个公共 点 犘， 且 犆 点 犘 在第一象限 ． （ Ⅰ ）已 知 直 线 犾 的 斜率为犽， 用 犪， 犫， 犽表示 点 犘 的坐标 ； 图１
） 所对应的准线 ． 对于双曲线和抛物线结论类似 ． 犉（ 犮， ０ 焦点与准线 是 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义 ， 我们很多人 只知道它的存在 ， 却不知道 它 们 内 在 的 联 系 ， 教材中潜 形匿迹 ， 但 我 们 也 不 能 对 此 视 而 不 见， 我们也可借此 解题 ．
２ 例 ２ 已知抛物线 狔 过直 ＝４ 狓 和 直 线犾： 狓＝ －１，
１ １ ２ ２ ） 即２ 犕犖 的方程为 （ 狋 ＝ ·２ 狋 狓＋１， 狋 狓－狔－ 狋 狔＋ ２ ２
２ ２ ２ ４ 狋 － 狋 ＋２－ 狋 ｜ 于是 犱＝｜ ＋２＝０， ＝２ ２ １＋４ 狋 槡 ２ （ ） ， 则 犱＝ ＝１＋４ 狋 狊 ≥１
槡
２ ２ （ ） １＋ 狋 令 ２ ． 狊 １＋４ 狋
— —极 点 与 极 线 在 高 考 解 题 中 的 ３ 洗 尽 铅 华 — 应用
在近年的各地 高 考 模 拟 试 题 中 ， 有关圆锥 事实上 ， 曲线的极点与 极 线 问 题 也 屡 见 不 鲜 ． 用普通方法可以
·６ ４·
数学教育研究
２ ０ １ ５ 年第 １ 期
求解 ， 但过程相对繁杂 ， 如果 用 极 点 和 极 线 的 视 角 看 问 题， 则事半功倍 ． 定值问题 ３． １ 可以解决圆锥曲线中的定点 、 例 ３ （ ２ ０ １ ４稽阳联谊 学校 高 三 数 学 联 考 ２ １ 题）
高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。
具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。
*/圆锥曲线的切线方程在历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。
本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。
从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。
【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2.【1-1】椭圆的切线方程： ①椭圆12222=+y x上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=+yy xx 。
(【1-2【1-3 【1-41、第入原始式，最后得切线方程式1)()(2202202020=+=+by a x b yy a xx （注:k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x ⇒)2()1(-，得.022********=-+-b y y a x x2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= 2200a b x y k MN -=⋅∴(弦中点公式的椭圆基本表达式。
双曲线则是2200ab x y k MN =⋅) 当M 、N 无限趋近时，P 在椭圆C 上。
即得切线斜率0022y x a b k ⋅-= 3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。
备战高考数学二轮复习常用的圆锥曲线公式总结
备战 2019 年高考数学二轮复习常用的圆锥曲线公式总结圆锥曲线包含圆，椭圆，双曲线，抛物线。
以下是常用的圆锥曲线公式总结，请考生实时学习。
抛物线： y = ax *+ bx + c就是 y 等于 ax 的平方加上bx 再加上ca0 时张口向上a0 时张口向下c = 0 时抛物线经过原点b = 0 时抛物线对称轴为y 轴还有极点式y = a(x+h)* + k就是 y 等于 a 乘以 (x+h) 的平方 +k-h 是极点坐标的xk 是极点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x 的正半轴上 ,焦点坐标为 (p/2,0) 准线方程为 x=-p/2因为抛物线的焦点可在随意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积 =4/3(pi)(r^3)面积 =(pi)(r^2)周长 =2(pi)r圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标语文课本中的文章都是优选的比较优异的文章 ,还有许多名家名篇。
假如有选择顺序渐进地让学生背诵一些优异篇目、出色段落 ,对提升学生的水平会大有裨益。
此刻 ,许多语文教师在剖析课文时 ,把文章解体的支离破裂 ,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费力 ,学生头疼。
剖析完以后 ,学生见效甚微 ,没过几日便忘的干干净净。
造成这类事半功倍的难堪局面的重点就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍 ,其义自见”,假如有目的、有计划地指引学生频频阅读课文,或细读、默读、跳读 ,或听读、范读、轮读、分角色朗诵,学生便能够在读中自然意会文章的思想内容和写作技巧,能够在读中自然增强语感 ,增强语言的感觉力。
长此以往,这类思想内容、写作技巧和语感就会自然浸透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创建和发展。
唐宋或更早以前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应教授者称为“博士”，这与此刻“博士”含义已经相去甚远。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θcos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有ep NF MF 211=+.三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
圆锥曲线关于极点极线的一个统一结论
ｂ ０、 ＞ ）抛物线 一２ｘ ＞ ｏ ） ｐ（ ） 的一个极点 ， 它
对应 的极线 为 Ｌ， Ｐ任 意引一条 直线 ， ｒ于点 过 交 Ａ、 交 Ｌ于点 Ｑ， Ｂ， 若点 Ａ 是位于 Ｐ、 Ｑ间 的点 ， 则 （ ）当 Ｐ在 ｒ 外时 ， １
０
．
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中 学数 学 教 学
２１ ０ ０年 第 ４期
圆锥 曲线极 点 与 极 线 的 一组 性 质
湖 北 省 阳 新 县 高 级 中 学 邹 生 书 （ 编 ：３ ２ ０ 邮 ４５０ ）
１ 圆 锥 曲线 极 点 和 极 线 的定 义 已 知圆锥 曲线 Ｃ： 。 ＋ ２ ｘ＋２ ｖ＋ ＋ Ｄ Ｅ Ｆ 一 ０ Ａ ＋ Ｃ ≠ ０ ， 称 点 Ｐ ｘ ，。 和 直 线 ｚ （。 。 ）则 （ 。ｙ ） ：
（ ） Ｐ 在 椭 圆 ｒ 内 ， ０ 的 延 长 线 取 点 １ 若 在 Ｐ
由参数 方程 中 ｔ 的几 何意 义知 ｔ 一 Ｐ ｔ 一 Ｐ Ａ， Ｂ． 由韦达 定理 ，
一
，
Ｄ Ｃ０ Ｓ ａ 十 口 Ｓ１ 。 ｎ 口
＋ ＋ 一
一
ｂｚ ２ ＋ 口 Ｙ 。 一 口 ｂ 。
‘
Ｑ， ｌ Ｐ １ Ｉ Ｉ Ｉ Ｒ Ｉ Ｒ为 Ｏ 使 ． ∞ — Ｏ Ｏ （ Ｐ延 长线 与 ｒ的交点 ） 过 Ｑ引 ｒ的 两条切线 ， ， 连结 两切 点 的
直 线 即 为 Ｌ ．
如 图 １ 由 于 Ｐ 在 ，
Ｊ
椭圆外， 此 Ｐ 、 Ｂ 因 Ａ Ｐ
2024高考数学专项复习圆锥曲线专题：调和点列-极点极线
圆锥曲线专题：调和点列-极点极线一、问题综述(一)概念明晰(系列概念)：1.调和点列：如图，在直线l上有两基点A,B，则在l上存在两点C,D到A,B两点的距离比值为定值，即AC BC =ADBD=λ，则称顺序点列A,C,B,D四点构成调和点列(易得调和关系2AB=1AC+1AD)。
同理，也可以C,D为基点，则顺序点列A,C,B,D四点仍构成调和点列。
所以称A,B和C,D称为调和共轭。
2.调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调和线束。
若另一直线截调和线束，则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列。
3.阿波罗尼斯圆：如图，A,B为平面中两定点，则满足APBP=λ(λ≠1)的点P的轨迹为圆O，A,B互为反演点。
由调和点列定义可知，圆O与直线AB交点C,D满足A,C,B,D四点构成调和点列。
4.极点极线：如图，A,B互为阿圆O反演点，则过B作直线l垂直AB，则称A为l的极点，l为A的极线.2024高考数学专项复习5.极点极线推广(二次曲线的极点极线)：(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.(二)重要性质性质1：调和点列的几种表示形式如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有AC BC =AD BD =λ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD性质2：调和点列与极点极线如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,D,N,P成调和点列(可由阿圆推广)性质3：极点极线配极原则若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A．一般称A、D互为共轭点．推广：如图，过极点P作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,HG，则MG,HN的交点必在极线上，反之也成立。
高中数学圆锥曲线之极点极线微专题一
PART ONE
01 典 例 导 引
高考真题
曲线的极点极线理论
设椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 过点 M (
2,1) ，且着焦点为 F1(
2, 0)
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时，在线段 AB 上取点 Q ，
则 PA QA ；反之，若 PA QA 成立，则称点 P 与 Q 关于 调和共轭.
PB QB
PB QB
P 关于圆锥曲线 的调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直线就是点 P 的极线.
推论 1 设点 P 关于圆锥曲线 的调和共轭点为点 Q ，则有 2 1 1 PQ PA PB
反之，若 2 1 1 成立，则点 P 与 Q 关于 调和共轭. PQ PA PB
推论 2： P,Q 是圆锥曲线 的一条对称轴 l 上两点（不在 上），若 P,Q 关于是圆锥 曲线 调和共轭，过 Q 任作 的一条割线，交 于点 A, B ，则 APQ BPQ
推论 3：设点 P 关于有心圆锥曲线 （设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ，直线 PQ 经过 圆锥曲线的中心，则有 OR2 OP OQ ，反之若有 OR2 OP OQ ，则点 P 与 Q 关于 有心圆锥曲线 调和共轭.
PB QB
又 A，P，B，Q 四点共线，从而 AP PB, AQ QB
于是 4 x1 x2 ， 1 y1 y2 ； x x1 x2 ， y y1 y2
1
1
1
1
从而 x12 2 x22 4x ，
①
y12
2y2
2
y
，
②
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声明: 本内容来自网络,感谢
∙百度贴吧mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线草稿》
∙《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》
∙百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》
等优秀内容.
极点极线
定义已知圆锥曲线С: A x+B y+C x+D y+E=0与一点P(x
0,y
) [其中A+B
≠0,点．P．不在曲线中心和渐近线上
．．．．．．．．．．．].则称点P和直线L: A∙x0x+B∙y0y+C∙x
0 +x 2
+D∙y
+y
2
+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.
即在圆锥曲线方程中,以x
0x替换x，以
x
+x
2
替换x，以y
y替换y,以
y
+y
2
替
换y则可得到极点P(x
0,y
)的极线方程L.
特别地：
(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点P(x
0,y
)对应的极线方程为
(x
0-a)(x-a)+(y
-b)(y-b)=r；
(2)对于椭圆x
a
+
y
b
=1，与点P(x
,y
)对应的极线方程为
x
x
a
+
y
y
b
=1；
(3)对于双曲线x
a
-
y
b
=1，与点P(x
,y
)对应的极线方程为
x
x
a
-
y
y
b
=1；
(4)对于抛物线y=2px，与点P(x
0,y
)对应的极线方程为y
y=p(x
+x)；
性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部
．．．．．．．．．．．]:
①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；
②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；
③若极点P 在曲线С内,则极线L 在曲线С外且与以极点P 为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= (x 0-a)
+(y 0-b)
；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x 0x a +y 0y b =
x 0
a
+y 0b
；若是
双曲线,则此时中点弦的方程为x 0x a -y 0y b =
x 0
a
-y 0
b
；若是抛物线,则此时中点弦的
方程为y 0y-p(x 0+x)=y 0-2px 0)；
④当P(x 0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；
⑤极点极线的对偶性:
Ⅰ.已知点P 和直线L 是关于曲线С的一对极点和极线,则L 上任一点Pn 对应的极线Ln 必过点P,反之亦然,任意过点P 的直线Ln 对应的极点Pn 必在直线L 上[图．中点．．P ．n ．与．直线．．Ln ．．是一对极点极线．．．．．．．]；
Ⅱ.过点P 作曲线C 的两条割线L 1、L 2，L 1交曲线C 于AB ，L 2交曲线C 于MN ，则直线AM 、BN 的交点T ，直线AN 、BM 的交点S 必都落在点P 关于曲线C 的极线L 上 [图中点．．．P ．与．直线．．ST ．．是一对极点极线；点．．．．．．．．．T ．与直线．．．SP ．．是一对极点极线．．．．．．．] ；
Ⅲ. 点P 是曲线C 的极点，它对应的极线为L ，则有: 1)若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP ∙OQ=OR 即OP OR = OR OQ
椭圆如图
双曲线如图
2) 若曲线为抛物线，过点P 作对称轴的平行线交C 于R ，交L 于Q ，则PR=QR 如图
中学数学中极点与极线知识的现状与应用
虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破
而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆x
a
+
y
b
=1的焦点的极
线方程为: x=a
c
.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线
的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.
圆锥曲线基础必备
极点极线例题。